专题6.2反比例函数中的最值问题（强化）（解析版）_北师大初中数学_9上-北师大版初中数学_06专项讲练

专题 6.2 反比例函数中的最值问题 【例题精讲】 【例1】如图 的图象交 轴于点 ，交反比例函数 的图象于点 ． （1）求反比例函数的表达式； （2）点 为反比例函数图象第一象限上 点下方一个动点，过点 作 轴交线段 于点 ，连接 ，求 的面积的最大值． 【解答】解：（1）把 代入 ， 得 ，解得 ， 直线解析式为 ， 当 时， ， ． 反比例函数 的图象过点 ， ， 反比例函数的表达式为 ；（2）设 ，则 ， ． ， ， 当 时， 的面积有最大值 ． 【例2】如图，一次函数 的图象与反比例函数 在第一象限的图象交于 和 两点． （1）求一次函数的表达式； （2）在第一象限内，当一次函数 的值大于反比例函数 的值时，求自变量 的取值范围； （3）若在 轴上有一动点 ，连接 ， ，求当 的值最小时， 点的坐标． 【解答】解：（1） 在反比例函数 上， ， 解得 ， 即 ， 点在一次函数 上， ， 解得 ，一次函数的表达式为 ； （2）由（1）知 ， 解得 或 ， ， ， 由图象可知，自变量 的取值范围为 ； （3）作 点关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ， ， ， 当 点在 位置时， 有最小值， ， ， 设直线 的解析式为 ， 代入 点和 点坐标得 ，解得 ， 直线 的解析式为 ， 当 时， ， ， ． 【题组训练】 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 ， ，且 ， ，同时交反比例函数 在第一象限的图象于点 ， 反比例函数图象上的点 的纵坐标 ， 轴交直线 于点 ， 是 轴 上任意一点，连接 ， ． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求 面积的最大值． 【解答】解：（1） ， ， ，是等腰直角三角形， ， ， 一次函数的解析式为： ， 点 在一次函数 的图象上， ， ， 点 在反比例函数 第一象限的图象上， ， 反比例函数为 ； （2） 点 的纵坐标 ，则 ， ， ， ， ， 当 时， 有最大值，最大值为18． 3．如图，在矩形 中， ， ，点 是边 的中点，反比例函数 的图象经过点 ，交 边于点 ，直线 的解析式为 ． （1）求反比例函数和直线 的解析式． （2）在 轴上找一点 ，使 的周长最小，求出此时点 的坐标． （3）在（2）的条件下， 的周长最小值是 ．【解答】解：（1） 点 是边 的中点， ， ， 矩形 中， ， ， 反比例函数 的图象经过点 ， ， 反比例函数为 ， 代入 ，得 ， 点的坐标为 ， 直线 过点 和点 ， ，解得： ， 直线 的解析式为 ； （2）作点 关于 轴的对称点 ，连结 交 轴于点 ，此时 的周长最小，点的坐标为 ， 点的坐标为 ， 设直线 为 ， 直线 过点 和点 ， ， 解得 ， 直线 为 ， 当 时， ， 点 的坐标为 ； （3） 的周长最小值 ． 因此， 的周长最小值是 ． 故答案为： ． 4．如图，一次函数 交反比例函数 于 ， 两点，过点 作 轴于点 ， 的面积为3．（1）求反比例函数的解析式； （2） 为 轴上一个动点，当 有最小值时，求点 的坐标． 【解答】解：（1） ， ， 反比例函数的解析式 ； （2）解 得 或 ， ， ， 作 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，此时 有最小值， 设直线 的解析式为 ， ，解得 ， 直线 的解析式为 ， 令 ，则 ， 点 的坐标为 ．5．如图，正方形 的边 在 轴上，点 的坐标为 ，点 是 的中点，反 比例函数 的图象经过点 ，交 于点 ． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点 是 轴上的一个动点，求 的最小值． 【解答】解：（1） 点 是 的中点， ， ． 反比例函数 的图象经过点 ， ． 反比例函数的解析式为 ； （2） 四边形 的是正方形， ． 反比例函数 的图象经过点 ， ．设点 关于 轴的对称点为 ，则 ． ． 6．如图，直线 与双曲线 交于 ， 两点，点 的坐标为 ，点 是双曲线第一象限分支上的一点，连接 并延长交 轴于点 ，且 ． （1）直接写出 的值和点 的坐标； （2）点 是 轴上的动点，连接 ， ，求 的最小值． 【解答】解：（1） ， ； （2）过点 ，点 作 轴的垂线，垂足分别为 ， ，过点 作关于 轴的对称点 ， 连接 ，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，如图所示， ， 反比例函数解析式为： ， ， ， ， ， ，， 点 的坐标为 ． 点 的坐标为 ， ， ， 在 中， ． 的最小值为 ． 7．如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与反比例函数 的图象交于 ， 两点． （1）求 、 两点的坐标和反比例函数的表达式； （2）连接 、 ，求 的面积； （3）在 轴上找一点 ，使 的值最小，求满足条件的点 的坐标． 【解答】解：（1）把 、 两点的坐标代入 ，得 ， ， ， 则 、 ． 把 代入 ，得 ， 反比例函数的表达式为 ； （2） 一次函数 的图象与 轴交于点 ， ， ， 、 ， ； （3）作 点关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 点，则 ， ， 此时 的值最小， 设直线 的解析式为 ， 把点 ， 的坐标代入 ，得 ， 解得 ， 直线 的解析式为 ， 当 时， ， 点 的坐标为 ， ．8．如图，在矩形 中， ， ，点 是边 的中点，反比例函数 的图象经过点 ，交 边于点 ． （1）求反比例函数和直线 的解析式； （2）在 轴上找一点 ，使 的周长最小，请求出此时点 的坐标，并直接写出 周长的最小值． 【解答】解：（1） 点 是边 的中点， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， 反比例函数 的图象经过点 ， ， 反比例函数的解析式为 ，当 时， ， ， 设直线 的解析式为 ， 把 ， 和 代入得， ， ， 直线 的解析式为 ； （2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，连接 ， 此时， 的周长最小， 点 的坐标为 ， ， 点 的坐标为 ， ， 设直线 的解析式为 ， ， 解得： ， 直线 的解析式为 ， 令 ，得 ， 点 的坐标为 ， 周长的最小值 ．9．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点， 过点 作 轴的垂线，垂足为 ， 面积为1． （1）求反比例函数的解析式；并直接写出不等式 的解集． （2）在 轴上求一点 ，使 的值最大，并求出其最大值和 点坐标． （3）连接 ，求三角形 的面积． 【解答】解：（1） 反比例函数 的图象过点 ，过 点作 轴的垂线，垂足 为 ， 面积为1， ， ， ， 故反比例函数的解析式为： ， 由 ，解得 或 ， ， ，不等式 的解集为 或 ； （2）一次函数 的图象与 轴的交点即为 点，此时 的值最大，最大 值为 的长． ， ， ， 的最大值为 ； 一次函数 ， 令 ，则 ，解得 ， 点坐标为 ； （3） ， ， ． 10．已知，如图，点 坐标 ，过点 分别作 轴于 ，作 轴于 ，反比 例函数 的图象经过 的中点 ，交 于点 ．（1）求反比例函数 的解析式； （2）在 轴上找一点 ，使 的周长最小： ①求出此时点 的坐标； ②直接写出 的周长的最小值为 ． 【解答】解：（1） 点 坐标 ， 为 的中点， 点的坐标为 ， 又 在 的图象上， ， 反比例函数的解析式为 ． （2）①作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，连接 ． 此时 的周长最小， 点 的坐标为 ， 点 的坐标为 ． 点在反比例函数上，当 时， ， 点的坐标为 ， 设直线 的解析式为 ． 直线 经过 ， ，， 解得 直线 的解析式为 ， 令 ，得 ， 点 的坐标为 ， ② 周长的最小值 ． 故答案为： ． 11．如图，一次函数 的图象与反比例函数 为常数，且 的图象交于 ， 两点． （1）求反比例函数的表达式及点 的坐标； （2）求 的面积； （3）在坐标轴上找一点 ，使 的值最大，求满足条件的点 的坐标．【解答】解：（1）把点 代入 ，得 ， ， 把 代入反比例函数 为常数且 ， ， 反比例函数的表达式为 ； 联立两个函数的表达式得： ， 解得： 或 ， 点 的坐标为 ； （2）如图，当 时， ， ， 的面积 的面积 的面积 ；（3）直线 交 轴于 点，此时 的值最大，最大为 ，此时点 ， 同理可知：直线与 轴交于点 ，当 与 重合时， 的值最大，最大为 ，此 时点 ， 点坐标为 或 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点． （1）求直线 的解析式； （2）若点 在 轴上，求 的最小值． 【解答】解：（1） 、 两点坐标分别代入反比例函数 ， 可得 ， ， 、 ， 把 、 代入一次函数 ，可得 ， 解得 ， 直线 的解析式为 ； （2）如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则 的最小值等 于 的长， 过 作 轴的平行线，过 作 轴的平行线，交于点 ，则 中， ， 的最小值为 ． 13．如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于点 和点 ． （1）求反比例函数的解析式； （2）过点 作 轴于 ，求 ； （3）是否在 轴上存在一点 ，使得 的值最小，并求出 坐标．【解答】解：（1） 反比例函数 过点 ， ， 反比例函数的关系式为 ； （2）方程组 的解为 ， ， 又 ， 点 ， 又 轴， 点 ， ， ； （3）存在，理由为： 作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，连接 ，此时 最小， ， ， 设直线 的关系式为 ， 将 ， 代入得， ， 解得 ， ， 一次函数的关系式为 ， 当 时， ，点 ． 14．如图，直线 与双曲线 都经过点 ，直线 与 轴、 轴分 别交于点 、 两点． （1）求直线与双曲线的函数关系式； （2）求 的面积； （3） 点是 轴上的一动点，是否存在这样的 点，使得 的值最小．若存在，求 出 点坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】（1） 线 与双曲线 都经过点 ， ， ， ， ， 直线的解析式为 ，双曲线的函数关系式为 ； （2）当 时，则 ， ， ， ， 如图1，作 轴于点 ， ， ．的面积为： ； （3）存在这样的点 使得 最短， 理由：如图2，作 点关于 轴的对称点 ，连接 ，与 轴的交点为所求点 ， ， ， 令 ，得 ， ， 设 的解析式为 ， 将 与 代入 ， 得 ， ， 的解析式为 ， 令 ，得 ， ， ．15．如图，已知一次函数 与反比例函数 的图象交于第一象限内的点 和 ，与 轴交于点 ． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）不等式 的解集是 或 ； （3）若 为线段 上一点，且 轴于点 ，则 面积的最大值是 ． 【解答】解：（1） 点 在反比例函数图象上， ， 反比例函数的表达式为： ， ， 一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， ，，解得： ， 一次函数的表达式为 ； （2）由图象得：当 或 时， ． 故答案为： 或 ． （3）设 ， ， ， ， 当 时，面积最大值为 ， 故答案为： ． 16．如图1，矩形 的顶点 、 分别落在 轴、 轴的正半轴上，点 ，反比 例函数 的图象与 、 分别交于 、 两点， ，点 是线段 上 一动点． （1）求反比例函数关系式和点 的坐标； （2）如图2，连接 、 ，求 的最小值； （3）如图3，当 时，求线段 的长． 【解答】解：（1） 点 的坐标为 ， ，点 的坐标为 ， 反比例函数 的图象经过点 ， ， 反比例函数的解析式为： ， 由题意得：当 的纵坐标为3， 点 的横坐标为 ， 点 的坐标为 ， ； （2）如图2，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 于点 ，连接 ， 则 的值最小， 由（1）可知， ， 由勾股定理得： ， 的最小值为 ； （3）如图3，过点 作 于 ， 则 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 设 ， 则 ， ， ，， 在 中， ，即 ， 整理得： ， 解得， ， （舍去）， ． 17．如图，一次函数 与反比例函数 在第一象限交于 、 两点， 垂直 轴于点 ， 为坐标原点，四边形 的面积为38． （1）求反比例函数及一次函数的解析式； （2）点 是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使 的面积最小时 点 的位置（不需证明），并求出点 的坐标和 面积的最小值．【解答】解：（1） 反比例函数 过点 ， ， 反比例函数的解析式为 ， 设 ， ， ， 四边形 的面积为38， 四边形 的面积为30， ， 解得 ， （舍去）， ， 一次函数 的图象经过点 、 ， ，解得 ， 一次函数的解析式为 ；（2）与直线 平行，且在第三象限与反比例函数 有唯一公共点 时， 的 面积最小， 设与直线 平行的直线的关系式为 ，当与 在第三象限有唯一公共点时， 有方程 唯一解， 即 有两个相等的实数根， ， 解得 或 （舍去）， 与直线 平行的直线的关系式为 ， 方程 的解为 ， 经检验， 是原方程的解， 当 时， ， 点 ， 如图，过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ，交 轴于点 ，延长 交 于点 ，由题意得， ， ， ， ， ， ， 答：点 ， 面积的最小值为54．18．如图，矩形 的顶点 、 分别在 、 轴的正半轴上，点 在反比例函数 的第一象限内的图象上， ， ，动点 在 轴的上方，且满足 ． （1）若点 在这个反比例函数的图象上，求点 的坐标； （2）连接 、 ，求 的最小值； （3）若点 是平面内一点，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，则请你直接 写出满足条件的所有点 的坐标． 【解答】解：（1）设点 的纵坐标为 ， ． ， ，四边形 是矩形， ， ， ， ， 点 在这个反比例函数的图象上， 点 的横坐标为 ， ； （2）如图，点 在直线 上运动， 作点 关于直线 的对称点 ，连接 ， 此时 的最小值即为 的长， 在 中，由勾股定理得， ， 的最小值为10； （3）当 时，如图， ， ， ， ，， ， 当点 在 的右侧时，同理 ， ， 当 时，如图，由勾股定理得 ， ， ， ， 同理，当 在 的右侧时， ， 当 时，点 在 的垂直平分线 上，点 又在直线 上，故不存在， 综上： ， 或 ， 或 或 ． 19．如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于 和 两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式 的解集； （3）将直线 向下平移5个单位长度得到直线 ，已知点 ， 分别为 轴、直线 上的动点，当 的值最小时，请直接写出点 的坐标． 【解答】解：（1） 在反比例函数 的图象上， ， 反比例函数的解析式为 ， 点 在反比例函数 的图象上， ， ， 将点 ， 代入 中得： ， ， 一次函数的解析式为 ； （2）根据图象可知：不等式 的解集为： ； （3）将 的图象向下平移5个单位长度后得到新的函数解析式为 ， 如图，过点 作直线 的垂线于 ，交 轴于 ，此时 的值最小，过点 作 轴于 ，， ， ， ， ， ， ． 20．已知：如图，直线 与 轴、 轴分别相交于 、 两点，与双曲线 相交于 、 ， 两点，连接 、 ． （1）求双曲线的函数表达式； （2）求 的面积； （3）若点 是坐标轴上的动点，当 的值最小时，请你直接写出点 的坐标． 【解答】解：（1） 、 ， 两点在直线 上，， ， 解得： ， ， 、 ， ， 在双曲线 上， ， ， 双曲线的函数表达式为 ； （2）令 ，则 ， 令 ，则 ， ， ， ， （3）①当 在 轴上时， 作 关于 轴的对称点 ，则 的坐标为 ， 则 的值最小， 设直线 的解析式为 ， ， 解得： ，直线 的解析式为 ， 当 时， ， 解得： ， 点 的坐标为 ， ； ， ②当 在 轴上时， 作 关于 轴的对称点 ，则 的坐标为 ， 则 的值最小， 设直线 的解析式为 ， ， 解得： ， 直线 的解析式为 ， 当 时， ， 点 的坐标为 ； ； ，点 的坐标为 ． 21．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 和 ． （1）求 、 、 的值； （2）根据图象直接写出 的解集； （3）点 是线段 上一点，过点 作 轴于点 ，连接 ，若 的面积为 ，求 的最大值和最小值． 【解答】解：（1） 一次函数 与反比例函数 的图象交于点 和 ， ， 解得 ， ， ，解得 ， ， ， ； （2） 一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ， ， 的解集为 或 ； （3）依题意，设 的坐标为 ， ， 则 ， ， ， 当 时， ， 当 或 时， ． 22．如图，反比例函数 的图象与直线 交于 和 ，该函数关于 轴对称后的图象经过点 ． （1）求 和 的解析式及 值； （2）根据图象直接写出 时 的取值范围； （3）点 是 轴上一动点，求当 取得最大值时 的坐标．【解答】解：（1） 图象过点 ， ， ； 把点 代入 ， ， ， 过点 ， ， 把 和 代入得， ， 解得 ， ， 关于 轴对称点 在 图象上， ； （2）由图象得 或 ； （3）由（1）得， ， ，点 关于 轴的对称点为 ， 射线 交 轴于点 ，连接 ， ， ，此时 有最大值， 设 的解析式为 ， 把 ， 分别代入 中，， ， 的解析式为 ， 令 ，则 ， 当 最大时 的坐标为 ． 23．如图，四边形 为正方形，反比例函数 的图象过 上一点 ， ， ． （1）求 的值． （2）反比例函数的图象与线段 交于点 ，直线 过点 及线段 的中点 ， 探究直线 与直线 的位置关系，并证明． （3）点 是直线 上一点，当 的值最小时，求点 的坐标．【解答】（1）证明： 四边形 是正方形， ， ， ， 设 ，则 ，由勾股定理得 ， ， ， ， ， 点 坐标为 ， ； （2） ，理由如下： 将 代入 得 ， 点 是线段 的中点， ， ， ， ， ， ， ； （3）延长 交 轴于点 ，连接 交 于点 ，则点 为所求作点，四边形 为正方形， ， ， ， ， 由（2）得 ， 为线段 的垂直平分线， ， ， ． 四边形 是正方形， ， ， ， ， 设直线 解析式为 ，代入 ， ， 得 ， 解得 ， 设直线 为 ，代入 ， ， ， 联立直线 、 得 ， 解得 ， 点 的坐标为 ．25．如图，直线 与双曲线 交于 ， 两点，与 轴交于点 ， 直线 与 轴交于点 ， （1）请直接写出 ， 的值； （2）若点 在 轴上，若点 在 轴上，求 的最小值； （3） 是直线 上一点， 是双曲线上一点，是否存在点 ， ，使得四边形 是正方形？若存在，求出点 ， 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1） 直线 与双曲线 交于 ， 两点， ， ， ， ； （2）如图，作点 关于 轴的对称点 ，作点 关于 轴的对称点 ，则 ， ，， 即当点 ， ， ， 共线时， 的值最小，最小值为 的长， 由（1）得 ， ， ， ， ， 即 的最小值为 ； （3）存在，理由如下： 设直线 的解析式为 ， 将点 ， 代入得， ， ， 直线 的解析式为 ，， ， ， 同理可得直线 的解析式为 ， 当 时， ， ， ， ， ， ， ， 当 时，四边形 是正方形， 设点 ， ， 解得 或 ， 或 ， 设点 ， 当点 坐标为 时， ， ， 解得 或 ， 或 （舍去）；当点 坐标为 时， ， ， 解得 或 ， （舍去）或 （舍去）， 综上，存在点 ， ，使得四边形 是正方形．