专题6.2平行四边形的判定（解析版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_06专项讲练_八年级数学下册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）

专题 6.2 平行四边形的判定 判定平行四边形的条件 【例1】在四边形 中，给出下列条件：① ；② ；③ ；④ ．从以上选择两个条件使四边形 为平行四边形的选法有 A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【解答】解：由①④，可以推出四边形 是平行四边形； 由②④也可以提出四边形 是平行四边形； ①③或③④组合能根据平行线的性质得到 ，从而利用两组对角分别相等的四边形 是平行四边形来判定． 故选： ． 【变式训练1】下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是 A．两组对边分别相等 B．一组对边平行，另一组对边相等 C．两组对角分别相等 D．一组对边平行且相等 【解答】解： 、 两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 选项 不符合题意； 、 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形， 选项 符合题意； 、 两组对角分别相等的四边形是平行四边形， 选项 不符合题意； 、 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 选项 不符合题意； 故选： ．【变式训练2】下列不能判定一个四边形是平行四边形的是 A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【解答】解：根据平行四边形的判定定理， 、 、 均符合是平行四边形的条件， 则 不能判定是平行四边形． 故选： ． 【变式训练3】如图，四边形 的对角线 和 相交于点 ，下列不能判定四边形 为平行四边形的条件是 A． ， B． ， C． ， D． ， 【解答】解： ， ， 在 和 中， ， ， ， 又 ， 四边形 为平行四边形，故选项 不合题意； ， ， ， ， ， 又 ，四边形 为平行四边形，故选项 不合题意； ， ， 四边形 为平行四边形，故选项 不合题意； 故选： ． 求平行线间的距离 【例2】如图，平行四边形 的对角线 与 相交于点 ， ，垂足为 ， ， ， ，则点 到 的距离为 A． B．3 C． D． 【解答】解： ， ，四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， 即点 到 的距离为 ，故选： ． 【变式训练1】在平行四边形 中， ， ，则 与 之间的距离为 ． 【解答】解：过点 作 于 ， 四边形 是平行四边形 ， ， ， ， ， ， ， 故答案为 ． 【变式训练2】如图，在 中，对角线 ， ，垂足为 ，且 ， ，则 与 之间的距离为 ． 【解答】解： 四边形 为平行四边形， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， 设 与 之间的距离为 ， ， ， ， 解得 ， 故答案为： ． 【变式训练3】如图，在 中， ， ，则 与 之间的距离为 ． 【解答】解：过点 作 于 ， 四边形 是平行四边形 ， ， ， 故答案为：平行线与面积之间的关系 【例3】如图，过 的对角线 上一点 作 ， ， 分别交 ， 于点 ， ， 分别交 ， 于点 ， 那么图中四边形 的面积 四边 形 的面积 的大小关系是 A． B． C． D．不能确定 【解答】解： 四边形 是平行四边形， ， ， 又 ， ， 四边形 、四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 故选： ． 【变式训练1】如图， 是面积为 的 内任意一点， 的面积为 ， 的 面积为 ，下列结论正确的是A． B． C． D． 的大小随着 点位置的变化而变化 【解答】解：过点 作 交 于点 ，交 于点 ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故选： ． 【变式训练2】如图， 是面积为 的 内任意一点， 的面积为 ， 的 面积为 ，则 、 、 之间的数量关系为 ． 【解答】解：过点 作 交 于点 ，交 的延长线于点 ，四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 证明平行四边形 【例4】如图，在四边形 中， ， ，点 是 的中点． 求证：四边形 是平行四边形． 【解答】证明： ， ， 点 是 的中点， ， ， ， 四边形 是平行四边形． 【变式训练1】如图，已知 ， ， ，垂足分别为 ， ，且 ．求证：四边形 是平行四边形．【解答】证明： ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 又 ， 四边形 是平行四边形． 【变式训练2】如图，点 、 、 、 在同一直线上， ， 于点 ， 于点 ， ．求证： （1） ； （2）四边形 是平行四边形． 【解答】证明：（1） ， ， 即 ， 又 于点 ， 于点 ， ， 在 和 中，， ； （2）由（1）知 ， ， ， ， 四边形 是平行四边形． 【变式训练3】如图，已知点 ， ， ， 在同一条直线上， ， ， ．求证： （1） ． （2）四边形 是平行四边形． 【解答】（1）证明： ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ．（2）证明： ， ， ， ， ， 又 ， 四边形 是平行四边形． 证明对边相等 【例5】如图，在平行四边形 中，点 ， 分别是边 ， 的中点． （1）求证： ； （2）若四边形 的周长为10， ， ，求平行四边形 的周长． 【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形， ，即 ， 又 点 ， 分别是边 ， 的中点， ， ， ， 四边形 为平行四边形， ； （2）解： 四边形 的周长为10， ， ， 点 ， 分别是边 ， 的中点， ， ， 平行四边形 的周长 ． 【变式训练1】如图，在平行四边形 中，点 是 中点，连接 并延长交 的 延长线于点 ．（1）求证： ． （2）若 ， ，求 的度数． 【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 点 是 中点， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）可得 ， ， ， ， ， ， ． 【变式训练2】如图，平行四边形 中， ， 为 的中点， 的延长线 交 的延长线于点 ． （1）求证： ． （2）若 ，求 的度数．【解答】（1）证明 为 的中点， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ； （2）解： 四边形 是平行四边形， ， ， ， 又 ， ， ． 【变式训练3】如图，已知平行四边形 中， ， 为对角线 上两点，且 ， ， ． （1）求证： ； （2）若 ，求 的度数．【解答】解：（1）证明： 四边形 平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ； （2） ， ， ， ． ， ． 证明对边平行 【例6】如图，在平行四边形 中，点 、 分别在边 和 上，且 ． 求证： ． 【解答】证明：四边形 是平行四边形， ， ，， ， 即 ， ， 四边形 是平行四边形， ． 【变式训练1】如图，在 中， 、 为 上两点， ．求证： ． 【解答】证明： 四边形 平行四边形， ， ， ． 在 与 中， ， ， ， ． 【变式训练2】如图， 的对角线 ， 相交于点 ，点 ，点 在线段 上， 且 ．求证： ． 【解答】证明： 四边形 是平行四边形， ， ， ， 在 和 中，， ， ， ． 【变式训练3】如图， 的对角线 ， 相交于点 ， ， 分别为 ， 的中点，求证： ． 【解答】证明： 四边形 是平行四边形， ， ， ， 分别为 ， 的中点， ， 在 和 中， ， ， ， ． 证明对角线互相平分 【例7】如图，在 中，点 ， 分别在 、 上，且 ，连接 交 于点 ．求证： ． 【解答】证明： 四边形 是平行四边形，， ， ， ， ， ， 即 ， 在 和 中， ， ， ． 【变式训练1】如图，在 中， 为对角线 的中点，过点 的直线 分别交 、 于 ， 两点．求证： ． 【解答】证明： 四边形 是平行四边形， ， ， 为对角线 的中点， ， 在 与 中， ， ，， ， 即 ． 【变式训练2】如图，在 中，点 是对角线 ， 的交点， 过点 且垂直 于 ． （1）求证： ； （2）若 ， ，求 的长． 【解答】解：（1）证明： 四边形 是平行四边形， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ； （2） ， ， ， 又 ， ， ． 【变式训练3】如图，在 中，对角线 ， 交于点 ， ， ， 垂足分别为 ， ． （1）求证： ； （2）若 ，求 的长．【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ． （2）解： ， ， ， 在 中， ， ．