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专题04《实数》解答题重点题型分类
专题简介：本份资料专攻《实数》中“化简求值题型”、“利用平方根与立方根的性质解
方程题型”、“计算解答题型”、“数轴比较大小题型”、“整数部分与小数部分题型”、
“创新题型”重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：化简求值题型
方法点拨：1.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在
数轴上找到一个点与之对应（数形结合）。
2.数a的相反数是－a；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是
它的相反数；0的绝对值是0.
3.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：
先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先
算括号里.
4.绝对值、平方、算术平方根的双重非负性的应用。
1．若 ，化简
【答案】
【分析】由 判断 ＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉绝对
值，再计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ＞0，
∴
∴
【点睛】本题考查二次根式的化简，正确的对含绝对值号的代数式的化简是解题的关键．
分类的标准应按正实数，负实数，零分类考虑．掌握好分类标准，不断加强分类讨论的意
识．
2．先化简后求值： ，其中 ， 满足
．
【答案】 ，
【分析】直接利用整式的混合运算法则以及绝对值、算术平方根的性质得出 ， 的值，
进而计算得出答案．【详解】解：原式
，
，
，
解得： ，
原式 ．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，绝对值的非负性，算术平方根，解题的关键是
正确掌握相关运算法则．
3．先化简，再求值：[（3x+y）（3x﹣y）﹣2x（y+2x）+（y﹣2x）2]÷（﹣3x），其中x、y
满足 ．
【答案】﹣3x+2y，﹣26
【分析】原式中括号利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，
去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y
的值，代入计算即可求出值．
【详解】解：原式＝（9x2﹣y2﹣2xy﹣4x2+y2﹣4xy+4x2）÷（﹣3x）
＝（9x2﹣6xy）÷（﹣3x）
＝﹣3x+2y，
∵ ，
∴x﹣8≥0且8﹣x≥0，
解得：x＝8，
∴ ，
∴原式＝﹣3×8+2×（﹣1）
＝﹣24﹣2
＝﹣26．
【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握相关运算
法则是解本题的关键．
4．已知多项式A＝x2+2xy﹣3y2，B＝2x2﹣3xy+y2，先化简3A+2B；再求当x，y为有理数且
满足x2+ y+2y＝﹣4 +17时，3A+2B的值．
【答案】
【分析】根据多项式的加减运算进行化简，进而根据x，y为有理数求得 的值，代入求
解即可．
【详解】 A＝x2+2xy﹣3y2，B＝2x2﹣3xy+y2，x2+ y+2y＝﹣4 +17，x，y为有理数，
，
原式
【点睛】本题考查了整式的加减化简求值，实数的性质，求得 的值是解题的关键．
5．（1）化简：a2+（5a2﹣2a）﹣2（a2﹣3a）；
（2）先化简，再求值： （﹣4x2+2x﹣8y）﹣（﹣x﹣2y），其中x＝ ，y＝2018．
【答案】（1） ；（2） ，
【分析】（1）去括号后合并同类项即可；
（2）利用乘法分配律化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
【详解】解：（1）a2+（5a2﹣2a）﹣2（a2﹣3a），
，
；
（2） （﹣4x2+2x﹣8y）﹣（﹣x﹣2y），
，
，
，
当x＝ ，y＝2018时，
原式 ，
，
．【点睛】此题主要考查了整式的化简求值和实数运算，正确掌握整式的混合运算法则是解
题关键．
6．已知数a在数轴上对应的位置如图所示，化简 +|a+1|+ ．
【答案】
【分析】直接利用数轴得出 的取值范围，进而化简得出答案．
【详解】解：由数轴得： ，
则 +|a+1|+
＝
＝ ．
【点睛】本题主要考查了实数的运算与数轴，算术平方根的非负性，化简绝对值等知识点，
正确化简各式是解本题的关键．
7．实数a、b、c在数轴上的对应点位置如图所示，化简：
【答案】3b
【分析】根据 ，再结合绝对值的性质去绝对值，再合并同类项即可．
【详解】解：原式=|-c|+|a-b|+a+b-|b-c|，
=c+（-a+b）+a+b-（-b+c），
=c-a+b+a+b+b-c，
=3b．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握绝对值的性质和二次根式的性质．
8．若一个正数的两个平方根分别为 ， ，请先化简再求值：
．
【答案】 ，9
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可求得a的值，再对原式去括号合并同类项化
简后，代入a的值求解即可．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为 ， ，
∴（a-1）+（2a+7）=0，
解得a=-2．，
当a=-2时，原式 ．
【点睛】本题主要考查了平方根的性质，整式的加减求值．利用正数的两个平方根互为相
反数列等式求值是解题的关键．
9．我们可以把根号外的数移到根号内，从而达到化简的目的．
例如： ．
（1）请仿照上例化简．
① ；
② ；
（2）请化简 ．
【答案】（1）① ；② ；（2）
【分析】（1）①根据题意仿照求解即可；
②根据题意仿照求解即可；
（2）先根据被开方数的非负性判断a的正负，然后根据题意求解即可．
【详解】解：（1）① ；
② ；
（2）∵ 有意义
∴ ，
∴
∴ ．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
10．数形结合是一种重要的数学方法，如在化简 时，当 在数轴上位于原点的右侧时，
；当 在数轴上位于原点时， ；当 在数轴上位于原点的左侧时， ．当
， ， 三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题，（1）当 时，求 ______，当 时，求 ______．
（2）请根据 ， ， 三个数在数轴上的位置，求 的值．
（3）请根据 ， ， 三个数在数轴上的位置，化简： ．
【答案】（1）1； ；（2） ；（3） ．
【分析】（1）当 时，点a在原点右边，由题意可知，此时 ，代入 即可求值；
当 时，点b在原点左边，由题意可知，此时 ，代入 即可求值；
（2）由图中获取 三点的位置信息后，结合题意即可求原式的值；
（3）由图获取 的正、负信息和三个数绝对值的大小后，就可确定原式中绝对值符
号里面式子的值的符号，就可化简原式．
【详解】解：（1）当 时， ；当 时， ，
故答案是：1，-1；
（2）由数轴可得： ， ， ，
∴ = ；
（3）由数轴可知： 且 ，
∴ ，
∴
．
【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记正数的绝对值是它本身，负数的绝对值
是它的相反数．在解第3小问这类题时，需注意以下两点：（1）根据在数轴上表示的数中，
左边的总小于右边的，确定好所涉及数的大小关系及每个数的正、负信息（涉及异号两数
相加的还要获取它们绝对值的大小关系）；（2）根据有理数加、减法法则确定好需化简式
子中绝对值符号里的式子的正、负，然后再根据绝对值的代数意义将绝对值符号去掉．
考点2：利用平方根与立方根的性质解方程题型
方法点拨：解方程时应把平方部分看成一个整体，先根据等式基本性质把方程
化为平方部分等什么。再利用平方根定义，把一元二次方程化为一元一次方程
再求解。注意不要漏掉负平方根。1．求方程 中 的值．
【答案】 或
【分析】先运用平方根概念求出x-1，然后再求出x即可．
【详解】解：
x-1=6，x-1=-6
或 ．
【点睛】本题主要考查了利用平方根的概念解方程，掌握相关知识是解答本题的关键．
2．解方程
（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）把方程化为： 再利用平方根的含义解方程即可得到答案；
（2）把方程化为： 再利用立方根的含义解方程即可得到答案．
【详解】解：（1）
（2）
【点睛】本题考查的是实数的运算，算术平方根，零次幂，负整数指数幂的运算，利用平
方根，立方根的含义解方程，掌握以上知识是解题的关键．
3．解下列关于 的方程：
（1） （2）
【答案】（1） ；（2） 或 ．
【分析】根据立方根，平方根的定义解答即可．
【详解】解：（1），
，
；
（2）
，
或 ，
解得 或 ．
【点睛】本题考查了立方根，平方根的定义，理解立方根和平方根的定义是解题的关键．
4．解方程
（1）3x2 = 30 ，求 x 的值；
（2）（x-2）3+27=0 ，求 x 的值．
【答案】（1） ；（2）-1．
【分析】（1）根据平方根的意义求解即可；
（2）根据立方根的意义求解即可．
【详解】解：（1）∵3x2 = 30 ，
∴x2 10，
∴x= ；
（2）∵ ，
∴x -2 =-3，
∴x =-1．
【点睛】本题考查了实数的运算，绝对值的化简，利用平方根和立方根的意义解方程等知
识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
5．求方程： 中的 值．
【答案】x=28，x=-26．
1 2
【分析】根据平方根的性质即可求出答案．
【详解】由题意可知：x-1=±27，
∴x=28或x=-26
1 2
【点睛】本题考查平方根，解题的关键是熟练运用平方根的性质.
6．解下列关于 x 的方程：
（1）（2）
【答案】（1）x= 或 x= ；（2）x= ．
【分析】（1）根据平方根的定义即可求出答案．
（2）根据立方根的定义即可求出答案．
【详解】解：（1）∵ ，
∴
∴ 或
∴
（2）
【点睛】本题考查立方根与平方根的定义，解题的关键是熟练运用立方根与平方根的定义，
本题属于基础题型．
7．已知一个正数的两个不相等的平方根是 与 ．
（1）求 的值及这个正数；
（2）求关于 的方程 的解．
【答案】（1）a=1，这个正数是49；（2）
【分析】（1）由正数的两个平方根互为相反数得到 + =0，求解即可得到答案；
（2）将a=1代入方程，根据平方根的意义得到答案即可．
【详解】解：（1）由题意得 + =0，
解得a=1，
∴这个正数是 ；
（2）将a=1代入方程 ，得 -64=0，
解得 ．
【点睛】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的性质是解题的关键．
8．在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：a⊕b＝a2﹣b2，求方程（4⊕3）⊕x＝24的解．
【答案】x＝±5
【分析】按照题中给出的计算法则进行运算，其中有小括号的要先算小括号．
【详解】解：∵a⊕b＝a2﹣b2，
∴（4⊕3）⊕x＝（42﹣32）⊕x＝7⊕x＝72﹣x2
∴72﹣x2＝24
∴x2＝25．
∴x＝±5．
【点睛】本题属于新定义题，根据新的定理掌握新的运算法则是解答本题的关键.
9．已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a的值；
（2）求这个正数m；
（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
【答案】（1）a＝1；（2）49；（3）x＝±4
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求得 的值；
（2）根据（1）的结论即可求得 的值；
（3）根据（1）的结论将 代入方程，进而根据求一个数的平方根解方程即可
【详解】解：（1）由题意得，a+6+2a﹣9＝0，
解得，a＝1；
（2）当a＝1时，a+6＝1+6＝7，
∴m＝72＝49；
（3）x2﹣16＝0，
x2＝16，
x＝±4．
【点睛】本题考查了求一个数的平方根，平方根的性质，理解平方根的性质是解题的关键．
10．已知一个正数的平方根是a＋6和2a﹣9
（1）求a的值；
（2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
【答案】（1） ；（2） 或
【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答；
（2）根据平方根的定义求解方程即可．
【详解】解：（1）∵一个正数的平方根是 和 ，
∴ ，
∴ ；
（2）当 ，方程 为 ，∴ ，
∴ ，
∴关于x的方程 的解是 或 ．
【点睛】本题考查的是平方根的概念，掌握一个正数有两个平方根，且两个平方根互为相
反数是解题的关键.
考点3：计算解答题型
方法点拨：有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的
运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，
有括号先算括号里.
1．计算
（1）
（2）
【答案】（1）－1；（2）
【分析】（1）实数的混合运算，先做乘方，化简算术平方根和立方根，然后进行有理数的
混合运算；
（2）实数的混合运算，先化简绝对值，然后进行二次根式的加减法运算；
【详解】（1）
解：原式=
＝1+（-2）
＝-1；
（2）
解：原式=
= ；
【点睛】本题考查实数的混合运算，方程的解及求一个数的算数平方根，掌握概念和法则
正确计算是解题关键．
2．计算：
（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）先分别根据正整数幂、负指数幂和开方运算，再算乘除法，最后算加减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；
（2）依据数的开方、绝对值、0次幂、平方差公式分别计算，然后做加减法运算；
【详解】解：（1）
=-16+5+2
=-9
（2）
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，能灵活运用法则进行计算和化
简是解此题的关键．
3．计算：
【答案】 4；
【分析】原式第一项利用二次根式的化简公式，第二项利用负整数指数幂公式化简，第三
项利用立方根定义化简，最后一项利用零指数幂化简，合并即可得到结果；
【详解】原式=4-4+3+1=4；
【点睛】实数的混合运算
4．计算：
【答案】
【解析】试题分析：（1）先分别计算零次幂，二次根式，绝对值和负整指数幂，再进行加
减运算即可得出答案；
试题解析：原式=
= ；
考点：实数的混合运算
5．计算
（1）
（2）
【答案】（1）1；（2） ；
【分析】（1）先计算乘方，算术平方根，立方根，再计算加减即可；（2）先计算零指数幂，负指数幂，二次根式化简，绝对值化简，再合并即可；
【详解】解：（1） ，
原式= ，
=1；
（2） ，
原式= ，
= ，
= ；
【点睛】本题考查实数混合运算，零指数幂，负指数幂，二次根式化简。
6．计算：
【答案】5
【分析】原式第一项利用二次根式的性质化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项
利用立方根定义化简，即可得到结果；
【详解】原式=1+1-（-3）=1+1+3=5；
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键
7．计算： ．
【答案】
【解析】试题分析：本题涉及零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简、绝对值四个考点．
针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解：
=
=-1；
8．计算： ．
【答案】﹣3；
【解析】试题分析：利用平方根及立方根定义计算即可得到结果；
试题解析： =3﹣4﹣2=﹣3．
9．计算
（1） （2）
（3） ； （4）【答案】（1）- ； （2） ； （3） ；（4） ；
【详解】本题涉及实数的运算与化简、用开平方、开立方、二次根式化简的知识，在计算
时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果，根据平
（立）方根的定义进而求出结果．．
解：（1）原式= ；
（2）原式= ；
（3）原式= ；
（4）原式=
“点睛”此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确在进行实数
运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加
减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的
运算律在实数范围内仍然适用．（4）题根据二次根式的性质 化简，要注意
a的取值范围．
10．实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为 ，求代数式x2＋(a＋b)cdx＋
的值．
【答案】8
【解析】分析：根据题意可得a+b=0，cd=1，x=± ，，然后代入代数式求值即可.
详解：因为实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为 ，所以a＋b＝0，cd＝
1， .
故x2＋(a＋b)cdx＋ ＝(± )2＋0×1×(± )＋0＋1＝7＋0＋0＋1＝8.
点睛：主要考查了实数运算，关键是掌握相反数和为0，倒数积为1．
11．已知当 时，代数式 的值为0.关于 的方程 的解为
．
（1）求 的值；
（2）若规定 表示不超过 的最大整数，例如 ，请在此规定下求 的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）先将 代入 求出m的值，然后根据 的解为
求出n的值，然后代入 中即可得出答案；（2）先将m,n代入求出 的值，再根据题意找到不超过 的最大整数即可．
【详解】（1）∵当 时，代数式 的值为0，
∴将 代入，得 ，
解得 ．
∵关于 的方程 的解为 ，
∴将 ， 代入，得
解得 ．
∴ ．
（2）由（1）知， ， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握一元一次方程的解法及整数的概念是解题的关键．
考点4：数轴比较大小题型
方法点拨：利用数轴进行实数的大小比较时，关键是把握数在数轴上所对应的
点的位置，在结合数轴，根据数轴上右边的实数总比左边的实数大，便可以作
出判断。
1．求出下列各数的相反数，在数轴上表示下列各数以及它们的相反数，并用“＜”连接：
．
【答案】 的相反数为 ， 的相反数为 ，0的相反数为0， 的相反数
为2；数轴表示见解析；
【分析】先求出每个数的相反数，再在数轴上把各个数表示出来，根据数轴上表示的数，
右边的总比左边的数大比较即可．
【详解】解： 的相反数为 ，
的相反数为 ，
0的相反数为0，因为 ，
所以 的相反数为2；
将各数以及它们的相反数在数轴上表示出来如下图：
用“＜”连接：
．
【点睛】本题考查了数轴和相反数的定义，熟练掌握在数轴上表示的数，右边的总比左边
的数大；若两个数的和为0，则这两个数互为相反数是解题的关键．
2．在数轴上近似地表示下列各数，并把它们按从小到大的顺序排列，用“＜”连接：
【答案】数轴见解析，
【分析】先根据算术平方根、绝对值与相反数的意义分别化简各数以及对π取近似值，再
在数轴上分别表示出来，进而即可比较大小．
【详解】解： ，
∴以上各数在数轴上表示如下：
∴ ．
【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值与相反数的意义以及用数轴比较实数的大小，熟
练掌握算术平方根、绝对值与相反数的意义是解决本题的关键．
3．用数轴上的点表示下列各数： ， ，0， ，并用“＜”把它连接起来．
【答案】数轴见解析，
【分析】首先在数轴上表示各数，再根据在数轴上表示的实数，右边的数总比左边的数大
用“＜”号把各数连接起来即可．
【详解】解：在数轴上表示各数如下：用“＜”号把各数连接起来： ．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关
键．
4．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”连接：﹣π， ，0，﹣（﹣2），
1.25．
【答案】数轴见解析，﹣π＜ ＜0＜1.25＜﹣（﹣2）
【分析】根据绝对值、相反数、实数在数轴上对应的点、实数的大小关系解决此题．
【详解】 ，﹣（﹣2）＝2．
﹣π， ，0，﹣（﹣2），1.25在数轴上表示如下：
∴﹣π＜ ＜0＜1.25＜﹣（﹣2）．
【点睛】本题考查了实数在数轴上的表示，实数大小的比较，绝对值与相反数的定义，掌
握这些知识是解题的关键．
5．求出下列各数的相反数，在数轴上表示下列各数以及它们的相反数，并用“<”号连接：
．
【答案】 的相反数是 的相反数是 ，0的相反数是0， 的相反数是
，数轴见解析，
【分析】先根据相反数的定义求出各个数的相反数，然后再数轴上表示出来，并比较大小
即可．
【详解】解： 的相反数是 ， 的相反数是 ，0的相反数是0， 的相反数
是 ．根据题意画图如下：
．
【点睛】本题主要考查了相反数，立方根，在数轴上表示实数，并比较实数的大小，解题
的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
6．（1）求出下列各数：
2的平方根；
的立方根；
的算术平方根；
（2）将（1）中求出的每一个数准确地表示在数轴上，并用 连接大小
【答案】(1) ；（2）-3＜- ＜ ＜2．;详见解析
【分析】（1）根据平方根、立方根、算术平方根的定义分别求解即可；
（2）根据实数与数轴的关系，可将（1）中求出的每个数表示在数轴上；根据数轴上左边
的数比右边的数小来解答．
【详解】解：（1）2的平方根是± ，-27的立方根是-3， 的算术平方根2；
（2）-3＜- ＜ ＜2，如图：
【点睛】此题考查实数与数轴，实数大小的比较，平方根、立方根、算术平方根的定义．
解题关键在于先画出了数轴，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．
7．阅读材料，回答问题．
下框中是小马同学的作业，老师看了后，找来小马．
问道：“小马同学，你标在数轴上的两个点对应题中两个无理数，是吗？”
小马点点头．
老师又说：“你这两个无理数对应的点找得非常准确，遗憾的是没有完成全部解答．”
请把实数|﹣ |，﹣π，﹣4， ，2表示在数轴上，并比较它们的大小（用＜号连接）．
解：
请你帮小马同学将上面的作业做完．
【答案】图见解析，﹣4＜﹣π＜|﹣ |＜2＜ ．
【分析】根据 和 确定原点，根据数轴上的点左边小于右边的排序依次表示即可．【详解】把实数| |， ， ， ，2表示在数轴上如图所示，
＜ ＜| |＜2＜ ．
【点睛】本题考查用数轴比较点的大小，根据题意先确定原点是解题的关键．
8．数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ， 为原点，且满足
．
（1） __________， __________， __________；
（2）若 的的中点为 ．则点 表示的数为__________；
（3）小亮说“如果将点 向右移动5个单位长度，得到点 ，此时点 在原点的右侧，也
在点 的右侧”，他的说法正确吗？说明理由．
【答案】（1） ；5；4；（2） ；（3）不正确，理由见解析．
【分析】（1）根据完全平方式，绝对值及二次根式的非负性求解即可；
（2）利用数轴上两点间的中点公式求解；
（3）利用平移求出E点所表示的数，然后进行实数的大小比较，从而进行判断．
【详解】解：（1）由 可得
∴
解得： ； ；
故答案为： ；5；4；
（2）由（1）可知：A点表示的数为 ，C点表示的数为4
∴ 的的中点 表示的数为
故答案为： ；
（3）不正确，理由如下：
将点 向右移动5个单位长度，得到点 ，此时点 表示的数为 +5
∵∴
又∵点B表示的数为5
∴点E在原点右侧，B点左侧
故小亮说法不正确．
【点睛】本题考查完全平方式及二次根式的非负性，数轴上的点所表示的数，实数的大小
比较，利用数形结合思想解题是关键．
考点5：整数部分与小数部分题型
方法点拨：一个数减去一个整数后，所得的差大于0小于1，那么减数就是其整
数部分，差是其小数部分。
1． 已知2a－1的平方根是±3，3a＋b−9的立方根是2，c是 的整数部分，求a＋b＋c的
平方根．
【答案】±3
【分析】由2a−1的平方根是±3求出a的值，由3a＋b−9的立方根是2求出b的值，由c是
的整数部分求出c的值，即可确定a＋b＋c的平方根．
【详解】解：∵2a−1的平方根是±3，
∴2a−1＝9，
∴a＝5，
∵3a＋b−9的立方根是2，
∴3a＋b−9＝8，
∴15＋b−9＝8，
∴b＝2，
∵2＜ ＜3，
∴c＝2，
∴a＋b＋c＝5＋2＋2＝9，
∵9的平方根是±3，
∴a＋b＋c的平方根是±3．
【点睛】本题主要考查平方根，立方根的概念，关键是要求出a，b，c的值．
2．阅读下面的文字，解答问题．
现规定：分别用 和 表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是
，小数部分是 ；实数 的整数部分是 ，小数部分是无限不
循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即 就是
的小数部分，所以 ．
（1） ， ； ， ．（2）如果 ， ，求 的立方根．
【答案】（1）1， ，3， ；（2）2
【分析】（1）先估算出 和 的范围，再根据题目规定的表示方法写出答案即可；
（2）先估算出 ， 的范围，即可求出a，b的值，进一步即可求出结果．
【详解】（1）∵1＜ ＜2，3＜ ＜4，
∴[ ]＝1，＜ ＞＝ −1，[ ]＝3，＜ ＞＝ −3，
故答案为：1， ，3， ；
（2）∵2＜ ＜3，10＜ ＜11，
∴＜ ＞＝a= −2，[ ]＝b=10，
∴ ，
∴ 的立方根是2．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小和平方根的意义，能够估算出无理数的范围是解决
问题的关键．
3．阅读下列材料：
∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分为3，小数部分为 ．
请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果 的整数部分为 ， 的小数部分为 ，
求 的值．
【答案】a+b的值为25+ ．
【分析】由9π≈28.26，可得其整数部分a=28，由27＜28＜64，可求得 的小数部分，继
而可得a+b的值．
【详解】解：∵9π≈28.26，
∴a=28，
∵27＜28＜64，
∴ ，
∴3＜ ＜4，
∴b= -3，
∴a+b=28+ -3=25+ ，
∴a+b的值为25+ ．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，根据题意估算出a，b的值是解答此题的关键．4．阅读材料：
∵ ＜ ＜ ，即2＜ ＜3，
∴0＜ ﹣2＜1，
∴ 的整数部分为2， 的小数部分为 ﹣2．
解决问题：
（1）填空： 的小数部分是 ；
（2）已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，求a+b﹣ 的立方根．
【答案】（1） ；（2）2
【分析】（1）根据求 ＜ ＜ 的取值范围，进而得实数小数部分；
（2）由9＜ ＜10得a的值，1＜ ＜2得b的值，再进行相应的计算．
【详解】解：（1）∵16＜19＜25，
∴
∴ 的整数部分是4，
∴小数部分是 ．
故答案为： ．
（2）∵81＜90＜100，
∴
∴a=9
∵
∴
∴
∴a+b- =8，
∴a+b- 的立方根为2．
【点睛】本题考查了实数的整数部分及小数部分，掌握无理数的取值范围，从而求出整数
部分和小数部分，求出结果是求立方根的关键．
5．我们知道， 是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即 的整
数部分是1，小数部分是 ，请回答以下问题：
（1） 的小数部分是________， 的小数部分是_______；
（2）若 是 的整数部分， 是 的小数部分，求 的立方根．
【答案】（1） ， ；（2） 的立方根等于2．
【分析】（1）确定 的整数部分，即可确定它的小数部分；确定 的整数部分，即可确定 的整数部分，从而确定 的小数部分；
（2）确定 的整数部分，即知a的值，同理可确定 的整数部分，从而求得它的小数
部分，即b的值，则可以求得代数式 的值，从而求得其立方根．
【详解】（1）∵
∴ 的整数部分为3
∴ 的小数部分为
∵
∴
∴ 的整数部分为2
∴ 的小数部分为
故答案为： ，
（2）∵
∴a=9
∵
∴ 的整数部分为1
∴
∴
∵ =2
∴ 的立方根等于2
【点睛】本题考查了无理数的估算及求立方根，关键是掌握二次根式的大小估算方法．
6．阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因
此 的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜ ＜2，于是可用 ﹣1来表示 的小
数部分．请解答下列问题：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果5＋ 的小数部分为a，5﹣ 的整数部分为b，求a(a＋b+1)的值．
【答案】（1）5， ﹣5；（2）
【分析】（1）先判断出 位于5和6两个整数之间，即可求解；
（2）先分别根据题意求出a、b的值，再代入a(a＋b+1)即可求解．
【详解】解：（1）∵ ＜ ＜ ，
∴5＜ ＜6，∴ 的整数部分为5，小数部分为 ﹣5；
故答案为：5， ﹣5；
（2）∵2＜ ＜3，
∴7＜5＋ ＜8，
∴5＋ 的小数部分a＝5＋ ﹣7＝ ﹣2，
∵2＜ ＜3，
∴﹣3＜﹣ ＜﹣2，
∴2＜5﹣ ＜3，
∴5﹣ 的整数部分为b＝2，
∴a(a＋b+1)=( ﹣2)( +1)= ．
【点睛】本题考查了无理数大小的估算，二次根式的混合运算等知识，正确估算出无理数
的大小，并能正确进行二次根式的混合运算是解题关键．
7．在数轴上点A表示a，点B表示b，且a，b满足 ．
（1）a+b= ；
（2）x表示a+b的整数部分，y表示a+b的小数部分，则求y的值？
（3）若点A与点C之间的距离表示AC，点B与点C之间的距离表示BC，请在数轴上找
一点C，使得AC=2BC，求点C在数轴上表示的数？
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或
【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，即可求得a+b的值，
（2）根据无理数的估算可求得a+b整数部分，a+b的小数部分；
（3）设C点表示的数为x，根据AC=2BC列出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）
故答案为： ；
（2）
；（3） 或
设点C表示的数为m，
当点C在A，B之间时，
当点C在点B的左边时， ，
综上所述C点在数轴上表示的数为 或 ．
【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点间的距离可用右边的点表示的数减去左边的点表示
的数．
8．阅读下面的文字，解答问题．
例如：∵ ，即 ，∴ 的整数部分为2，小数部分为 2，请解
答：
（1） 的整数部分是 ；
（2）已知：8 的小数部分是m，8 小数部分是n，且（x﹣1）2＝m＋n，请求出
满足条件的x的值．
【答案】（1）3；（2）0或2．
【分析】（1）首先估算出 的大小，然后确定整数部分即可；
（2）根据 的整数部分即可求出8 和8 的整数部分，进而表示出小数部分m
和n，最后代入（x﹣1）2＝m＋n求x的值即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分是3；
（2）∵ 的整数部分是3，
∴8 的的整数部分是4，
∴8 的小数部分 ，
同理可得8 的整数部分是11，∴8 的小数部分 ，
∴（x﹣1）2＝m＋n，
解得： ．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题的关键是正确得到m和n的值．
9．阅读下面的文字，解答问题．例如： ，即 ， 的整数部分
为 ，小数部分为 ．
请解答：
（1） 的整数部分是 ；
（2）已知： 小数部分是 ， 小数部分是 ，且 ，请求出满足
条件的 的值．
【答案】（1）4；（2）0或2
【分析】（1）先估算出 的大小，然后确定整数部分；
（2）根据 的整数部分可求出9- 和9+ 的整数部分，进而表示出小数部分m、
n，最后代入（x-1）2=m+n求x的值即可．
【详解】解：（1）∵
∴ ＜ ＜ ，即4＜ ＜5，
∴ 的整数部分为4，
故答案为：4．
（2）∵4＜ ＜5
∴-5＜- ＜-4
∴4＜9- ＜5，13＜9+ ＜14
∴9- 的整数部分为4，9+ 的整数部分为13，
∴9- 的小数部分m=（9- ）-4=5- ，9+ 的小数部分n=（9+ ）-13=
-4，
∴（x-1）2=5- + -4=1，
∴x-1=±1，
解得x=2或x=0．
∴满足条件的 的值是0或2【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，解题的关键是能够正确得到m、n的值．
10．大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因为 ，所以 的
整数部分是1， 就是小数部分．
请据此解答：
（1） 的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求 的值；
（3）若设 的整数部分为x，小数部分为y，求 的值．
【答案】（1）3， ；（2）4；（3）
【分析】（1）根据被开方数在两个连续平方数之间，估值3＜ ＜4，即可得出 的整
数部分是3，小数部分是 -3即可；
（2）先估值 ，然后求出小数部分，估值 ，求出整数部分，再代入代
数式求值；
（3）先估值 ，再利用不等式性质可得 ，求出整数部分与小数部分，
再代入代数式求值即可．
【详解】解：（1）∵9＜11＜16，
∴3＜ ＜4，
∴ 的整数部分是3，小数部分是 -3，
故答案为3、 ；
（2）∵4＜7＜9，
∴ ，
∴ ，
∵36＜41＜49，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵1＜3＜4，
∴ ，
∴ ，
∴ 的整数部分为 ，小数部分为 ，
∴ ．
【点睛】本题考查无理数的估值，整数部分与小数部分，代数式求值，掌握无理数估值的方法，会求整数部分与小数部分，根据代数式求值的步骤与计算法则准确代入计算是解题
关键．
考点6：创新题型
方法点拨：这一类题型比较灵活，掌握实数的性质并且熟练掌握比较法、整体
法、类比法、归纳出解题方法。
1．用计算器计算：
（1） ； （2） ； （3） ； （4）
．
观察上面几题的结果，你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果：
___________．
【答案】（1）10；（2）100；（3）1000；（4）10000；
【分析】利用计算器分别计算，根据计算所得结果即可得到规律：所得结果为被开方数算
式中相乘的因数加1．
【详解】解：用计算器计算得：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ，
根据上述几题的结果可得：所得结果为被开方数算式中相乘的因数加1．
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了利用计算器求算术平方根，规律探究，主要是计算器的使用方法，需
熟记，关键是总结规律．
2．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[ ]=1．现对72进行如下操
作：72第一次[ ]=8，第二次[ ]=2，第三次[ ]=1，这样对72只需进行3次操作变
为1．
（1）对10进行1次操作后变为_______，对200进行3次作后变为_______；
（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m最小可以取到_______；
（3）若正整数m进行3次操作后变为1，求m的最大值．
【答案】（1）3；1；（2） ；（3） 的最大值为255
【详解】解：（1）∵ ，∴ ，
∴ ，
∴对10进行1次操作后变为3；
同理可得 ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∴对200进行3次作后变为1，
故答案为：3；1；
（2）设m进行第一次操作后的数为x，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵要经过两次操作．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
（3）设m经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为x，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
．
∴ ．
∵要经过3次操作，故 ．
∴ ．
∵ 是整数．
∴ 的最大值为255．
【点睛】本题考查取整函数及无理数的估计，正确理解取整含义是求解本题的关键．3．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积
的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小
算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如1，4，9这三个数， ，
， ，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和
谐组合”，其中最小的算术平方根是2，最大算术平方根是6.
（1）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方
根．
（2）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，
求a的值．
【答案】（1）见解析，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12；（2）81
【分析】（1）根据“和谐组合”的定义求解即可；
（2）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，分别
列方程求解即可．
【详解】解：（1）证明：∵ ， ，
∴2，18，8这三个数是“和谐组合”
∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12；
（2）分三种情况：①当 时， 得： （舍去）
②当 时， ，得： （舍去）
③当 时， ．得：
综上所述，a的值为81．
【点睛】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是正确分析新定义的运
算法则．
4．观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a= ；
5
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a= = （n为正整
n数）；
（3）已知|ab－3|与|a－1|互为相反数，试利用上面的规律求下式的值．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）
【分析】（1）根据规律进行解答即可得；
（2）根据规律，可得 ；
（3）由题意得|ab－3|＋|a－1|= 0，解得a = 1,b=3，将a，b代入式子中，再根据所得规律
进行解答即可得．
【详解】（1） ，
故答案为： ；
（2） ，
故答案为： ， ；
（3）∵|ab－3|与|a－1|互为相反数，
∴|ab－3|＋|a－1|= 0，
则ab－3= 0 ，a－1=0，
解得a = 1,b=3，
=
=
=
=
【点睛】本题考查了式子的规律，相反数，解题的关键是根据所给的等式找出规律．
5．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如 ，有些数则不能直接求得，如
，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，
请同学们观察表：n 0.0016 0.16 16 1600 160000 ……
0.04 0.4 4 40 400 ……
（1）表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算
术平方根的小数点就向 移动 位；
（2）运用你发现的规律，探究下列问题：
①若 ≈1.910， ≈6.042，则 ≈ ；
②已知x2≈0.000365，则x≈ ．
【答案】（1）向左或向右，1；（2）① ；②
【分析】（1）从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答；
（2）根据（1）中的发现得规律解答即可．
【详解】解：（1）通过观察发现：被开方数的小数点向左或向右移动2位，算术平方根的
小数点就向左或向右移动1位；
故答案为：向左或向右，1；
（2）①∵ ≈6.042，
∴ ，
故答案为： ；
②∵ ≈1.910，x2≈0.000365，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键在于从小数点的移动位数考虑．
6．小明是一位善于思考．勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数
没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于 ，所以 没有平方根．有一天，小明想：
如果存在一个数 ，使 ，那么 ，因此 就有两个平方根了．进一步，小明
想：因为 ，所以 的平方根是 ；因为 ，所以 的平方根就是
．请你根据上面的信息解答下列问题：
（1）求 ， 的平方根；
（2）求 ， ， ， ， ， ，…的值，你发现了什么规律？请你将发现的规律用式子
表示出来；
（3）求 的值．
【答案】（1） ， ；（2） ， ， ， ， ， ；规律：
， ， ， （其中 是正整数）；（3） ．
【分析】（1）仿照题干信息，直接求 ， 的平方根即可；（2）从 开始，逐次往后推导，即可得出 ， ， ， ， ， ，…的值，从而根
据每一个的结论总结规律即可；
（3）在（2）的基础之上，结合周期性规律求解即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ 的平方根是 ，
∵ ，
∴ 的平方根是 ．
（2） ，
，
，
，
，
，…，
规律是： 每四个相邻次方为一个循环，
用式子表示为： ， ， ， （其中 是正整数）．
（3）由（2）可知， 中，相邻四个数的和为0，
∵ ，
∴原式 ．
【点睛】本题考查平方根的拓展应用，掌握平方根的基本定义，以及；理解题干中给出的
定义是解题关键．
7． ，即 ， 的整数部分为 ，小数部分为 ．请你观察
上述式子的规律后解决下面问题．
（1）规定用符号 表示实数 的整数部分，例如： ， ，填空：
______； ______；
（2）如果 的小数部分为 ， 的小数部分为 ，求 的值．
【答案】（1）5，1；（2）1
【分析】（1）根据已知的新定义确定出所求即可；
（2）根据题意确定出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：（1）） ； ．
故答案为5、1；
（2）根据题意，得，
，
．
，
．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，弄清题中的新规定是解本题的关键．
8．阅读下列材料，回答相关问题：
求一个正数的算术平方根，有些数可以开得尽方，如 ， 等，有些数开不尽方，如
， 等．对于开不尽方的数，我们可以通过计算器求得，也可以通过一组数的内在
联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
探究发现：从表中所给的信息，你能发现什么规律？（请将规律用文字表述出来）
理解应用：用你发现的规律，探究下列问题：
已知 ，求下列各数的算术平方根：
（1） ；
（2） ．
拓展应用：根据上述探究过程类比研究：已知 ，则 ________．
【答案】探究发现：被开方数的小数点向左或向右移动 位，其算术平方根的小数点就向
左或向右移动 位；理解应用：（1） ，（2） ；拓展应用：
【分析】（1）观察被开方数和算术平方根小数点的位置，即可求解；
（2）根据（1）中的规律，从被开方数和算术平方根小数点的移动位置考虑，即可求解；
（3）根据前面的规律，被开立方数与立方根之间的关系，即可求解．
【详解】
解：探究发现：观察被开方数和算术平方根小数点的位置，可以的得到：被开方数的小数
点向左或向右移动 位，其算术平方根的小数点就向左或向右移动 位．
理解应用： ，被开方数为
（1） 可由 的小数点向左移动两位得到，所以 可以由 的小数点向
左移动一位得到，
又∵
∴
（2） 可由 的小数点向右移动四位得到，所以 可以由 的小数点向右移动两位得到，
又∵
拓展应用：类比可以得到，被开立方数的小数点向左或向右移动 位，其算术平方根的小
数点就向左或向右移动 位，
∵ ，开立方数为 ， 开立方数为 ，
可以由 得小数点向右移动3位得到，因此 可以由 小数点向右移动
一位得到，
．
【点睛】
本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键是从小数点移动的位数来考虑．
