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第 5 讲 椭 圆
一、选择题
1.椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值等于( )
A.5 B.3 C.5或3 D.8
解析 当m>4时，m－4＝1，∴m＝5；当0b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，
且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________.
解析 由已知条件易得B，C，F(c，0)，∴BF＝，CF＝，
由∠BFC＝90°，可得BF·CF＝0，
所以＋＝0，
c2－a2＋b2＝0，
即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，
∴3c2＝2a2.
所以＝，则e＝＝.
答案
14.(2017·沈阳质监)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F ，F ，且|F F |
1 2 1 2
＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点.
(1)若△AF F 的周长为16，求椭圆的标准方程；
1 2
(2)若k＝，且A，B，F ，F 四点共圆，求椭圆离心率e的值；
1 2
(3)在(2)的条件下，设P(x ，y )为椭圆上一点，且直线PA的斜率k ∈(－2，－1)，
0 0 1
试求直线PB的斜率k 的取值范围.
2解 (1)由题意得c＝3，根据2a＋2c＝16，得a＝5.
结合a2＝b2＋c2，
解得a2＝25，b2＝16.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)法一 由得x2－a2b2＝0.
设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
所以x ＋x ＝0，x x ＝，
1 2 1 2
由AB，F F 互相平分且共圆，易知，AF ⊥BF ，
1 2 2 2
因为F2A＝(x －3，y )，F2B＝(x －3，y )，
1 1 2 2
所以F2A·F2B＝(x －3)(x －3)＋y y ＝x x ＋9＝0.即x x ＝－8，
1 2 1 2 1 2 1 2
所以有＝－8，
结合b2＋9＝a2，
解得a2＝12，∴e＝.
法二 设A(x ，y )，又AB，F F 互相平分且共圆，所以AB，F F 是圆的直径，所
1 1 1 2 1 2
以x＋y＝9，
又由椭圆及直线方程综合可得
由前两个方程解得x＝8，y＝1，
将其代入第三个方程并结合b2＝a2－c2＝a2－9，
解得a2＝12，故e＝.
(3)由(2)的结论知，椭圆方程为＋＝1，
由题可设A(x ，y )，B(－x ，－y )，k ＝，k ＝，所以k k ＝，
1 1 1 1 1 2 1 2
又＝＝－.
即k ＝－，
2
由－2＜k ＜－1可知，＜k ＜.
1 2
故直线PB的斜率k 的取值范围是.
2
