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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题6.2平行四边形的判定
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021春•海淀区校级期末）点A、B、C、D在同一平面内，从（1）AB∥CD，（2）AB＝CD，（3）
BC∥AD，（4）BC＝AD，这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法种数是
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据平行四边形的判定在四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有4种．
【解答】解：因为平行四边形的判定方法有：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可选①③；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可选②④；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
可选①②或③④；故选法有四种．
故选：C．
2．（2021春•武汉期中）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是
平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，∠A＝∠C B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．AB∥DC．BO＝DO
【分析】分别利用平行线的判定与性质、平行四边形的判定方法和全等三角形的判定与性质进行判断，
即可得出结论．
【解答】解：A、∵AB∥DC，
∴∠DAB+∠ADC＝180°，
∵∠DAB＝∠DCB，
∴∠DCB+∠ADC＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；C、由AB∥DC，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意；
D、∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠OCD，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AB＝DC，
又∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
3．（2021春•方城县期末）在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上不同的两
点，下列条件中，不能得出▱四边形BEDF一定为平行四边形的是（ ）
A．AE＝CF B．∠ABE＝∠CDF C．BF∥DE D．BE＝DF
【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据
对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断
即可得解．
【解答】解：如图，连接BD与AC相交于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形BEDF为平行四边形，只需证明OE＝OF，
A、∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，故本选项不符合题意；
C、∵BF∥DE，
∴∠OBF＝∠ODE，
在△BOF和△DOE中，
，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴OE＝OF，
又∵OB＝OD，
∴四边形BEDF为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、若BE＝DF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（2021•福建模拟）在平行四边形ABCD中，E，F为对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出
四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．AE∥CF B．∠DAF＝∠BCE C．BF＝DE D．AF＝CE
【分析】在平行四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边，只需证明OE＝
OF，分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：连接AC交BD于点O，如图：在平行四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
A、∵AE∥CF，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO，
∴△AOE≌COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵∠DAF＝∠BCE，
∴∠FAO＝∠ECO，
∵OA＝OC，∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵BF＝DE，
∴BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由AF＝CE无法判断四边形AECF为平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
5．（2021•唐山一模）证明：平行四边形的对角线互相平分．
已知：如图四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O．
求证：OA＝OC，OB＝OD，嘉琪的证明过程如图．证明过程中，应补充的步骤是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥BC，AD＝BC
C．AB∥CD，AD∥BC D．AB∥CD，AB＝CD
【分析】根据平行四边形的判定和性质即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OA＝OC，OB＝OD，
故选：D．
6．（2021•广饶县一模）如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：A、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形 ABCD为平行四边形，故
此选项不合题意；
B、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形 ABCD为平行四边形，故此选项不合
题；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题
意；
故选：C．7．（2021春•大埔县期末）顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AD∥BC，②AB＝
CD，③∠A＝∠C，④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”，
这一结论的情况共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【分析】根据平行四边形的判定定理可得出答案．
【解答】解：当①AD∥BC，④∠B＝∠D时，四边形ABCD为平行四边形；理由如下：
连接AC，如图1所示：
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
在△ABC和△CDA中， ，
∴△ABC≌△CDA（AAS），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
当①AD∥BC，③∠A＝∠C时，四边形ABCD为平行四边形；理由如下：
连接AC，如图1所示：
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
∵∠A＝∠C，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
当③∠A＝∠C，④∠B＝∠D时，四边形ABCD为平行四边形；理由如下：
如图2所示：在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴2∠C+2∠B＝360°
∴∠C+∠B＝180°，∴AB∥CD，
同理：AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
故选：B．
8．（2021春•杭州期末）如图，在 ABCD中，E、F分别是AD、BC边的中点，G、H是对角线BD上的
两点，且BG＝DH．有下列结论▱：①GF⊥BD；②GF＝EH；③四边形EGFH是平行四边形；④EG
＝FH．则正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】证△GBF≌△HDE（SAS），得 GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，则∠FGH＝∠EHG，得
GF∥EH，再证出四边形EGFH是平行四边形，得EG＝FH，故②③④正确，∠FGH不一定等于
90°，故①不正确，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠GBF＝∠HDE，
在△GBF和△HDE中，
，
∴△GBF≌△HDE（SAS），∴GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，
∴∠FGH＝∠EHG，
∴GF∥EH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EG＝FH，故②③④正确，
∵∠FGH不一定等于90°，
∴GF⊥BD不正确，
故选：C．
9．（2021•邯郸模拟）如图，在平行四边形 ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF．求证：
DE＝BF．以下是排乱的证明过程：
①∵AE＝CF，∴BE＝FD；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD；
③∴DE＝BF，
④∴四边形EBFD是平行四边形．
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．①→②→③→④ B．①→④→②→③ C．②→①→④→③D．
②→④→①→③
【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，再证BE＝FD，得四边形EBFD是平行四边形，即
可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝CF，
∴BE＝FD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴DE＝BF，则证明步骤正确的顺序是②→①→④→③，
故选：C．
10．（2021秋•泉港区期末）如图，点E、F分别是 ABCD边AD、BC的中点，G、H是对角线BD上的
两点，且BG＝DH．则下列结论中不正确的是（ ▱ ）
A．GF＝EH
B．四边形EGFH是平行四边形
C．EG＝FH
D．EH⊥BD
【分析】证△GBF≌△HDE（SAS），得 GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，则∠FGH＝∠EHG，得
GF∥EH，再证出四边形EGFH是平行四边形，得EG＝FH，故ABC正确，∠EHG不一定等于90°，故
D不正确，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠GBF＝∠HDE，
在△GBF和△HDE中，
，
∴△GBF≌△HDE（SAS），
∴GF＝EH，∠BGF＝∠DHE，
∴∠FGH＝∠EHG，
∴GF∥EH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EG＝FH，故ABC正确，
∵∠EHG不一定等于90°，
∴EH⊥BD不正确，
故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上】
11．（2022春•宝应县月考）在四边形ABCD中，分别给出四个条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A
＝∠C；④AB＝CD．以其中的两个条件能判定四边形ABCD为平行四边形的有 3 种不同的选择．
【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．
【解答】解：①③组合能根据平行线的性质得到∠B＝∠D，从而利用两组对角分别相等的四边形是平
行四边形判定平行四边形；
①④组合能利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；
②④组合能利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定，
故答案为：3．
12．（2021春•拱墅区校级期中）如图，点 E，F是 ABCD对角线上两点，在条件：①DE＝BF；
②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AEB＝∠CF▱D中，选择一个条件添加，使四边形 DEBF是平行
四边形可添加的条件有 ②③④ （写出所有正确条件的序号）
【分析】通过证明三角形全等，得出四边形DEBF的一组对边平行且相等，即可得出是平行四边形．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠DAE＝∠BCF，∠DCF＝∠BAE，
①DE＝BF时，不能证明△ADE≌△CBF，
不能证明四边形DEBF是平行四边形；
②∠ADE＝∠CBF时，
在△ADE和△CBF中， ，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
③AF＝CE时，AE＝CF，在△ADE和△CBF中， ，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
④∠AEB＝∠CFD时，
在△ABE和△CDF中， ，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF，
∵∠AEB＝∠CFD，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
故答案为：②③④．
13．在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”是不能判定四边形ABCD为
平行四边形的．给出以下六个说法：
①如果再加上条件“AD∥BC”，那么就能判定四边形ABCD是平行四边形；
②如果再加上条件“AB＝CD”，那么就能判定四边形ABCD是平行四边形；
③如果再加上条件“∠DAB＝∠DCB”，那么就能判定四边形ABCD是平行四边形；
④如果再加上条件“BC＝AD”，那么就能判定四边形ABCD是平行四边形；
⑤如果再加上条件“AO＝CO”，那么就能判定四边形ABCD是平行四边形；
⑥如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么就能判定四边形ABCD是平行四边形．
其中正确的说法有 4 个，它们是 ①②③⑤ ．
【分析】（1）因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以①正确；
（2）因为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以②正确；
（3）此题易证此四边形的两组对边分别平行，所以③正确；
（5）此题可以通过证明三角形全等，证得AB＝CD，所以证得此四边形是平行四边形；正确；（4）与（6）等腰梯形也符合要求，所以错误．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；正确；
（2）∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；正确；
（3）∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠DAB＝∠DCB，
∴∠C+∠D＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；正确；
（4）可能是等腰梯形，所以错误；
（5）∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO，
∵AO＝CO，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；正确；
（6）此题可以是等腰梯形；错误．
故答案为：4，①②③⑤．
14．如图，已知A，B，E在同一条直线上，AB＝DC，则添加下列条件中的 ② （填序号），可使四边
形ABCD是平行四边形．条件：①∠CBE＝∠A，②∠CBE＝∠C．【分析】证出AB∥DC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论．
【解答】解：添加条件②∠CBE＝∠C，可使四边形ABCD是平行四边形．
理由如下：
∵∠C＝∠CBE，
∴AB∥DC，
∵AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：②．
15．（2019春•西湖区校级月考）已知四边形ABCD，∠A＝∠C，对角线AC，BD交于点O．分别添加下
列条件之一：①AB∥CD；②AB＝CD；③OA＝OC；④∠B＝∠D，能使四边形ABCD成为平行四
边形，则正确的选项有 ①④ ．（填写序号）
【分析】根据平行四边形的判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边
分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分
别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可．
【解答】解：①由AB∥CD，∠A＝∠C可证明∠B＝∠D，然后可根据两组对角分别相等的四边形是平
行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；
②根据AB＝CD，∠A＝∠C不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不正确；
③∠DAB＝∠DCB且OA＝OC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不正确；
④由∠A＝∠C，∠B＝∠D可根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四
边形，故此选项正确．
正确的选项有①④，
故答案为：①④．
16．（2019•余杭区二模）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），B（0，﹣1），C（﹣3，﹣1），D
（﹣2，1），移动点A，使得顺次连接这四个点的图形是平行四边形，则移动后点 A的坐标为 （ 1 ，
1 ） ．【分析】由题意得出BC＝3，由平行四边形的性质得出AD＝BC＝3，再由题意即可得出结果．
【解答】解：∵B（0，﹣1），C（﹣3，﹣1），
∴BC＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝3，
∵D（﹣2，1），移动点A，使得顺次连接这四个点的图形是平行四边形，如图所示：
∴A（1，1）；
故答案为：（1，1）．
17．（2020春•西城区校级期中）已知，如图，四边形ABCD，AC，BD交于点O，请从给定四个条件：
①AB＝CD；
②AD∥BC；
③∠BAD＝∠BCD；
④BO＝DO中选择两个，使得构成四边形可判定为平行四边形．你的选择是 ②③ 或 ②④ ．
【分析】根据平行四边形的判定定理，证出AB∥CD或OA＝OC即可．
【解答】解：选择②③或②④；理由如下：
选择②③时，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BCD+∠ABC＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
选择②④时，
∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OCB，
在△OAD和△OCD中， ，
∴△OAD≌△OCD（AAS），
∴OA＝OC，
又∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
故答案为：②③或②④．
18．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形△ACD和△ABE，F为AB的中
点，连接DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，其中正确的是 A 、 B .（多选）
A．AC⊥DF
B．四边形BCDF为平行四边形
C．DA+DF＝BE
D. ＝
【分析】由平行四边形的判定定理判断B，再由平行四边形的性质和平行线的性质判断A，然后由三角
形三边关系判断C，由等边三角形的性质分别求出△ACD、△ACB、△ABE的面积，计算即可判断D．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，AC＝ AB，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴CD∥AB，∵F为AB的中点，
∴BF＝ AB，
∴BF∥AB，CD＝BF，
∴四边形BCDF为平行四边形，故B正确；
∵四边形BCDF为平行四边形，
∴DF∥BC，
又∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥DF，故A正确；
∵DA＝CA，DF＝BC，AB＝BE，BC+AC＞AB，
∴DA+DF＞BE，故C错误；
设AC＝x，则AB＝2x，
∴S△ACD ＝ x2，S△ACB ＝ x2，S△ABE ＝ x2，
∴ ＝ ＝ ，故D错误；
故答案为：A、B．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春•东台市月考）如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在
对角线AC上，且AE＝CF．
求证：四边形EGFH是平行四边形．
【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，根据平行线的性质得到∠GAE＝∠HCF，根
据全等三角形的性质得到GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
20．（2022春•泰州月考）如图所示，已知点E，F在 ABCD的对角线BD上，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF； ▱
（2）连接AF，CE，求证：四边形AECF是平行四边形．
【分析】（1）由平行四边形的性质可知：∠ABE＝∠CDF，再利用已知条件和三角形全等的判定方法
即可证明△ABE≌△CDF；
（2）由（1）可知△ABE≌△CDF，所以∠AEB＝∠DFC，进而可得∠AED＝∠BFC，所以AE∥CF，
根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠DFC，AE＝CF，
∴∠AED＝∠BFC，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
21．（2021•怀化模拟）如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AF＝CE．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）求证：四边形DEBF是平行四边形．
【分析】（1）由“SAS”可证△ADE≌△CBF；
（2）由全等三角形的性质可得DE＝BF，∠AED＝∠CFB，可证DE∥BF，即可得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵AF＝CE．
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）∵△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形．
22．（2019春•郾城区期中）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，分别过B、C做射线AD的垂线，垂
足分别为E、F，连接BF、CE．
（1）求证：四边形BECF是平行四边形；
（2）我们知道S△ABD ＝S△ACD ，若AF＝FD，在不添加辅助线的条件下，直接写出与△ABD、△ACD面
积相等的所有三角形．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出ED＝FD，进而利用平行四边形的判定证明即可；
（2）利用三角形的面积解答即可．
【解答】（1）证明：∵D是BC中点，
∴BD＝CD
∵BE⊥AE，CF⊥AE
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BED与△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴ED＝FD，
∵BD＝CD，
∴四边形BFEC是平行四边形；
（2）与△ABD和△ACD面积相等的三角形有△CEF、△BEF、△BEC、△BFC．
理由：∵四边形BECF是平行四边形，
∴S△BDF ＝S△BDE ＝S△CDE ＝S△CDF ，
∵AF＝DF，
∴S△ABF ＝S△BDF ，S△ACF ＝S△CDF
∴S△BDF ＝S△BDE ＝S△CDE ＝S△CDF ＝S△ABF ＝S△ACF ，∴S△ABD ＝S△ACD ＝S△CEF ＝S△BEF ＝S△BEC ＝S△BFC ．
23．（2021春•汝州市期末）如图，已知平行四边形 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作
AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N．
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形
（2）已知DE＝8，FN＝6，求BN的长．
【分析】（1）欲证明四边形AMCN是平行四边形，只要证明CM∥AN，AM∥CN即可；
（2）首先证明△MDE≌△NBF，推出ME＝NF＝1，在Rt△DME中，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AM∥CN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CM∥AN
∴四边形CMAN是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△ADE与△CBF中，∠ADE＝∠CBF，∠AED＝∠CFB，AD＝BC，
∴△ADE≌△CBF（AAS）；
∴DE＝BF＝8，
∵FN＝6，
∴ ．
24．（2020•兴文县模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，
延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF，
（1）求证：AE＝CE；
（2）求证：四边形ABDF是平行四边形；（3）若AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，则四边形ABCF的面积为 6 ．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ADE＝∠CBE，根据全等三角形的判定得出△ADE≌△CBE，
根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据平行四边形的判定推出即可；
（3）求出高DQ和CH，再根据面积公式求出即可．
【解答】（1）证明：∵点E是BD的中点，
∴BE＝DE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBE，
在△ADE和△CBE中
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE；
（2）证明：∵AE＝CE，BE＝DE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵DF＝CD，
∴DF＝AB，
即DF＝AB，DF∥AB，
∴四边形ABDF是平行四边形；（3）解：
过C作CH⊥BD于H，过D作DQ⊥AF于Q，
∵四边形ABCD和四边形ABDF是平行四边形，AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，
∴DF＝AB＝2，CD＝AB＝2，BD＝AF＝4，BD∥AF，
∴∠BDC＝∠F＝30°，
∴DQ＝ DF＝ ＝1，CH＝ DC＝ ＝1，
∴四边形ABCF的面积S＝S平行四边形BDFA +S△BDC ＝AF×DQ+ ＝4×1+ ＝6，
故答案为：6．
