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第 03 讲 用列举法求概率
课程标准 学习目标
①用直接列举法求概率 1. 掌握列举法求概率的三种方式，直接列举，列表法与树状法求
②用列表法求概率 概率，并能在题目中熟练应用合适的方法求概率。
③用画树状图法求概率 2. 能够通过计算概率判断游戏的公平性。
知识点01 用直接列举法求概率
1. 直接列举法求事件概率：
在一次实验中，如果可能出现的结果只有 个，且各种结果出现的可能性大小 ，
则可通过列举实验结果的方法分析随机事件发生的概率。
【即学即练1】
1．有五条线段，长度分别是2，4，6，8，10，从中任取三条能构成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
知识点02 用列表法求事件概率1. 列表法求事件的概率：
当一次实验要涉及的因素有两个（或是需要两部操作来完成实验）且可能出现的结果较多时，常通过
用 的方法列举所有可能的结果，找出事件A可能发生的所有的结果，再利用 求
概率。
例题说明：
三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张上
部图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸取一张，则这两张
小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？
分析：将上部三张图片分别记作A、B、C，下部三张图片记作a、b、c，列表得出所有等可能结果，
用列表法表示如下：
a b c
A （A，a） （A，b） （A，c）
B （B，a） （B，b） （B，c）
C （C，a） （C，b） （C，c）
可知，一共出现9中情况，记能合成完成的图片为事件A，有三种情况，所以概率为：
（A）=
P
【即学即练1】
2．有五张正面分别标有数字﹣3，﹣2，0，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面
朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，则前后两
次抽取的数字之积为正数的概率为 ．
知识点03 用画树状图法求事件概率
1. 树状法求事件的概率：
当事件要通过多个步骤（三个或以上）完成时，常通过用 画树状图 的方法列举所有可能的结
果，在找出事件A可能发生的结果，再利用 概率公式 求概率。
例题说明：
三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张上
部图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸取一张，则这两张
小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？
分析：将上部三张图片分别记作A、B、C，下部三张图片记作a、b、c，列表得出所有等可能结果，
用树状图表示如下：可知，一共出现9中情况，记能合成完成的图片为事件A，有三种情况，所以概率为：
P（A）=
【即学即练1】
3．不透明的袋子中装了2个红球，1个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出
2个球，摸出1个红球1个黑球的概率为 ．
题型01 用直接列举法求事件概率
【典例1】在长度分别为3，4，7，9的四条线段中，任意选取三条，能组成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【变式1】从﹣2，﹣1，3三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于
．
【变式2】有4根细木棒，长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，从中任选3根，恰好能搭成直角三角形的
概率是 ．
题型02 利用列表法或画树状图法求事件概率
【典例1】在三张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为 1、6、6，现将三张卡片放入一只不
透明的盒子中，搅匀后从中任意摸出一张，记下数字后放回，搅匀后再任意摸出一张，记下数字，则两
次摸到不同数字的概率是 ．
【变式1】有三张完全一样正面分别写有汉字“重”，“外”，“人”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从
中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的
汉字相同的概率是 ．
【变式2】一天晚上，小伟帮助妈妈清洗三个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好随机将其
中一个杯盖和一个茶杯搭配在一起．
（1）用树状图（或列表法）求这个茶杯颜色搭配恰好正确的概率；（2）若停电时小伟在慌乱之中打破了其中一个杯盖，此时只好在剩下的两个杯盖和三个杯子中随机拿
出一个杯盖和一个茶杯搭配在一起，直接写出这个茶杯颜色搭配恰好正确的概率．
【典例2】某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、
小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现对
这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．若随机抽取两名同学，则这两名同学均来自八年级的概
率为 ．
【变式1】现有四张完全相同的刮刮卡，涂层下面的文字分别是“我”、“爱”、“学”、“习”．小光
从中随机抽取两张并刮开，则这两张刮刮卡上的文字恰好是“我”和“学”的概率是 ．
【变式2】某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型、泡沫型三种型号（分别用A，B，C依次表示这
三种型号）．小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被
选中的可能性均相同．请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率．
题型03 求放回与不放回事件的概率
【典例1】“二十四节气”是中华农耕文明与天文学智慧的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．
小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”三张邮票中的两张送给好朋友
小亮．小明将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取一张（不放回），
再从中随机抽取一张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的概率是（ ）A． B． C． D．
【变式1】一个袋中有1个白球，3个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后
放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则摸到1个白球和1个蓝球的概率是 ．
【变式2】将分别标有“我”“爱”“重”“外”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉
字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上
的汉字组成“重外”的概率是 ．
【变式3】在一个不透明的袋子中装有4个小球，球上分别标有﹣1，0，1，2四个数字，这些小球除数字
外都相同．
（1）从袋中任意摸出一个球，球上标有负数的概率是 ；
（2）小明先从袋子中任意摸出一个球（不放回），小华再从袋子里摸出另一个球，如果两球数字之差
的绝对值小于或等于1，那么就称他俩“心有灵犀”，请用列表法（或画树状图）求两人“心有灵犀”
的概率．
【变式4】有4张印有“青”、“山”、“绿”、“水”字样的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同），
放在一个不透明的盒子中，将卡片洗匀．
（1）从盒子中任意取出一张卡片，恰好取出印有“青”字的卡片的概率为 ；
（2）先从盒子中任意取出一张卡片，记录后放回并搅匀，再从其中任意取出一张卡片，求取出的两张
卡片中，至少有1张印有“青”字的卡片的概率（请画树状图或列表等方法求解）．题型04 通过计算概率判断游戏的公平性
【典例1】甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，3，4的四个小球
（除标号外无其它差异）．从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口
袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x、y表示．若x+y为奇数，则甲获
胜；若x+y为偶数，则乙获胜．
（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数；
（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【变式1】如图，有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将这
四张纸牌背面朝上洗匀．
（1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率；
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公
平吗？请用列表法（或树状图）说明理由（纸牌用A、B、C、D表示）．
【变式2】四张扑克牌的牌面如图①所示，将扑克牌洗均匀后，如图②背面朝上放置在桌面上．
（1）若随机抽取一张扑克牌，则牌面数字恰好为5的概率是 ；
（2）规定游戏规则如下：若同时随机抽取两张扑克牌，抽到两张牌的牌面数字之和是偶数为胜；反之
则为负．你认为这个游戏是否公平？请画树状图或列表格说明理由．
【变式3】小伟和小梅两位同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次均匀的骰子．以掷出的点数之差的绝对值
判断输赢．若所得数值等于0，1，2，则小伟胜；若所得数值等于3，4，5，则小梅胜．
（1）请利用表格分别求出小伟、小梅获胜的概率；
（2）判断上述游戏是否公平．如果公平，请说明理由；如果不公平，请利用表格修改游戏规则，以确
保游戏的公平性．1．文明出行，遵守交通规则“红灯停，绿灯行”，一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30秒，绿灯
亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．中国画以墨代色，产生了墨分五色的说法，唐代张彦远《历代名画记》中曰：”运墨而五色具”，五
色：即焦、浓、重、淡、清，这就是中国画用墨的奇妙处．美术老师想从这五色中先选择两色让学生重
点练习，则正好选中淡与清的概率为（ ）
A． B． C． D．3．小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏．三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三
个反面向上，则小强赢；若出现2个正面向上一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上2个反面
向上，则小文赢．下面说法正确的是（ ）
A．三人赢的概率都相等 B．小文赢的概率最小
C．小亮赢的概率最小 D．小强赢的概率最小
4．今年央视春晚上，刘谦十分钟的魔术节目《守岁共此时》：每位观众手中都有四张牌，从中间撕
开……让观众们大开眼界．现有2张扑克牌，从中间撕开（如图），将其背面朝上，打乱顺序后放在桌
面上，若从中随机抽取两张，则能拼成同一张牌的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．甲袋中装着分别标有数字2， ， ， 的同质同大小的四个球，乙袋中装着分别标有运算符号
“+”、“×”的同质同大小的两个球，先从甲袋中任意摸出两球，再从乙袋中摸出一球，让甲袋中摸出
的两球上标的数按乙袋摸出球的运算符号计算，则结果是有理数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．从﹣2，2，3，4这四个数中随机抽取两个不同的数，分别记作a和b．若点A的坐标记作（a，b），则
点A在函数y＝x2上的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．在如图所示的电路中，随机闭合开关S 、S 、S 中的两个，能让灯泡L 发光的概率是（ ）
1 2 3 1
A． B． C． D．
9．如图，A，B是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格上的两个格点（小正方形的顶点），在其
余的格点中任意放置点C，恰好能使△ABC构成直角三角形的概率是（ ）A． B． C． D．
10．有四张完全相同且不透明的卡片，正面分别标有数﹣3，﹣2，﹣1，1，将四张卡片背面朝上，随机抽
取一张，所得卡片上的数记为m，不放回，再随机抽取一张，所得卡片上的数记为n，则方程mx2+nx+3
＝0没有实数根的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．衣橱里挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱里各任取一件上衣
和一条裤子，则它们取自同一套的概率是 ．
12．桌面上放有五张背面完全相同的卡片，卡片的正面分别标有汉字：疯，狂，的，数，学，把这五张卡
片背面朝上，随机抽取一张，记下汉字放回，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上汉字可以组成
“数学”的概率是 ．
13．党的二十大于2022年10月16﹣22日在北京胜利召开，某校为学习“二十大精神”开展以“心系二十
大”为主题的知识竞赛，竞赛由每班笔试初赛后推选2人参加学校现场面试决赛，我班笔试初赛由3男
2女共5个同学获得100分，现从中抽取2人参加学校的现场面试决赛，则恰好抽到一男一女的概率是
．
14．四根长度分别为2cm、4cm、6cm、8cm的细木棒，任取其中三根为边，能拼成三角形的概率为
．
15．四张相同的卡片上分别写有数字﹣1，﹣5，2，4，将卡片的背面向上洗匀后从中任意抽1张，并将卡
片上数字记为k，再从余下的卡片中任意抽1张，并将卡片上数字记为b，则一次函数y＝kx+b的图象经
过第二、三、四象限的概率为 ．
16．某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：
径赛项目：200m，400m，800m（分别用A 、A 、A 表示）；
1 2 3
田赛项目：跳远，跳高（分别用B 、B 表示）．
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（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为 ；
（2）该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个
田赛项目和一个径赛项目的概率．17．如图，转盘A中的4个扇形面积相等，转盘B中的6个扇形的面积相等，有人设计了如下游戏规则：
甲、乙两人分别任意转动转盘A、B一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的 2个数相乘，如果
所得的积是偶数，则甲获胜；若所得的积是奇数，则乙获胜．
（1）用列表法或树状图求出甲、乙两人分别获胜的概率；
（2）当此游戏规则修改为：当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的 2个数字相加，如果所得的和是
偶数，则甲获胜；若所得的和是奇数，则乙获胜，这样的规则公平吗？通过计算说明理由．
18．有四张牌，点数分别是2、3、5、7，洗牌后把牌背面向上放好．
（1）若增加m张点数为偶数的牌，使得只抽一张抽到奇数和偶数的概率相等，直接填写m的值：
m＝ （m为正整数）；
（2）小丽先从这四张牌中抽一张，小芳从剩下的三张牌中抽一张，求两张牌上的数字之和是奇数的概
率，请用列表或画树状图的方法说明．19．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四
张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．
（1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是 ；
（2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化
的概率．
20．某学校为了解学生暑假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总
时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学暑假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类
别：A（0＜t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图
（尚不完整），根据以上信息，回答下列问题：
（1）请补全条形统计图；并计算扇形统计图中圆心角 的度数为 ；
（2）若该校有1500名学生，估计暑假阅读的总时间不少于12小时的学生有多少名？
β
（3）教育处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取 2名同学参加该校“阅
读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
