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第 5 讲 椭 圆
一、选择题
1.椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值等于( )
A.5 B.3 C.5或3 D.8
解析 当m>4时，m－4＝1，∴m＝5；当0<m<4时，4－m＝1，∴m＝3.
答案 C
2.“2<m<6”是“方程＋＝1表示椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若＋＝1表示椭圆.
则有∴2<m<6且m≠4.
故“2<m<6”是“＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件.
答案 B
3.设椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F ，F ，P 是 C 上的点，
1 2
PF ⊥F F ，∠PF F ＝30°，则C的离心率为( )
2 1 2 1 2
A. B. C. D.
解析 在Rt△PF F 中，令|PF |＝1，因为∠PF F ＝30°，所以|PF |＝2，|F F |＝.
2 1 2 1 2 1 1 2
故e＝＝＝.故选D.
答案 D
4.(2015·全国Ⅰ卷)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物
线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( )
A.3 B.6 C.9 D.12
解析 抛物线C：y2＝8x的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x＝－2.从而椭圆E的
半焦距c＝2.可设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为离心率e＝＝，所以a＝
4，所以b2＝a2－c2＝12.由题意知|AB|＝＝2×＝6.故选B.
答案 B
5.(2016·江西师大附中模拟)椭圆ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝1－x交于
A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为( )
A. B. C. D.
解析 设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则ax＋by＝1，ax＋by＝1，
即ax－ax＝－(by－by)，＝－1，＝－1，∴×(－1)×＝－1，
∴＝，故选B.
答案 B
二、填空题
6.焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________.
解析 由题意知解得
又b2＝a2－c2，∴b2＝9，∴b＝3.
当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1，
当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.
答案 ＋＝1或＋＝1
7.(2017·昆明质检)椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为 m，当m取
最大值时，点P的坐标是________.
解析 记椭圆的两个焦点分别为F ，F ，有|PF |＋|PF |＝2a＝10.
1 2 1 2
则m＝|PF |·|PF |≤＝25，当且仅当|PF |＝|PF |＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶
1 2 1 2
点处时，m取得最大值25.
∴点P的坐标为(－3，0)或(3，0).
答案 (－3，0)或(3，0)
8.(2017·乌鲁木齐调研)已知F (－c，0)，F (c，0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦
1 2
点，P为椭圆上一点，且PF1·PF2＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________.
解析 设P(x，y)，则PF1·PF2＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①
将y2＝b2－x2代入①式解得
x2＝＝，
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝∈.
答案
三、解答题
9.设F ，F 分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF 与
1 2 2
x轴垂直，直线MF 与C的另一个交点为N.
1
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F N|，求a，b.
1
解 (1)根据c＝及题设知M，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝或＝－2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意，知原点O为F F 的中点，MF ∥y轴，所以直线MF 与y轴的交点
1 2 2 1
D(0，2)是线段MF 的中点，故＝4，即b2＝4a.①
1
由|MN|＝5|F N|，得|DF |＝2|F N|.
1 1 1
设N(x ，y )，由题意知y ＜0，则
1 1 1
即
代入C的方程，得＋＝1.②
将①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2 .
10.(2017·兴义月考)已知点M(，)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率
为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，
顶点为P(－3，2)，求△PAB的面积.
解 (1)由已知得
解得
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x ，y )，B(x ，y )，AB的中点为D(x ，y ).
1 1 2 2 0 0
由消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，
则x ＝＝－m，y ＝x ＋m＝m，
0 0 0
即D.
因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PD⊥AB，
即PD的斜率k＝＝－1，解得m＝2.
此时x ＋x ＝－3，x x ＝0，
1 2 1 2
则|AB|＝|x －x |＝·＝3，
1 2
又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝，
所以△PAB的面积为S＝|AB|·d＝.
11.(2016·海沧实验中学模拟)已知直线l：y＝kx＋2过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上顶
点B和左焦点F，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长为L，若L≥，则椭圆离心率e的
取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 依题意，知b＝2，kc＝2.设圆心到直线l的距离为d，则L＝2≥，
解得d2≤.又因为d＝，所以≤，
解得k2≥.
于是e2＝＝＝，所以0＜e2≤，解得0＜e≤.故选B.
答案 B
12.椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F ，F ，点P为椭圆上一动点，若∠F PF 为
1 2 1 2
钝角，则点P的横坐标的取值范围是________.
解析 设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，
则F1P＝(x＋，y)，F2P＝(x－，y).
∵∠F PF 为钝角，∴F1P·F2P<0，
1 2
即x2－3＋y2<0，①
∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0，
即x2<2，∴x2<.
解得－<x<，∴x∈.
答案
13.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆
＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，
且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________.
解析 由已知条件易得B，C，F(c，0)，∴BF＝，CF＝，
由∠BFC＝90°，可得BF·CF＝0，
所以＋＝0，
c2－a2＋b2＝0，
即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，
∴3c2＝2a2.
所以＝，则e＝＝.
答案
14.(2017·沈阳质监)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F ，F ，且|F F |
1 2 1 2
＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点.
(1)若△AF F 的周长为16，求椭圆的标准方程；
1 2
(2)若k＝，且A，B，F ，F 四点共圆，求椭圆离心率e的值；
1 2
(3)在(2)的条件下，设P(x ，y )为椭圆上一点，且直线PA的斜率k ∈(－2，－1)，
0 0 1
试求直线PB的斜率k 的取值范围.
2解 (1)由题意得c＝3，根据2a＋2c＝16，得a＝5.
结合a2＝b2＋c2，
解得a2＝25，b2＝16.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)法一 由得x2－a2b2＝0.
设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
所以x ＋x ＝0，x x ＝，
1 2 1 2
由AB，F F 互相平分且共圆，易知，AF ⊥BF ，
1 2 2 2
因为F2A＝(x －3，y )，F2B＝(x －3，y )，
1 1 2 2
所以F2A·F2B＝(x －3)(x －3)＋y y ＝x x ＋9＝0.即x x ＝－8，
1 2 1 2 1 2 1 2
所以有＝－8，
结合b2＋9＝a2，
解得a2＝12，∴e＝.
法二 设A(x ，y )，又AB，F F 互相平分且共圆，所以AB，F F 是圆的直径，所
1 1 1 2 1 2
以x＋y＝9，
又由椭圆及直线方程综合可得
由前两个方程解得x＝8，y＝1，
将其代入第三个方程并结合b2＝a2－c2＝a2－9，
解得a2＝12，故e＝.
(3)由(2)的结论知，椭圆方程为＋＝1，
由题可设A(x ，y )，B(－x ，－y )，k ＝，k ＝，所以k k ＝，
1 1 1 1 1 2 1 2
又＝＝－.
即k ＝－，
2
由－2＜k ＜－1可知，＜k ＜.
1 2
故直线PB的斜率k 的取值范围是.
2
