文档内容
第二十一章 一元二次方程知识归纳与题型突破（17 题型清
单）
01 思维导图
02 知识速记
一、一元二次方程的概念
1.概念等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
2.一元二次方程满足的条件(三要素)
(1)是整式方程;(2)只含有一个未知数;(3)整理后未知数的最高次数是 2.
3.对“未知数的最高次数是2”的理解
(1)该项系数不为0:
(2)该项未知数指数为2;
(3)当方程中的二次项系数含有字母时,字母取值不确定,这个方程不一定是一元二次方程
二、一元二次方程的一般形式
1.一般形式
一元二次方程的一般形式是 (a≠0).其中 是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一
次项系数;c是常数项.
2.一元二次方程的一般形式的特点:方程右边是0,左边是关于x的二次整式,且二次项系数不为 0.
3.特殊形式
二次项系数不为0,当b取0或c取0时,一元二次方程的一般形式呈现如下情况:
4.注意事项
确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要丢掉前面的符号.一般情况下,将一元二次方程整理为一般
形式时,若二次项系数为负数,要乘“-1”把它转化为正数,若有的项系数是分数,要把它转化为整数.
三、一元二次方程的解(根)
1.概念
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
如x=2和x=5 都是方程 的解(根).2.一元二次方程的解(根)满足的条件(1)未知数的值;(2)使方程左右两边相等
3.判断一个数是不是一元二次方程的解(根)的方法
4.一元一次方程和一元二次方程根的区别
四、一元二次方程的解法：直接开平方法
直接开平方法解一元二次方程：将方程化成(x+a) 2=b(b≥0)的形式，则x＝-a±❑√b(b≥0).
五、一元二次方程的解法：配方法
1.配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．
2.用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：
（1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
（2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；
（3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式；
（5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．
注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对 且 为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用
公式法来更加简单。
六、公式法
1.公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．
一元二次方程的求根公式是: ( =b2－4ac≥0)
2.推导过程：一元二次方程 ，用配方法将其变形为：
3.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x ,x．若b2－4ac＜0，则方程无解．
1 2
七、一元二次方程根的判别式 ( )
1.①当 时，方程有两个不相等的实根；
② 当 时，方程有两个相等的实根；
③ 当 时，方程没有实根。
判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。
注意：
(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；
(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0
(3)证明 恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。
七、因分解法
1.元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实
现降次的方法。
(x−x )(x−x )=0
即将一元二次方程化简为 1 2 ；从而得出： ，因式分解法的关键是分解成两
个一次因式相乘的形式。
2.分解的主要方法：
提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。
乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好
解决。①平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；②完全平方公式：a2±2ab+b2=（a+b）2
十字相乘法：
十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件：
①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等
于一次项。 例如：用十字相乘法解方程：2x2-x-6=03
∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴x =- ,x =2
1 2 2
4）解一元二次方程的方法选择：
①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。
③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。
八、因分解法
韦达定理：如果 是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得,
．
那么可推得 这是一元二次方程根与系数的关系．
九、一元二次方程解应用题的一般步骤
①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；
②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x；
③依据等量关系式和未知数x建立方程；
④解方程并解答。
注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。
十、二次方程应用题常见类型：
1）面积问题；2）平均变化率问题；3）销售利润问题；4）传播问题；5）循环问题；6）数字问题。
十一、变化率问题
1.增长率问题
a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量.
2.降低率问题
a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换.
总结：有关增长率和降低率的有关数量关系
增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量
是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为 a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取
“－”).
十二、传播问题实例探索数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度）
第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2
十三、循环问题
（1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
1
∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分 ∴m= n（n-1）
2
（2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。
∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场
∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场
∵A 与 B 比赛在 A 的主场，B 与 A 比赛在 B 的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m=
n（n-1）
03 题型归纳
题型一 一元二次方程的定义
例题：（23-24八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：① ；② ；③
；④ ；⑤ ；⑥ ，一元二次方程的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫
做一元二次方程，据此求解即可．
【详解】解：① ，是一元二次方程；
② ，当 时，不是一元二次方程；
③ ，不是整式方程，不是一元二次方程；④ ，是一元二次方程；
⑤ ，含有两个未知数，不是一元二次方程；；
⑥ ，即 ，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程；
∴一元二次方程有2个，
故选：B．
巩固训练
2．（23-24八年级下·浙江金华·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：“含有一个未知数，且未知数的最高
次数是2的整式方程”进行判断即可求解．
【详解】解：A、含有两个未知数，未知数的最高次数是2，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故不符合题意；
C、含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故符合题意；
D、不是整式方程，故不符合题意；
故选：C．
3．（23-24八年级下·山东济宁·期末）下列方程中一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是只含有一个未知数，并且未知数
项的最高次数是2的整式方程是解题的关键．
根据一元二次方程的定义即可解答．
【详解】解：A、 ，当 时不是一元二次方程，故不符合题意；
B、 ，当 时不是一元二次方程，故不符合题意；C、 ，含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；
D、 是一元二次方程，故符合题意．
故选：D．
4．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）关于 的方程 是一元二次方程，则 的值是
（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义解方程求解以及不等式即可得出
答案．
【详解】解：根据题意可得出 且
解得： ，
故选：A．
题型二 一元二次方程的一般形式
例题：5．（24-25九年级上·浙江·假期作业）若一元二次方程 （ 为常数），化成一般形式
为 ，则 的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式．要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一
元二次方程化成一般形式，根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解
方程得到答案．
【详解】解： ，
则 ，
∴ ，
由题意得： ， ，
解得： ， ，
故选：B．巩固训练
6．（23-24八年级下·江苏南通·期末）一元二次方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分
别是（ ）
A．1，2，3 B．0，2， C．0， ， D．1，2，
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题关键在于将方程转化为一元一次方程的一般形式即可解
答. 将方程转化为一元一次方程的一般形式，然后找出方程的二次项系数、一次项系数及常数项即可.
【详解】解：方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1， ， ，
故选D
7．（2023·湖北孝感·一模）已知一元二次方程 ，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，
它的常数项是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握运算的法则是解题的关键．
先把化方程为一般式，从而得到常数项．
【详解】解： ，
去括号，得 ，
合并，得 ，
所以常数项是 ．
故答案为： ．
8．（23-24八年级下·全国·假期作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一
次项系数和常数项．
(1) ；
(2) ；
(3)关于 的方程 ．
【答案】(1) ，二次项系数为3，一次项系数为 ，常数项为(2) ，二次项系数为3，一次项系数为 ，常数项为0
(3) ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键；
（1）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案；
（2）先去括号，再移项，把方程的右边化为0，从而可得答案；
（3）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案；
【详解】（1）解：
移项，得 ．
二次项系数为3，一次项系数为 ，常数项为 ．
（2） ，
去括号，得 ；
移项、合并同类项，得 ，
整理，得 ．
二次项系数为3，一次项系数为 ，常数项为0．
（3）
移项、合并同类项，得 ．
二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
题型三 一元二次方程的解
例题：9．（23-24八年级下·山东威海·期末）若a，b，c满足 ，则关于x的方程
的两个根的平方和是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的根，根据题意，得到方程的两个根为 和 ，进而求出两个根的
平方和即可．
【详解】解：∵a，b，c满足 ，
∴关于x的方程 的两个根分别为 和 ，
∴ ；
故选C．
巩固训练
10．（23-24八年级下·河南郑州·期末）若关于x的一元二次方程 有一根为 ，
则一元二次方程 必有一根为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方
程根的定义，可得一元二次方程 中， 满足该方程，进而即可求解．
【详解】解：设 ，则一元二次方程 可化为，
，
关于x的一元二次方程 有一根为 ，
一元二次方程 有一个根为 ，
则 ，即 ，
一元二次方程 必有一根为2025．
故选：B．
11．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）若m是方程 的一个根，则代数式 的值是
．【答案】
【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一
元二次方程的解．
先根据一元二次方程解的定义得到 ，则 ，再把 变形为 ，然
后利用整体代入的方法计算．
【详解】解： 是方程 的一个根，
，
，
．
故答案为： ．
12．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的一元二次方程 ，如果a，b，c满足
，我们就称这个一元二次方程为波浪方程．
(1)判断方程 是否为波浪方程，并说明理由．
(2)已知关于x的波浪方程 的一个根是 ，求这个波浪方程．
【答案】(1)该方程是波浪方程
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，理解题中所给波浪方程的定义及熟知一元二次方程解得定义
是解题的关键．
（1）根据波浪方程的定义对所给方程进行判断即可．
（2）根据波浪方程的定义，结合方程的一个根为 ，得到关于a，c的方程组即可解决问题．
【详解】（1）解： ， ， ，
，
故该方程是波浪方程；（2）解：由已知得：
解得 ，
这个波浪方程为 ．
题型四 用配方法解一元二次方程
例题：13．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）解方程： ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键．利用配方法即可
求解．
【详解】解：
配方得：
即
或 ，
， ．
巩固训练
14．（23-24八年级下·山东济南·期末）用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
【详解】解： ，
移项，得 ，配方，得 ，
即 ，
故选：C．
15．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）用配方法解方程 时，变形结果正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键．根据配方法的步骤先把常
数项移到等号的右边，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答
案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选：A．
16．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）用配方法解一元二次方程 ，下列配方正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查用配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半
的平方配成完全平方式后即可得．
【详解】．
故选：D．
题型五 配方法的应用
例题：17．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）已知 ，则 的最小值是
（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了配方法的应用．利用配方法对原式进行变形，再根据偶次方的运算计算出结果．
【详解】解：
因为 ， ，
，
所以当 ， 时，
原式有最小值4，
故选：D．
巩固训练
18．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于 的多项式 ，当 时，该多项式的
值为 ，则多项式 的值可以是（ ）
A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75
【答案】A
【分析】本题考查了代数式及配方法，不等式及偶次方的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．先将
代入原式，可整理得 ，再代入到 ，配方得 ，进而求解即可．
【详解】∵当 时，该多项式的值为 ，
∴ ，整理得 ，即
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
四个选项中，只有A符合，
故选：A．
19．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）代数式 的值恒为（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【答案】A
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将原式整理为
，即可获得答案．
【详解】解：∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴代数式 的值恒为正数．
故选：A．
20．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知实数 满足 ，设 ，则
的最大值是 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据 ，可以得到 ，然后可以得到 ，进而得到，再设 ，即可得到 ，然后即可写出 的最大值，
从而可以得到 的最大值．本题考查配方法的应用、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出
的最大值．
【详解】解： ，
，
，
，
设 ，则 ，
则 ，
的最大值为 ，
即 的最大值为 ，
故选：B．
21．（2024八年级下·浙江·专题练习）用配方法说明，无论 取何值，代数式 的值总小于0．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查配方的应用，将 配方，先把二次项系数化为1，然后再加上一次项系数
一半的平方，然后根据配方后的形式，再根据 这一性质即可证得．
【详解】证明： ，
，
，
，
无论 为何实数，代数式 的值总小于零．
22．（23-24八年级下·广西梧州·期中）先阅读下面内容，再解决问题：若关于 、 的方程 ，求 、 的值．
解；因为
所以
所以
即
所以 ，
所以 ，
解得 ，
(1)模仿阅读内容解关于 、 的方程，已知 ，求 、 的值；
(2)若 、 是方程 的解，求关于 的一次函数 图象与坐标轴交点所围成的
三角形的面积．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了配方法的应用，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握配方法和一次函数的性质．
（1）根据题意把方程进行配方即可求解；
（2）先根据配方法求出 、 ，进而得到一次函数的解析式，再求出一次函数与坐标轴的交点坐标，最后
利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：即 ，
，
解得： ， ；
（2）
即
，
解得 ，
将 ， 代入一次函数 ，得 ，
令 ，则 ；令 ，则 ，解得 ；
该函数与 轴的交点为 ，于 轴的交点为
一次函数 的图像与坐标轴交点所围成的三角形的面积为 ．
题型六 用公式法解一元二次方程
例题：23．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）解方程： ．
【答案】
【分析】本题考查解一元二次方程，先将所给一元二次方程化成一般形式，再利用公式法求解．
【详解】解： ，
，
，方程有两个不等的实数根，
即 ．
巩固训练
24．（24-25九年级上·安徽·假期作业）用求根公式解一元二次方程 时 ， ， 的值是
（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【分析】本题主要考查解一元二次方程的一般形式，认知一次项系数二次项系数常数项是解题的关键．按
照未知数 的降幂排列，据此可得答案．
【详解】解： ，
，
则 ， ， ，
故选：C
25．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在用求根公式 求一元二次方程的根时，小珺正确
地代入了a，b，c得到 ，则她求解的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式 中字母所表示的意义．根据求根公式 解答．
【详解】解：由 知： ， ， ．
所以该一元二次方程为： ．
故选：A．
26．（2024·浙江金华·二模）设关于 的一元二次方程 ，已知① ， ；② ，
；③ ， ．请在上述三组条件中选择其中一组 ， 的值，使这个方程有两个实数根，并解
这个方程．
【答案】若选①，则方程的解为 ；若选②，则方程的解为
【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根据题意解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：①当 ， ，
∴ ，
∴
解得： ；
② ， ；
∴
∴
解得： ；
③ ， ．
，原方程无解．
题型七 用根的判别式判断根的情况
例题：27．（23-24八年级下·广东广州·期末）方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C
巩固训练
28．（2024·河南驻马店·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查根的判别式．分别求出每个方程判别式的值，根据判别式的值与方程的解的个数间
的关系得出答案．
【详解】解：A、 ，
方程没有实数根，不符合题意；
B、 ，
方程有两个相等的实数根，不符合题意；
C、 ，
方程有两个不相等的实数根，符合题意；
D、 ，
方程没有实数根，不符合题意；
故选：C．
题型八 根据根的判别式求字母的值
例题：29．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知：关于x的一元二次方程 ．
(1)若 是方程的一个根，求k的值；
(2)求证：方程有两个不相等的实数根．【答案】(1) (2)见解析
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
（1）把 代入一元二次方程得到关于 的一次方程，然后解一次方程即可；
（2）先计算根的判别式的值得到 ，则可判断 ，然后根据根的判别式的意义得到结论．
【详解】（1）解：把 代入 得 ，
解得 ；
（2）证明：
，
方程有两个不相等的实数根．
巩固训练
30．（23-24八年级下·广西梧州·期中）关于 的一元二次方程 的根情况是
（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．实数根的个数由 的值确定
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法，熟记判别式并灵活应用是解题关键．先确定a、
b、c的值，计算 的值进行判断即可求解．
【详解】由题意可知： ， ， ，
方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
31．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）关于 的一元二次方程 的根的判别式等于 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，利用根的判别式的定义得到 ，然后
解关于 的方程即可．解题的关键是掌握：一元二次方程 的根的判别式为
．也考查了解一元二次方程．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 的根的判别式等于 ，
∴ ，
整理，得： ，
解得： ， ，
即 的值为 或 ．
故选：D．
32．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）已知关于 的方程 ．
(1)判断此方程根的情况；
(2)若 是该方程的一个根，求代数式 的值．
【答案】(1)方程有两个不相等的实数根(2)
【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，熟练掌握“当根的判别式 时方程有两个不相
等的实数根”是解题的关键．
（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出 ，由此得出方程有两个不相等的实数根；
（2）将 代入原方程可求出 ，将其代入代数式 中即可得出结论．
【详解】（1）解： ，
方程有两个不相等的实数根；（2）解：将 代入方程，得 ，即 ，
，
．
33．（2024·甘肃金昌·三模）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)当 时，求方程的解；
(2)若该方程有实数根，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判别式．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）根据一元二次方程跟的判别式 ，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：当 时，原方程可化为 ，
配方，得 ，
解得 ；
（2）解：∵该方程有实数根，
∴ ，
解得 ，
即若该方程有实数根， 的取值范围是 ．
34．（2024·辽宁朝阳·三模）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的最小整
数值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的根的存在性，熟练掌握利用判别式确定一元二次方程的根的存在性是解
题的关键．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，解得 ，
是关于 的一元二次方程，
，
的最小整数值为 ．
故选：D．
35．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）若方程 有两个相等的实数根，则 的值是
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查解一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．本题有两个相等的实
数根，即 ，代入数值计算求解即可．
【详解】解：∵该方程有两个相等实根，
∴ ，
解得 ；
故答案为：C．
36．（2024九年级·云南·专题练习）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及判别式的应用，根据关于 的一元二次方程
有实数根，得出 ，再解出 的取值范围，即可作答．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有实数根
∴∴ 且
故选：C
题型九 用因式分解法解一元二次方程
例题：37．（23-24八年级下·浙江金华·期末）解方程：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查解一元二次方程，解方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．
（1）先移项，利用因式分解解方程即可；
（2）利用十字相乘法解方程即可；
【详解】（1）解：
，
，
∴ ， ．
（2）
，
∴ ， ．
巩固训练
38．（23-24八年级下·广西梧州·期中）解关于 的方程 得（ ）
A． ， B． ，C． ， D． ，
【答案】B
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法求解即可．
直接运用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解： ，
，
或 ，
， ．
故选B．
39．（12-13九年级上·广东广州·期末）已知x为实数，若 ，则
．
【答案】1
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，设 ，则原方程转化为关
于y的一元二次方程 ，然后利用因式分解法解该方程求得y的值即可．
【详解】解：设 ，则 ，
整理，得 ．
所以 或 ．
解得 或 ．
当 时， ，此时该方程无解，故舍去．
综上所述， ．
故答案为：1．
40．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程 ．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若 的两边 的长是这个方程的两个实数根，第三边 的长为5，当 是直角三角形时，
求k的值．
【答案】(1)见解析
(2)k的值为12或3
【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与直角
三角形结合等，熟练掌握一元二次方程相关定义与性质是解决问题的关键．
（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出 进而可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）利用因式分解法可求出 的长，分 为直角边及 为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关
于k的一元一次方程或一元二次方程解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构
成三角形）即可得出结论．
【详解】（1）由题意得：
∴方程有两个不相等的实数根
（2）∵ ，即
解得：
当 为直角边时， ，解得：
当 为斜边时， ，解得： （不合题意，舍）
综上：k的值为12或3
题型十 换元法
例题：41．（2024九年级下·云南·专题练习）用换元法解方程 时，设 ，则原方程可
化为关于 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】本题考查了用换元法解分式方程，能正确换元是解此题的关键．设 ，则原方程化为
，再整理即可．
【详解】解： ，
设 ，则原方程化为： ，
，
，
故选： ．
巩固训练
42．（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足 ，那么 的值是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的
关键．
利用完全平方公式把方程变形为 ，利用换元法，设 ，则 ，
转化为解一元二次方程，求出 可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
，
设 ，则 ，因式分解得： ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
当 时，则 ，
整理得： ，
∴ ，
解得： ， ，
经检验， ， 都是方程 的解，
∴ 的值为 ；
当 时，则 ，
整理得： ，
，
∴ 时，方程无解．
综上所述， 的值为 ，
故答案为： ．
43．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若关于x的一元二次方程 有一根为 ，
则一元二次方程 必有一根为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】C
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键．利用整体思想设 得到方程 ，再根据关于x的一元二次方程 有一根为 ，
即可得到t的值，从而可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ．
设 ，则 ．
∵关于x的一元二次方程 有一根为 ，
∴在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴一元二次方程 必有一根为2026．
故选C．
44．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 （ 都是常数，
且 ）的解为 ，则方程 （ 都是常数，且 ）的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，可得： 或 ，进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 （ 都是常数，且 ）的解为 ，
∴方程 ，即： 的解为： 或 ，
∴ ；
故答案为： ．
题型十一 一元二次方程的根与系数关系
例题：45．（2024·云南昆明·三模）已知 和 是一元二次方程 的两个实数根，则
（ ）A． B． C．6 D．
【答案】D
【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于 ，两根之积等于 ”是解题的关键．
利用根与系数的关系，可得出 ，将其代入 中，即可求出结论．
【详解】解：∵ 和 是一元二次方程 的两个实数根，
，
，
故选：D．
巩固训练
46．（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b、c是 的三条边的长，那么方程
的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的负实根 D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本
题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根．
根据三角形三边关系得到 ，然后利用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式求解即可．
【详解】解：在方程 中，
可得： ，
∵a、b、c是 的三条边的长，
∴ ． ，即 ，
∴ ，
∴ ，∴方程有两个不相等的实数根，
又∵两根的和是 ，两根的积是 ，
∴方程有两个不等的负实根．
故选：C．
47．（2024·江西九江·模拟预测）已知 、 是一元二次方程 的两根，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程
的两个实数根 ， 和系数 ， ， ，有如下关系： ， ，由题
意得出 ， ，从而得出 ，将式子变形为 ，整体代入计算即
可得出答案．
【详解】解：∵ 、 是一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
48．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程 .
(1)当 时，解这个方程；
(2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由；
(3) ， 是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且 ，求n的值.
【答案】(1) ，
(2)方程有两个实数解．理由见详解
(3) 的值为1或2【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先计算根的判别式的值得到△ ，利用根的判别式的意义即可解答；
（3）先利用公式法解方程得 或 ，由于 ，所以 或 ，当
，则 ，利用整除性得当 时， ；当 时， ；当 时，
．
本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时， ，
．也考查了根的判别式．
【详解】（1）解：当 时，原方程化为 ，
，
或 ，
∴ ， ；
（2）解：方程有两个实数解．
理由如下：
，
当 时， ，方程有两个相等的实数解；
当 时， ，方程有两个不相等的实数解；
综上所述，方程有两个实数解；
（3）依题意，解方程得 或 ，
，
或 ，
当 时， ，
、 为正整数，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ，综上所述， 的值为1或2．
题型十二 增长率问题
例题：49．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一
带”的规定． 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售1500个，6
月份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？
【答案】(1) (2)2592
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
∴该品牌头盔销售量的月增长率为 ；
（2） （个）．
∴预计7月份该品牌头盔销售量是2592个．
巩固训练
50．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）某企业今年1月份的利润为200万元，2月份和3月份的利润合计
为750万元，设2月份和3月份利润的平均增长率为 ，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据2月份和3月份的利润合计为750万元列出一元二次
方程即可．
【详解】解：1月份的利润为200万元，
则2月份的利润为 ，则3月份的利润为 ，
∴根据题意可列方程为 ．
故选：D．
51．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产
1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为 ，根据题意，下列方程正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为 ，利用现在生产1千克
甲种药品的成本 两年前生产1千克甲种药品的成本年 （ 平均下降率） ，即可得出关于的一元二次
方程．
【详解】解： 甲种药品成本的年平均下降率为 ，
根据题意可得 ，
故选：B．
52．（24-25九年级上·全国·假期作业）某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”
办公．据统计，该单位2月份 纸的用纸量为1000张，到了4月份 纸的用纸量降到了640张．求从2
月到4月该单位 纸的用纸量月平均降低率．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设从2月到4月该单位 纸的用纸量月平均降低率为 ，利用该单位4月份 纸的用纸量 该单位2月份
纸的用纸量 从2月到4月该单位 纸的用纸量月平均降低率 ，可列出关于 的一元二次方程，
解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设从2月到4月该单位 纸的用纸量月平均降低率为 ，
根据题意得： ，
，解得： ， （不符合题意，舍去）．
答：该单位 纸的用纸量月平均降低率为 ．
题型十三 传播问题
例题：53．（17-18九年级上·全国·课后作业）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感。
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染 个人．(2) ．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量
关系，列方程求解．
（1）设第一个人传染了 人，根据两轮传染后共有 人患了流感；列出方程，即可求解；
（2）根据题意，求出三轮之后患流感的人数．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染 个人，
由题意得： ，
解得： ， ，
，
不合题意，舍去，
，
答：每轮传染中平均一个人传染 个人．
（2）则第三轮的患病人数为： ．
故答案为： ．
巩固训练
54．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床
以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每
轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（
）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，第一轮传染了x人，第二轮传染了 人，根据
“经过两轮传染后共有256人感染”列方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染平均一个人传染x人，
根据题意，得 ，
故选：C．
55．（2024·云南昭通·一模）有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有 台电脑感染了该
病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染 台电脑，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．经
过一轮感染，1台电脑感染了 台电脑，这 台电脑又感染给了 ，根据经过两轮感染了 台电
脑列等量关系即可．
【详解】解：设每轮感染中，平均一台电脑可以感染 台电脑，
根据题意可得： ，
整理得： ，
故选：D．
56．（23-24八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最
近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转
发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人
(2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用：
（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个
人又要转发x人，据此列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求列式求解即可．【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，
由题意得， ，
整理得 ，
解得 或 （舍去），
答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人；
（2）解： 人，
答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
题型十四 几何图形问题
例题：57．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，校园空地上有一面长为4米的墙．为了创建美丽校园，
学校决定用这面墙和20米的围栏围成一个矩形花园 ．
(1)如图1，利用墙围成矩形花园 ，若围成的花园面积为32平方米，求花园的边长：
(2)如图2，用围栏补墙得到矩形花园 ，花园的面积可能为36平方米吗？若能，请求出 的长；若
不能，请说明理由．
【答案】(1)矩形花园的边长分别为8米和4米
(2) 的长为6米
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设 米，则 米，根据围成的花园面积为32平方米，可列出关于 的一元二次方程，
解之可得出 的值，再结合墙长4米，即可确定结论；
（2）花园的面积能为36平方米，设 米，则 米，根据围成的花园面积为36
平方米，可列出关于 的一元二次方程，解之可得出 的值，再将其代入 中，即可得出结论．【详解】（1）解：设 米，则 米，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
当 时， ，不符合题意，舍去；
当 时， ，符合题意．
答：花园的边长为8米和4米；
（2）解：花园的面积能为36平方米，
设 米，则 米，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
．
答：花园的面积能为36平方米， 的长为6米．
巩固训练
58．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，在宽10米、长22米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中
阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为160平方米．设道路的宽为x米，可列方程（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设道路的宽为x米，根据草坪的面积为160平方米，列出
方程即可．
【详解】解：设道路的宽为x米，根据题意得：
，
故选：A．
59．（2023·吉林长春·模拟预测）《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载“圆中方形”问题：
其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好 平方步，
从水池边到圆周，每边最大相距 步远，在这个不变图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径．”如
图，设正方形的边长是 步，则列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设正方形的边长是 步，根据圆的面积减去正方形的面积即可
求解．
【详解】解：设正方形的边长是 步，则列出的方程是
．
故选：C．
60．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分
恰好拼成如图2所示的矩形 ，则 长为 ．【答案】
【分析】本题考查了关于图形的剪拼的一元二次方程的应用，正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含
条件找到数量关系是解题关键．
已知图中的①和②，③和④形状大小分别完全相同，结合图中数据可知①④能拼成一个直角三角形，②③
能拼成一个直角三角形，并且这两个直角三角形形状大小相同，利用这两个直角三角形即可拼成矩形；利
用拼图前后的面积相等列出方程求解即可得出答案．
【详解】解：如图
图1中的正方形面积为4
正方形边长为2
直角三角形①中的长直角边为2
解得： （负值已舍去）
故答案为： ．
题型十五 营销问题例题：61．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2021年每
辆汽车的日租金为100元，由于物价上涨，到2023年日租金上涨到121元．
(1)求2021年至2023年日租金的平均增长率．
(2)经市场调研发现，从2023年开始，当每辆汽车的日租金定为121元时，汽车可全部租出；日租金每增
加1元，就要少租出2辆．已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元，每辆未租出的
汽车支付各类费用10元．
①在每辆汽车日租金121元的基础上，设上涨 元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出______
辆车．
②当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达28200元？(日收益 总租金 各类费用)
【答案】(1)
(2)① ， ；
② 或 元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式；
（1）设 年至 年日租金的平均增长率为 ，利用 年每辆汽车的日租金 年每辆汽车的日
租金 年至 年日租金的平均增长率 ，可列出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，
即可得出结论；
（2）①利用每辆汽车的日租金 每辆汽车日租金上涨的钱数，可用含 的代数式表示出每辆汽车的
日租金；利用实际能租出的数量 每辆汽车日租金上涨的钱数，即可用含 的代数式表示出实际
能租出的数量；
②利用日收益 总租金 各类费用，可列出关于 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设 年至 年日租金的平均增长率为 ，
根据题意得： ，
解得： (不符合题意，舍去)．
答：2 年至 年日租金的平均增长率为 ；
（2）①根据题意得：在每辆汽车日租金 元的基础上，设上涨 元，则每辆汽车的日租金为 元，
实际能租出 辆．故答案为： ， ；
②根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ．
答：当每辆汽车的日租金上涨 或 元时，该租赁公司的日收益可达 元．
巩固训练
62．（2024·浙江温州·三模）某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月
可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，
其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每
件男士短袖降价x元，可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解销售量，利润之间的关系．
设每件男士短袖降价x元，则销售量为 件，每件的利润为 元，根据每件的利润 销售
量 总利润即可建立方程．
【详解】解：设每件男士短袖降价x元，可列出方程为：
，
故选：D．
63．（23-24八年级下·山东济南·期末）济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商
店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相
同.
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，
则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌
头盔每个应涨价多少元？【答案】(1)头盔销售量的月增长率为 ；
(2)该品牌的头盔每个应涨价5元.
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一
元二次方程，解之取其正值即可；
（2）设头盔每个涨价 元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于 的一元二次方程求解，根据
“尽可能让市民得到实惠”取舍即可．
【详解】（1）解：设头盔销售量的月增长率为 ，根据题意得：
，
解得 ， （舍去），
头盔销售量的月增长率为 ；
（2）解：设头盔每个涨价 元，根据题意得：
，
整理得 ，
解得 ， （舍去），
答：该品牌的头盔每个应涨价5元
64．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）某社区超市销售甲、乙两种面粉，已知购买20袋甲种面粉和16袋
乙种面粉需要资金800元，购买40袋甲种面粉和8袋乙种面粉需要资金1000元．
(1)甲、乙两种面粉每袋的售价分别为多少元？
(2)已知该超市在四月份共售出甲种面粉500袋、乙种面粉300袋．五月份超市将甲种面粉每袋的售价提高
元，乙种面粉每袋的售价不变，结果与四月份相比，五月份甲种面粉的销量下降了 袋，乙种面粉的
销量上升了 袋，但甲种面粉的销量仍高于乙种面粉，销售总额比四月份多出3000元，求 的值．
【答案】(1)每千克甲种面粉的价格为20元，乙种面粉的价格为25元
(2)
【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；（1）设每千克甲种面粉的价格为 元，乙种面粉的价格为 元，由题意易得 ，然后问题
可求解；
（2）由题意易得 ，然后求解即可．
【详解】（1）解：设每千克甲种面粉的价格为 元，乙种面粉的价格为 元，
依题意得： ，
解得： ，
答：每千克甲种面粉的价格为20元，乙种面粉的价格为25元．
（2）解：依题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
又 ，
，
．
题型十六 动点问题
例题：65．（23-24九年级上·四川眉山·期末）如图，在 中， ， ， ，
P、Q分别是 上的动点，若点P、Q同时从M、N两点出发分别沿 方向向点C匀速运动，
它们的速度都是 ，要使 的面积为 面积的一半，则需经过的时间为（ ）
A．2或 B． C． D．【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
设经过的时间为 ，则 ， ，依题意得， ，
计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：设经过的时间为 ，则 ，
∴ ，
依题意得， ，
解得， ， （不符合题意，舍去），
故选：B．
巩固训练
66．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发
沿 以 的速度向点 移动，一直到达点 为止;同时，点 从点 出发沿边 以 的速度向
点 移动． 设运动时间为 ，当 时， （ ）
A． B． 或4 C． 或 D．
【答案】C
【点评】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关
键．
作 ，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．
【详解】解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是 ,
作 ，垂足为H，则 ， ， .
，
可得： ，
解得 ， ．
答：P，Q两点从出发经过 或 秒时，点P，Q间的距离是 .
故答案为：C.
67．（22-23九年级上·河南郑州·期中）如图，矩形 中， ，点E从点B出发，
沿 以 的速度向点C移动，同时点F从点C出发，沿 以 的速度向点D移动，当E，F两
点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 是以 为底边的等腰三角形时，则点 运动时间
为( )
A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】设点E运动的时间是 ．根据题意可得 ，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
设点E运动的时间是 ．
根据题意可得 ，解得 ， ，
∵ ，
∴两点运动了 后停止运动．
∴ ．
故选∶B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理的运
用．
68．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，将边长为 的正方形 沿其对角线 剪开，再
把 沿着 方向平移，得到 ，若两个三角形重叠部分的面积为 ，则它移动的距离
等于（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】D
【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形， 与 都是等腰直角三角形，则若设
，则阴影部分的底长为x，高 ，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
【详解】解：设 交 于H， 交 于点G，
由平移的性质知 ， ，
∴四边形 是平行四边形，∵由正方形的性质可得： ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
同理， 也是等腰直角三角形，
设 ，则阴影部分的底长为x，高 ，
∴ ，
∴ ．
即 ．
故选：D．
【点睛】此题考查解一元二次方程、平行四边形的判定及性质，平移的性质，等腰直角三角形的判定，根
据平移的性质得到四边形 是平行四边形是解题的关键.
题型十七 其它问题
例题：69．（2024·四川达州·模拟预测）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，
大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．
又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易•系辞上》说：“河出图，
洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一
竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出
x的值应为（ ）
A． 或 B．1或 C． 或4 D．1或4
【答案】A
【分析】本题考查幻方，解一元二次方程．根据幻方的规则得出方程是解题的关键．
根据幻方的规则，得出方程 ，再求解方程即可．
【详解】解∶设幻方所填数如图所示，∴ ， ，
由①得 ，
由②
由 得： ，
解得： ， ，
故选：A．
巩固训练
70．（23-24八年级下·广西梧州·期中）某商店以2400元购进一种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加
20%作为售价，售出50盒．第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．全部售完后共盈利
350元，求每盒茶叶的进价．
设每盒茶叶的进价为 元．下面选项列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】总售价等于第一个月加第二个月的售价，且等量关系为：总售价 总进价，据此列式即可作
答．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到合适的等量关系是解决问题的关键，难点是得到余下茶
叶的数量．
【详解】解：设每盒茶叶的进价为 元．根据题意得故选：B
71．（23-24八年级下·浙江·期中）为了测一个矿井的深度，将一块石头从井口丢下去，6.5秒后听到它落
地的声音，已知音速为330米/秒，石头从井口落下的距离s与时间t的关系式为 （g为10米 秒
）．若设石头从井口落到并底用了x秒，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
根据石头从井口落下的距离 与时间 的关系式列方程即可．
【详解】解：根据题意得， ．
故选：C．
72．（2024·天津和平·一模）如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高
度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为 ，设雕像
下部 高 ，则下列结论不正确的是（）
A．雕像的上部高度 与下部高度 的关系为：
B．依题意可以列方程C．依题意可以列方程
D．雕塑下部高度为
【答案】B
【分析】本题考查了黄金分割，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据黄金分割
的定义进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：由题意得： ，
，
，
，
，
，
，
整理得： ，
解得： 或 （舍去），
，
雕塑下部高度为 ，
故A、C、D都正确，B不正确，
故选：B
