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第 6 讲 对数与对数函数
一、选择题
1.(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log a>log b>0”的( )
2 2
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 因为 y＝log x 在(0，＋∞)上单调递增，所以当 a>b>1 时，有
2
log a>log b>log 1＝0；
2 2 2
当log a>log b>0＝log 1时，有a>b>1.
2 2 2
答案 A
2.(2017·石家庄模拟)已知a＝log 3＋log ，b＝log 9－log ，c＝log 2，则a，b，c的
2 2 2 2 3
大小关系是( )
A.a＝bc C.ab>c
解析 因为a＝log 3＋log ＝log 3＝log 3>1，b＝log 9－log ＝log 3＝a，c＝
2 2 2 2 2 2 2
log 20，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(
a
)
解析 由题意y＝log x(a>0，且a≠1)的图象过(3，1)点，可解得a＝3.选项A中，
a
y＝3－x＝，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，
y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log (－x)的图象与y＝
3
log x的图象关于y轴对称，显然不符.故选B.
3
答案 B
4.已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f的值是( )A.5 B.3 C.－1 D.
解析 由题意可知f(1)＝log 1＝0，
2
f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，
f＝3－log ＋1＝3log 2＋1＝2＋1＝3，
3 3
所以f(f(1))＋f＝5.
答案 A
5.(2016·浙江卷)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若log b>1，则( )
a
A.(a－1)(b－1)<0 B.(a－1)(a－b)>0
C.(b－1)(b－a)<0 D.(b－1)(b－a)>0
解析 ∵a>0，b>0且a≠1，b≠1.
由log b>1得log >0.
a a
∴a>1，且>1或0a>1或00.
答案 D
二、填空题
6.设f(x)＝log是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________.
解析 由f(x)是奇函数可得a＝－1，
∴f(x)＝lg，定义域为(－1，1).
由f(x)<0，可得0<<1，∴－10，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值
范围是________.
解析 当x≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为[4，＋∞)，所以解1＜a≤2，所以
实数a的取值范围为(1，2].
答案 (1，2]
三、解答题
9.设f(x)＝log (1＋x)＋log (3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.
a a
(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间上的最大值.
解 (1)∵f(1)＝2，∴log 4＝2(a>0，a≠1)，
a
∴a＝2.
由得－1＜x＜3，
∴函数f(x)的定义域为(－1，3).
(2)f(x)＝log (1＋x)＋log (3－x)
2 2
＝log (1＋x)(3－x)＝log [－(x－1)2＋4]，
2 2
∴当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log 4＝2.
2
10.(2016·衡阳月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，
f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解 (1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x).
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)，
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4).
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.a>c>b
解析 函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，
∴f(x)在[0，＋∞)为增函数，
∵b＝f(log4)＝f(－2)＝f(2)，1<20.3<2b>a.答案 B
12.已知函数f(x)＝ln，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是
________.
解析 由题意可知ln＋ln＝0，
即ln＝0，从而×＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－＋，
又0＜a＜b＜1，
∴0＜a＜，故0＜－＋＜.
答案
13.(2016·浙江卷)已知a>b>1，若log b＋log a＝，ab＝ba，则a＝________，b＝
a b
________.
解析 ∵log b＋log a＝log b＋＝，
a b a
∴log b＝2或.∵a>b>1，∴log b0，且a≠1)的最大值是1，最小
a a
值是－，求a的值.
解 由题意知f(x)＝(log x＋1)(log x＋2)
a a
＝(logx＋3log x＋2)
a
＝－.
当f(x)取最小值－时，log x＝－.
a
又∵x∈[2，8]，∴a∈(0，1).
∵f(x)是关于log x的二次函数，
a
∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得.
若－＝1，则a＝2－，
此时f(x)取得最小值时，x＝(2－)－＝∉[2，8]，舍去.
若－＝1，则a＝，
此时f(x)取得最小值时，x＝＝2∈[2，8]，
符合题意，∴a＝.
