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专题 6.2 反比例函数中的最值问题
【例题精讲】
【例1】如图 的图象交 轴于点 ，交反比例函数 的图象于点
．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点 为反比例函数图象第一象限上 点下方一个动点，过点 作 轴交线段
于点 ，连接 ，求 的面积的最大值．【例2】如图，一次函数 的图象与反比例函数 在第一象限的图象交于
和 两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）在第一象限内，当一次函数 的值大于反比例函数 的值时，求自变量
的取值范围；
（3）若在 轴上有一动点 ，连接 ， ，求当 的值最小时， 点的坐标．【题组训练】
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 ，
，且 ， ，同时交反比例函数 在第一象限的图象于点 ，
反比例函数图象上的点 的纵坐标 ， 轴交直线 于点 ， 是
轴上任意一点，连接 ，
．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求 面积的最大值．3．如图，在矩形 中， ， ，点 是边 的中点，反比例函数
的 图 象 经 过 点 ， 交 边 于 点 ， 直 线 的 解 析 式 为
．
（1）求反比例函数和直线 的解析式．
（2）在 轴上找一点 ，使 的周长最小，求出此时点 的坐标．
（3）在（2）的条件下， 的周长最小值是 ．4．如图，一次函数 交反比例函数 于 ， 两点，过点 作
轴于点 ， 的面积为3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2） 为 轴上一个动点，当 有最小值时，求点 的坐标．5．如图，正方形 的边 在 轴上，点 的坐标为 ，点 是 的中点，反
比例函数 的图象经过点 ，交 于点 ．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点 是 轴上的一个动点，求 的最小值．6．如图，直线 与双曲线 交于 ， 两点，点 的坐标为 ，
点 是双曲线第一象限分支上的一点，连接 并延长交 轴于点 ，且 ．
（1）直接写出 的值和点 的坐标；
（2）点 是 轴上的动点，连接 ， ，求 的最小值．7．如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与反比例函数 的图象交于
， 两点．
（1）求 、 两点的坐标和反比例函数的表达式；
（2）连接 、 ，求 的面积；
（3）在 轴上找一点 ，使 的值最小，求满足条件的点 的坐标．8．如图，在矩形 中， ， ，点 是边 的中点，反比例函数
的图象经过点 ，交 边于点 ．
（1）求反比例函数和直线 的解析式；
（2）在 轴上找一点 ，使 的周长最小，请求出此时点 的坐标，并直接写出
周长的最小值．9．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点，
过点 作 轴的垂线，垂足为 ， 面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；并直接写出不等式 的解集．
（2）在 轴上求一点 ，使 的值最大，并求出其最大值和 点坐标．
（3）连接 ，求三角形 的面积．10．已知，如图，点 坐标 ，过点 分别作 轴于 ，作 轴于 ，反
比例函数 的图象经过 的中点 ，交 于点 ．
（1）求反比例函数 的解析式；
（2）在 轴上找一点 ，使 的周长最小：
①求出此时点 的坐标；
②直接写出 的周长的最小值为 ．11．如图，一次函数 的图象与反比例函数 为常数，且 的图象交于
， 两点．
（1）求反比例函数的表达式及点 的坐标；
（2）求 的面积；
（3）在坐标轴上找一点 ，使 的值最大，求满足条件的点 的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，一次函数 与反比例函数
的图象交于 ， 两点．
（1）求直线 的解析式；
（2）若点 在 轴上，求 的最小值．13．如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于点 和点 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点 作 轴于 ，求 ；
（3）是否在 轴上存在一点 ，使得 的值最小，并求出 坐标．14．如图，直线 与双曲线 都经过点 ，直线 与 轴、 轴分别
交于点 、 两点．
（1）求直线与双曲线的函数关系式；
（2）求 的面积；
（3） 点是 轴上的一动点，是否存在这样的 点，使得 的值最小．若存在，
求出 点坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知一次函数 与反比例函数 的图象交于第一象限内的点
和 ，与 轴交于点 ．
（1）分别求出这两个函数的表达式；
（2）不等式 的解集是 ；
（3）若 为线段 上一点，且 轴于点 ，则 面积的最大值是
．16．如图1，矩形 的顶点 、 分别落在 轴、 轴的正半轴上，点 ，反比例
函数 的图象与 、 分别交于 、 两点， ，点 是线段 上
一动点．
（1）求反比例函数关系式和点 的坐标；
（2）如图2，连接 、 ，求 的最小值；
（3）如图3，当 时，求线段 的长．17．如图，一次函数 与反比例函数 在第一象限交于 、 两点，
垂直 轴于点 ， 为坐标原点，四边形 的面积为38．
（1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）点 是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使 的面积最小时
点 的位置（不需证明），并求出点 的坐标和 面积的最小值．18．如图，矩形 的顶点 、 分别在 、 轴的正半轴上，点 在反比例函数
的第一象限内的图象上， ， ，动点 在 轴的上方，且满足
．
（1）若点 在这个反比例函数的图象上，求点 的坐标；
（2）连接 、 ，求 的最小值；
（3）若点 是平面内一点，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，则请你直
接写出满足条件的所有点 的坐标．19．如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于 和
两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式 的解集；
（3）将直线 向下平移5个单位长度得到直线 ，已知点 ， 分别为 轴、直线 上
的动点，当 的值最小时，请直接写出点 的坐标．20．已知：如图，直线 与 轴、 轴分别相交于 、 两点，与双曲线
相交于 、 ， 两点，连接 、 ．
（1）求双曲线的函数表达式；
（2）求 的面积；
（3）若点 是坐标轴上的动点，当 的值最小时，请你直接写出点 的坐标．21．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 和 ．
（1）求 、 、 的值；
（2）根据图象直接写出 的解集；
（3）点 是线段 上一点，过点 作 轴于点 ，连接 ，若 的面积
为 ，求 的最大值和最小值．22．如图，反比例函数 的图象与直线 交于 和
，该函数关于 轴对称后的图象经过点 ．
（1）求 和 的解析式及 值；
（2）根据图象直接写出 时 的取值范围；
（3）点 是 轴上一动点，求当 取得最大值时 的坐标．23．如图，四边形 为正方形，反比例函数 的图象过 上一点 ， ，
．
（1）求 的值．
（2）反比例函数的图象与线段 交于点 ，直线 过点 及线段 的中点
，探究直线 与直线 的位置关系，并证明．
（3）点 是直线 上一点，当 的值最小时，求点 的坐标．25．如图，直线 与双曲线 交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
直线 与 轴交于点 ，
（1）请直接写出 ， 的值；
（2）若点 在 轴上，若点 在 轴上，求 的最小值；
（3） 是直线 上一点， 是双曲线上一点，是否存在点 ， ，使得四边形
是正方形？若存在，求出点 ， 的坐标；若不存在，请说明理由．
