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2.2 整式的加减
1.理解同类项的概念,能辨别同类项
2.理解合并同类项的概念,掌握合并同类项法则，并会熟练地合并同类项
3.借助乘法分配律理解去括号法则,能准确进行去括号
4.掌握整式加减的运算法则,能熟练进行整式的加减运算化简求值
知识点一 同类项
所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项.几个常数项也
是同类项
1.判断同类项要理解两个“相同”,两个“无关”.
两个“相同”是指:①所含字母相同;②相同字母的指数分别相同，这两个条件缺一不
可.两个“无关”是指:①与系数无关;②与字母的排列顺序也无关.
2.单独的一项不能说是同类项，至少应对两项而言。
即学即练1 下列叙述，正确的是（ ）
A．|a|=|-2|，则a=-2 B．-2a2b与5ba2是同类项
3x2y
C． 是三次单项式，它的系数是3 D．23x2y+x+1是六次三项式
π
【答案】B
【分析】根据绝对值的定义、同类项的定义、单项式的次数和系数的定义、多项式的次数
和项的定义判断即可．
【详解】A、|a|=|-2|=2，则a=±2，说法错误，该选项不符合题意；
B、说法正确，该选项符合题意；
3x2y 3
C、 的系数为 ，说法错误，该选项不符合题意；
π π
D、23x2y+x+1是三次三项式，说法错误，该选项不符合题意．故选：B．
【点睛】本题主要考查绝对值和整式，牢记绝对值的定义、同类项的定义、单项式的次数
和系数的定义、多项式的次数和项的定义是解题的关键．
即学即练2 若3x4y2n和－x2my6是同类项，则m＋n＝ ．
【答案】5
【分析】根据同类项是字母相同，且相同的字母指数也相同，可得m、n的值，代入代数式
计算即可．
【详解】解：∵3x4y2n和－x2my6是同类项，
∴2m=4，2n=6，
∴m=2，n=3,
∴m+n=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了同类项，解一元一次方程，同类项是字母相同，且相同的字母指数也
相同．
如果两个单项式是同类项，那么常依据两个单项式中相同字母的指数分别相同构造等
式.
知识点二 合并同类项
1.定义
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项
一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式
2.合并同类项的法则
把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变
3.步骤
(1)找:准确找出同类项,这实际上是把给出的多项式进行分类通常在同类项的下
面作上相同的标记
(2)移:运用加法交换律和结合律,交换各项的顺序,将同类项写在一起,交换时注
意连同各项的符号一起交换(3)合并:利用法则“字和字母的指数不变系数相加”合并同类项
即学即练 合并下列多项式中的同类项：
（1）3x2+4x﹣2x2﹣x+x2﹣3x﹣1；
（2）﹣a2b+2a2b；
（3）a3﹣a2b+ab2+a2b﹣2ab2+b3；
1
（4）2a2b+3a2b﹣ a2b
2
9
【答案】（1）2x2﹣1；（2）a2b；（3）aa3﹣ab2+b3；（4） a2b．
2
【详解】分析：根据合并同类项的法则求解．
详解：（1）3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1=（3-2+1）x2+（4-1-3）x-1=2x2-1；
（2）-a2b+2a2b=（-1+2）a2b=a2b；
（3）a3-a2b+ab2+a2b-2ab2+b3=a3+（-1+1）a2b+（1-2）ab2+b3=a3-ab2+b3；
1 1 9
（4）2a2b+3a2b- a2b=（2+3- ）a2b= a2b．
2 2 2
点睛：本题主要考查合并同类项的法则．即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．
知识点三 去括号法则
括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号,括号里的各项不变号.
例如a+(b+c-d)=a+b+c-d.
括号前面是“-”号去掉“－”号和括号，括号里的各项都变号.例如
a- (b+c-d)=a-b-c+d.
即学即练 （2022秋·河南周口·七年级校考期中）下列去括号正确的是（ ）
A．-(2a+5)=-2a+5 B．-2(x-3)=-2x-6
(1 ) 5 ( 1)
C．-2 a-1 =- a+2 D．-2 x- =-2x+1
2 2 2
【答案】D
【分析】根据去括号法则：如果括号前面是正号的话，去括号的时候括号直接去掉，括号
内各项不变号，如果括号前面是负号，去括号的时候，括号里面各项都要改变符号，根据
去括号的法则逐一分析即可．
【详解】解：-(2a+5)=-2a-5，故A不符合题意；-2(x-3)=-2x+6，故B不符合题意；
(1 )
-2 a-1 =-a+2，故C不符合题意；
2
( 1)
-2 x- =-2x+1，故D符合题意；
2
故选D
【点睛】本题考查的是去括号，掌握去括号的法则并准确的应用是解本题的关键．
知识点四 添括号法则
所添括号前面是“+”号时，括到括号里的各项都不改变符号;
所添括号前面是“－”号时,括到括号里的各项都改变符号.
添括号是与去括号互逆的过程
即学即练 下列各等式成立的是（ ）
A．a+b-c=a-(b+c) B．a-b+c=a+(b+c)
C．a-b+c=a-(b+c) D．a-b+c=a-(b-c)
【答案】D
【分析】添括号法则：括号前面添“+”，括号内各项都不变号，括号前面添“-”，括号
内各项都变号；据此逐一判断即可求解．
【详解】解：A.a+b-c=a-(-b+c)，故此选项不合题意；
B.a-b+c=a+(-b+c)，故此选项不合题意；
C.a-b+c=a-(b-c)，故此选项不合题意；
D.a-b+c=a-(b-c)，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了添括号法则，掌握法则是解题的关键．
知识点五 整式的加减
整式的加减就是单项式、多项式的加减，可利用去括号法则和合并同类项法则来完成
整式的加减运算
注意：①整式的加减的最后结果结果要最简,即结果中不能含有同类项,不再出现括号;
②一般按照某一字母的降幂或升幂排列;③含字母项的系数不能出现带分数，带分数要转化为假分数
即学即练1 化简：8ab2-5 ( ab+ 4 ab2) +(5ab-2a2)．
5
【答案】4ab2-2a2
【分析】先去括号，再合并同类项即可得到答案．
【详解】解：8ab2-5 ( ab+ 4 ab2) +(5ab-2a2)
5
=8ab2-5ab-4ab2+5ab-2a2
=4ab2-2a2．
【点睛】本题主要考查了整式的加减中的去括号、合并同类项，熟练掌握整式的加减中的
去括号、合并同类项的运算法则是解题的关键．
即学即练2 已知：A=2a2+3ab-2a-1，B=-a2+ab-1
(1)求4A-(3A-2B)的值；
(2)若A+2B的值与a的取值无关，求b的值．
【答案】(1)5ab-2a-3
2
(2)
5
【分析】（1）把A=2a2+3ab-2a-1，B=-a2+ab-1代入4A-(3A-2B)，根据整式
加减运算法则进行计算即可；
（2）根据A+2B的值与a的取值无关，得出(5b-2)a-3与a的取值无关，即可得出
5b-2=0，求出b的值即可．
【详解】（1）解：4A-(3A-2B)=4A-3A+2B=A+2B，
∵A=2a2+3ab-2a-1，B=-a2+ab-1，
∴原式=A+2B
=2a2+3ab-2a-1+2(-a2+ab-1)
=5ab-2a-3；
（2）解：∵A+2B的值与a的取值无关，
∴5ab-2a-3与a的取值无关，
即：(5b-2)a-3与a的取值无关，∴5b-2=0，
2
解得：b= ．
5
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号和合并同类项法
则，准确进行计算．
即学即练3 整式3x2-2x+1减去-x2+x-3的差是 ．
【答案】4x2-3x+4
【分析】用括号将两个多项式括起来相减，然后再去括号，合并同类项，即可得到答案．
【详解】解：(3x2-2x+1)-(-x2+x-3)
=3x2-2x+1+x2-x+3
=4x2-3x+4
故答案为4x2-3x+4．
【点睛】本题考查整式的加减运算，关键是掌握去括号与合并同类项法则，需要注意用括
号将多项式括起来．
求整式的和或差的方法：
(1)每个整式一定要添加必要的括号;
(2)用加减号连接成整式加减的算式;
(3)去括号、合并同类项
题型一 已知字母的值，求代数式的值
例1（2023秋·河南鹤壁·七年级统考期末）|x+1|+(y-2023) 2=0，则xy的值为
．
【答案】-1
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性即可求得x，y的值，即可求解．【详解】解：∵|x+1|+(y-2023) 2=0，|x+1|≥0，(y-2023) 2≥0，
∴|x+1|=0，(y-2023) 2=0，
即x=-1，y=2023，
故xy=(-1) 2023=-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了绝对的非负性，偶次方的非负性，代数式求值，熟练掌握绝对值和偶
次方的非负性是解题的关键．
举一反三1．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）小明在做一道数学题：“化简：
(ax2+6x+8)-(6x+5x2+2)．”他根据此题拓展提出了下列问题：
(1)如果这个整式化简后是常数，求a的值；
(2)若a=1，x=2，求原式的值；
(3)若x=1，原式的值为4，求a的值．
【答案】(1)a=5
(2)-10
(3)a=3
【分析】（1）先对原式进行化简，根据化简后是常数可知关于x的项系数为0，据此求解
即可；
（2）将a=1，x=2代入化简后的式子，计算即可；
（3）将x=1，原式的值为4代入，可得关于a的方程，求解即可．
【详解】（1）解：(ax2+6x+8)-(6x+5x2+2)
=ax2+6x+8-6x-5x2-2
=(a-5)x2+6
∵整式化简后是常数，
∴a-5=0，
解得a=5．
（2）解：当a=1，x=2时，(a-5)x2+6=(1-5)×22+6
=(-4)×4+6
=-16+6
=-10．
（3）解：∵x=1，原式的值为4，
∴(a-5)×12+6=4，
解得a=3．
【点睛】本题考查整式的加减以及代数式求值，掌握整式加减的运算法则是解题的关键．
举一反三2（2023秋·四川乐山·七年级统考期末）已知A=2x2+3xy-2x，B=x2-xy+1．
(1)求2A-4B；
1
(2)若x=-3，y= ，求2A-4B的值．
2
【答案】(1)10xy-4x-4
(2)-7
【分析】（1）先表示出2A-4B，再根据整式的加减运算法则进行计算即可；
1
（2）将x=-3，y= 代入化简后的式子进行计算即可．
2
【详解】（1）解：2A-4B
=2(2x2+3xy-2x)-4(x2-xy+1)
=4x2+6xy-4x-4x2+4xy-4
=10xy-4x-4；
1
（2）解：把x=-3，y= 代入得：
2
1
原式=10×(-3)× -4×(-3)-4=-15+12-4=-7．
2
【点睛】本题主要考查了整式的加减，已知字母的值，求代数式的值，熟练掌握整式的加
减的运算法则，是解题的关键．题型二 已知式子的值，求代数式的值
例2（2023秋·广东深圳·七年级校考期中）如果关于x，y的单项式2axmy与5bx2m-3y的
次数相同．
(1)求m的值．
(2)若2axmy+5bx2m﹣3y=0且xy≠0，求(2a+5b) 2013+2m的值．
【答案】(1)m=3
(2)0
【分析】（1）利用同类项的概念得出m+1=2m-3+1，进而求解即可；
（2）利用单项式的和为0，得出其系数是互为相反数，进而得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，关于x，y的单项式2axmy与5bx2m-3y的次数相同，
可得m+1=2m-3+1，
解得m=3；
（2）∵2axmy+5bx2m﹣3y=0，且xy≠0，
∴2a+5b=0，
∴(2a+5b) 2013+2m=02013+2×3=0．
【点睛】本题考查了同类项与单项式的知识，解题的关键是熟练的掌握同类项的概念与单
项式的性质．
举一反三1（2023秋·云南红河·七年级统考期末）若|m2-5m-2|=1，则
-2m2+10m+2022的值为 ．
【答案】2020或2016/2016或2020
【分析】根据绝对值的性质可得m2-5m=3或m2-5m=1，然后分别代入，即可求解．
【详解】解：∵|m2-5m-2|=1，
∴m2-5m-2=1或m2-5m-2=-1，
∴m2-5m=3或m2-5m=1，
当m2-5m=3时，-2m2+10m+2022=-2(m2-5m)+2022=-2×3+2022=2016；
当m2-5m=1时，-2m2+10m+2022=-2(m2-5m)+2022=-2×1+2022=2020；
综上所述，-2m2+10m+2022的值为2020或2016．故答案为：2020或2016
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，解题的关键是利用整体代入．
举一反三2（2023春·浙江杭州·七年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期中）若
m-n=1，则(m-n) 2-2m+2n的值是（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．3
【答案】C
【分析】原式变形后，将m-n的值代入计算即可求出值．
【详解】解：∵m-n=1，
∴原式=(m-n) 2-2(m-n)=1-2=-1，
故选：C．
【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型三 同类项的判断
例3（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）请写出一个2a2b的同类项： ．
【答案】-a2b（答案不唯一）．
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的两个单项式是同
类项，即可求解．
【详解】解：依题意，2a2b的一个同类项可以是-a2b，
故答案为：-a2b（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．
1
举一反三1（2023秋·河南鹤壁·七年级统考期末）下列各式中，与 x2y是同类项的是
2
（ ）
1 1
A．2x2y B．2x2 C． x2y2 D． x y2
3 2
【答案】A
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同，即可解答．1
【详解】解：A、
x2y与2x2y是同类项，故A符合题意；
2
1
B、
x2y与2x2不是同类项，故B不符合题意；
2
1 1
C、
x2y与 x2y2
不是同类项，故C不符合题意；
2 3
1 1
D、 x2y与 x y2 不是同类项，故D不符合题意；
2 2
故选：A．
【点睛】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
举一反三2（2023秋·河北邯郸·七年级校考期中）下列整式中，不是同类项的是（ ）
1 1 1
A．m2n与-nm2 B．1与-2 C．3x2y和- yx2 D． a2b与 b2a
3 3 3
【答案】D
【分析】根据同类项的定义进行判断即可．
【详解】解：A．m2n与-nm2是同类项，故选项不符合题意；
B．1与-2是同类项，故选项不符合题意；
1
C．3x2y和- yx2 是同类项，故选项不符合题意；
3
1 1
D．
a2b与 b2a不是同类项，故选项符合题意．
3 3
故选：D．
【点睛】此题考查了同类项，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，熟
练掌握同类项的定义是解题的关键．
题型四 已知同类项求指数中字母或代数式的值
1
例4（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期中）如果单项式- xm+2y与2x4 yn+3的
2
和是单项式，那么(m+n) 2021的值为( )
A．22021 B．0 C．1 D．-1
【答案】B1 1
【分析】单项式- xm+2y与2x4 yn+3的和是单项式，得到单项式- xm+2y与2x4 yn+3是
2 2
同类项，得到m+2=4，n+3=1，从而得到m+n=0，代入求解即可．
1
【详解】解：∵单项式- xm+2y与2x4 yn+3的和是单项式，
2
1
∴单项式- xm+2y与2x4 yn+3是同类项，
2
∴m+2=4，n+3=1，
∴m=2,n=-2，
∴m+n=0，
∴(m+n) 2021=(2-2) 2021=0，
故选B．
【点睛】本题考查了同类项的定义即含有的字母相同且相同字母的指数相同，熟练掌握定
义是解题的关键．
举一反三1（2023秋·云南红河·七年级统考期末）若-4xay2与6x yb是同类项，则a+b=
（ ）
A．1 B．3 C．-1 D．5
【答案】B
【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得答案．
【详解】解：∵单项式-4xay2与6x yb是同类项，
∴a=1，b=2，
∴a+b=1+2=3．
故选：B
【点睛】本题考查了同类项，掌握同类项的定义是解答本题的关键．
1
举一反三2（2023春·广东广州·七年级校考期中）已知amb2与- abn 是同类项，则
5
m-n=（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．3
【答案】B
【分析】根据同类项的定义解答即可.
1
【详解】解：∵amb2与- abn 是同类项，
5∴m=1，n=2，
∴m-n=1-2=-1．
故选：B．
【点睛】本题考查了同类项，所含字母相同、并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，
熟知概念是关键.
题型五 合并同类项
例5（2023秋·云南红河·七年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A．3ab-2ab=ab B．6 y2-2y2=4
C．5a+a=5a2 D．m2n-3mn2=-2mn2
【答案】A
【分析】根据合并同类项运算法则逐个进行计算即可．
【详解】解：A、3ab-2ab=ab，故A正确，符合题意；
B、6 y2-2y2=4 y2，故B不正确，不符合题意；
C、5a+a=6a，故C不正确，不符合题意；
D、m2n和3mn2不是同类项，不能合并，故D不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是掌握字母和字母指数相同的单项式是
同类项；合并同类项，字母和字母指数不变，只把系数相加减．
举一反三1（2023秋·广西南宁·七年级统考期中）若关于x、y的多项式
2x2-3kxy+ y2+6xy-9中不含xy项，则k= ．
【答案】2
【分析】先合并同类项，令含xy的项的系数为零，列式计算即可．
【详解】解：2x2-3kxy+ y2+6xy-9
=2x2+ y2+(6-3k)xy-9
∵多项式2x2-3kxy+ y2+6xy-9中不含xy项，
∴6-3k=0，
解得k=2．
故答案为：2．【点睛】本题考查了整式的加减中与字母无的关问题，正确合并同类项，令无关无关项的
系数为零是解题的关键．
举一反三2（2023春·四川成都·七年级成都实外校考期末）已知3a-4b=-2，则代数式
a(9-b)+b(a-12)= ．
【答案】-6
【分析】先把代数式a(9-b)+b(a-12)进行化简得到3(3a-4b)，再把3a-4b=-2整体
代入即可．
【详解】解：a(9-b)+b(a-12)=9a-ab+ab-12b=9a-12b=3(3a-4b)，
将3a-4b=-2代入得到，原式=3×(-2)=-6．
【点睛】本题考查整体代入法和合并同类项法则，解题的关键是掌握合并同类项法则和整
体代入法．
题型六 去括号
例6（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期末）下列去括号正确的是（ ）
A．-(-a-b)=a-b B．-(-a-b)=a+b
C．-(-a-b)=-a-b D．-(-a-b)=-a+b
【答案】B
【分析】直接利用去括号法则分别分析得出答案．
【详解】解：A．-(-a-b)=a+b，故此选项不符合题意；
B．-(-a-b)=a+b，故此选项符合题意．
C．-(-a-b)=a+b，故此选项不符合题意；
D．-(-a-b)=a+b，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了去括号法则，解题关键是熟练掌握去括号法则：括号前是“+”号，
去掉括号和括号前的“+”号括号内各项符号不变；括号前是“-”号，去掉括号和括号前
的“-”号括号内各项符号都要要改变．
举一反三1（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）下列运算正确的是（ ）
A．x2-x=0 B．ab-2ba=-ab
C．2a+3b=6ab D．-(a-b)=a-b
【答案】B【分析】根据合并同类项运算法则和去括号法则逐项判断即可．
【详解】解：A、x2与-x不是同类项，不能合并，该选项错误，不符号题意；
B、ab-2ba=-ab，正确，符合题意；
C、2a和3b不是同类项，不能合并计算，该选项错误，不符合题意；
D、-(a-b)=a+b，该选项错误，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查合并同类项、去括号，熟练掌握运算法则是解答的关键．
举一反三2（2023春·河南周口·七年级统考期末）解方程5-2(1-2x)=2，去括号正确的
是（ ）
A．5-2-4x=2 B．5-2+4x=2 C．5-1-4x=2 D．5-2+2x=2
【答案】B
【分析】根据去括号法则即可得到答案．
【详解】解：∵5-2(1-2x)=2，
∴5-2-2×(-2x)=2，
得5-2+4x=2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查去括号，如果括号前的因数是正数，去括号后括号内各项不变，如
果是负数，去括号后括号内的各项改变符号，熟练掌握去括号的法则是解题的关键．
题型七 添括号
例7（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）不改变代数式5x-x2+xy- y的值，把二次项放
在前面带有“+”号的括号里，一次项放在前面带有“-”号的括号里，正确的是（ ）
A．+(x2+xy)-(5x- y) B．+(-x2+xy)-(y-5x)
C．+(-x2)-(y-5x-xy) D．+(-x2-xy)-(5x- y)
【答案】B
【分析】根据添括号法则逐项判断即可．
【详解】解：根据添括号法则，得5x-x2+xy- y=+(-x2+xy)-(y-5x)，
故选：B．
【点睛】本题考查整式的加减，添括号法则，解题的关键是掌握添括号添括号法则：所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变正负号；所添括号前面是“-”号，括到
括号里的各项都改变正负号，添括号和去括号的过程正好相反，添括号是否正确，可以用
去括号检验一下．
举一反三1（2023秋·江西吉安·七年级校考期末）如图，数轴上的点A、B对应的数分别
为a、b，且AB=2，则代数式3a-3b的值是 ．
【答案】-6
【分析】根据题意，先求出b-a的值，再计算．
【详解】解：∵AB=2，
∴b-a=2，
∴3a-3b=-3(b-a)=-3×2=-6
故答案为：-6．
【点睛】本题考查了代数式求值，利用数轴上两点之间的距离等于坐标差的绝对值能求出
b-a=2是解题的关键．
举一反三2（2023秋·海南海口·七年级校联考期末）已知m-2n=-1，则代数式
1-2m+4n的值是（ ）
A．-3 B．-1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据1-2m+4n=1-2(m-2n)进行求解即可．
【详解】解：∵m-2n=-1，
∴1-2m+4n=1-2(m-2n)=1-2×(-1)=1+2=3，
故选D．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，添括号，利用整体代入的思想求解是解题的关键．
题型八 整式的加减运算
例8（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）化简：5(2x-3)+4(3-2x)．
【答案】2x-3
【分析】先去括号，再合并同类项即可得解．
【详解】解：5(2x-3)+4(3-2x)=10x-15+12-8x
=2x-3．
【点睛】本题主要考查了整式的加减，掌握合并同类项法则是解题的关键．
举一反三1（2023秋·福建福州·七年级福州华伦中学校考期中）若|a+2|=-a-2，则
|a-1|-|2-a|=（ ）
A．3 B．-3 C．1 D．-1
【答案】D
【分析】根据绝对值的性质可得a+2≤0，易得a≤-2，然后求解即可．
【详解】解：由题意，|a+2|=-a-2=-(a+2)，可知a+2≤0，
∴a≤-2，
∴|a-1|-|2-a|=-(a-1)-(2-a)=-a+1-2+a=-1．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质以及整式运算，解题关键是根据绝对值的性质得出
a≤-2．
举一反三2（2023秋·广东深圳·七年级校考期中）化简：
(1)3a+2-4a-5；
(2)2(x2+3)-(5-x2 )；
(3)(6m2-4m-3)+(2m2-4m+1)．
【答案】(1)-a-3
(2)3x2+1
(3)8m2-8m-2
【分析】（1）直接合并同类项解题即可；
（2）先去括号，然后合并同类项解题；
（3）先去括号，然后合并同类项解题即可．
【详解】（1）解：3a+2-4a-5
=-a-3；
（2）2(x2+3)-(5-x2
)
=2x2+6-5+x2
=3x2+1；（3）(6m2-4m-3)+(2m2-4m+1)
=6m2-4m-3+2m2-4m+1
=8m2-8m-2．
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，掌握合并同类项、去括号、添括号是解答本题
的关键．
题型九 整式加减的应用
例9（2023秋·广东深圳·七年级深圳市南山外国语学校校考期中）如图，长方形的长是
5a-2b，宽是3a，则长方形的周长是 ．
【答案】16a-4b
【分析】利用长方形的周长公式，结合整式的加减运算法则计算即可得出答案．
【详解】解：∵长方形的长是5a-2b，宽是3a，
∴长方形的周长为：2(5a-2b+3a)=2(8a-2b)=16a-4b，
故答案为：16a-4b．
【点睛】本题考查了整式的加减的应用，熟练掌握长方形的周长公式以及整式的加减的运
算法则是解题的关键．
举一反三1（2023春·浙江宁波·七年级校考期中）在计算两位数的平方运算时，我们可以
利用“竖式”方式进行快速运算，其步骤如图所示（图1，2，3），现有一个两位数，其
十位数字为x，在进行平方运算时，部分步骤如图4所示（x为小于5的正整数），则这个
两位数是 （用含x的代数式表达）．【答案】10x+6
【分析】观察图形可发现：“竖式”的第一行从左向右分别为：十位上的数字的平方与个
位上的数字的平方，即0925中的09是352中3的平方，0925中的25是352中5的平方，每个
数的平方占两个空，平方是一位数的前面的空用0填补；第二行从左向右是这个两位数的
个位上的数字与十位上的数字之积的2倍，即30是352中3×5×2，乘积为两位的填中间两
个空格，乘积为三位数的从左边第一个空格开始填．以此规律即可解答．
【详解】解：根据题意可得，图1，竖式中第一行：0925中的09是352中3的平方，0925
中的25是352中5的平方；第二行：30是352中3×5×2；
图2，竖式中第一行：2536中的25是562中5的平方，2536中的36是562中6的平方；第二
行：60是562中5×6×2；
图3，竖式中第一行：8164中的81是982中9的平方，8164中的64是982中8的平方；第二
行：144是982中9×8×2；
∴图4中，第二行的这个两位数可表示为：10x+2x=12x，这个数是某个乘方数中十位
上的数字与个位上的数字之积的2倍，
∴这个两位数的十位上的数字与个位上的数字之积为：12x÷2=6x，
∵这个两位数的十位数字为x，
∴这个两位数的个位数字为6，
∴这个两位数是10x+6，
故答案为：10x+6．
【点睛】本题主要考查数字规律，整式的运算，用字母表示数，及数量关系，理解数字规
律，掌握字母表示的数的方法，整式的运算法则是解题的关键．
举一反三2．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）已知
A=（2a+1）2-a2，B=(2a-1)(a+2)-a．
尝试当a=1时，A的值为________，B的值为________；
当（a+2）2=0时，A的值为________，B的值为________；
猜测 嘉淇猜测：无论a为何值，A>B始终成立；
验证 请你证明嘉淇猜测的结论．
【答案】 8；2；5；2；验证见解析
【分析】将相关值代入即可求解；将A-B代数式计算化简变换判断即可；【详解】解：当a=1时，A=（2＋1）2-12=8，B=(2-1)(1+2)-1=2，
当（a+2）2=0时，
∵（a+2）2=0，
∴a+2=0，
∴a=-2
∴A=（2×(-2)+1）2-(-2) 2=5，B=(2×(-2)-1)(-2＋2)-(-2)=2；
故答案为：8；2；5；2；
验证证明：A-B=4a2+4a+1-a2-（2a2+3a-2-a）
=a2+2a+3
=（a+1）2+2
∵（a+1）2≥0，
∴（a+1）2+2>0，即A-B>0，
∴A>B．
【点睛】本题主要考查整式加减混合运算的应用，正确化简计算是解题的关键．
题型十 整式的加减中的化简求值
例10（2023秋·重庆南岸·七年级校考期末）先化简，再求值：
3a2b-[ab2-2(2a2b-ab2)]-ab2，其中a=2,b=3．
【答案】7a2b-4ab2，12
【分析】去括号，合并同类项把所求式子化简，再将a=2,b=3代入计算即可．
【详解】原式=3a2b-(ab2-4a2b+2ab2)-ab2
=3a2b-(-4a2b+3ab2)-ab2
=3a2b+4a2b-3ab2-ab2
=7a2b-4ab2
当a=2,b=3时，原式=7×22×3-4×2×32=84-72=12．
【点睛】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握去括号，合并同类项法则，把所求式子化简．
举一反三1（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）先化简，再求值：3(a+b)-(6a-2)，
1
其中a= ，b=-2．
3
【答案】3b-3a+2，-5
【分析】将原式去括号，合并同类项进行化简，然后代入求值．
【详解】解：3(a+b)-(6a-2)
=3a+3b-6a+2
=3b-3a+2，
1
当a= ，b=-2时，
3
1
原式=3×(-2)-3× +2
3
=-6-1+2
=-5．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握合并同类项和去括号的运算法则是解题关
键．
举一反三2（2023秋·云南红河·七年级统考期末）先化简，再求值：
( 2) 2
3(2x2-3xy-5x-1)+6(-x2+xy-1)，其中|x+2|+ y- =0．
3
【答案】-3xy-15x-9，25
2
【分析】先去括号，再合并同类项，然后根据非负数的性质可得x=-2，y= ，再代入化
3
简后的结果，即可求解．
【详解】解：原式=6x2-9xy-15x-3-6x2+6xy-6
=-3xy-15x-9，
( 2) 2
∵|x+2|+ y- =0，
3
2
∴x+2=0,y- =0，
32
∴x=-2，y= ，
3
2
∴原式=-3×(-2)× -15×(-2)-9=25．
3
【点睛】本题主要考查了整式加减中的化简求值，非负数的性质，熟练掌握整式加减混合
运算法则，非负数的性质是解题的关键．
题型十一 整式加减中的无关型问题
例11（2023秋·云南红河·七年级统考期末）关于x、y的多项式1+4x y2+nx y2+xy中不
含三次项，则n的值是（ ）
A．0 B．4 C．-1 D．-4
【答案】D
【分析】先合并同类项，再根据多项式1+4x y2+nx y2+xy中不含三次项，可得4+n=0，
即可求解．
【详解】解：1+4x y2+nx y2+xy=1+(4+n)x y2+xy，
∵多项式1+4x y2+nx y2+xy中不含三次项，
∴4+n=0，
解得：n=-4．
故选：D
【点睛】此题主要考查了多项式，关键是正确理解题意，确定n的值．
举一反三1（2023秋·新疆伊犁·七年级校考期末）若多项式
8x2+(m+1)xy-5 y+xy-8(m是常数）中不含xy项，则m的值为 ．
【答案】-2
【分析】先合并同类项得到结果为8x2+(m+2)xy-5 y-8，再根据xy项的系数为0可得答
案．
【详解】解：8x2+(m+1)xy-5 y+xy-8=8x2+(m+2)xy-5 y-8，
∵多项式8x2+(m+1)xy-5 y+xy-8(m是常数）中不含xy项，
∴m+2=0，
解得：m=-2；
故答案为：-2
【点睛】本题考查的是合并同类项以及多项式不含某项的含义，理解题意熟练的合并同类
项是解本题的关键．
举一反三2（2023秋·河北邯郸·七年级校考期中）在关于x，y的多项式
x2+(3k-3)xy-2x2-3 y2-9xy+1中不含xy项，则k的值为（ ）
A．4 B．-4 C．1 D．-1
【答案】A
【分析】先合并同类项，再根据含xy项的系数为0，建立方程求解即可.
【详解】解：x2+(3k-3)xy-2x2-3 y2-9xy+1
=-x2+(3k-12)xy-3 y2+1，
∵-x2+(3k-12)xy-3 y2+1不含xy项，
∴3k-12=0，
解得：k=4，
故选A
【点睛】本题考查的是合并同类项，多项式中不含某项的含义，理解题意，再建立方程求
解是解题关键.一、单选题
1．（2023秋·贵州贵阳·七年级统考期末）两个形状大小完全相同的长方形中放入4个相同
的小长方形后，得到图①和图②的阴影部分，如果大长方形的长为2a，则图①与图②的阴
影部分周长之差是（ ）
a a
A．-2a B．-a C．- D．-
3 2
【答案】B
【分析】设图中小长方形的长为x，宽为y，表示出两图形中阴影部分的周长，求出之差即
可．
【详解】解：设图中小长方形的长为x，宽为y，大长方形的宽为3 y，
1
根据题意得：x+2y=2a，x=2y，即y= a，
2
1
图①中阴影部分的周长为2(3 y-2y+2a)=2y+4a=2× a+4a=5a，
2
1
图②中阴影部分的周长2(2a-2y)+2×3 y+2y=4a+4 y=4a+4× a=6a
2
则图①与图②的阴影部分周长之差是5a-6a=-a．
故选：B．
【点睛】此题考查了整式的加减，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2023秋·河北邯郸·七年级校考期中）实数a，b，c在数轴上的位置如图，化简
|b+c|-|b-a|的结果为（ ）．
A．-a-c B．-a-2b-c C．-a+c D．a-2b-c
【答案】A
【分析】由数轴可得b0，y>0，且- + = ，则 +
x y x- y y x
的值为（ ）
1 1
A． B．5 C． D．4
6 4
【答案】B
( 1 1)
【分析】等式两边同时乘以x- y得：(x- y) - + =3，再化简即可得到答案．
x y
1 1 3
【详解】解：∵ - + = ，
x y x- y
( 1 1)
∴等式两边同时乘以x- y得：(x- y) - + =3，
x y
y x
展开得：-1+ + -1=3，
x y
y x
∴ + =5，
x y
故选：B．
( 1 1)
【点睛】本题考查了求代数式的值，等式两边同时乘以x- y得到(x- y) - + =3是解
x y
题的关键．
二、填空题
1.（2023春·上海·八年级上外附中校考期末）已知a、b为实数，等式
a2x2+bx=4x2-(2a-1)x-b+5对于任意实数x恒成立，则ab的值为 ．【答案】-10
【分析】由根据等式的性质可得(a2-4)x2+(b+2a-1)x+b-5=0，根据题意可得
a2-4=0且b+2a-1=0，求出a、b的值，再求ab的值即可．
【详解】解：a2x2+bx=4x2-(2a-1)x-b+5，
整理得：(a2-4)x2+(b+2a-1)x+b-5=0，
∵等式a2x2+bx=4x2-(2a-1)x-b+5对于任意实数x恒成立，
∴a2-4=0且b+2a-1=0，b-5=0,
解得：a=-2，b=5，
∴ ab=-10，
故答案为：-10．
【点睛】本题考查了等式的性质，根据等式恒成立求出a、b的值是解题的关键．
2．（2023秋·河南漯河·七年级校考期末）若关于x，y的多项式x2+axy+ y-(bx2-xy-3)
不含二次项，则a-2b的值为 ．
【答案】-3
【分析】先对多项式x2+axy+ y-(bx2-xy-3)去括号，合并同类项，然后再根据不含二
次项可求解a、b的值，进而代入求解即可．
【详解】解：x2+axy+ y-(bx2-xy-3)
=x2+axy+ y-bx2+xy+3
=(1-b)x2+(a+1)xy+ y+3
∵多项式不含二次项，
∴¿，解得：¿，
∴a-2b=-1-2×1=-3
故答案为：-3．
【点睛】本题主要考查整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的加减是解题的关键．
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）长方形的周长是2a+4b，宽是a，则长方形
的长是 ．【答案】2b
【分析】根据长方形的周长等于长加宽乘以2，即可求解．
【详解】解：∵长方形的周长是2a+4b，宽是a，
1
∴长方形的长是 (2a+4b)-a=a+2b-a=2b，
2
故答案为：2b．
【点睛】本题考查了整式的加减的应用，熟练掌握长方形的周长公式是解题的关键．
三、解答题
1.（2023秋·广东深圳·八年级深圳市罗湖区翠园东晓中学校考期中）某超市出售一种商品，
今年4月份利润比3月增长20%，5月份比4月份增长25%，若3月份和5月份利润收入分
别为a万元和b万元．
(1)求a，b之间满足的关系式；
(2)当a=1万元时，求b的值．
3
【答案】(1)b= a
2
3
(2)
2
【分析】（1）4月份利润=(1+20%)×3月份利润，5月份利润=(1+25%)×4月份利润，
据此即可求解；
（2）由（1）中的结论即可求解．
3
【详解】（1）解：由题意得：b=a(1+20%)(1+25%)= a
2
3
（2）解：当a=1万元时，b=
2
【点睛】本题考查列代数式及求代数式的值．正确理解题意是解题关键．
2．（2023秋·河南鹤壁·七年级统考期末）某校体育社团计划购买一些足球，该社团负责人
去两家足球专卖店对足球的价格进行了了解：
专卖店A：购买足球数不超过10个时，每个130元；超过10个时，超过的部分每个100元．
专卖店B：无论购买多少个，每个110元．
(1)设购买的足球为x个，用含有x的代数式分别表示去两家专卖店所需要的费用；
(2)若体育社团要购买20个足球，去哪家专卖店比较合算？请说明理由．
【答案】(1)专卖店A：购买足球数不超过10个时，130x元；超过10个时，所需要的费用为(100x+300)元；专卖店B：所需要的费用为110x元；
(2)去乙专卖店买合算，见解析
【分析】（1）根据题意，根据两专卖店所需要的费用的方案分别计算，即可得到答案；
（2）当x=20时，根据（1）的结论，分别计算两家专卖店的费用，即可完成求解．
【详解】（1）解：专卖店A：购买足球数不超过10个时，所需要的费用为130x元；
超过10个时，所需要的费用为130×10+100(x-10)=(100x+300)元；
专卖店B：所需要的费用为110x元；
（2）解：专卖店A：当x=20时，100x+300=100×20+300=2300元，
专卖店B：当x=20时，110x=110×20=2200元，
因为2200<2300，
所以去乙专卖店买合算．
【点睛】本题主要考查了列代数式以及求代数式的值，根据题意，准确列出代数式是解题
的关键．
3．（2023春·江西赣州·七年级统考期中）给出定义如下：我们称使等式a-b=ab+1成立
1 1
的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为(a,b)．如：3- =3× +1，
2 2
2 2 ( 1) ( 2)
5- =5× +1，所以数对 3, ， 5, 都是“相伴有理数对”．
3 3 2 3
( 1) ( 1 )
(1)数对 -2, ， - ,-3 是不是“相伴有理数对”，请说明理由；
3 2
(2)若(x+1,5)是“相伴有理数对”，求出x的值．
1
(3)若(a,b)是“相伴有理数对”，求3ab-a+ (a+b-5ab)+1的值．
2
( 1) ( 1 )
【答案】(1) -2, 不是“相伴有理数对”， - ,-3 是“相伴有理数对”
3 2
5
(2)x=-
2
1
(3)
2【分析】（1）根据相伴有理数的定义求解即可；
（2）根据相伴有理数的定义，列出方程求解即可；
（3）先将整式化简，再根据(a,b)是“相伴有理数对”，得出a-b=ab+1，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：
1
当a=-2，b= 时，
3
1 7 1 1
∵a-b=-2- =- ，ab+1=-2× +1= ，
3 3 3 3
∴a-b≠ab+1，
( 1)
∴ -2, 不是“相伴有理数对”，
3
1
当a=- ，b=-3时，
2
1 5 1 5
∵a-b=- -(-3)= ，ab+1=- ×(-3)+1= ，
2 2 2 2
∴a-b=ab+1，
( 1 )
∴ - ,-3 是“相伴有理数对”
2
( 1 )
故答案为： - ,-3 ；
2
（2）解：∵(x+1,5)是“相伴有理数对”，
∴x+1-5=(x+1)×5+1，
5
解得：x=- ．
2
1
（3）解：∵3ab-a+ (a+b-5ab)+1
2
1 1 5ab
=3ab-a+ a+ b- +1
2 2 2
1 1
= ab- (a-b)+1，
2 2
(a,b)是“相伴有理数对”，
∴a-b=ab+11 1
∴原式= ab- (ab+1)+1
2 2
1 1 1
= ab- ab- +1
2 2 2
1
= ．
2
【点睛】本题主要考查了新定义，有理数的运算，解一元一次方程，整式的化简，解题的
关键是正确理解题目所给“相伴有理数对”的定义．
