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第 5 讲 二项分布与正态分布
一、选择题
1.(2014·全国Ⅱ卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概
率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后
一天的空气质量为优良的概率是( )
A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45
解析 记事件A表示“一天的空气质量为优良”，事件B表示“随后一天的空
气质量为优良”，P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6.由条件概率，得P(B|A)＝＝＝0.8.
答案 A
2.(2017·衡水模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是( )
A. B. C. D.
解析 三次均反面朝上的概率是＝，所以至少一次正面朝上的概率是1－＝.
答案 D
3.(2016·青岛一模)设随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，则函数f(x)＝x2＋2x＋X
不存在零点的概率为( )
A. B. C. D.
解析 ∵函数f(x)＝x2＋2x＋X不存在零点，∴Δ＝4－4X<0，∴X>1，∵X～N(1，
σ2)，∴P(X>1)＝，故选C.
答案 C
4.(2017·武昌区模拟)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A
和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，若在任意时刻恰有一个系统
不发生故障的概率为，则p＝( )
A. B. C. D.
解析 由题意得(1－p)＋p＝，∴p＝，故选B.
答案 B
5.(2016·天津南开调研)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次
任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次
球，则P(X＝12)等于( )
A.C B.C
C.C D.C
解析 由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次红球2次白球，由于每次
取到红球的概率为，所以P(X＝12)＝C××.
答案 D
二、填空题
6.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机
抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.
解析 设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件B(发芽又成活为幼苗).
依题意P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.
根据条件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为
幼苗的概率为0.72.
答案 0.72
7.假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量
记一天中从甲地去乙地的旅客人数 800＜X≤900 的概率为 p ，则 p ＝
0 0
________.
解析 由X～N(800，502)，知μ＝800，σ＝50，
又P(700＜X≤900)＝0.954 4，
则P(800＜X≤900)＝×0.954 4＝0.477 2.
答案 0.477 2
8.设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝
________.
解析 ∵X～B(2，p)，∴P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C(1－p)2＝，解得p＝.又Y～
B(3，p)，∴P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C(1－p)3＝.
答案
三、解答题
9.(2015·湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽
奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球
的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；
若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求
X的分布列.
解 (1)记事件A 为“从甲箱中摸出的1个球是红球”，
1
A 为“从乙箱中摸出的1个球是红球”，
2B为“顾客抽奖1次能获奖”，
则 表示“顾客抽奖1次没有获奖”.
由题意A 与A 相互独立，则 与 相互独立，且 ＝ · ，
1 2 1 2 1 2
因为P(A )＝＝，P(A )＝＝，
1 2
所以P( )＝P( · )＝·＝，
1 2
故所求事件的概率P(B)＝1－P( )＝1－＝.
(2)设“顾客抽奖一次获得一等奖”为事件C，
由P(C)＝P(A ·A ) ＝P(A )·P(A )＝，
1 2 1 2
顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，则X～B，
于是P(X＝0)＝C＝，
P(X＝1)＝C＝，
P(X＝2)＝C＝，
P(X＝3)＝C＝.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
10.挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复
检、文考(文化考试)、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根
据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5，0.6，0.75，能通过文考
关的概率分别是0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后
三关之间通过与否没有影响.
(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率；
(2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X的分布列.
解 (1)设A，B，C分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率P＝P(A
)＋P( B )＋P( C)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1
－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275.
(2)甲被录取的概率为 P ＝0.5×0.6＝0.3，同理 P ＝0.6×0.5＝0.3，P ＝
甲 乙 丙
0.75×0.4＝0.3.
∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即X～
B(3，0.3)，X的可能取值为0，1，2，3，其中P(X＝k)＝C(0.3)k·(1－0.3)3－k.
故P(X＝0)＝C×0.30×(1－0.3)3＝0.343，P(X＝1)＝C×0.3×(1－0.3)2＝0.441，
P(X＝2)＝C×0.32×(1－0.3)＝0.189，
P(X＝3)＝C×0.33＝0.027，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.343 0.441 0.189 0.027
11.(2016·郑州二模)先后掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别
为x，y，设事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x≠y”，则概率P(B|A)＝(
)
A. B. C. D.
解析 若x＋y为偶数，则x，y两数均为奇数或均为偶数.故P(A)＝＝，又A，B
同时发生，基本事件一共有2×3×3－6＝12个，∴P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝＝.
答案 D
12.(2017·长沙模拟)排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜
的概率都为，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是( )
A. B. C. D.
解析 乙队3∶0获胜的概率为，乙队3∶1获胜的概率为×＝，乙队3∶2获胜
的概率为×＝.∴最后乙队获胜的概率为P＝＋＋＝，故选C.
答案 C
13.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工
作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：小
时)均服从正态分布N(1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该
部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________.
解析 设元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，显然
P(A)＝P(B)＝P(C)＝，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(AB＋AB＋
AB)C，
∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率
P＝×＝.
答案
14.(2016·山东卷节选)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星对”得3分；如果只
有一人猜对，则“星对”得1分；如果两人都没猜对，则“星对”得0分.已知
甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不
影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；
(2)“星队”两轮得分之和X的分布列.
解 (1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，
记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，
记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”.
由题意，E＝ABCD＋ BCD＋A CD＋AB D＋ABC .
由事件的独立性与互斥性，得
P(E)＝P(ABCD)＋P( BCD)＋P(A CD)＋P(AB D)＋P(ABC )
＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P( )P(B)P(C)P(D)＋
P(A)P( )P(C)P(D)＋P(A)P(B)P( )P(D)＋
P(A)P(B)P(C)P( )＝×××＋2×＝.
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.
(2)由题意，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4，6.
由事件的独立性与互斥性，得
P(X＝0)＝×××＝，
P(X＝1)＝2×＝＝，
P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，
P(X＝3)＝×××＋×××＝＝，
P(X＝4)＝2×＝＝，
P(X＝6)＝×××＝＝.
可得随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4 6
P
