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专题 2.1 整式加减与化简求值
【典例1】先化简，再求值．
（1）已知|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，求多项式3[2（a+b）﹣ab]﹣[2（a+b）﹣ab]的值；
3 1
（2）已知 A= nx2﹣2x﹣1，B＝2x2− mx+4，当 2A﹣3B 的值与 x 的取值无关时，求多项式（m2﹣
2 3
3mn+2n2）﹣（2m2+mn﹣4n2）的值．
【思路点拨】
（1）先去括号，合并同类项，再根据绝对值和完全平方的非负性求出a和b的值，代入即可．
（2）化简2A﹣3B，根据“与x的取值无关”可求出m和n的值，再化简所求多项式，代入m和n的值即
可．
【解题过程】
解：（1）原式＝2[2（a+b）﹣ab]
＝2（2a+2b﹣ab）
＝4a+4b﹣2ab，
∵|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝2，b＝3，
∴原式＝4×2+4×3﹣2×2×3＝8+12﹣12＝8．
3 1
（2）∵A= nx2﹣2x﹣1，B＝2x2− mx+4，
2 3
3 1
∴2A﹣3B＝2（ nx2﹣2x﹣1）﹣3（2x2− mx+4）
2 3
＝3nx2﹣4x﹣2﹣6x2+mx﹣12
＝（3n﹣6）x2+（m﹣4）x﹣14，
∵2A﹣3B的值与x的取值无关，
∴3n﹣6＝0，m﹣4＝0，
∴n＝2，m＝4，∴（m2﹣3mn+2n2）﹣（2m2+mn﹣4n2）
＝m2﹣3mn+2n2﹣2m2﹣mn+4n2
＝﹣m2﹣4mn+6n2
＝﹣42﹣4×4×2+6×22
＝﹣16﹣32+24
＝﹣24．
1．（2021秋•杭州期末）图中的长方形ABCD由1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形组成，若
1号正方形的边长为a，3号正方形的边长为b，则长方形ABCD的周长为（ ）
A．16a B．8b C．4a+6b D．8a+4b
【思路点拨】
通过分析1号、2号、3号、4号四个正方形的边长和5号长方形的长，求得AB和BC的长，从而利用长方
形的周长公式列式计算．
【解题过程】
解：∵1号正方形的边长为a，3号正方形的边长为b，
∴2号正方形的边长为b﹣a，4号正方形的边长为a+b，
∴5号长方形的长为a+a+b＝2a+b，
∴AB＝b+b﹣a＝2b﹣a，BC＝b﹣a+2a+b＝a+2b，
∴长方形ABCD的周长为：
2（AB+BC）＝2[（2b﹣a）+（a+2b）]
＝2（2b﹣a+a+2b）
＝2×4b
＝8b，
故选：B．2．（2021秋•庐阳区期末）三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别放置于相同的长方形中，
它们既不重叠也无空隙，记图1阴影部分周长之和为m，图2阴影部分周长为n，要求m与n的差，只需知
道一个图形的周长，这个图形是（ ）
A．整个长方形 B．图①正方形 C．图②正方形 D．图③正方形
【思路点拨】
设正方形①的边长为a、正方形②的边长为b、正方形③的边长为c，分别表示出m、n的值，就可计算出
m﹣n的值为4c，从而可得只需知道正方形③的周长即可．
【解题过程】
解：设正方形①的边长为a、正方形②的边长为b、正方形③的边长为c，可得
m＝2[c+（a﹣c）]+2[b+（a+c﹣b）]
＝2a+2（a+c）
＝2a+2a+2c
＝4a+2c，
n＝2[（a+b﹣c）+（a+c﹣b）]
＝2（a+b﹣c+a+c﹣b）
＝2×2a
＝4a，
∴m﹣n
＝4a+2c﹣4a
＝2c，
故选：D．
3．（2021秋•吴兴区期末）如图1所示，在长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形．现
将长方形EFGH放置于大长方形ABCD内，且与四个小长方形有重叠（重叠部分均为长方形），如图2所
示．已知AB＝10，BC＝8，四个重叠部分的周长之和为28，则长方形EFGH的周长为（ ）A．20 B．24 C．26 D．28
【思路点拨】
如图，由AB＝10，BC＝8，得AB+BC+CD+DA＝2（AB+BC）＝36，而长方形ABCD的内部放置了四个周
长均为 12 的小长方形，故 AN+AO＝BM+BL＝CK+CJ＝DI+PD＝6，可得 MN+LK+IJ+OP＝12，即
XW+UV+ST+QR＝12，又四个重叠部分的周长之和为28，可得EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF＝14，即
可求出EF+FG+HG+EH＝26，即长方形EFGH的周长为26．
【解题过程】
解：如图：
∵AB＝10，BC＝8，
∴AB+BC+CD+DA＝2（AB+BC）＝36，
∵长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形，
1
∴AN+AO＝BM+BL＝CK+CJ＝DI+PD= ×12＝6，
2
∴（AB+BC+CD+DA）﹣（AN+AO）﹣（BM+BL）﹣（CK+CJ）﹣（DI+PD）＝36﹣6﹣6﹣6﹣6＝12，即
MN+LK+IJ+OP＝12，
∴XW+UV+ST+QR＝12，
∵四个重叠部分的周长之和为28，
1
∴EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF= ×28＝14，
2∴（EX+EQ+RH+HS+TG+GU+FV+WF）+（XW+UV+ST+QR）＝14+12＝26，
∴EF+FG+HG+EH＝26，即长方形EFGH的周长为26，
故选：C．
4．（2022•重庆）对多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为
“加算操作”，例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣
n，…，
给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路点拨】
根据括号前是“+”，添括号后，各项的符号都不改变判断①；根据相反数判断②；通过例举判断③．
【解题过程】
解：①如（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，（x﹣y﹣z）﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故①符合题意；
②x﹣y﹣z﹣m﹣n的相反数为﹣x+y+z+m+n，不论怎么加括号都得不到这个代数式，故②符合题意；
③第1种：结果与原多项式相等；
第2种：x﹣（y﹣z）﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；
第3种：x﹣（y﹣z）﹣（m﹣n）＝x﹣y+z﹣m+n；
第4种：x﹣（y﹣z﹣m）﹣n＝x﹣y+z+m﹣n；
第5种：x﹣（y﹣z﹣m﹣n）＝x﹣y+z+m+n；
第6种：x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；
第7种：x﹣y﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n；
第8种：x﹣y﹣z﹣（m﹣n）＝x﹣y﹣z﹣m+n；故③符合题意；
正确的个数为3，
故选：D．
5．（2022春•九龙坡区校级期末）有依次排列的3个整式：x，x+7，x﹣2，对任意相邻的两个整式，都用
右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：x，7，x+7，﹣9，x
﹣2，则称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类推．通过实际
操作，得出以下结论：①整式串2为：x，7﹣x，7，x，x+7，﹣x﹣16，﹣9，x+7，x﹣2；
②整式串3共17个整式；
③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；
④整式串2021的所有整式的和为3x﹣4037；
上述四个结论正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
根据整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则进行计算，从而作出判断．
【解题过程】
解：∵第一次操作后的整式串为：x，7，x+7，﹣9，x﹣2，共5个整式，
第一次操作后的整式串的和为：x+7+x+7+（﹣9）+x﹣2＝3x+3，
∴第二次操作后的整式串为x，7﹣x，7，x，x+7，﹣16﹣x，﹣9，x+7，x﹣2，共9个整式，故①的结论正
确，符合题意；
第二次操作后所有整式的和为：x+7﹣x+7+x+x+7+（﹣16﹣x）+（﹣9）+x+7+x﹣2＝3x+1＝3x+3﹣2＝3x+3
﹣2×1，
第三次操作后整式串为 x，7﹣2x，7﹣x，x，7，x﹣7，x，7，x+7，﹣23﹣2x，﹣16﹣x，7+x，﹣9，
x+16，x+7，﹣9，x﹣2，共17个整式，故②的结论正确，符合题意；
第三次操作后整式串的和为：x+7﹣2x+7﹣x+x+7+x﹣7+x+7+x+7+（﹣23﹣2x）+（﹣16﹣x）+7+x+（﹣
9）+x+16+x+7+（﹣9）+x﹣2＝3x﹣1＝3x+3﹣2﹣2＝3x+3﹣2×2；
故第三次操作后的整式串的和与第二次操作后的整式和的差为：3x﹣1﹣（3x+1）＝﹣2，
即整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2，故③结论正确，符合题意；
第n次操作后所有整式的积为3x+3﹣2（n﹣1）＝3x﹣2n+5，
∴第2021次操作后，所有的整式的和为3x﹣2×（2021﹣1）+5＝3x﹣4037，
故④的说法正确，不符合题意；
正确的说法有①②③④，共4个．
故选：D．
6．（2021秋•晋州市期末）已知 A＝3a+b，B比A小a﹣2b，C比A大2a+b，则B＝ 2 a + 3 b ，C＝
5 a +2 b ．
【思路点拨】
根据题意列出算式，然后根据整式的加减运算法则即可求出答案．
【解题过程】解：由题意可知：B＝A﹣（a﹣2b），C＝A+（2a+b），
∴B＝（3a+b）﹣（a﹣2b）
＝3a+b﹣a+2b
＝2a+3b，
C＝（3a+b）+（2a+b）
＝3a+b+2a+b
＝5a+2b，
故答案为：2a+3b，5a+2b．
7．（2021秋•侯马市期末）定义：若a+b＝n，则称a与b是关于数n的“平衡数”．比如3与﹣4是关于
﹣1的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有a＝6x2﹣8kx+12与b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k为常
数）始终是数n的“平衡数”，则它们是关于 1 1 的“平衡数”．
【思路点拨】
利用“平衡数”的定义判断即可．
【解题过程】
解：∵a＝6x2﹣8kx+12与b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k为常数）始终是数n的“平衡数”，
∴a+b＝6x2﹣8kx+12﹣2（3x2﹣2x+k）＝6x2﹣8kx+12﹣6x2+4x﹣2k＝（4﹣8k）x+12﹣2k＝n，即4﹣8k＝0，
1
解得：k= ，
2
1
即n＝12﹣2× =11．
2
故答案为：11．
m n m+n
8．（2021秋•宽城县期末）一般情况下 + = 不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝n＝0
2 3 2+3
m n m+n
时，我们称使得 + = 成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为（m，n）．
2 3 2+3
4
（1）若（m，1）是“相伴数对”，则m＝ − ；
9
15 1
（2）（m，n）是“相伴数对”，则代数式 m﹣[n+ （6﹣12n﹣15m）]的值为 ﹣ 3 ．
4 2
【思路点拨】
（1）利用新定义“相伴数对”列出算式，计算即可求出m的值；
（2）利用新定义“相伴数对”列出关系式，原式去括号合并后代入计算即可求出值．【解题过程】
m 1 m+1
解：（1）根据题意得： + = ，
2 3 5
去分母得：15m+10＝6m+6，
移项合并得：9m＝﹣4，
4
解得：m=− ；
9
m n m+n 3m+2n m+n
（2）由题意得： + = ，即 = ，
2 3 5 6 5
整理得：15m+10n＝6m+6n，即9m+4n＝0，
15 15 45 5
则原式= m﹣n﹣3+6n + m = m+5n﹣3 = （9m+4n）﹣3＝﹣3，
4 2 4 4
4
故答案为：（1）− ；（2）﹣3
9
5 3 1
9．（2022•闵行区校级开学）已知 （a﹣5）4+ | b﹣1|＝0，化简代数式a3﹣{a3﹣[7a2b+4ab2﹣（5ab2﹣
2 4 2
2b3+5ba2）]}并求值．
【思路点拨】
利用非负数的性质求出a与b的值，原式去括号合并即可代入计算即可求出值．
【解题过程】
5 3 1
解：∵ （a﹣5）4+ | b﹣1|＝0
2 4 2
1
∴a﹣5＝0， b＝1，
2
解得：a＝5，b＝2，
原式＝a3﹣a3+7a2b+4ab2﹣5ab2+2b3﹣5a2b
＝2a2b﹣ab2+2b3，
当a＝5，b＝2时，
原式＝2×52×2﹣5×22+2×23
＝100﹣20+16
＝96．
10．（2021秋•禹州市期末）某同学做一道题，已知两个多项式A、B，求A﹣2B的值．他误将“A﹣2B”看
成“A+2B”，经过正确计算得到的结果是x2+14x﹣6．已知A＝﹣2x2+5x﹣1．（1）请你帮助这位同学求出正确的结果；
（2）若x是最大的负整数，求A﹣2B的值．
【思路点拨】
（1）根据题意2B＝x2+14x﹣6﹣A，然后进行计算求出2B，最后求出A﹣2B，即可解答；
（2）由题意可知x＝﹣1，然后代入（1）的结论进行计算即可解答．
【解题过程】
解：（1）由题意得：
2B＝x2+14x﹣6﹣（﹣2x2+5x﹣1）
＝x2+14x﹣6+2x2﹣5x+1
＝3x2+9x﹣5，
所以，A﹣2B＝﹣2x2+5x﹣1﹣（3x2+9x﹣5）
＝﹣2x2+5x﹣1﹣3x2﹣9x+5
＝﹣5x2﹣4x+4；
（2）由x是最大的负整数，可知x＝﹣1，
所以，A﹣2B＝﹣5×（﹣1）2﹣4×（﹣1）+4
＝﹣5+4+4
＝3．
11．（2021秋•濮阳期末）李老师写出了一个式子（ax2+bx+2）﹣（5x2+3x），其中a、b为常数，且表示
系数，然后让同学赋予a、b不同的数值进行计算．
（1）甲同学给出了a＝5，b＝﹣3，请按照甲同学给出的数值化简原式；
（2）乙同学给出了一组数据，最后计算的结果为2x2﹣4x+2，求乙同学给出的a、b的值；
（3）丙同学给出了一组数据，计算的最后结果与x的取值无关，请求出丙同学的计算结果．
【思路点拨】
（1）把相应的值代入运算即可；
（2）先把原整式进行整理，再结合其结果进行分析即可；
（3）结果与x的取值无关，则相应的系数为0，据此进行作答即可．
【解题过程】
解：（1）由题意得：
（5x2﹣3x+2）﹣（5x2+3x）
＝5x2﹣3x+2﹣5x2﹣3x
＝﹣6x+2；（2）（ax2+bx+2）﹣（5x2+3x）
＝ax2+bx+2﹣5x2﹣3x
＝（a﹣5）x2+（b﹣3）x+2，
∵其结果为2x2﹣4x+2，
∴a﹣5＝2，b﹣3＝﹣4，
解得：a＝7，b＝﹣1；
（3）（ax2+bx+2）﹣（5x2+3x）
＝ax2+bx+2﹣5x2﹣3x
＝（a﹣5）x2+（b﹣3）x+2，
∵结果与x的取值无关，
∴原式＝2．
12．（2021秋•巫溪县期末）已知代数式A＝2m2+3my+2y﹣1，B＝m2﹣my．
（1）若（m﹣1）2+|y+2|＝0，求3A﹣2（A+B）的值；
（2）若3A﹣2（A+B）的值与y的取值无关，求m的值．
【思路点拨】
（1）根据（m﹣1）2+|y+2|＝0，求出 m、y 的值，把 A＝2m2+3my+2y﹣1，B＝m2﹣my，代入 3A﹣2
（A+B），先去括号，再合并同类项化为最简形式，把m＝1，y＝﹣2，代入化简后的整式，计算即可；
（2）在（1）的基础上，根据此式的值与y的取值无关，得一次项的系数为0，列式计算即可．
【解题过程】
解：（1）∵（m﹣1）2+|y+2|＝0，
∴m﹣1＝0，y+2＝0，
∴m＝1，y＝﹣2，
∵A＝2m2+3my+2y﹣1，B＝m2﹣my，
∴3A﹣2（A+B）＝3（2m2+3my+2y﹣1）﹣2（2m2+3my+2y﹣1+m2﹣my）
＝6m2+9my+6y﹣3﹣4m2﹣6my﹣4y+2﹣2m2+2my
＝5my+2y﹣1，
当m＝1，y＝﹣2时，原式＝5×1×（﹣2）+2×（﹣2）﹣1＝﹣15；
（2）∵3A﹣2（A+B）
＝5my+2y﹣1
＝（5m+2）y﹣1，
又∵此式的值与y的取值无关，∴5m+2＝0，
2
∴m=− ．
5
13．（2021秋•宜城市期末）阅读理解：
如果式子 5x+3y＝﹣5，求式子 2（x+y）+4（2x+y）的值．小花同学提出了一种解法如下：原式＝
2x+2y+8x+4y＝10x+6y＝2（5x+3y），
把式子5x+3y＝﹣5整体代入，得到原式＝2（5x+3y）＝2×（﹣5）＝﹣10．
仿照小花同学的解题方法，完成下面的填空：
（1）如果﹣x2＝x，则x2+x+1＝ 1 ；
（2）已知x﹣y＝﹣3，求3（x﹣y）﹣5x+5y+5的值；
（3）已知x2+2xy＝﹣2，xy﹣y2＝﹣4，求4x2+7xy+y2的值．
【思路点拨】
（1）将已知等式进行移项变形，然后利用整体思想代入求值；
（2）将x﹣y看作一个整体，将原式合并同类项进行化简，然后利用整体思想代入求值；
（3）将原式进行拆项变形，然后利用整体思想代入求值．
【解题过程】
解：（1）∵﹣x2＝x，
∴x2+x＝0，
∴x2+x+1＝0+1＝1，
故答案为：1；
（2）3（x﹣y）﹣5x+5y+5
＝3（x﹣y）﹣5（x﹣y）+5
＝﹣2（x﹣y）+5，
∵x﹣y＝﹣3，
∴原式＝﹣2×（﹣3）+5＝6+5＝11；
（3）4x2+7xy+y2
＝4x2+8xy﹣xy+y2
＝4（x2+2xy）﹣（xy﹣y2）
∵x2+2xy＝﹣2，xy﹣y2＝﹣4，
∴原式＝4×（﹣2）﹣（﹣4）＝﹣8+4＝﹣4．
14．（2021秋•沙坪坝区期末）关于x的两个多项式A、B，若A、B满足3A+2B＝5x，则称A与B是关于x的优美多项式．
3
如：A＝x2+x+2，B=− x2+x﹣3，
2
3
因为3A+2B＝3（x2+x+2）+2（− x2+x﹣3）
2
＝3x2+3x+6﹣3x2+2x﹣6
＝5x．
3
所以多项式x2+x+2与− x2+x﹣3是关于x的优美多项式．
2
根据上述材料解决下列问题：
（1）若A＝2﹣x，B＝4x﹣3，判断A与B是否是关于x的优美多项式，并说明理由；
3
（2）已知B＝﹣3x2+x+ m2（m是正整数），A与B是关于x的优美多项式，若当x＝m时，多项式A﹣B
2
的值是小于100的整数，求满足条件的所有m的值之和．
【思路点拨】
（1）根据已知计算出3A+2B的值即可判断；
（2）根据已知可得A＝2x2+x﹣m2，再利用当x＝m时，多项式A﹣B的值是小于100的整数，确定出m的
值即可解答．
【解题过程】
解：（1）A与B是关于x的优美多项式，
理由：∵A＝2﹣x，B＝4x﹣3，
∴3A+2B＝3（2﹣x）+2（4x﹣3）
＝6﹣3x+8x﹣6
＝5x，
∴A与B是关于x的优美多项式；
（2）∵A与B是关于x的优美多项式，
∴3A+2B＝5x，
1
∴A= （5x﹣2B），
3
3
∵B＝﹣3x2+x+ m2（m是正整数），
2
1 3
∴A= [5x﹣2（﹣3x2+x+ m2）]
3 21
= （6x2+3x﹣3m2）
3
＝2x2+x﹣m2，
∵当x＝m时，多项式A﹣B的值是小于100的整数，
3
∴A﹣B＝2x2+x﹣m2﹣（﹣3x2+x+ m2）
2
3
＝2x2+x﹣m2+3x2﹣x− m2
2
5
＝5x2− m2
2
5
＝5m2− m2
2
5
= m2，
2
∴m＝2，4，6，
∴满足条件的所有m的值之和为：12．
15．（2021秋•原阳县期末）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，数a是多项式
1
﹣2x2﹣3x+1的一次项系数，数b是最大的负整数，数c是单项式− x2y的次数．
2
（1）a＝ ﹣ 3 ，b＝ ﹣ 1 ，c＝ 3 ．
（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度
向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，t秒过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点
B与点C之间的距离表示为BC，则AB＝ 3 t + 2 ，BC＝ 2 t + 4 ．（用含t的代数式表示）
（3）试问：3BC﹣2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值．
【思路点拨】
（1）根据多项式与单项式的概念、负整数的定义即可求出答案．
（2）根据A、B、C三点运动的方向即可求出答案．
（3）将（2）问中的AB与BC的表达式代入即可判断．
【解题过程】
1
解：（1）﹣2x2﹣3x+1 的一次项系数是﹣3，最大的负整数是﹣1，单项式− x2y的次数是3，
2∴a＝﹣3，b＝﹣1，c＝3，
故答案为：﹣3，﹣1，3；
（2）点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，
∴运动后对应的点为﹣3﹣2t，
点B以每秒1个单位长度向右运动，
∴运动后对应的点为﹣1+t，
点C以每秒3个单位长度的速度向右运动，
∴运动后对应的点为3+3t；
∴t秒钟后，
AB＝|﹣1+t﹣（﹣3﹣2t）|＝3t+2；
BC＝|3+3t﹣（﹣1+t）|＝2t+4．
故答案为：3t+2；2t+4；
（3）3BC﹣2AB
＝3（2t+4）﹣2（3t+2）
＝6t+12﹣6t﹣4
＝8．
计算3BC﹣2AB的结果为8，故值不变．
16．（2021秋•河口县期末）一个正两位数的个位数字是a，十位数字比个位数字大2．
（1）用含a的代数式表示这个两位数；
（2）把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新的两位数，试说明新数与原数的
和能被22整除．
【思路点拨】
（1）先表示出十位数字，再根据两位数的表示方法列式即可；
（2）先表示出新的两位数，再求出新数与原数的和即可．
【解题过程】
解：（1）∵个位数字是a，十位数字比个位数字大2，
∴十位数字是a+2，
∴这个两位数为10（a+2）+a＝11a+20；
（2）新的两位数为10a+a+2＝11a+2，
∵（11a+2）+（11a+20）＝22a+22＝22（a+1），
又a+1为整数，∴新数与原数的和能被22整除．
17．（2022春•潼南区期末）对于一个四位自然数N，若N满足：它的千位数字、百位数字、十位数字之
和与个位数字的差等于10，则称N是“十月数”．
例如N﹣9458，
∵9+4+5﹣8＝10，
∴9458是“十月数”；
又如N＝3764，
∵3+7+6﹣4≠10，
∴3764不是“十月数”．
（1）判断2293，8156是否是“十月数”？请说明理由；
（2）若“十月数”n＝1000a+100b+10c+303（2≤a≤9，1≤b≤6，2≤c≤5且a，b，c均为整数），p是n截掉
其十位数字和个位数字后的一个两位数，q是n截掉其千位数字和百位数字后的一个两位数，若p与q的和
能被5整除，求出满足条件的所有数n．
【思路点拨】
（1）根据“十月数”的定义进行判断即可；
（2）由题意可求得b＝4，从而可确定a+c＝6，即可确定符合条件的n值．
【解题过程】
解：（1）∵2+2+9﹣3＝10，
∴2293是“十月数”，
∵8+1+5﹣6＝8，
∴8156不是“十月数”；
（2）由题意得：p＝10a+b+3，q＝10c+3，
∴p+q＝10（a+c）+b+6，
∵p与q的和能被5整除，1≤b≤6
∴b+6＝10，
∴b＝4，
∵“十月数”n＝1000a+100b+10c+303，
∴a+b+3+c﹣3＝10，
则a+b+c＝10，
∴a+c＝6，
∵2≤a≤9，1≤b≤6，2≤c≤5且a，b，c均为整数，∴当a＝2时，c＝4，则n＝2743；
当a＝3时，c＝3，则n＝3733；
当a＝4时，c＝2，则n＝4723．
18．（2021秋•巴南区期末）阅读下面材料，解决后面的问题．
一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果a+b＝c+d，那么我们把这个
四位正整数叫做“对头数”．例如四位正整数2947，因为2+9＝4+7，所以2947叫做“对头数”．
（1）判断8127和3456是不是“对头数”，并说明理由；
（2）已知一个四位正整数的个位上的数字是5，百位上的数字是3，若这个正整数是“对头数”，且这个
正整数能被7整除，求这个正整数．
【思路点拨】
（1）利用题中的新定义“对头数”判断即可；
（2）设这个正整数千位上数字为b，十位数字为a，利用7的倍数关系及“对头数”的定义，分类讨论即
可得出答案．
【解题过程】
解：（1）因为8+1＝2+7，所以8127是“对头数”；
因为3+4≠5+6，所以3456不是“对头数”；
（2）设这个正整数千位上数字为b，十位数字为a，0≤a≤9，0≤b≤9，
根据这个正整数是“对头数”，得：a+5＝b+3，即b＝a+2，
∴这个四位数为1000b+300+10a+5
＝1000（a+2）+300+10a+5
＝1010a+2305，
∵1010＝7×144……2，2305＝7×329……2，
∴1010a+2305
＝（7×144+2）a+7×329+2
＝7（144a+329）+2a+2，
∵这个四位数能被7整除，即这个四位数是7的倍数，
∴2a+2必须是7的倍数，
当2a+2＝0，即a＝﹣1时，不符合题意；
当2a+2＝7，即a＝2.5，不符合题意；
当2a+2＝7×2，即a＝6时，符合题意，此时b＝8，即四位数为8365；
当2a+2＝7×3，即a＝9.5，不符合题意；综上所述，这个正整数为8365．
19．（2022春•鼓楼区校级期中）材料一：如果一个三位正整数满足百位数字小于十位数字，且百位数字
与十位数字之和等于个位数字，那么称这个数为“上升数”．
例如：m＝123，满足1＜2，且1+2＝3，所以123是“上升数”；n＝247，满足2＜4，但2+4≠7，所以247
不是“上升数”．
材料二：对于一个“上升数”m＝100a+10b+c（1≤a，b，c≤9且a，b，c为整数）．
m−m
交换其百位和十位得到m ＝100b+10a+c，规定G(m)= 1．
1
180
123−213 1
例如：m＝123为上升数，m =213，G(m)= =− ．
1 180 2
（1）判断358和237是不是“上升数”，并说明理由；
（2）若s，t都是“上升数”，其中s＝100x+10y+8，t＝200+10a+b（1≤x，y，a，b≤9且x，y，a，b都为
整数），若G（s）+G（t）＝﹣2，求s．
【思路点拨】
（1）根据“上升数”的定义判断即可．
（2）先根据s，t都是“上升数”，其中s＝100x+10y+8，t＝200+10a+b（1≤x，y，a，b≤9，且x，y，a，b
都为整数），得到x＜y，2＜a且x+y＝8，2+a＝b，再根据G（s）+G（t）＝﹣2，得出a＝2x﹣2，a为偶
数，然后可判断只有a＝4时符合题意，再求出对应的x、y值即可求得s值．
【解题过程】
解：（1）358是“上升数”，237不是“上升数”，理由如下：
∵3＜5，3+5＝8，
∴358是“上升数”，
∵2＜3，但2+3≠7，
∴237不是“上升数”；
（2）∵s，t都是“上升数”，其中s＝100x+10y+8，t＝200+10a+b（1≤x，y，a，b≤9，且x，y，a，b都为
整数），
∴x＜y，2＜a且x+y＝8，2+a＝b，
(100x+10 y+8)−(100 y+10x+8) x−y
G（s）= = =x﹣4，
180 2
(200+10a+b)−(100a+20+b) 2−a
G（t）= = ，
180 22−a
∴x﹣4+ =−2，
2
即a＝2x﹣2，
∴2x为偶数，2为偶数，
∴a为偶数，
又a＞2，
{a=8 {a=6 {a=4
∴ x=5， x=4， x=3，
y=3 y=4 y=5
∵x＜y，
{a=4
∴ x=3，
y=5
∴当a＝4，x＝3，y＝5 时，s＝358，是“上升数”，符合合题意，
∴s＝358．
20．（2021秋•大丰区期末）【阅读理解】
课本第9页阅读部分曾对商品条形码进行了简单介绍，请你阅读下列内容回答问题：
商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．条形码是由13位数字组成，前12位数字表示“国家
代码、厂商代码和产品代码”相关信息，第13位数字为“校验码”．
其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性，它的编制是按照特定算法得来的，具体
算法如下（以图①为例）：
步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和p：即p＝9+5+4+2+4+2＝26；
步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和q：即q＝6+0+3+9+1+6＝25；
步骤3：计算3p与q的和m，即m＝3×26+25＝103；
步骤4：取大于或等于m且为10的整数倍的最小数n，即n＝110；
步骤5：计算n与m的差就是校验码X，即X＝110﹣103＝7．
【知识运用】
请回答下列问题：（1）若某数学辅导资料的条形码为582917455013Y，则校验码Y的值是 6 ．
（2）如图②，某条形码中的一位数字被墨水污染了，请求出这个数字是多少并写出过程．
（3）如图③，某条形码中被污染的两个数字的和为13，请直接写出该商品完整的条形码．
【思路点拨】
（1）根据步骤1到步骤5进行计算即可；
（2）设这个数字是a，根据步骤1到步骤5，求出n与a的关系式，再根据a的取值，n为10的整数倍进
行计算即可；
（3）设被污染的两个数字中前一个数为 b，则后一个数为13﹣b，求出n与b的关系式，再根据b的取值，
n为10的整数倍进行计算即可．
【解题过程】
解：（1）步骤1：p＝8+9+7+5+0+3＝32，
步骤2：q＝5+2+1+4+5+1＝18，
步骤3：m＝3p+q＝3×32+18＝114，
步骤4：n≥m且为10的整数倍的最小数，即n＝120；
步骤5：Y＝120﹣114＝6，
故答案为：6；
（2）设这个数字是a，
步骤1：p＝7+0+2+a+1+6＝16+a，
步骤2：q＝9+1+4+7+3+2＝26，
步骤3：m＝3p+q＝3（16+a）+26＝3a+74，
步骤4：n≥3a+74且为10的整数倍的最小数，
步骤5：n﹣m＝n﹣3a﹣74＝2，
∴n＝3a+76，
∵0≤a≤9且a整数，
∴只有当a＝8时，n＝100，为10的整数倍，
∴这个数字是：8；
（3）设被污染的两个数字中前一个数为b，则后一个数为13﹣b，
步骤1：p＝6+b+8+2+3+5＝b+24，
步骤2：q＝3+2+1+3+（13﹣b）+1＝23﹣b，
步骤3：m＝3p+q＝3（b+24）+23﹣b＝2b+95，
步骤4：n≥2b+95且为10的整数倍的最小数，步骤5：n﹣m＝n﹣2b﹣95＝7，
∴n＝2b+102，
∵0≤b≤9且b整数，
∴当b＝4时，n＝110，为10的整数倍，
当b＝9时，n＝120，为10的整数倍，
综上所述：该商品完整的条形码为3624183293157或3629183243157．
