文档内容
第 04 讲 圆周角
课程标准 学习目标
①圆周角的认识 1. 掌握圆周角的概念，能够熟练的判断圆周角。
②圆周角定理 2. 掌握圆周角定理及其的推论，并能够在题目中熟练的进行应用。
③圆周角定理的推论 3. 掌握圆的内接多边形的概念与内接四边形的性质，并能够在解决相关
④圆内接四边形的性质 问题时熟练应用
知识点01 圆周角的认识
1. 圆周角的定义：
顶点在 圆上 ，且两边都与圆 相交 的角叫做圆周角。
【即学即练1】
1．如图，∠APB是圆周角的是（ ）
A． B．C． D．
【分析】根据圆周角的概念：顶点在圆周上，且两边都与圆相交的角叫圆周角就可判断．
【解答】解：A、B顶点没在圆上，C虽然顶点在圆上，但一条边没有与圆相交，D符合圆周角的概念，
故选：D．
知识点02 圆周角定理
1. 圆周角定理的内容：
一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的 一半 。
1
2
即：∠BAC＝ ∠BOC
【即学即练1】
2．如图，点A，B，C都在 O上，若∠C＝34°，则∠AOB为（ ）
⊙
A．34° B．56° C．60° D．68°
【分析】直接根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵∠C＝34°，
∴∠AOB＝2∠C＝68°．
故选：D．
知识点03 圆周角定理的推论
1. 圆周角定理的推论：
（1）在 同圆 或 等圆 中，同弧或等弧所对的圆周角都 相等 。
相等的圆周角所对的弧也 相等 。
⌒ ⌒
如图：若AC＝BD，则∠ABC ＝ ∠BAD；若∠ABC ＝ ∠BAD，
⌒ ⌒
则AC ＝ BD。
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是 直角 ；90°的圆周角所对的弦是 直径 。
如图：若AB是⊙O的直径，则∠ADB＝∠BCA＝ 90 ° 。若∠ADB＝∠BCA＝90°，则AB是⊙O的 直径 。
【即学即练1】
如图，D是 的中点，则图中与∠ABD相等的角的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据等弧所对的圆周角相等，得到与∠ABD相等的角有∠ACD、∠CBD、∠DAC共3个．
【解答】解：∵D是 的中点，
∴弧AD＝弧CD，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACD＝∠DAC．
故选：B．
【即学即练2】
4．如图，C，D是 O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝37°，则∠BDC＝（ ）
⊙
A．53° B．63° C．43° D．74°
【分析】由AB是直径可得∠ACB＝90°，由∠ABC＝37°可知∠CAB＝53°，再根据圆周角定理可得
∠BDC的度数，即可得出答案．
【解答】解：∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∵∠ABC＝37°，
∴∠CAB＝53°，
∴∠BDC＝∠CAB＝53°，
故选：A．
知识点04 圆内接四边形的性质
1. 圆的内接四边形的概念：如图：四个顶点都在 圆上 的四边形叫做圆的内接四边形。多边形的顶点都在圆上的多边形叫
做圆的内接多边形。
2. 圆的内接四边形的性质：
（1）圆的内接四边形的对角 互补 。
即∠B＋∠D＝ 180 ° ，∠C＋∠BAD＝ 180 ° 。
（2）圆的内接四边形的任意一个外角等于它的 内对角 （就是和它相邻的内角的对角）
即：∠EAD＝ ∠ C 。
【即学即练1】
5．如图， O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（ ）
⊙
A．140° B．130° C．120° D．100°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠D+∠B＝180°，
⊙
∵∠D＝50°，
∴∠B＝180°﹣50°＝130°，
故选：B．
【即学即练2】
6．如图，四边形ABCD为 O的内接四边形，∠A＝70°，则∠DCE的度数为 70 ° ．
⊙
【分析】直接利用圆内接四边形的性质：外角等于它的内对角得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为 O的内接四边形，
∴∠DCE＝∠A＝70°，
⊙
故答案为：70°．题型01 圆周角的认识判断
【典例1】下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据圆周角的定义对各选项进行判断．
【解答】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故A选项错误；
B、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故B选项错误；
C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故C选项正确；
D、图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故D选项错误．
故选：C．
【变式1】下列四个图中，∠x是圆周角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案．
【解答】解：根据圆周角定义：
即可得∠x是圆周角的有：C，不是圆周角的有：A，B，D．
故选：C．
题型02 利用圆周角定理进行证明计算
【典例1】如图，在 O中， ，∠AOB＝40°，则∠BDC的度数是（ ）
⊙A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】连接OC，根据弧，弦，圆心角之间的关系得出 BOC＝∠AOB＝40°，根据圆周角定理得出
BDC＝ BOC，求出答案即可．
【解答】解：连接OC，
∵ ，∠AOB＝40°，
∴∠BOC＝∠AOB＝40°，
∴∠BDC＝ BOC＝20°，
故选：B．
【变式1】如图，AB是 O的直径，点C，D是圆上两点，若∠AOC＝124°，则∠CDB等于（ ）
⊙
A．29° B．28° C．27° D．26°
【分析】先由平角的定义得到∠BOC＝56°，再由同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半即可得到
答案．
【解答】解：∵∠AOC＝124°，AB是 O的直径，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝56°，
⊙
∴ ，
故选：B．
【变式2】如图，AB是 O的弦，OC⊥AB交 O于点C，点D是 O上一点，∠ADC＝25°，则∠BOC
⊙ ⊙ ⊙的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据垂径定理，推出 ，可得∠AOC＝∠BOC，由同弧所对的圆周角等于圆心角的两倍
解题即可．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴ ，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵∠ADC＝25°，
∴∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝50°，
故选：C．
【变式3】如图所示，AB为 O的直径，点C在 O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于
点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD等于（ ）
⊙ ⊙
A．20° B．25° C．30° D．32.5°
【分析】连接OD，根据三角形内角和定理求出∠OCD，根据等腰三角形的性质求出∠ODC，根据三角
形内角和定理求出∠DOC，求出∠DOB，再根据圆周角定理求出∠BAD即可．
【解答】解：连接OD，
∵OC⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∵∠AEC＝65°，
∴∠OCE＝180°﹣90°﹣65°＝25°，∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝25°，
∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
∴∠DOB＝∠DOC﹣∠BOC＝130°﹣90°＝40°，
∴由圆周角定理得：∠BAD＝ ∠DOB＝20°，
故选：A．
【变式4】如图，已知△ABC中，以AB为直径的半 O交AC于D，交BC于E，BE＝CE，∠C＝70°，求
∠DOE的度数．
⊙
【分析】连接AE，判断出AB＝AC，根据∠B＝∠C＝70°求出∠BAC＝40°，再根据同弧所对的圆周角等
于圆心角的一半，求出∠DOE的度数．
【解答】解：连接AE，
∵AB是 O的直径，
∴∠AEB＝90°，
⊙
∴AE⊥BC，
∵BE＝CE，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝70°，∠BAC＝2∠CAE，
∴∠BAC＝40°，
∴∠DOE＝2∠CAE＝∠BAC＝40°．
题型03 利用圆周角定理的推论计算证明
【典例1】如图，AB是 O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于 2 ．
⊙【分析】由AB是 O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB＝90°，又由在同圆或等
圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得∠A的度数，继而求得∠ABC＝30°，则可求得BC的长．
⊙
【解答】解：∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∵∠A＝∠D＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，
∵AC＝2，
∴AB＝4
∴BC＝2 ．
故答案为：2 ．
【变式1】如图，AB是 O的直径，点C、D是 O上的点，若∠CAB＝25°，则∠ADC的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．65° B．55° C．60° D．75°
【分析】由AB为 O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB＝90°，又由∠CAB＝25°，
得出∠B的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得∠ADC的度数．
⊙
【解答】解：∵AB为 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∵∠CAB＝25°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝65°，
∴∠ADC＝∠ABC＝65°．
故选：A．
【变式2】如图， O中直径AB⊥DG于点C，点D是弧EB的中点，CD与BE交于点F．下列结论：
①∠A＝∠E，②∠ADB＝90°，③FB＝FD中正确的个数为（ ）
⊙A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据圆周角定理对①②进行判断；根据垂径定理，由AB⊥DG得到 ＝ ，而 ＝ ，所
以 ＝ ，根据圆周角定理得到∠DBE＝∠BDG，从而可对③进行判断．
【解答】解：∵∠A与∠E都对 ，
∴∠A＝∠E，所以①正确；
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，所以②正确；
∵AB⊥DG，
∴ ＝ ，
∵点D是弧EB的中点，
即 ＝ ，
∴ ＝ ，
∴∠DBE＝∠BDG，
∴FB＝FD，所以③正确．
故选：D．
【变式3】如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，CD＝BD．连接AC并延
长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝DE；
（2）若AC＝6，半径OB＝5，求BD的长．【分析】（1）连接BC，由CD＝BD，AB为直径可得∠E＝∠ECD，进而求解．
（2）由勾股定理求出BC的值，再由△AEB为等腰三角形可得BD＝ BE，再通过勾股定理求解．
【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
∵CD＝BD，
∴∠EAD＝∠DAB，
∴∠E＝∠ABE，
连接BC，则∠DCB＝∠DBC，∠ACB＝∠ECB＝90°，
∵∠EBC+∠E＝90°，∠DCB+∠ECD＝90°，
∴∠E＝∠ECD，
∴CD＝DE．
（2）解：在Rt△ACB中，由勾股定理得BC＝ ＝ ＝8，
∵∠E＝∠ABE，
∴△AEB为等腰三角形，
∴AB＝AE，BD＝DE，
∴CE＝AE﹣AC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，
在Rt△BCE中，由勾股定理得BE＝ ＝ ＝4 ，
∴BD＝ BE＝2 ．
【变式4】如图所示，AB＝AC，AB为 O的直径，AC、BC分别交 O于E，D，连结ED，BE．
（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；
⊙ ⊙
（2）如果BC＝12，AB＝10，求BE的长．【分析】（1）根据题意得到AD就是等腰三角形ABC底边上的高，根据等腰三角形三线合一的特点，
可得出∠CAD＝∠BAD，根据圆周角定理即可得证；
（2）本题中由于AD⊥BC，BE⊥AC，根据三角形面积公式推出AC•BE＝CB•AD．进而求出BE的长．
【解答】解：（1）DE＝BD，理由如下：
∵AB为 O的直径，
∴∠ADB＝90°，
⊙
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴ ＝ ，
∴DE＝BD；
（2）∵BC＝12，BD＝ BC＝6，
在Rt△ABD中，AB＝10，∠ADB＝90°，
∴AD＝ ＝ ＝8，
∵AB为 O的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
⊙
∴AD⊥BC，BE⊥AC，
∴△ABC的面积＝ BC•AD＝ AC•BE，
∵AB＝AC＝10，
∴AC•BE＝CB•AD，
∴BE＝ ．
题型04 圆内接四边形的性质的应用
【典例1】如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝ 13 0 °．
⊙【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠BOD＝100°，
∴∠A＝50°．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130．
【变式1】如图，四边形ABCD内接于 O，F是 上一点，且 ＝ ，连接CF并延长交AD的延长线
于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（ ）
⊙
A．60° B．55° C．50° D．45°
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三
角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于 O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．
⊙
∵ ＝ ，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．
故选：C．
【变式2】已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A＝（ ）
A．50° B．60° C．100° D．120°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设∠A＝x，则∠C＝2x，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∴x+2x＝180°，
解得，x＝60°，即∠A＝60°，故选：B．
【变式3】如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．
【分析】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；
（2）过点 A 作 AE⊥CD，垂足为点 E，过点 B 作 BF⊥AC，垂足为点 F．根据 S 四边形 ABCD ＝
S△ABC +S△ACD ，分别求出△ABC，△ACD 的面积，即可求得四边形 ABCD 的面积，然后通过证得
△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝ ．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆．
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，
∴△ABC是等边三角形．
（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．
∴∠AMD＝90°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADM＝60°，
∴∠DAM＝30°，
∴DM＝ AD＝1，AM＝ ＝ ＝ ，
∵CD＝3，
∴CM＝CD+DM＝1+3＝4，
∴S△ACD ＝ CD•AM＝ × ＝ ，
Rt△AMC中，∠AMD＝90°，∴AC＝ ＝ ＝ ，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝ ，
∴BN＝ BC＝ ，
∴S△ABC ＝ × ＝ ，
∴四边形ABCD的面积＝ + ＝ ，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠E＝60°，
∴∠E＝∠BDC，
∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠EAB＝∠BCD，
⊙
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝ ．
【变式4】如图，等腰△ABC内接于 O，AB＝AC，点E是 上的点（不与点A，C重合），连接BE并
延长至点G，连接AE并延长至点F，BE与AC交于点D．
⊙
（1）求证：∠GEF＝∠CEF；
（2）若 O的半径为5，BC＝6，点D是AC的中点，求BD的长．
⊙
【分析】（1）由四边形 ABCE为圆内接四边形，得到∠ABC+∠AEC＝180°，结合 AB＝AC，得到
∠AEB＝∠ACB，∠AEB＝∠GEF，即可求解，（2）作 AH⊥BC，DM⊥BC，由 AH 为 BC 的垂直平分线，得到 ，根据勾股定理
，AH＝OA+OH＝9，根据平行线截线段成比例，得到 ，依次求出
， ， ，根据勾股定理，即可求解，
【解答】（1）证明：∵点A，B，C，E均在 O上，
∴四边形ABCE为圆内接四边形．
⊙
∴∠ABC+∠AEC＝180°．
又∵∠CEF+∠AEC＝180°，
∴∠ABC＝∠CEF．
又AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
又∵∠AEB＝∠ACB，∠AEB＝∠GEF，
∴∠GEF＝∠CEF．
（2）解：作AH⊥BC于H，
又∵AB＝AC，
∴AH为BC的垂直平分线，
过点D作DM⊥BC于点M，连接OB，
∵AH为BC的垂直平分线，
∴点O在AH上，
∴ ，
∴ ，
∴AH＝OA+OH＝5+4＝9，
∵AH⊥BC，DM⊥BC，
∴DM∥AH．又AD＝CD，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．1．下列图形中的∠ABC是圆周角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案．
【解答】解：由圆周角的定义可知，A、B、D中的∠ABC都不是圆周角，C中的∠ABC是圆周角，
故选：C．
2．如图，∠A是 O的圆周角，∠OBC＝55°，则∠A＝（ ）
⊙
A．35° B．45° C．55° D．70°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BOC的度数，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵OB＝OC，∠OBC＝55°，
∴∠OCB＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣55°﹣55°＝70°，
由圆周角定理得，∠A＝ ∠BOC＝35°，
故选：A．
3．如图，AB、BC为 O的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若∠CBD＝62°，则
∠AOC的度数为（ ）
⊙A．130° B．124° C．114° D．100°
【分析】根据∠CBD的度数可先求出弧AC所对应的圆周角的度数，进而可得答案．
【解答】解：如图，在优弧AC上取点P，连接PA，PC，
∵∠CBD＝62°，
∴∠CPA＝62°，
∴∠AOC＝2∠APC＝124°，
故选：B．
4．如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，∠ABD＝69°，则∠C等于（ ）
A．29° B．21° C．31° D．62°
【分析】首先根据同弧所对的圆周角相等求得角A的度数，然后再求得∠ABD的度数即可．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝69°，
∴∠A＝21°，
∴∠C＝21°，
故选：B．
5．如图，AB是 O的弦，CD是 O的直径，CD⊥AB于点E．在下列结论中，不一定成立的是（ ）
⊙ ⊙A．AE＝BE B．∠CBD＝90° C．∠COB＝2∠D D．∠COB＝∠C
【分析】根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可．
【解答】解：∵CD是 O的直径，CD⊥AB，
∴AE＝BE，∠CBD＝90°，∠COB＝2∠D，∠CBO＝∠C，
⊙
故A、B、C不符合题意，D符合题意；
故选：D．
6．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若∠C＝125°，则∠ABD的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】先根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，求出∠A＝55°，即可得到∠ABD的度数．
【解答】解：∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠C＝125°，∠A+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝55°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣55°＝35°．
故选：C．
7．如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成
立的是（ ）
A．∠ACB＝∠ADB
B．∠ABC+∠ADC＝180°
C．∠ABD＝∠ACD
D．若∠ABD＝2∠CBD，则AD＝2CD
【分析】根据圆的判定和基本性质判断即可．
【解答】解：∵点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
故点A，B，C，D都在以点O为圆心，OA为半径的圆上，且AB是直径，
∴∠ACB＝∠ADB，
故A正确；
四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，
故B正确；
根据同弧上的圆周角相等，得到∠ABD＝∠ACD，
故C正确；
作∠ABD的平分线BE，交圆于点E，
则 ，
又∠ABD＝2∠CBD，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠CBD，
∴AE＝DE＝CD，
∵AE+DE＞AD，
∴2CD＞AD．
故D错误，
故选：D．
8．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，
点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽
QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ
②当∠PAQ＝30°，PQ＝9时，可得到形状唯一确定的△PAQ
③当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ
④当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．②③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
【分析】以P为圆心，PQ长为半径画弧，与射线AM有1个交点，则可得到形状唯一确定的△PAQ，否
则不能得到形状唯一确定的△PAQ．根据此观点进行解答便可．
【解答】解：①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，以P为圆心，6为半径画弧，与射线AM有两个交点，则△PAQ的形状不能唯一确定，故①错误；
②当∠PAQ＝30°，PQ＝9时，以P为圆心，9为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确定，
则可得到形状唯一确定的△PAQ，故②正确；
③当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，以P为圆心，10为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一确
定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故③正确；
④当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，以P为圆心，12为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点位置唯一
确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ，故④正确；
故选：C．
9．如图，圆内接四边形 ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则
∠CBD的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD＝180°，求出∠A＝75°，根据圆周角定理得出∠BOD
＝2∠A＝150°，根据∠BOC＝2∠COD求出∠COD＝50°，根据圆周角定理得出∠CBD＝ COD即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
⊙
∵∠BCD＝105°，
∴∠A＝75°，
∴∠BOD＝2∠A＝150°，
∵∠BOC＝2∠COD，
∴∠COD＝ ＝50°，
∴∠CBD＝ COD＝25°．
故选：B．
10．如图，AB是 O的直径，C，D是 O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，有
下列结论：① AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③ BC 平分∠ABD；④ AF＝DF；⑤ BD＝2OF；
⊙ ⊙
⑥△CEF≌△BED．其中一定成立的是（ ）A．②④⑤⑥ B．①③④⑤ C．②③④⑥ D．①③⑤⑥
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可判断①；根据三角形内角和定理可判断②；根据平行线的性
质和等腰三角形的性质可得∠OBC＝∠DBC，进而可判断③；根据平行线的性质和垂径定理的推论可
判断④；根据结论④和三角形的中位线性质可判断⑤；由于无法得到两个三角形的对应边相等，故可
判断⑥．
【解答】解：①∵AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°，
⊙
∴AD⊥BD，故①一定成立；
②△AFO和△CFE中，∠AFO＝∠CFE＝90°，但∠A与∠C不一定相等，
∴∠AOC与∠AEC不一定相等，故②不一定成立；
③∵OC∥BD，
∴∠DBC＝∠OCB，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴BC平分∠ABD，故③一定成立；
④∵OC∥BD，AD⊥BD，
∴OC⊥AD，又OC是半径，F为垂足，
∴AF＝DF，故④一定成立；
⑤∵AF＝DF，OA＝OB，
∴OF是△ABD的中位线，
∴BD＝2OF，故⑤一定成立；
⑥∵△CEF和△BED中，无法判断相等的边，
∴△CEF与△BED不一定全等，故⑥不一定成立，
综上，结论一定成立的是①③④⑤，
故选：B．
11．如图 O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为 cm、1cm，则弦AC、BD所夹的锐角 ＝ 75 °
．
⊙ α【分析】根据勾股定理的逆定理可证△AOB是等腰直角三角形，故可求∠OAB＝∠OBA＝45°，又由已
知可证△COD是等边三角形，所以∠ODC＝∠OCD＝60°，根据圆周角的性质可证∠CDB＝∠CAB，而
∠ODB＝∠OBD，所以∠CAB+∠OBD＝∠CDB+∠ODB＝∠ODC＝60°，再根据三角形的内角和定理可
求 ．
【解答】解：连接OA、OB、OC、OD，
α
∵OA＝OB＝OC＝OD＝1，AB＝ ，CD＝1，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△AOB是等腰直角三角形，
△COD是等边三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∠ODC＝∠OCD＝60°，
∵∠CDB＝∠CAB，∠ODB＝∠OBD，
∴ ＝180°﹣∠CAB﹣∠OBA﹣∠OBD＝180°﹣∠OBA﹣（∠CDB+∠ODB）＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故答案为：75°．
α
12．如图，在 O中， ＝ ，∠AOB＝40°，点D在 O上，连接CD，AD，则∠ADC的度数是 20 °
．
⊙ ⊙
【分析】根据等弧所对的圆周角相等，求出∠AOC即可解决问题．
【解答】解：连接OC．∵ ＝ ，
∴∠AOB＝∠AOC＝40°，
∴∠ADC＝ ∠AOC＝20°，
故答案为20°
13．如图，四边形 ABCD是 O的内接四边形，BE是 O的直径，连接 AE．若∠BCD＝2∠BAD，则
∠DAE的度数是 3 0 o ．
⊙ ⊙
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，结合图形计算，
得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
⊙
∵∠BCD＝2∠BAD，
∴∠BCD＝120°，∠BAD＝60°，
∵BE是 O的直径，
∴∠BAE＝90°，
⊙
∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30°．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，AB＝4，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上
的一个动点，连接CD与AB交于点E，若△BCE是等腰三角形，则∠BOD的度数为 80 ° 或 140 ° ．
【分析】分两种情形：①BE＝BC，②EB＝EC，分别求出∠BOD即可．
【解答】解：如图1中，当BE＝BC时，∵BE＝BC，∠EBC＝40°，
∴∠BCE＝∠BEC＝ ×（180°﹣40°）＝70°，
∵弧BD＝弧BD，
∴∠BOD＝2∠BCE＝140°；
如图2中，当EB＝EC时，点E与O重合，
∵BE＝EC，
∴∠EBC＝∠BCD＝40°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝80°；
故答案为：80°或140°．
15．如图，MN是 O的直径，MN＝6，点A在 O上，∠AMN＝30°，B为 的中点，P是直径MN上一
动点，则PA+PB⊙的最小值是 3 ． ⊙
【分析】首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，
可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点
就是所要找的点P的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．
【解答】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，连接OB，则P点就是所求作的点．
此时PA+PB最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，∵∠AMN＝30°，
∴∠AON＝60°，
∵ ＝
∴∠AOB＝∠BON＝30°，
∵MN⊥BC，
∴ ＝ ，
∴∠CON＝∠NOB＝30°，
则∠AOC＝90°，又OA＝OC＝3，
则AC＝3 ．
16．已知，△ABC中，∠A＝68°，以AB为直径的 O与AC，BC的交点分别为D，E
（Ⅰ）如图①，求∠CED的大小；
⊙
（Ⅱ）如图②，当DE＝BE时，求∠C的大小．
【分析】（Ⅰ）利用圆内接四边形的性质证明∠CED＝∠A即可；
（Ⅱ）连接AE．在Rt△AEC中，求出∠EAC即可解决问题；
【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABED 圆内接四边形，
∴∠A+∠DEB＝180°，
∵∠CED+∠DEB＝180°，
∴∠CED＝∠A，
∵∠A＝68°，
∴∠CED＝68°．
（Ⅱ）连接AE．
∵DE＝BE，
∴ ＝∴∠DAE＝∠EAB＝ ∠CAB＝34°，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠DAE＝90°﹣34°＝56°
17．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O交AC，BC分别于点E，D两点，连接ED，BE．
（1）求证： ＝ ． ⊙
（2）若BC＝6．AB＝5，求BE的长．
【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到CD＝BD，根据弦、
弧、圆心角的关系定理证明结论；
（2）连接OD交BE于H，作OF⊥BD于F，根据勾股定理求出AD，根据三角形中位线定理求出OF，
根据三角形的面积公式求出BH，根据垂径定理解答．
【解答】（1）证明方法一：连接AD，
∵AB为 O的直径，
∴AD⊥BC，
⊙
∵AB＝AC，
∴CD＝BD，
∵A、E、D、B四点共圆，
∴∠CED＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠ACB＝∠CED，
∴DE＝DC，
∴DE＝BD，∴ ＝ ；
方法二：如图②，连接AD，
∵AB为 O的直径，
∴AD⊥BC，
⊙
∵AB＝AC，
∴∠EAD＝∠BAD，
∴ ＝ ；
（2）解：连接OD交BE于H，作OF⊥BD于F，
BD＝ BC＝3，AB＝5，
又勾股定理得，AD＝ ＝4，
∵AD⊥BC，OF⊥BD，
∴OF∥AD，又OA＝OB，
∴OF＝ AD＝2，
则 × ×BH＝ ×3×2，
解得，BH＝ ，
∵ ＝ ，
∴BE＝2BH＝ ．
18．如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，E为BC延长线上一点，BD＝AD．
（1）如图①，若∠DCE＝60°，求证：△ABD为等边三角形；
⊙
（2）如图②，对角线AC，BD交于点F，AC⊥BD，若DF＝3，AF＝4，求 O的半径．
⊙【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得出∠DCE＝∠BAD＝60°，由BD＝AD，即可证得△ABD为等
边三角形；
（2）作DH⊥AB于H，根据等腰三角形三线合一的性质得出AH＝BH，即可得出DH过圆心O，利用勾
股定理求得AD，进一步求得AB，DH，在Rt△BOH中，由OB2＝BH2+OH2得出关于r的方程，解方程
即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是 O的内接四边形，E为BC延长线上一点，
∴∠DCE＝∠BAD＝60°，
⊙
∵BD＝AD，
∴△ABD为等边三角形；
（2）解：作DH⊥AB于H，
∵BD＝AD，
∴AH＝BH，
∴DH过圆心O，
∵AC⊥BD，DF＝3，AF＝4，
∴AD＝ ＝5，
∵BD＝AD，
∴BD＝5，
∴BF＝5﹣3＝2，
∴AB＝ ＝2 ，
∴BH＝ ，
∴DH＝ ＝ ＝2 ，
连接OB，设 O的半径为r，则OH＝2 ﹣r，
在Rt△BOH中，OB2＝BH2+OH2，
⊙
∴r2＝（ ）2+（2 ﹣r）2，
解得r＝ ，
∴ O的半径为 ．
⊙19．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于点F，AC绕点C旋转某个度数，使点A与 上的点E重合．
（1）求证：∠2＝2∠1．
⊙
（2）当 时，求CG：GE的值．
【分析】（1）连接OC，OE，依题意得CA＝CE，OA＝OE＝OC，由此可依据“SSS”判定△CAO和
△CEO全等，则∠OCA＝∠OCE，进而得∠2＝2∠OCA，根据OA＝OC得∠OCA＝∠1，据此可得出结
论；
（2）连接BC，设∠1＝ ，则∠2＝2 ，证明弧BD＝弧BC＝弧DE，则∠1＝∠BAD＝∠DCB＝∠DCE
＝ ，∠ACB＝4 ＝90°，由此得 ＝22.5°，进而得∠DAC＝∠2＝45°，则△GAC为等腰直角三角形，
α α
ACα＝AE＝ α，进而得GE＝CαE﹣CG＝ ，据此可得CG：GE的值．
【解答】（1）证明：连接OC，OE，如图1所示：
∵弦CE是由弦CA绕点C旋转得到的，
∴CA＝CE，
∵AB是 O的直径，
∴OA＝OE＝OC，
⊙
在△CAO和△CEO中，
，
∴△CAO≌△CEO（SSS），∴∠OCA＝∠OCE，
∴∠2＝2∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠1，
∴∠2＝2∠1；
（2）解：连接BC，如图2所示：
设∠1＝ ，
由（1）的结论得：∠2＝2
α
∵AB是 O的直径，弦CD⊥AB，
α
∴弧BD＝弧BC，∠ACB＝90°，
⊙
∵弧BD＝弧DE，
∴弧BD＝弧BC＝弧DE，
∴∠1＝∠BAD＝∠DCB＝∠DCE＝ ，
∴∠ACB＝∠2+∠DCB+∠DCE＝4 ＝90°，
α
∴ ＝22.5°，
α
∴∠2＝2 ＝45°，∠BAD＝ ＝22.5°，
α
∴∠DAC＝∠1+∠BAD＝2 ＝45°，
α α
∴∠DAC＝∠2＝45°，
α
∴△GAC为等腰直角三角形，即AG＝CG，
由勾股定理得：AC＝ ，
∴CE＝CA＝ ，
∴GE＝CE﹣CG＝ ＝ ，
∴CG：GE＝CG： ＝ ．
20．如图，AB是 O的直径，点C、D是 O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．
（1）求证：点⊙D为 的中点； ⊙
（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长；
（3）若 O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值．
⊙【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为 的
中点；
（2）证明OF为△ACB的中位线得到OF＝ BC＝3，然后计算OD﹣OF即可；
（3）作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此
时PC+PD的值最小，再计算出∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如图，然后根据等腰三角形的性
质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC+PD的最小值．
【解答】（1）∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°，
⊙
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝90°，
∴OF⊥AC，
∴ ＝ ，
即点D为 的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
而OA＝OB，
∴OF为△ACB的中位线，
∴OF＝ BC＝3，
∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；
（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，
∵PC＝PC′，
∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，
∴此时PC+PD的值最小，
∵ ＝ ，
∴∠COD＝∠AOD＝80°，
∴∠BOC＝20°，
∵点C和点C′关于AB对称，
∴∠C′OB＝20°，∴∠DOC′＝120°，
作OH⊥DC′于H，如图，
则∠ODH＝30°，
则C′H＝DH，
在Rt△OHD中，OH＝ OD＝ ，
∴DH＝ OH＝ ，
∴DC′＝2DH＝5 ，
∴PC+PD的最小值为5 ．
