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专题 5.2 分式方程应用题
1．一项工程要在限期内完成，如果第一组单独做，恰好按规定日期完成，如果第二组单独
做，超过规定日期6天才能完成，如果两组合做3天后剩下的工程由第二组单独做，正好
在规定日期内完成，问规定日期是多少天？
【解答】解：设规定日期是 天，则第一组单独完成需用 天，第二组单独完成需用
天，
依题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
答：规定日期是6天．
2．为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提
高了 ，生产300万剂疫苗比原来要少用1天，求现在每天生产疫苗多少万剂？
【解答】解：设原来每天生产疫苗 万剂，则现在每天生产疫苗 万剂．
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
则 ，
答：现在每天生产疫苗75万剂．
3．为积极创建全国文明城市，甲、乙两工程队承包了我市某街道路面改造工程．若由甲、
乙两工程队合做20天可以完成；若甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10
天也可以完成．求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
【解答】解：设甲工程队单独完成此项工程需要 天，则甲工程队的工作效率为 ，乙工
程队的工作效率为 ，依题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
乙工程队单独完成此项工程需要的天数为 ．
答：甲工程队单独完成此项工程需要60天，乙工程队单独完成此项工程需要30天．
4．京东快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率相当于一名分拣工人工
作效率的20倍，若用一台机器人分拣8000件货物，比原先16名工人分拣这些货物要少用
小时．
（1）求一台机器人一小时可分拣多少件货物？
（2）受“双十一”影响，石家庄某京东仓库11月11日当天收到快递72万件，为了在8小
时之内分拣完所有快递货物，公司调配了 20台机器人和20名分拣工人，工作3小时之后，
又调配了15台机器人进行增援，该公司能否在规定的时间内完成任务？请说明理由．
【解答】解：（1）设一名工人每小时可分拣 件货物，则一台机器人每小时可分拣 件
货物，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验： 是原方程的根，
，
答：一台机器人每小时可以分拣3000件货物；
（2）该公司能在规定的时间内完成任务，理由：
，
该公司能在规定的时间内完成任务．
5．汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高 ，那么行驶81千
米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短 36分钟，求该汽车在高速公路
上的平均速度？
【解答】解：设汽车行驶在普通公路上的平均速度是 千米 分钟，则汽车行驶在高速公路
上的平均速度是 千米 分钟，由题意，得 ．
解得 ．
经检验， 是所列方程的根，且符合题意．
所以 （千米 分钟）．
答：汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8千米 分钟．
6．甲、乙两人分别从距目的地 和 的两地同时出发，甲、乙的速度比是 ，结
果甲比乙提前 到达目的地．求甲、乙的速度分别是多少千米 小时．
【解答】解：设甲的速度为 千米 小时，则乙的速度为 千米 小时．
根据题意，得： ，
解得： ，，
经检验： 是分式方程的解，且符合题意，
则 ， ．
答：甲的速度为4.5千米 小时，乙的速度为6千米 小时．
7．某校同学利用周末时间组织到距学校 的龙潭大峡谷游玩，一部分同学骑自行车先
走，半小时后，其余同学乘观光车出发，结果他们同时到达．已知观光车的速度是骑自行
车同学速度的2倍，求骑自行车同学的速度？
【解答】解：设骑自行车同学的速度为 ，则观光车的速度为 ，
根据题意，得： ，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
答：骑自行车同学的速度为 ．
8． 、 两地相距 ，甲上午8点由 地出发骑自行车去 地，乙上午9点30分由
地出发乘汽车去 地．
（1）若乙的速度是甲的速度的4倍，两人同时到达 地，请问两人的速度各是多少？
（2）已知甲的速度为 ，若乙出发半小时后还未追上甲，此时甲、乙两人的距离不
到 ，判断乙能否在途中超过甲，请说明理由．
【解答】解：（1）设甲的速度为 ，则乙的速度为 ， ，
由题意得： ，解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
则 ，
答：甲的速度为 ，则乙的速度为 ；
（2）乙能在途中超过甲，理由如下：
乙出发半小时后还未追上甲，此时甲、乙两人的距离不到 ，
甲距离 地为： ，
，
乙的速度大于 ，
甲从 地去 地的时间为 ，乙从 地去 地的时间 ，
，
，
甲从 地去 地的时间 乙从 地去 地的时间，
乙能在途中超过甲．
9．某校为进一步开展体育中考训练，购买了一批篮球和排球，已知购买的排球数量是篮球
的2倍，购买排球用去了4000元，购买篮球用去了2520元，篮球单价比排球贵26元，求
篮球、排球的单价．
【解答】解：设购买了篮球 个，则排球购买了 个，
依题意可列方程 ．
解得 ，经检验 是原方程的解，
排球的单价为 （元 ，
篮球的单价为126元．
答：篮球排球的单价分别为126元、100元．
10．某商店准备购进 、 两种商品， 种商品每件的进价比 种商品每件的进价多20
元，用2000元购进 种商品和用1200元购进 种商品的数量相同．商店将 种商品每件
的售价定为80元， 种商品每件的售价定为45元．
（1） 种商品每件的进价和 种商品每件的进价各是多少元？（2）商店计划用不超过1560元的资金购进 、 两种商品共40件，其中 种商品的数量
不低于 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
【解答】解：（1）设 种商品每件的进价是 元，则 种商品每件的进价是 元，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
答： 种商品每件的进价是50元， 种商品每件的进价是30元；
（2）设购买 种商品 件，则购买 商品 件，
由题意，得 ，
解得 ．
为正整数，
、15、16、17、18，
商店共有5种进货方案．
11．“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为加强学生体育锻炼，现决定购进
、 两种品牌的足球，购买 品牌足球花费了2500元，购买 品牌足球花费了2000元，
且购买 品牌足球数量是购买 品牌足球数量的2倍，已知购买一个 品牌足球比购买一
个 品牌足球多花30元．
（1）求购买一个 品牌、一个 品牌的足球各需多少元？
（2）该中学决定再次购进 、 两种品牌足球共40个，总费用不超过2600元，那么该中
学此次至少可购买多少个 品牌足球？
【解答】 解：（1）设购买一个 品牌的足球需要 元，则购买一个 品牌的足球需要
元，
依题意得： ，解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买一个 品牌的足球需要50元，购买一个 品牌的足球需要80元；
（2）设该中学此次可以购买 个 品牌足球，则可以购买 个 品牌足球，
依题意得： ，
解得： ．
答：该中学此次至少可购买20个 品牌足球．
12．某超市用7200元购进某种进口食品销售，由于销售良好，过了一段时间，超市又用
14800元购进这款进口食品，所购数址是第一次购进数量的2倍，但每件价格比第一次购
进贵了2元．
（1）求该超市第一次购进这款进口食品多少件？
（2）设该超市两次所购买的进口食品按相同的标价销售，最后剩下的 80件进口食品按标
价的六折再销售，若两次购进的进口食品全部售完，且使利润不低于 4800元，则每件进口
食品的标价至少是多少元？
【解答】解：（1）设该超市第一次购进这款进口食品 件，则第二次购进这款食品 件，
依题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
答：该超市第一次购进这款进口食品100件；
（2）设每件进口食品的标价为 元，
由题意得： ，
解得： ，
答：每件进口食品的标价至少是100元．
13．疫情发生后，口罩成了人们生活的必需品．某药店销售 ， 两种口罩，今年3月份
的进价如下表：
种口罩 种口罩进价（元 包） 12 28
（1）已知 种口罩每包售价比 种口罩贵20元，用64元购买到 种口罩的数量和144元
购买到 种口罩的数量相同，求 种口罩和 种口罩每包售价．
（2）为满足不同顾客的需求，该药店准备4月份新增购进进价为每包10元的 种口罩，
种和 种口罩仍按需购进，进价与3月份相同， 种口罩的数量是 种口罩的5倍，共
花费12000元，则该店至少可以购进三种口罩共多少包？
【解答】解：（1）设 种口罩每包售价为 元，则 种口罩每包售价为 元，
依题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
．
答： 种口罩每包售价为16元， 种口罩每包售价为36元．
（2）设购进 种口罩 包，购进 种口罩 包，则购进 种口罩 包，
依题意得： ，
化简得： ．
， 均为正整数，
为5的倍数， ，
，
的最大值为135．
设 该 店 购 进 三 种 口 罩 的 总 数 量 为 包 ， 则
，
，
随 的增大而减小，
当 时， 取得最小值，最小值 ．
答：该店至少可以购进三种口罩共822包．14．常州每年举行一次“一袋牛奶的暴走”公益活动，用步行的方式募集善款．2017年的
活动在5月13日举行，针对不同的人群，组织者设计了不同的暴走路线，暴走路线分为3
种：从吾悦国际广场到恐龙城迪诺水镇，全长约15公里的成长型路线；从春秋淹城到吾悦
国际广场，全长约20公里的挑战型路线；从春秋淹城到迪诺水镇、全长约35公里的极限
型路线．某学校同学分成甲、乙两组分别参加了挑战型路线、极限型路线、体力最好的甲
组参加了极限型路线、乙组参加了挑战型路线，他们同时从起点春秋淹城出发．已知甲组
比乙组每小时多走 ，结果两组同时到达各自的终点．
（1）求乙组每小时走的路程；
（2）甲组的小明同学因路上堵车、从戚墅堰赶到春秋淹城时，甲组的同学已经出发两个半
小时，为了能与同组同学会合，他决定骑自行车追赶，当骑自行车的速度超过多少时，他
能在甲组同学到达吾悦国际广场之前追上甲组同学？
【解答】解：（1）设乙组每小时走的路程为 公里，则甲组每小时走的路程为 公里，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的解，
答：乙组每小时走4公里的路程；
（2）设小明骑自行车的速度为 公里 小时，能在甲组同学到达吾悦国际广场追上甲组同
学，
甲组的同学每小时走的路程为： （公里），
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的解，
答：当骑自行车的速度超过56公里 小时，他能在甲组同学到达吾悦国际广场之前追上甲
组同学．
15．某书店在图书中心选购 ， 两种科技书， 种科技书比 种科技书每本进价贵20
元，用4800元购进 种科技书的数量是用1900元购进 种科技书的数量的2倍．
（1）求 ， 两种科技书的进价每本分别是多少？（2）书店出售 ， 两种科技书的售价分别是每本130元、95元，该书店购进 种科技
书的数量比购进 种科技书数量的 少4本，若 ， 两种科技书全部售完，总获利超过
1240元，则该书店至少购进 种科技书多少本？
【解答】解：（1）设 种科技书每本的进价为 元，则 种科技书每本的进价为
元，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是所列分式方程的解，
．
答： 种科技书每本的进价为96元， 种科技书每本的进价为76元；
（2）设购进 种科技书 本，则购进 种科技书 本，
根据题意得： ，
解得： ，
为正整数，且 为正整数，
为3的倍数，
的最小值为48．
答：至少购进 种科技书48本．
16．某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台
电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商场用80000元购进电冰箱的数量与用64000
元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱 台，这100台家电的销
售总利润 元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的 2倍，且购进电冰箱不多于40台，
请确定获利最大的方案以及最大利润．（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调 元，若商店保持这两种家电的售
价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货
方案．
【解答】解：（1）设每台空调的进价为 元，则每台电冰箱的进价为 元，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．
（2）设购进电冰箱 台，这100台家电的销售总利润为 元，
则 ，
根据题意得： ，
解得： ，
为正整数，
，35，36，37，38，39，40，
合理的方案共有7种，
即①电冰箱34台，空调66台；
②电冰箱35台，空调65台；
③电冰箱36台，空调64台；
④电冰箱37台，空调63台；
⑤电冰箱38台，空调62台；
⑥电冰箱39台，空调61台；
⑦电冰箱40台，空调60台；
， ，
随 的增大而减小，当 时， 有最大值，最大值为： （元 ，
答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．
（3）当厂家对电冰箱出厂价下调 元，若商店保持这两种家电的售价不变，
则利润 ，
当 ，即 时， 随 的增大而增大，
，
当 时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱40台，空调60台；
当 时， ，各种方案利润相同；
当 ，即 时， 随 的增大而减小，
，
当 时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱34台，空调66台；
答：当 时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；
当 时， ，各种方案利润相同；
当 时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大．
17．某手机专卖店的一张进货单上有如下信息： 款手机进货单价比 款手机多800元，
花38400元购进 款手机的数量与花28800元购进 款手机的数量相同．
（1）求 ， 两款手机的进货单价分别是多少元？
（2）某周末两天销售单上的数据，如表所示：
日期
款手机（部 款手机（部 销售总额（元
星期六 5 8 40100
星期日 6 7 41100
求 ， 两款手机的销售单价分别是多少元？
（3）根据（1）（2）所给的信息，手机专卖店要花费28000元购进 ， 两款手机若干部，
问有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案获得的总利润最高．
【解答】解：（1）设 款手机的进货单价是 元，则 款手机的进货单价是 元，根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
则 ，
答： 款手机的进货单价是3200元， 款手机的进货单价是2400元；
（2）设 款手机的销售单价是 元， 款手机的销售单价是 元，
根据题意得： ，
解得： ，
答： 款手机的销售单价是3700元， 款手机的销售单价是2700元；
（3）设购买 款手机 部， 款手机 部，
根据题意，得 ，
化简得， ，
、 都是正整数，
或 或 ，
即有三种进货方案：
方 案 一 ： 购 买 款 手 机 2 部 ， 款 款 手 机 9 部 ， 利 润 是 ：
（元 ；
方 案 二 ： 购 买 款 手 机 5 部 ， 款 款 手 机 5 部 ， 利 润 是 ：
（元 ；
方 案 三 ： 购 买 款 手 机 8 部 ， 款 款 手 机 1 部 ， 利 润 是 ：
（元 ；
，
选择方案三获得的总利润最高．18．由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的华为 手机二月份每台售价比一
月份每台售价低500元．如果卖出相同数量的华为 手机，那么一月份销售额为9万
元，二月份销售额只有8万元．
（1）一月份华为 手机每台售价为多少元？
（2）为了提高利润，该店计划三月份购进华为 手机销售，已知华为 每台进
价为3500元，华为 每台进价为4000元，预计用不少于7.4万元且不多于7.6万元的
资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
（3）该店计划4月份对华为 的尾货进行销售，决定在二月份售价基础上每售出一
台华为 手机再返还顾客现金 元，而华为 按销售价4400元销售，如要使
（2）中所有方案获利相同， 应取何值？
【解答】解：（1）设一月份华为 手机每台售价为 元，则二月份华为 手机
每台售价为 元，
依题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
答：一月份华为 手机每台售价为4500元．
（2）设购进华为 手机 台，则购进华为 手机 台，
依题意得： ，
解得： ．
为正整数，
可以为8，9，10，11，12，
共有5种进货方案．
（ 3 ） 设 购 进 的 20 台 手 机 全 部 售 出 获 得 的 利 润 为 元 ， 则
．
又 （2）中所有方案获利相同，
，．
