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必考点 15 分式的化简求值
●题型一 化简后直接代入求值
m2−4m+4 3
【例题1】（2021秋•白水县期末）先化简，再求值： ÷（m+1− ），其中m＝4．
m−1 m−1
【分析】先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．
(m−2) 2 (m+1)(m−1) 3
【解答】解：原式= ÷[ − ]
m−1 m−1 m−1
(m−2) 2 m2−1−3
= ÷
m−1 m−1
(m−2) 2 m−1
= •
m−1 (m+2)(m−2)
m−2
= ；
m+2
当m＝4时，
4−2
原式=
4+2
1
= ．
3
【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
a−b a b
【例题2】（2022•永丰县模拟）先化简，再求值：( − )÷ ，其中a＝﹣2，b
a2−2ab+b2 a2−2ab a−2b
＝3．
【分析】根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则进行化简，然后将 a与b的值代入原式即可求出答
案．
a−b a a−2b
【解答】解：原式＝[ − ]•
(a−b) 2 a(a−2b) b
1 1 a−2b
＝（ − ）•
a−b a−2b b
a−2b−a+b a−2b
=
•
(a−b)(a−2b) b
−b a−2b
=
•
(a−b)(a−2b) b1
=− ，
a−b
当a＝﹣2，b＝3时，
1
原式=−
−2−3
1
= ．
5
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．
【解题技巧提炼】
先把分式化简后，再把分式中字母对应的值直接代入求出分式的值即可．在化简的过程中要注意运算顺序
和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
●题型二 化简后自选合适的数值代入求值
a+1 a+1
【例题3】若a为正整数，则化简 ÷ 的结果可以是（ ）
a2−a a2−2a+1
1 3
A．0 B． C． D．2
2 2
【分析】将原式中分母进行因式分解，然后把除法转化为乘法进行计算，最后根据a为正整数进行判断．
a+1 a+1
【解答】解：原式 = ÷
a(a−1) (a−1) 2
a+1 (a−1) 2
= ⋅
a(a−1) a+1
a−1
= ，
a
∵a≠0，a+1≠0，a﹣1≠0，
∴a≠0且a≠﹣1且a≠1，
又∵a为正整数，
∴a﹣1＜a，
a−1 a−1
即 ＜1且 ≠0，
a a
∴选项A、C、D均不符合题意，
当a＝2时，
2−1 1
原式= = ，故选项B符合题意，
2 2
故选：B．【点评】本题考查分式的除法运算，理解分式有意义的条件，掌握因式分解和约分的技巧是解题关键．
x2+x 2
【例题4】（2021秋•玉溪期末）先化简： ÷(1+ )，再任选一个你喜欢的数作为x的值代
x2−2x+1 x−1
入求值．
【分析】先算括号内的式子，然后算括号外的除法，再选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子
计算即可．
x2+x 2
【解答】解： ÷(1+ )
x2−2x+1 x−1
x(x+1) x−1+2
= ÷
(x−1) 2 x−1
x(x+1) x−1
=
•
(x−1) 2 x+1
x
= ，
x−1
∵x＝1或﹣1时，原分式无意义，
2
∴当x＝2时，原式= =2．
2−1
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法和除法的运算法则．
3 a2−1
【例题5】（2021秋•塔城地区期末）先化简，再求值：(1+ )÷ ．请你从﹣1，0，1，2中选
a−2 (a−2) 2
取一个适当的数代入求值．
【分析】根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
a−2+3 (a−2) 2
【解答】解：原式= •
a−2 (a+1)(a−1)
(a+1)(a−2)
=
(a+1)(a−1)
a−2
= ，
a−1
由分式有意义的条件可知：a不能取2，±1，
当a＝0时，原式＝2．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则．
【解题技巧提炼】
先把分式化简后，再从题目中给出的条件中挑选合适的字母对应的值代入求出分式的值即可．在化简的过
程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简
分式或整式．所选取的字母的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
●题型三 字母满足方程（组）或不等式（组）
x−2 1 x2−2x+1
【例题 6】（2022 秋•鼓楼区校级期中）先化简再求值： − ⋅ ，其中
x+1 x−1 x+2
x=(2−2√3) 0+2．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值根据零指数幂的运算法则计算，代入计算即可．
x−2 1 (x−1) 2
【解答】解：原式= − •
x+1 x−1 x+2
x−2 x−1
= −
x+1 x+2
x2−4 x2−1
= −
(x+1)(x+2) (x+1)(x+2)
3
=−
，
(x+1)(x+2)
当x＝（2﹣2√3）0+2＝3时，
3 3
原式
=− =−
．
(3+1)(3+2) 20
【点评】本题考查的是分式的化简求值、零指数幂，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
a2−b2 a b2
【例题7】（2021秋•海港区期末）先化简，再求值：( + )÷ ，其中a．b满足
a2−2ab+b2 b−a a2−ab
|a−√3|+√b+1=0．
【分析】先计算括号内的式子，再算括号外面的除法，然后根据|a−√3|+√b+1=0可以得到a、b的
值，再代入化简后的式子计算即可．
a2−b2 a b2
【解答】解：( + )÷
a2−2ab+b2 b−a a2−ab(a+b)(a−b) a a(a−b)
＝[ − ]•
(a−b) 2 a−b b2
a+b a a(a−b)
＝（ − ）•
a−b a−b b2
b a(a−b)
= •
a−b b2
a
= ，
b
∵|a−√3|+√b+1=0．
∴a−√3=0，b+1＝0，
解得a=√3，b＝﹣1，
√3
当a=√3，b＝﹣1时，原式= =−√3．
−1
【点评】本题考查分式的化简求值、非负数的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
1 x2−6x+9
【例题8】（2021秋•凤庆县期末）先化简分式：(1− )÷ ，再从2≤x≤4中选一个合适的
x−2 2x−4
整数代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最
简结果，把x的值代入计算即可求出值．
x−2 1 (x−3) 2
【解答】解：原式＝（ − ）÷
x−2 x−2 2(x−2)
x−3 2(x−2)
= •
x−2 (x−3) 2
2
= ，
x−3
∵2≤x≤4，
又∵x≠2且x≠3，
∴x＝4，
当x＝4时，原式＝2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【解题技巧提炼】
先把分式化简后，再把解题中的方程或不等式组的特殊解，然后再选取合适的字母的值代入化简后的分式
求出分式的值即可．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约
分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
●题型四 化简后整体代入求值
1 1
【例题9】（2022•河北）若x和y互为倒数，则（x+ ）（2y− ）的值是（ ）
y x
A．1 B．2 C．3 D．4
1 1
【分析】根据x和y互为倒数可得xy＝1，再将（x+ ）（2y− ）进行化简，将xy＝1代入即可求值．
y x
【解答】解：∵x和y互为倒数，
∴xy＝1，
1 1
∵（x+ ）（2y− ）
y x
1
＝2xy﹣1+2−
xy
＝2×1﹣1+2﹣1
＝2﹣1+2﹣1
＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式化简求值，解题关键是熟练掌握分式化简．
1 1
【例题10】（2022春•大田县期末）已知，a+b＝2，ab＝﹣5，则 + 的值为（ ）
a b
5 2 5 2
A． B． C．− D．−
2 5 2 5
【分析】将要求分式通分之后计算，再将a+b＝2，ab＝﹣5整体代入求值即可．
b a a+b
【解答】解：原式= + = ，
ab ab ab
∵a+b＝2，ab＝﹣5，
2 2
∴原式= =− ．
−5 5
故选：D．
【点评】本题考查分式化简求值，解题关键是熟知分式加法计算法则．ab a2
【例题11】（2021秋•永顺县期末）已知a﹣b＝3，求 ÷( −a)的值．
a2−2ab+b2 a−b
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最
简结果，把a﹣b＝2代入计算即可求出值．
ab
a2−a(a−b)
ab a−b 1
【解答】解：原式= ÷ = • = ，
(a−b) 2 a−b (a−b) 2 ab a−b
1
当a﹣b＝3时，原式= ．
3
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2m+1 m+1
【例题12】（2022秋•海淀区校级月考）已知m2+m﹣2＝0，求代数式（m+ ）÷ 的值．
m m2
【分析】先算括号里的式子，再算括号外的除法，然后根据 m2+m﹣2＝0可以得到m2+m＝2，然后代入
化简后的式子即可．
2m+1 m+1
【解答】解：(m+ )÷
m m2
m2+2m+1 m2
= •
m m+1
(m+1) 2 m2
= •
m m+1
＝m（m+1）
＝m2+m，
∵m2+m﹣2＝0，
∴m2+m＝2，
∴原式＝2．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
【解题技巧提炼】
先把分式化简后，再利用整体代入法代入式子的值求出分式的值即可．在化简的过程中要注意运算顺序和
分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
●题型五 取倒数或利用倒数关系求值
【例题13】阅读下列解题过程：
x 1 x2
=
已知 ，求 的值．
x2+1 3 x4+1x 1 x2+1 1
解：由 = ，知x≠0，所以 =3，即x+ =3．
x2+1 3 x x
x4+1 1 1 2
∴ =x2+ =(x+ ) −2＝32﹣2＝7．
x2 x2 x
x2 1
∴ 的值为7的倒数，即 ．
x4+1 7
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做
“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
x 1 x2
（1）已知 = ，求 的值．
x2−x+1 7 x4+x2+1
xy yz 4 zx 4 xyz
（2）已知 =2， = ， = ，求 的值．
x+ y y+z 3 z+x 3 xy+ yz+zx
1 1
【分析】（1）已知等式变形求出x+ 的值，原式变形后，将x+ 的值代入计算即可；
x x
1 1 1
（2）已知三等式变形后相加求出 + + 的值，原式变形后代入计算即可求出值．
x y z
x 1 x2−x+1 1 1
【解答】解：（1）由 = ，得到 =x+ −1＝7，即x+ =8，
x2−x+1 7 x x x
1 1 1 1
= = = =
则原式 x2+ 1 +1 (x+ 1 ) 2−1 64−1 63；
x2 x
x+ y 1 1 1 y+z 1 1 3 z+x 1 1 3
（2）根据题意得： = + = ， = + = ， = + = ，
xy x y 2 yz y z 4 zx x z 4
1 1 1
可得 + + = 1，
x y z
1
= =
则原式 1 1 1 1．
+ +
x y z
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【例题14】（2021秋•成武县期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解
答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形
式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
x 1 1
例：已知：
= ，求代数式x2+
的值．
x2+1 4 x2x 1 x2+1 x2 1
解：∵ = ，∴ =4即 + =4
x2+1 4 x x x
1 1 1
∴x+ =4∴x2+ =(x+ ) 2−2=16−2=14
x x2 x
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就
可以通过适当变形解决问题．
x
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求 的值．
y+z
1 1
k
k k k x 2 2 6
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则x= ，y= ，z= ，∴ = = =
2 3 4 y+z 1 1 7 7
k+ k
3 4 12
根据材料解答问题：
x 1 1
（1）已知 = ，求x+ 的值．
x2−x+1 5 x
a b c 3b+4c
（2）已知 = = (abc≠0)，求 的值．
5 4 3 2a
【分析】（1）仿照材料一，利用倒数和完全平方公式进行计算求解；
（2）仿照材料二，利用分式的基本性质计算求解．
x 1
【解答】解：（1）∵ = ，
x2−x+1 4
x2−x+1
∴ =4，
x
x2 x 1
∴ − + =4，
x x x
1
即x﹣1+ =4，
x
1
∴x+ =5；
x
a b c
（2）令 = = =k，
5 4 3
∴a＝5k，b＝4k，c＝3k，
3×4k+4×3k
∴原式= ，
2×5k
＝2.4．
【点评】本题考查分式的化简求值，理解倒数的概念，掌握分式的基本性质是解题关键．
【解题技巧提炼】1.先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数
法”，
2.在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过
适当变形解决问题．
◆◆◆题型一 化简后直接代入求值
1 x+3 x2+4x+3
1．（2021秋•金山区期末）先化简，再求值： − ÷ ，其中x＝2．
x+1 x2−1 x2−2x+1
【分析】首先把除法转化为乘法，把分式的分子和分母分解因式，计算乘法，然后通分，进行加减即可
化简，然后把x的值化简，代入求值即可．
1 x+3 (x−1) 2
【解答】解：原式 = − •
x+1 (x+1)(x−1) (x+1)(x+3)
1 x−1
= −
x+1 (x+1) 2
x+1−x+1
=
(x+1) 2
2
=
，
(x+1) 2
2
当x＝2时，原式= ．
9
【点评】本题考查了分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式
分解；除法要统一为乘法运算．
2xy−y2 x2−y2
2．（2022秋•郓城县校级月考）先化简，再求值：（x− ）÷ ，其中x=√2+1，y=√2．
x x2+xy
【分析】先根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出
答案．
x2−2xy+ y2 x(x+ y)
【解答】解：原式= •
x (x−y)(x+ y)
(x−y) 2 x
= •
x x−y
＝x﹣y，当x=√2+1，y=√2时，
原式=√2+1−√2
＝1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基
础题型．
◆◆◆题型二 化简后自选合适的数值代入求值
a−1 a2−2a 2a−1
3．（2022•郯城县一模）先化简，再求值 + ÷( −a−1)，其中a取适当值．
a+1 a2−1 a−1
【分析】先算括号内的式子，然后算括号外的除法，最后算加法即可化简题目中的式子，然偶选取一个
使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
a−1 a2−2a 2a−1
【解答】解： + ÷( −a−1)
a+1 a2−1 a−1
a−1 a(a−2) 2a−1−(a+1)(a−1)
= + ÷
a+1 (a+1)(a−1) a−1
a−1 a(a−2) a−1
= + •
a+1 (a+1)(a−1) 2a−1−a2+1
a−1 a(a−2) a−1
= + •
a+1 (a+1)(a−1) −a(a−2)
a−1 1
= −
a+1 a+1
a−1−1
=
a+1
a−2
= ，
a+1
3−2 1
当a＝3时，原式= = ．
3+1 4
【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
4．（2021秋•白碱滩区期末）化简求值：
x x2+2x+1
先化简（ −1）÷ ，再从﹣1，0，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
x−1 x2−1
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
x−(x−1) (x+1) 2
【解答】解：原式= ÷
x−1 (x+1)(x−1)
1 (x+1)(x−1)
= •
x−1 (x+1) 2
1
= ，
x+1
当x＝﹣1，1时，原式没有意义；
当x＝0时，原式＝1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
◆◆◆题型三 字母满足方程（组）或不等式（组）
x−3 x2+2x+1 1
5．（2021秋•红河县期末）先化简： ⋅ −( +1)，其中0≤x≤3，且x为整数，请选
x2−1 x−3 x−1
择一个你喜欢的数x代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则运算，第一项约分后再利用同分母分式的减
法法则计算得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
x−3 (x+1) 2 1 x−1
【解答】解：原式= • −（ + ）
(x+1)(x−1) x−3 x−1 x−1
x−3 (x+1) 2 1+x−1
= • −
(x+1)(x−1) x−3 x−1
x+1 x
= −
x−1 x−1
1
= ，
x−1
∵0≤x≤3，且x为整数，x≠1，x≠3，
∴x＝0或x＝2（以下选一），
当x＝0时，原式＝﹣1；
当x＝2时，原式＝1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．
2 a2−b2 1
6．（2021秋•道县期末）先化简再求值：若√a−2+|3−b|=0，求 ⋅ ÷ 的值．
a−b a2+2ab+b2 a2−b2【分析】将能够进行因式分解的分子或分母进行因式分解，然后将除法统一成乘法，按照分式乘法运算
法则进行计算，再结合二次根式和绝对值的非负性确定a和b的值，从而代入求值．
2 (a+b)(a−b) 1
【解答】解：原式= • ÷
a−b (a+b) 2 (a+b)(a−b)
2 (a+b)(a−b)
= • •（a+b）（a﹣b）
a−b (a+b) 2
＝2a﹣2b，
∵√a−2+|3−b|=0，且若√a−2≥0，|3﹣b|≥0，
∴a﹣2＝0，3﹣b＝0，
解得：a＝2，b＝3，
∴原式＝2×2﹣2×3
＝4﹣6
＝﹣2．
【点评】本题考查分式的化简求值，理解二次根式和绝对值的非负性，掌握分式混合运算的运算顺序
（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
2 x−1 {2(x−1)＜x+1
7．（2022•广元）先化简，再求值： ÷（1− ），其中x是不等式组 的整数解．
x2+x x2−1 5x+3≥2x
【分析】小括号内通分，因式分解，除法转化为乘法，约分即可；求出不等式组的解集，得到整数解，
再根据分式有意义的条件得到x只能取2，代入求值即可．
2 x2−1−x+1
【解答】解：原式= ÷
x(x+1) (x+1)(x−1)
2 (x+1)(x−1)
= •
x(x+1) x(x−1)
2
=
，
x2
解第一个不等式得：x＜3，
解第二个不等式得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
∵x为整数，
∴x的值为﹣1，0，1，2，
∵x≠0，x+1≠0，（x+1）（x﹣1）≠0，x（x﹣1）≠0，
∴x只能取2，当x＝2时，
2 1
= =
原式 ．
22 2
【点评】本题考查了分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，根据分式有意义的条件得到 x只能
取2是解题的关键．
◆◆◆题型四 化简后整体代入求值
a b 4b2−4ab 2b−a
8．若 = ≠0，则代数式（ +1）÷ 的值为（ ）
2 3 a2 a
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
a b
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据 = ≠0，即可解答本题
2 3
4b2−4ab 2b−a
【解答】解：（ + 1）÷
a2 a
4b2−4ab+a2 a
= ⋅
a2 2b−a
(a−2b) 2 a
= ⋅
a2 2b−a
2b−a
= ，
a
a b
∵ = ≠0，
2 3
∴2b＝3a，
3a−a 2a
∴原式= = = 2，
a a
故选：A．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
2 2
9．（2022春•南阳期末）若x+y＝3，xy＝﹣3，则 + 的值是（ ）
x y
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【分析】将所求式子变形，再整体代入即可得到答案．
【解答】解：∵x+y＝3，xy＝﹣3，2 2
∴ +
x y
2(x+ y)
=
xy
2×3
=
−3
＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质和整体思想的应用．
x+2 1
10．（2022•云安区模拟）已知x2﹣x﹣3＝0，求分式 − 的值．
x+1 x−2
x+2 1 x2−4−x−1
【分析】先根据x2﹣x﹣3＝0，得到x2﹣x＝3，再将 − 变形为 ，整体代入计算即
x+1 x−2 x2−x−2
可求解．
【解答】解：∵x2﹣x﹣3＝0，
∴x2﹣x＝3，
x+2 1
∴ −
x+1 x−2
(x+2)(x−2)−(x+1)
=
(x+1)(x−2)
x2−4−x−1
=
x2−x−2
3−5
=
3−2
＝﹣2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
◆◆◆题型五 取倒数或利用倒数关系求值
11．（2021秋•鄂州期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形
式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
x 1 1
例：若
= ，求代数式x2+
的值．
x2+1 4 x2
x 1 x2+1
解：∵ = ，∴ =4
x2+1 4 xx2 1 1 1 1
即 + =4∴x + = 4∴x2+ = （x + ）2﹣2＝16﹣2＝14．
x x x x2 x
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就
可以通过适当变形解决问题．
x
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求 的值．
y+z
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
1 1
k
k k k x 2 2 6
则x= ，y= ，z= ，∴ = = = ．
2 3 4 y+z 1 1 7 7
k+ k
3 4 12
根据材料回答问题：
x 1 1
（1）已知 = ，求x+ 的值．
x2−x+1 4 x
a b c 3b+4c
（2）已知 = = ，（abc≠0），求 的值．
5 4 3 2a
xy yz 4 zx 4 xyz
（3）已知x、y、z为实数， =−2， = ， =− ．求分式 的值．
x+ y y+z 3 z+x 3 xy+ yz+zx
【分析】（1）利用倒数法把原式变形，计算即可；
a b c
（2）设 = = =k，用k表示出a、b、c，代入计算即可；
5 4 3
1 1 1
（3）利用倒数法、分式的约分法则计算求出 + + ，把原式变形，代入计算得到答案．
x y z
x 1
【解答】解：（1）∵ = ，
x2−x+1 4
x2−x+1
∴ =4，
x
1
∴x﹣1+ =4，
x
1
∴x+ =5；
x
a b c
（2）设 = = =k，
5 4 3
则a＝5k，b＝4k，c＝3k，
3b+4c 12k+12k 12
∴ = = ；
2a 10k 5
xy
（3）∵ =−2，
x+ yx+ y 1
∴ =− ，
xy 2
1 1 1
∴ + =− ，
x y 2
1 1 3 1 1 3
同理可得： + = ， + =− ，
y z 4 x z 4
1 1 1 1 1 1 1
∴ + + + + + =− ，
x y y z x z 2
1 1 1 1
∴ + + =− ，
x y z 4
xy+ yz+xz 1
∴ =− ，
xyz 4
xyz
∴ =−4．
xy+ yz+xz
【点评】本题考查的是分式的通分和约分、实数的性质，掌握分式的通分和约分法则是解题的关键．
2x 1
1．（2022•西城区校级模拟）如果y＝﹣x+3，且x≠y，那么代数式 + 的值为（ ）
x2−y2 y−x
1 1
A．− B． C．﹣3 D．3
3 3
【分析】将原式进行通分计算，然后利用整体思想代入求值．
2x x+ y
【解答】解：原式 = −
(x+ y)(x−y) (x+ y)(x−y)
2x−x−y
=
(x+ y)(x−y)1
= ，
x+ y
∵y＝﹣x+3，
∴x+y＝3，
1
∴原式= ，
3
故选：B．
【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加
减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
1 1
2．（2021秋•新泰市期末）已知x+ =3，则x2﹣2 + = ．
x x2
【分析】原式利用完全平方公式化简后，把已知等式代入计算即可求出值．
1
【解答】解：∵x+ =3，
x
1
∴原式＝（x+ ）2﹣4
x
＝9﹣4
＝5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
1
3．（2021秋•丰宁县期末）已知m2﹣4m+1＝0，则m+ = ．
m
1
【分析】将式子m2﹣4m+1＝0的等号两边同时除以m，然后变形，即可得到m+ 的值．
m
【解答】解：∵m2﹣4m+1＝0，
1
∴m﹣4+ =0，
m
1
∴m+ =4，
m
故答案为：4．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确题意，知道m2﹣4m+1＝0中暗含着m≠0．
1
4．（2022•尤溪县模拟）已知实数a满足a2﹣3a﹣1＝0，则a2+
的值为 ．
a2
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：∵a2﹣3a﹣1＝0，a≠0，1
∴a− =3，
a
1
∴（a− ）2＝9，
a
1
∴a2﹣2 + = 9，
a2
1
∴a2+ =
11，
a2
故答案为：11．
【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．
b a
5．（2022春•成华区期末）已知两个不等于0的实数a，b满足a+b＝0，则 + 的值为 ．
a b
b a
【分析】根据两个不等于0的实数a，b满足a+b＝0，可以得到a＝﹣b，然后即可得到 =−1， =−
a b
1，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵两个不等于0的实数a，b满足a+b＝0，
∴a＝﹣b，
b a
∴ =−1， =−1，
a b
b a
∴ +
a b
＝﹣1+（﹣1）
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确a和b的关系．
1 1 1 1
6．（2022•南充）已知a＞b＞0，且a2+b2＝3ab，则（ + ）2÷（ − ）的值是（ ）
a b a2 b2
√5 √5
A．√5 B．−√5 C． D．−
5 5
【分析】利用分式的加减法法则，乘除法法则把分式进行化简，由a2+b2＝3ab，得出（a+b）2＝5ab，
（a﹣b）2＝ab，由a＞b＞0，得出a+b=√5ab，a﹣b=√ab，代入计算，即可得出答案．
1 1 1 1
【解答】解：（ + ）2÷（ − ）
a b a2 b2(a+b) 2 b2−a2
= ÷
a2b2 a2b2
(a+b) 2 a2b2
= •
a2b2 (b+a)(b−a)
a+b
=− ，
a−b
∵a2+b2＝3ab，
∴（a+b）2＝5ab，（a﹣b）2＝ab，
∵a＞b＞0，
∴a+b=√5ab，a﹣b=√ab，
a+b √5ab √5ab
∴− =− =− =−√5，
a−b √ab ab
故选：B．
【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的加减法法则，分式的乘除法法则，把分式正确化简是
解决问题的关键．
(x2−1) 2+||xy|−2|
7 ． （ 2022 秋 • 石 阡 县 月 考 ） 已 知 =0， 则
(x+1)(y+2)
1 1 1
+ +⋯⋯+
的值是 ．
xy (x+1)(y+1) (x+2022)(y+2022)
(x2−1) 2+||xy|−2|
【分析】根据 =0，可以计算出x、y的值，然后代入所求式子，再裂项计算即可．
(x+1)(y+2)
(x2−1) 2+||xy|−2|
【解答】解：∵ =0，
(x+1)(y+2)
∴x2﹣1＝0，|xy|﹣2＝0且x+1≠0，y+2≠0，
解得x＝1，y＝2，
1 1 1
∴
+ +⋯+
xy (x+1)(y+1) (x+2022)(y+2022)
1 1 1
= + +⋯+
1×2 2×3 2023×2024
1 1 1 1 1
＝1− + − +⋯+ −
2 2 3 2023 20241
＝1−
2024
2023
= ，
2024
2023
故答案为： ．
2024
【点评】本题考查分式的化简求值、绝对值，解答本题的关键是明确题意，求出x、y的值．
x x2−2x+1
8．（2021秋•景谷县期末）先化简，再求值：(1− )÷ ，其中x＝2．
x+1 x2−1
【分析】先算括号内的减法，然后计算括号外的除法，再将x的值代入化简后的式子计算即可．
x x2−2x+1
【解答】解：(1− )÷
x+1 x2−1
x+1−x (x+1)(x−1)
= •
x+1 (x−1) 2
1 (x+1)(x−1)
= ⋅
x+1 (x−1) 2
1
= ，
x−1
1
当x＝2时，原式= =1．
2−1
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．
2x−1 x2−4x+4
9．（2022•陇县三模）先化简( −x+1)÷ ，再在﹣2＜x＜3内任选一个合适的整数代入
x+1 x+1
求值．
【分析】先计算括号内分式减法，再将除法转化为乘法计算，最后选择合适的x值代入求值即可．
2x−1 x2−1 x+1
【解答】解：原式＝（ − ）•
x+1 x+1 (x−2) 2
−x(x−2) x+1
= •
x+1 (x−2) 2
−x
= ，
x−2
∵x取﹣2＜x＜3之间的任意一个整数，
∴x可取﹣1，0，1，2，其中﹣1和2使分式分母为0，不可取．
当x＝0时，原式＝0；或当x＝1时，原式＝1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则．
3−3x x2−x
10．（2022•薛城区模拟）先化简，再求值：（x﹣1+ ）÷ ，其中x为整数且满足不等式组
x+1 x+1
{x−1＞1
．
8−2x≥2
{x−1＞1
【分析】先算括号内的式子，再算括号外的除法即可化简题目中的式子，由 ，可以得到x的
8−2x≥2
取值范围，再选择一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可．
3−3x x2−x
【解答】解：（x﹣1+ ）÷
x+1 x+1
(x−1)(x+1)+3−3x x+1
= ×
x+1 x2−x
x2−3x+2 x+1
= ×
x+1 x(x−1)
(x−2)(x−1) x+1
= ×
x+1 x(x−1)
x−2
= ．
x
{x−1＞1
由 ，可得：2＜x≤3，
8−2x≥2
∵x+1≠0，x≠0，
∴x≠﹣1，x≠1，
∴x＝3，
3−2 1
当x＝3时，原式= = ．
3 3
【点评】本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算
法则和解一元一次不等式组的方法．
x2−2xy+ y2 x2+ y2
11．先化简，再求值： ÷( −x+ y)，其中|2x﹣y|与√x−1互为相反数．
x2−y2 x−y
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最
简结果，利用相反数及非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值．(x−y) 2 x2+ y2−(x−y) 2
【解答】解：原式= ÷
(x+ y)(x−y) x−y
x−y 2xy
= ÷
x+ y x−y
x−y x−y
= •
x+ y 2xy
(x−y) 2
= ，
2xy(x+ y)
由|2x﹣y|与√x−1互为相反数，得到|2x﹣y|+√x−1=0，
可得x＝1，y＝2，
1
则原式= ．
12
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
1 2 2x−2x2
12．（2021秋•宁安市期末）先化简，再求值：（ − ）÷ ，其中x满足x2﹣x﹣1＝0．
x x+1 x2+2x+1
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简，把已知变形，进而代入得出答案．
x+1−2x 2x(1−x)
【解答】解：原式 = ÷
x(x+1) (x+1) 2
1−x (x+1) 2
=
•
x(x+1) 2x(1−x)
x+1
=
，
2x2
∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
x+1
=
原式
2(x+1)
1
= ．
2
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
x2−y2
13．（2022 秋•东平县校级月考）已知实数 x、y 满足|x﹣3|+y2﹣4y+4＝0，求代数式 •
xy
1 x
÷ 的值．
x2−2xy+ y2 x2y−x y2【分析】把所求式子化简，再由绝对值和平方的非负性求出x，y的值，代入即可求出答案．
(x−y)(x+ y) 1 xy(x−y)
【解答】解：原式= • •
xy (x−y) 2 x
x+ y
= ，
x
∵|x﹣3|+y2﹣4y+4＝0，
∴|x﹣3|+（y﹣2）2＝0，
∴x﹣3＝0，y﹣2＝0，
∴x＝3，y＝2，
3+2
∴原式=
3
5
= ．
3
【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
x−y x2−y2
14．（2022秋•邢台期中）已知A=1− ÷ ．
x+2y x2+4xy+4 y2
（1）化简A；
（2）若x+7y＝0，求A的值．
【分析】（1）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分后进行通分进行分式的
减法运算；
（2）把x+7y＝0变形为x＝﹣7y，代入A，即可求解．
【 解 答 】 （ 1 ） 解 ：
x−y x2−y2 x−y (x+2y) 2 x+2y x+ y x+2y y
A=1− ÷ =1− × =1− = − =− ；
x+2y x2+4xy+4 y2 x+2y (x+ y)(x−y) x+ y x+ y x+ y x+ y
（2）解：由x+7y＝0可得，x＝﹣7y，
y y y 1
所以A=− =− =− = ．
x+ y −7 y+ y −6 y 6
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式混合运算顺序和运算法则是关键．
4−x2 x2−2x 5
15．（2022秋•江口县校级月考）有这样一道题：“先化简，再求值： ÷ • ，其中，
x2+x+1 x3+x2+x x+2
x＝﹣2022”．小玲做题时把“x＝﹣2022”错抄成了“x＝2022”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算即可得出答案．
−(x+2)(x−2) x(x2+x+1) 5
【解答】解：原式= • •
x2+x+1 x(x−2) x+2
＝﹣5，
∴原式的值与x无关．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
m m2−3m 1
16．（2022•朝阳模拟）先化简，再求值： ÷ − ，其中m与2，3恰好构成△ABC的
m2−4 m+2 2−m
三边，且m为正整数．
【分析】原式第一项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结
果，利用三角形三边关系确定出正整数m的值，代入计算即可求出值．
m m+2 1
【解答】解：原式= • +
(m+2)(m−2) m(m−3) m−2
1 m−3
= +
(m−2)(m−3) (m−2)(m−3)
m−2
=
(m−2)(m−3)
1
= ，
m−3
∵m与2，3恰好构成△ABC的三边，且m为正整数，
∴1＜m＜5，即m＝2，3，4，
当m＝2或3时，原式没有意义；
当m＝4时，原式＝1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及三角形三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（2021秋•东城区校级期末）在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，
即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算求值的目的．
x 1 1
例：已知
= ，求代数式x2+
的值．
x2+1 5 x2
x 1 x2+1 x2 1 1
解：∵ = ，∴ =5即 + =5，∴x+ =5．
x2+1 5 x x x x
（1）请继续完成上面问题的求值过程；x x2
（2）请仿照上述方法解决问题：已知 = 4，求 的值．
x2−x−1 x4+x2+1
1
【分析】（1）把x+ =5两边平方，利用完全平方公式化简，计算即可求出所求；
x
1
（2）已知等式左右两边求倒数，变形后求出x− 的值，两边平方利用完全平方公式化简，原式变形后
x
代入计算即可求出值．
1
【解答】解：（1）把x+ =5两边平方得：
x
1 1
（x+ ）2＝25，即x2+ + 2＝25，
x x2
1
则x2+ =
23；
x2
x
（2）∵ = 4，
x2−x−1
x2−x−1 1 1 1
∴ = ，即x﹣1− = ，
x 4 x 4
1 5
整理得：x− = ，
x 4
1 25
两边平方得：（x− ）2= ，
x 16
1 25 1 57
整理得：x2+ −2= ，x2+ = ，
x2 16 x2 16
1 1 16
= = =
则原式 x2+ 1 +1 57 +1 73．
x2 16
【点评】此题考查了约分，以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
18．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形
式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
x 1 1
例：已知：
= ，求代数式x2+
的值．
x2+1 4 x2
x 1 x2+1 x2 1
解：∵ = ，∴ =4即 + =4
x2+1 4 x x x
1 1 1
∴x+ =4∴x2+ =(x+ ) 2−2＝16﹣2＝14
x x2 x
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
x
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求 的值．
y+z
1 1
k
k k k x 2 2 6
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则x= ，y= ，z= ，∴ = = =
2 3 4 y+z 1 1 7 7
k+ k
3 4 12
根据材料回答问题：
x 1 1
（1）已知 = ，求x+ 的值．
x2−x+1 5 x
a b c 3b+4c
（2）已知 = = （abc≠0），求 的值．
5 4 3 2a
yz zx xy x2+ y2+z2
（3）若 = = = ，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝5，求xyz的值．
bz+cy cx+az ay+bx a2+b2+c2
x2−x+1
【分析】（1）根据题意，可知 =5，然后变形整理，即可得到所求式子的值；
x
（2）根据材料2中的例子，可以求得所求式子的值；
（3）根据材料中的例子，将题目中的式子整理，化简，即可得到所求式子的值．
x 1
【解答】解：（1）∵ = ，
x2−x+1 5
x2−x+1
∴ =5，
x
1
∴x−1+ =5，
x
1
∴x+ =6；
x
a b c
（2）设 = = =k(k≠0)，则a＝5k，b＝4k，c＝3k，
5 4 3
3b+4c 12k+12k 12
∴ = = ；
2a 10k 5
yz zx xy 1
（3）设 = = = (k≠0)，
bz+cy cx+az ay+bx k
b c
∴ + =k①，
y z
c a
+ =k②，
z x
a b
+ =k③，
x y①+②+③，得
b c a
2( + + )=3k，
y z x
b c a 3
+ + = k④，
y z x 2
a 1
④﹣①，得： = k，
x 2
b 1
④﹣②，得： = k，
y 2
c 1
④﹣③，得： = k，
z 2
2a 2b 2c
∴x= ，y= ，z= ，
k k k
x2+ y2+z2 1
∵ =
a2+b2+c2 k
4
(a2+b2+c2
)
∴k2 1，
=
a2+b2+c2 k
4 1
=
∴ ，
k2 k
解得，k＝4，
2a 2b 2c
∴x= ，y= ，z= ，
4 4 4
8abc 5
∴xyz= = ．
64 8
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
