文档内容
专题 2.1 整式加减与化简求值
【典例1】先化简，再求值．
（1）已知|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，求多项式3[2（a+b）﹣ab]﹣[2（a+b）﹣ab]的值；
3 1
（2）已知 A= nx2﹣2x﹣1，B＝2x2− mx+4，当 2A﹣3B 的值与 x 的取值无关时，求多项式（m2﹣
2 3
3mn+2n2）﹣（2m2+mn﹣4n2）的值．
【思路点拨】
（1）先去括号，合并同类项，再根据绝对值和完全平方的非负性求出a和b的值，代入即可．
（2）化简2A﹣3B，根据“与x的取值无关”可求出m和n的值，再化简所求多项式，代入m和n的值即
可．
【解题过程】
解：（1）原式＝2[2（a+b）﹣ab]
＝2（2a+2b﹣ab）
＝4a+4b﹣2ab，
∵|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝2，b＝3，
∴原式＝4×2+4×3﹣2×2×3＝8+12﹣12＝8．
3 1
（2）∵A= nx2﹣2x﹣1，B＝2x2− mx+4，
2 3
3 1
∴2A﹣3B＝2（ nx2﹣2x﹣1）﹣3（2x2− mx+4）
2 3
＝3nx2﹣4x﹣2﹣6x2+mx﹣12
＝（3n﹣6）x2+（m﹣4）x﹣14，
∵2A﹣3B的值与x的取值无关，
∴3n﹣6＝0，m﹣4＝0，
∴n＝2，m＝4，
∴（m2﹣3mn+2n2）﹣（2m2+mn﹣4n2）＝m2﹣3mn+2n2﹣2m2﹣mn+4n2
＝﹣m2﹣4mn+6n2
＝﹣42﹣4×4×2+6×22
＝﹣16﹣32+24
＝﹣24．
1．（2021秋•杭州期末）图中的长方形ABCD由1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形组成，
若1号正方形的边长为a，3号正方形的边长为b，则长方形ABCD的周长为（ ）
A．16a B．8b C．4a+6b D．8a+4b
2．（2021秋•庐阳区期末）三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别放置于相同的长方形中，
它们既不重叠也无空隙，记图1阴影部分周长之和为m，图2阴影部分周长为n，要求m与n的差，只需知
道一个图形的周长，这个图形是（ ）
A．整个长方形 B．图①正方形 C．图②正方形 D．图③正方形
3．（2021秋•吴兴区期末）如图1所示，在长方形ABCD的内部放置了四个周长均为12的小长方形．现
将长方形EFGH放置于大长方形ABCD内，且与四个小长方形有重叠（重叠部分均为长方形），如图2所
示．已知AB＝10，BC＝8，四个重叠部分的周长之和为28，则长方形EFGH的周长为（ ）A．20 B．24 C．26 D．28
4．（2022•重庆）对多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为
“加算操作”，例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣
n，…，
给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2022春•九龙坡区校级期末）有依次排列的3个整式：x，x+7，x﹣2，对任意相邻的两个整式，都用
右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：x，7，x+7，﹣9，x
﹣2，则称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类推．通过实际
操作，得出以下结论：
①整式串2为：x，7﹣x，7，x，x+7，﹣x﹣16，﹣9，x+7，x﹣2；
②整式串3共17个整式；
③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；
④整式串2021的所有整式的和为3x﹣4037；
上述四个结论正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2021秋•晋州市期末）已知A＝3a+b，B比A小a﹣2b，C比A大2a+b，则B＝ ，C＝
．
7．（2021秋•侯马市期末）定义：若a+b＝n，则称a与b是关于数n的“平衡数”．比如3与﹣4是关于
﹣1的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有a＝6x2﹣8kx+12与b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k为常数）始终是数n的“平衡数”，则它们是关于 的“平衡数”．
m n m+n
8．（2021秋•宽城县期末）一般情况下 + = 不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝n＝0
2 3 2+3
m n m+n
时，我们称使得 + = 成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为（m，n）．
2 3 2+3
（1）若（m，1）是“相伴数对”，则m＝ ；
15 1
（2）（m，n）是“相伴数对”，则代数式 m﹣[n+ （6﹣12n﹣15m）]的值为 ．
4 2
5 3 1
9．（2022•闵行区校级开学）已知 （a﹣5）4+ | b﹣1|＝0，化简代数式a3﹣{a3﹣[7a2b+4ab2﹣（5ab2﹣
2 4 2
2b3+5ba2）]}并求值．
10．（2021秋•禹州市期末）某同学做一道题，已知两个多项式A、B，求A﹣2B的值．他误将“A﹣2B”看
成“A+2B”，经过正确计算得到的结果是x2+14x﹣6．已知A＝﹣2x2+5x﹣1．
（1）请你帮助这位同学求出正确的结果；
（2）若x是最大的负整数，求A﹣2B的值．
11．（2021秋•濮阳期末）李老师写出了一个式子（ax2+bx+2）﹣（5x2+3x），其中a、b为常数，且表示
系数，然后让同学赋予a、b不同的数值进行计算．
（1）甲同学给出了a＝5，b＝﹣3，请按照甲同学给出的数值化简原式；
（2）乙同学给出了一组数据，最后计算的结果为2x2﹣4x+2，求乙同学给出的a、b的值；
（3）丙同学给出了一组数据，计算的最后结果与x的取值无关，请求出丙同学的计算结果．12．（2021秋•巫溪县期末）已知代数式A＝2m2+3my+2y﹣1，B＝m2﹣my．
（1）若（m﹣1）2+|y+2|＝0，求3A﹣2（A+B）的值；
（2）若3A﹣2（A+B）的值与y的取值无关，求m的值．
13．（2021秋•宜城市期末）阅读理解：
如果式子 5x+3y＝﹣5，求式子 2（x+y）+4（2x+y）的值．小花同学提出了一种解法如下：原式＝
2x+2y+8x+4y＝10x+6y＝2（5x+3y），
把式子5x+3y＝﹣5整体代入，得到原式＝2（5x+3y）＝2×（﹣5）＝﹣10．
仿照小花同学的解题方法，完成下面的填空：
（1）如果﹣x2＝x，则x2+x+1＝ ；
（2）已知x﹣y＝﹣3，求3（x﹣y）﹣5x+5y+5的值；
（3）已知x2+2xy＝﹣2，xy﹣y2＝﹣4，求4x2+7xy+y2的值．14．（2021秋•沙坪坝区期末）关于x的两个多项式A、B，若A、B满足3A+2B＝5x，则称A与B是关于x
的优美多项式．
3
如：A＝x2+x+2，B=− x2+x﹣3，
2
3
因为3A+2B＝3（x2+x+2）+2（− x2+x﹣3）
2
＝3x2+3x+6﹣3x2+2x﹣6
＝5x．
3
所以多项式x2+x+2与− x2+x﹣3是关于x的优美多项式．
2
根据上述材料解决下列问题：
（1）若A＝2﹣x，B＝4x﹣3，判断A与B是否是关于x的优美多项式，并说明理由；
3
（2）已知B＝﹣3x2+x+ m2（m是正整数），A与B是关于x的优美多项式，若当x＝m时，多项式A﹣B
2
的值是小于100的整数，求满足条件的所有m的值之和．
15．（2021秋•原阳县期末）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，数a是多项式
1
﹣2x2﹣3x+1的一次项系数，数b是最大的负整数，数c是单项式− x2y的次数．
2
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度
向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，t秒过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点
B与点C之间的距离表示为BC，则AB＝ ，BC＝ ．（用含t的代数式表示）
（3）试问：3BC﹣2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值．16．（2021秋•河口县期末）一个正两位数的个位数字是a，十位数字比个位数字大2．
（1）用含a的代数式表示这个两位数；
（2）把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新的两位数，试说明新数与原数的
和能被22整除．
17．（2022春•潼南区期末）对于一个四位自然数N，若N满足：它的千位数字、百位数字、十位数字之
和与个位数字的差等于10，则称N是“十月数”．
例如N﹣9458，
∵9+4+5﹣8＝10，
∴9458是“十月数”；
又如N＝3764，
∵3+7+6﹣4≠10，
∴3764不是“十月数”．
（1）判断2293，8156是否是“十月数”？请说明理由；
（2）若“十月数”n＝1000a+100b+10c+303（2≤a≤9，1≤b≤6，2≤c≤5且a，b，c均为整数），p是n截掉
其十位数字和个位数字后的一个两位数，q是n截掉其千位数字和百位数字后的一个两位数，若p与q的和
能被5整除，求出满足条件的所有数n．18．（2021秋•巴南区期末）阅读下面材料，解决后面的问题．
一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果a+b＝c+d，那么我们把这个
四位正整数叫做“对头数”．例如四位正整数2947，因为2+9＝4+7，所以2947叫做“对头数”．
（1）判断8127和3456是不是“对头数”，并说明理由；
（2）已知一个四位正整数的个位上的数字是5，百位上的数字是3，若这个正整数是“对头数”，且这个
正整数能被7整除，求这个正整数．
19．（2022春•鼓楼区校级期中）材料一：如果一个三位正整数满足百位数字小于十位数字，且百位数字
与十位数字之和等于个位数字，那么称这个数为“上升数”．
例如：m＝123，满足1＜2，且1+2＝3，所以123是“上升数”；n＝247，满足2＜4，但2+4≠7，所以247
不是“上升数”．
材料二：对于一个“上升数”m＝100a+10b+c（1≤a，b，c≤9且a，b，c为整数）．
m−m
交换其百位和十位得到m ＝100b+10a+c，规定G(m)= 1．
1
180
123−213 1
例如：m＝123为上升数，m =213，G(m)= =− ．
1 180 2
（1）判断358和237是不是“上升数”，并说明理由；
（2）若s，t都是“上升数”，其中s＝100x+10y+8，t＝200+10a+b（1≤x，y，a，b≤9且x，y，a，b都为
整数），若G（s）+G（t）＝﹣2，求s．20．（2021秋•大丰区期末）【阅读理解】
课本第9页阅读部分曾对商品条形码进行了简单介绍，请你阅读下列内容回答问题：
商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．条形码是由13位数字组成，前12位数字表示“国家
代码、厂商代码和产品代码”相关信息，第13位数字为“校验码”．
其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性，它的编制是按照特定算法得来的，具体
算法如下（以图①为例）：
步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和p：即p＝9+5+4+2+4+2＝26；
步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和q：即q＝6+0+3+9+1+6＝25；
步骤3：计算3p与q的和m，即m＝3×26+25＝103；
步骤4：取大于或等于m且为10的整数倍的最小数n，即n＝110；
步骤5：计算n与m的差就是校验码X，即X＝110﹣103＝7．
【知识运用】
请回答下列问题：
（1）若某数学辅导资料的条形码为582917455013Y，则校验码Y的值是 ．
（2）如图②，某条形码中的一位数字被墨水污染了，请求出这个数字是多少并写出过程．
（3）如图③，某条形码中被污染的两个数字的和为13，请直接写出该商品完整的条形码．
