文档内容
专题6.2 反比例的实际应用（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1．能灵活利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．利用反比例函数求出问题中的值
3． 渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力
【典例分析】
【考点1 行程与工程的应用】
【典例1】（2019•杭州）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，
设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程
速度限定为不超过120千米/小时．
（1）求v关于t的函数表达式；
（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．
①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行
驶速度v的范围．
②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．
【变式1-1】（2022•潍坊二模）列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在 2.5h内到达，则速度
至少需要提高到（ ）km/h．
A．180 B．240 C．280 D．300
【变式1-2】（2021秋•樊城区期末）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程
为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小
时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．
（1）求v关于t的函数解析式；
（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发，他能否在当天11点前到达B地？说明理由．
【变式1-3】某游泳池有1200立方米水，设放水的平均速度为v立方米/小时，将池内的水
放完需t小时．
（1）求v关于t的函数表达式；
（2）若要求在3小时之内把游泳池的水放完，则每小时应至少放水多少立方米？
【考点2 物理学中的应用】
【典例2】（2022•滨江区二模）一辆汽车前灯电路上的电压 U（V）保持不变，选用灯泡
的电阻为R（ ），通过的电流强度为I（A），由欧姆定律可知， ．当电阻为30
时，测得通过Ω的电流强度为0.4A． Ω
（1）求I关于R的函数表达式．
（2）为了保证电流强度不超过0.6A，求选用灯泡电阻的取值范围．
【变式2-1】（2022•丽水）已知电灯电路两端的电压 U为220V，通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R（ ），下列说法正确的是（
） Ω
A．R至少2000 B．R至多2000 C．R至少24.2 D．R至多24.2
【变式2-2】（202Ω1秋•福州期末）已知Ω某蓄电池的电压为定Ω值，使用蓄电池时，电Ω流 I
（单位：A）与电阻R（单位： ）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的解析Ω式；
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过3A，那么用电器可变电阻应
控制在什么范围？
【典例3】近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例函数关系，已知400度近视
眼镜镜片的焦距为0.25m．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当近视眼镜的度数y＝500时，求近视眼镜镜片焦距x的值．
【变式3】（2022•皇姑区二模）研究发现，近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反
比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗
加之注意用眼健康，现在镜片焦距为0.4米，则小明的近视镜度数可以调整为（ ）
A．300度 B．500度 C．250度 D．200度
【典例4】（2022•龙湾区模拟）某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体
的压强p（kPa）与气体的体积V（m3）的关系是如图所示的反比例函数．当气球内气体
的压强大于200kPa，气球就会爆炸．为了不让气球爆炸，则气球内气体的体积V需满
足的取值范围是（ ）A．V＜0.5 B．V＞0.5 C．V≤0.5 D．V≥0.5
【变式4-1】（2022•市中区一模）某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气
球内气体的气压P（单位：kPa）与气体体积v（位：m3）的关系为：P＝ ，能够反映
两个变量P和v函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2022•吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积 V（单位：m3）
变化时，气体的密度 （单位：kg/m3）随之变化．已知密度 与体积V是反比例函数关
系，它的图象如图所示ρ． ρ
（1）求密度 关于体积V的函数解析式．
（2）当V＝1ρ0m3时，求该气体的密度 ．
ρ【典例5】（2022•沂南县二模）如图1，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在
一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边活动托盘B（可左
右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘 B与点O的距离x
（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况．实验数据记录如表
x（cm） 10 15 20 25 30
y（g） 30 20 15 12 10
（1）把表中（x，y）的各组对应值作为点的坐标，在图2的坐标系中描出相应的点，
用平滑曲线连接这些点；
（2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式；
（3）当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少？
【变式5-1】如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点
O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点
O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下：
x（cm）…10 15 20 25 30 …
y（N）…30 20 15 12 10 …
猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式为 ．【变式5-2】阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一
个重要的物理学知识﹣﹣杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某一杠
杆的阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图
象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【考点3 经济学的应用】
【典例7】某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进
行销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量
y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图，其中AB段为反比例函数图象的一部分，
设公司销售这种电子产品的年利润为w（万元）．
（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）求出这种电子产品的年利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式；并求出
年利润的最大值．【变式7-1】今年，某公司推出一款新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商
城推出分期付款购买手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款3000元，后
期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间
的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（2021秋•海淀区校级月考）商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中
发现此商品日销售单价x（元）与日销售量y（张）之间有如下关系：
x/元 3 4 5 6
y/张 20 15 12 10
（1）写出y关于x的函数解析式 y ＝ ；
（2）设经营此贺卡的日销售利润为W（元），试求出W关于x的函数解析式，若物价
局规定此贺卡的日销售单价最高不能超过10元/张，请你求出当日销售单价x定为多少
元时，才能获得最大日销售利润，并求出最大日销售利润．
．
【考点4 生活中的其他应用】
【典例8】近两年，人们与新冠病毒进行着长期的抗争．每周末，学校都要对教室采进行
消杀．已知消杀时，教室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正
比例；消杀后，y与x成反比例（如图所示）．现测得消杀 8分钟结束时，教室内空气
中每立方米的含药量为6毫克，请你根据题中所提供的信息，解答下列问题．
（1）消杀时y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围是 ；消
杀后y与x的函数关系式为 ；
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消杀是否有效？为什么？
【变式8-1】学校的自动饮水机，通电加热时水温每分钟上升10℃，加热到100℃时，自动
停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水
温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之
间的关系如图所示，则水温要从20℃加热到100℃，所需要的时间为（ ）
A．6min B．7min C．8min D．10min
【变式8-2】如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控
制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（ ）成反比例函数的图
象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确Ω的是（ ）
A．当R＜0.25时，I＜880
B．I与R的函数关系式是I＝ （R＞0）
C．当R＞1000时，I＞0.22
D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25【变式8-3】（2021秋•海淀区校级期末）工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加温，
使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程中，该材料
的温度y（℃）时间x（min）变化的函数图象，已知该材料，初始温度为15℃，在温度
上升阶段，y与x成一次函数关系，在第5分钟温度达到60℃后停止加温，在温度下降
阶段，y与x成反比例关系．
（1）写出该材料温度上升和下降阶段，y与x的函数关系式：
①上升阶段：当0≤x≤5时，y＝ ；
②下降阶段：当x＞5时，y ．
（2）根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃，可以进行产品加工，请问在图中所示
的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？专题6.2 反比例的实际应用（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
4．能灵活利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
5．利用反比例函数求出问题中的值
6． 渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力
【典例分析】
【考点1 行程与工程的应用】
【典例1】（2019•杭州）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，
设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程
速度限定为不超过120千米/小时．
（1）求v关于t的函数表达式；
（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．
①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行
驶速度v的范围．
②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．
【解答】解：（1）∵vt＝480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，
∴v关于t的函数表达式为：v＝ ，（t≥4）．（2）①8点至12点48分时间长为 小时，8点至14点时间长为6小时
将t＝6代入v＝ 得v＝80；将t＝ 代入v＝ 得v＝100．
∴小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤100．
②方方不能在当天11点30分前到达B地．理由如下：
8点至11点30分时间长为 小时，将t＝ 代入v＝ 得v＝ ＞120千米/小时，超
速了．
故方方不能在当天11点30分前到达B地
【变式1-1】（2022•潍坊二模）列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t（h）与行驶
的平均速度v（km/h）之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在2.5h内到达，则速
度至少需要提高到（ ）km/h．
A．180 B．240 C．280 D．300
【答案】B
【解答】解：设列车行驶完全程所需的时间 t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的
关系式为t＝ ，
把v＝200时，t＝3代入得：3＝ ，
∴k＝600，
∴列车行驶完全程所需的时间 t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为t＝
，
当t＝2.5h时，即2.5＝ ，
∴v＝240，答：列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到240km/h．
故选：B．
【变式1-2】（2021秋•樊城区期末）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程
为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小
时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．
（1）求v关于t的函数解析式；
（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发，他能否在当天11点前到达B地？说明理由．
【解答】解：（1）∵vt＝480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，
∴v关于t的函数表达式为：v＝ （t≥4）；
（2）方方不能在当天11点前到达B地．理由如下：
8点至11点时间长为3小时，
将t＝3代入v＝ ，
得v＝160＞120千米/小时，超速了．
故方方不能在当天11点前到达B地．
【变式1-3】某游泳池有1200立方米水，设放水的平均速度为v立方米/小时，将池内的水
放完需t小时．
（1）求v关于t的函数表达式；
（2）若要求在3小时之内把游泳池的水放完，则每小时应至少放水多少立方米？
【解答】解：（1）由题意得：vt＝1200，
即：v＝ ，
答：v关于t的函数表达式为v＝ ，自变量的取值范围为t＞0．
（2）当t＝3时，v＝ ＝400，
所以每小时应至少放水400立方米．
【考点2 物理学中的应用】
【典例2】（2022•滨江区二模）一辆汽车前灯电路上的电压 U（V）保持不变，选用灯泡
的电阻为R（ ），通过的电流强度为I（A），由欧姆定律可知， ．当电阻为30
时，测得通过Ω的电流强度为0.4A． Ω（1）求I关于R的函数表达式．
（2）为了保证电流强度不超过0.6A，求选用灯泡电阻的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得：I＝ ，
∵当电阻为30 时，通过灯泡的电流强度为0.4A，
∴U＝30×0.4＝Ω12（V），
∴I＝ ．
（2）当I≤0.6A时， ≤0.6，
解得R≥20 ．
∴选用灯泡Ω电阻的允许值范围为：R≥20 ．
【变式2-1】（2022•丽水）已知电灯电路两Ω端的电压 U为220V，通过灯泡的电流强度I
（A）的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R（ ），下列说法正确的是（
） Ω
A．R至少2000 B．R至多2000 C．R至少24.2 D．R至多24.2
【答案】A Ω Ω Ω Ω
【解答】解：∵电压U一定时，电流强度I（A）与灯泡的电阻为R（ ）成反比例，
Ω
∴I＝ ．
∵已知电灯电路两端的电压U为220V，
∴I＝ ．
∵通过灯泡的电流强度I（A）的最大限度不得超过0.11A，
∴ ≤0.11，
∴R≥2000．
故选：A．
【变式2-2】（2021秋•福州期末）已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I
（单位：A）与电阻R（单位： ）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的解析Ω式；
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过3A，那么用电器可变电阻应
控制在什么范围？【解答】解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I＝ ，
∵图象经过（20，1.8），
∴1.8＝ ，
解得：k＝1.8×20＝36，
∴这个反比例函数的解析式为I＝ ；
（2）∵I≤3，I＝ ，
∴ ≤3，
∴R≥12，
即用电器可变电阻应控制在12欧以上的范围内．
【典例3】近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例函数关系，已知400度近视
眼镜镜片的焦距为0.25m．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当近视眼镜的度数y＝500时，求近视眼镜镜片焦距x的值．
【解答】解：（1）由已知设y与x的函数关系式为：y＝ （k≠0），
把y＝400，x＝0.25代入，得400＝ ，
解得：k＝0.25×400＝100，
故y与x之间的函数关系式为：y＝ ；（2）由（1）知y＝ ，
则当y＝500时，有500＝ ，
解得：x＝0.2，
故当近视眼镜的度数y＝500时，近视眼镜镜片焦距x的值为0.2m．
【变式3】（2022•皇姑区二模）研究发现，近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反
比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗
加之注意用眼健康，现在镜片焦距为0.4米，则小明的近视镜度数可以调整为（ ）
A．300度 B．500度 C．250度 D．200度
【答案】C
【解答】解：设函数的解析式为y＝ （x＞0），
∵400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，
∴k＝400×0.25＝100，
∴解析式为y＝ ，
∴当y＝0.4时，x＝ ＝250（度），
答：小明的近视镜度数可以调整为250度，
故选：C．
【典例4】（2022•龙湾区模拟）某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体
的压强p（kPa）与气体的体积V（m3）的关系是如图所示的反比例函数．当气球内气体
的压强大于200kPa，气球就会爆炸．为了不让气球爆炸，则气球内气体的体积V需满
足的取值范围是（ ）
A．V＜0.5 B．V＞0.5 C．V≤0.5 D．V≥0.5
【答案】D【解答】解：设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为p＝ ，
∵当气体的体积V＝0.8m3时，气球内气体的压强p＝125kPa，
∴125＝ ，
∴k＝125×0.8＝100，
∴p＝ ，
∴当p≤200kPa，即 ≤200kPa时，
V≥0.5m3．
故选：D．
【变式4-1】（2022•市中区一模）某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气
球内气体的气压P（单位：kPa）与气体体积v（位：m3）的关系为：P＝ ，能够反映
两个变量P和v函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例
函数：P＝ （v，P都大于零），
∴能够反映两个变量P和v函数关系的图象是：．
故选：B．【变式4-2】（2022•吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积 V（单位：m3）
变化时，气体的密度 （单位：kg/m3）随之变化．已知密度 与体积V是反比例函数关
系，它的图象如图所示ρ． ρ
（1）求密度 关于体积V的函数解析式．
（2）当V＝1ρ0m3时，求该气体的密度 ．
ρ
【解答】解：（1）设 ＝ ，
ρ
将（4，2.5）代入 ＝ 得2.5＝ ，
解得k＝10， ρ
∴ ＝ ．
ρ
（2）将V＝10代入 ＝ 得 ＝1．
∴该气体的密度为1kρg/m3．
ρ
【典例5】（2022•沂南县二模）如图1，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在
一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边活动托盘B（可左
右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘 B与点O的距离x
（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况．实验数据记录如表
x（cm） 10 15 20 25 30y（g） 30 20 15 12 10
（1）把表中（x，y）的各组对应值作为点的坐标，在图2的坐标系中描出相应的点，
用平滑曲线连接这些点；
（2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式；
（3）当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少？
【解答】解：（1）如图所示：
（2）由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，
∴设 y＝ （k≠0），
把x＝10，y＝30代入得：k＝300，
∴y＝ ，
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为：y＝ ；
（3）把y＝24代入y＝ 得：x＝12.5，
∴当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是12.5cm．
【变式5-1】如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点
O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点
O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下：x（cm）…10 15 20 25 30 …
y（N）…30 20 15 12 10 …
猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式为 ．
【答案】
【解答】解：由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，
∴设y＝ （k≠0），
把x＝10，y＝30代入得：k＝300
∴y＝ ，
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为：y＝ ．
故答案为：y＝ ．
【变式5-2】阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一
个重要的物理学知识﹣﹣杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某一杠
杆的阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图
象大致是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和
阻力臂分别是1200N和0.5m，
∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：1200×0.5＝Fl，
则F＝ ，是反比例函数，A选项符合，
故选：A．
【考点3 经济学的应用】
【典例7】某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进
行销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量
y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图，其中AB段为反比例函数图象的一部分，
设公司销售这种电子产品的年利润为w（万元）．
（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）求出这种电子产品的年利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式；并求出
年利润的最大值．
【解答】解：（1）当4≤x≤8时，设y＝ （k≠0），将点A（4，40）代入，得k＝4×40＝160，
∴y＝ ；
当8＜x≤28时，设y＝k′x+b（k′≠0）．分别将点B（8，20），C（28，0）代入y＝
k′x+b，得：
，
解得： ，
∴y＝﹣x+28；
（2）当4≤x≤8时，w＝（x﹣4）y＝（x﹣4）• ＝160﹣ ，
当8＜x≤28时，w＝（x﹣4）y
＝（x﹣4）（﹣x+28）
＝﹣x2+32x﹣112
＝﹣（x﹣16）2+144，
当4≤x≤8时，
∵﹣640＜0，
∴w随x增大而增大，
∴当x＝8时，w有最大值为160﹣ ＝80（万元），
当8＜x≤28时，
∵﹣1＜0，
∴当x＝16时，w有最大值为144万元．
∵80＜144，
∴年利润的最大值为144万元．
【变式7-1】今年，某公司推出一款新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商
城推出分期付款购买手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款3000元，后
期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间
的函数关系式是（ ）
A． B．C． D．
【解答】解：由题意得y＝ ，即y＝ ，
故选：D．
【变式7-2】（2021秋•海淀区校级月考）商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中
发现此商品日销售单价x（元）与日销售量y（张）之间有如下关系：
x/元 3 4 5 6
y/张 20 15 12 10
（1）写出y关于x的函数解析式 y ＝ ；
（2）设经营此贺卡的日销售利润为W（元），试求出W关于x的函数解析式，若物价
局规定此贺卡的日销售单价最高不能超过10元/张，请你求出当日销售单价x定为多少
元时，才能获得最大日销售利润，并求出最大日销售利润．
【解答】解：（1）设y＝ ，
把x＝3，y＝20代入y＝ 得20＝ ，
解得k＝60，
∴y＝ ．
（2）w＝（x﹣2）y＝（x﹣2）• ＝60﹣ ，
∵w随x增大而增大，x≤10，
∴x＝10时，w＝60﹣12＝48（元）为最大值，
∴当日销售价为10元时，最大日销售利润为48元．
【考点4 生活中的其他应用】
【典例8】近两年，人们与新冠病毒进行着长期的抗争．每周末，学校都要对教室采进行
消杀．已知消杀时，教室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正
比例；消杀后，y与x成反比例（如图所示）．现测得消杀 8分钟结束时，教室内空气
中每立方米的含药量为6毫克，请你根据题中所提供的信息，解答下列问题．
（1）消杀时y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围是 ；消
杀后y与x的函数关系式为 ；（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，
才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消杀是否有效？为什么？
【解答】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k x（k ＞0），代入（8，
1 1
6）得：6＝8k
1
∴k ＝ ，
1
∴y＝ x；
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝ （k ＞0）代入（8，6）为6＝ ，
2
∴k ＝48，
2
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝ x（0≤x≤8）；药物燃烧后y关于x的函数
关系式为y＝ （x＞8），
故答案为：y＝ x，0≤x≤8；y＝ ；
（2）把y＝3代入y＝ x，得：x＝4
把y＝3代入y＝ ，得：x＝16
∵16﹣4＝12＞10．
所以这次消毒是有效的．
【变式8-1】学校的自动饮水机，通电加热时水温每分钟上升10℃，加热到100℃时，自动停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水
温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之
间的关系如图所示，则水温要从20℃加热到100℃，所需要的时间为（ ）
A．6min B．7min C．8min D．10min
【解答】解：∵通电加热时每分钟上升10℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为： ＝8（min），
故选：C．
【变式8-2】如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控
制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（ ）成反比例函数的图
象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确Ω的是（ ）
A．当R＜0.25时，I＜880
B．I与R的函数关系式是I＝ （R＞0）
C．当R＞1000时，I＞0.22
D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25
【解答】解：设I与R的函数关系式是I＝ （R＞0），
∵该图象经过点P（880，0.25），∴ ＝0.25，
∴U＝220，
∴I与R的函数关系式是I＝ （R＞0），故选项B不符合题意；
当R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，
∵反比例函数I＝ （R＞0）I随R的增大而减小，
当R＜0.25时，I＞880，当R＞1000时，I＜0.22，故选项A，C不符合题意；
∵R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，
∴当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25，故D符合题意；
故选：D．
【变式8-3】（2021秋•海淀区校级期末）工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加温，
使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程中，该材料
的温度y（℃）时间x（min）变化的函数图象，已知该材料，初始温度为15℃，在温度
上升阶段，y与x成一次函数关系，在第5分钟温度达到60℃后停止加温，在温度下降
阶段，y与x成反比例关系．
（1）写出该材料温度上升和下降阶段，y与x的函数关系式：
①上升阶段：当0≤x≤5时，y＝ ；
②下降阶段：当x＞5时，y ．
（2）根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃，可以进行产品加工，请问在图中所示
的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？
【解答】解：（1）①上升阶段：当0≤x＜5时，为一次函数，设一次函数表达式为y
＝kx+b，
由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），所以 ，
解得： ，
所以y＝9x+15，
②下降阶段：当x≥5时，为反比例函数，设函数关系式为：y＝ ，
由于图象过点（5，60），所以m＝300．
则y＝ ；
故答案为：9x+15；＝
（2）当0≤x＜5时，y＝9x+15＝30，得x＝ ，
因为y随x的增大而增大，所以x＞ ，
当x≥5时，y＝ ＝30，
得x＝10，因为y随x的增大而减小，
所以x＜10，
10﹣ ＝ ，
答：可加工 min．
