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期中难点特训（二）数轴上的动点与整式加减相结合的压轴题
1．已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题：
（1）请直接写出a、b、c的值．a＝_____ ，b＝ ______ ，c＝ ______
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运
动时（即0≤x≤2时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）
（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度
向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒
钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB
的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值
【答案】(1) -1；1；5；(2) 4x+10或2x+12；（3）不变, BC-AB=2
【分析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的
和是0，则每个数都是0，即可求得a，b，c的值；
（2）根据x的范围，确定x+1，x-1，x+5的符号，然后根据绝对值的意义即可化简；
（3）先求出BC=3t+4，AB=3t+2，从而得出BC-AB=2．
【详解】（1）∵b是最小的正整数，∴b=1．
根据题意得：c-5=0且a+b=0，
∴a=-1，b=1，c=5．
故答案是：-1；1；5；
（2）当0≤x≤1时，x+1＞0，x-1≤0，x+5＞0，
则：|x+1|-|x-1|+2|x+5|
=x+1-（1-x）+2（x+5）
=x+1-1+x+2x+10
=4x+10；
当1＜x≤2时，x+1＞0，x-1＞0，x+5＞0．
∴|x+1|-|x-1|+2|x+5|
=x+1-（x-1）+2（x+5）
=x+1-x+1+2x+10
=2x+12.
（3）不变．理由如下：t秒时，点A对应的数为-1-t，点B对应的数为2t+1，点C对应的数为5t+5．
∴BC=（5t+5）-（2t+1）=3t+4，AB=（2t+1）-（-1-t）=3t+2，
∴BC-AB=（3t+4）-（3t+2）=2，
即BC-AB的值不随着时间t的变化而改变，BC-AB=2．
【点睛】本题考查了数轴与绝对值，整式的加减，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”
和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中
要注意培养数形结合的数学思想．
2．已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c-5）2+|a+b|＝0，请回答问题：
（Ⅰ）请直接写出a、b、c的值：a＝_______；b＝______；c＝_______．
（Ⅱ）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，已知数轴上两点间的距离为这两点所表示的数的差的
绝对值（或用这两点所表示数中较大的数减去较小的数），若点B与点C之间的距离表示为BC，
点A与点B之间的距离表示为AB，试计算此时BC-AB的值．
（Ⅲ）在（Ⅰ）（Ⅱ）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的
速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动，则
经过t秒钟时，请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，
请直接写出它的值．
【答案】（Ⅰ） ，1，5；（Ⅱ）2；（Ⅲ）不变，值为2
【分析】（Ⅰ）根据a是最大的负整数，即可确定a的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的
和是0，则每个数是0，即可求得b，c的值；
（Ⅱ）根据两点间的距离公式可求BC、AB的值，进一步得到 的值；
（Ⅲ）先求出BC、AB的值，从而得出 ，从而求解．
【详解】解：（Ⅰ）b是最小的正整数，则
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为 ， ， ；
（Ⅱ） ，
；
故答案为（Ⅲ）经过 秒后， 三点分别表示的数为 ， ，
，
答：不变，值为2．
【点睛】此题考查了有理数及整式的混合运算，以及数轴，正确理解AB，BC的变化情况是关键．
3．探究与发现：|a﹣b|表示 a 与 b 之差的绝对值，实际上也可理解为 a 与 b 两数 在数轴上所
对应的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数 x 的点与表示有理数 3 的点之
间的距离．
(1)如图，已知数轴上点 A 表示的数为 8，B 是数轴上位于点 A 左侧一点，且 AB＝20，
则数轴上点 B 表示的数 ；
(2)若|x﹣8|＝2，则 x＝ ．
拓展与延伸：在（1）的基础上，解决下列问题：
(3)动点 P 从 O 点出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时 间为 t（t
＞0）秒．求当 t 为多少秒时？A，P 两点之间的距离为 2；
(4)数轴上还有一点 C 所对应的数为 30，动点 P 和 Q 同时从点 O 和点 B 出发分别以每 秒 5
个单位长度和每秒 10 个单位长度的速度向 C 点运动，点 Q 到达 C 点后，再立即以 同样的速
度返回，点 P 到达点 C 后，运动停止．设运动时间为 t（t＞0）秒．问当 t 为多 少秒时？P，
Q 之间的距离为 4．
【答案】(1)-12
(2)6或10
(3)当 t 为 秒时，A，P 两点之间的距离为 2
(4)当 t 为 或 或 或 秒时，P，Q 之间的距离为 4．
【解析】(1)
（1）数轴上点B表示的数=8-20=-12．
故答案为：-12．
(2)
∵|x-8|=2，
∴x-8=-2或x-8=2，∴x=6或x=10．
故答案为：6或10．
(3)
当运动时间为t秒时，点P表示的数为5t，
依题意得：|5t-8|=2，
即5t-8=-2或5t-8=2，
解得：t= 或t=2．
答：当t为 秒或2秒时，A，P两点之间的距离为2．
(4)
P到达C点时间：（30-0）÷5=6（秒），
Q到达C点时间：|-12-30|÷10= （秒）．
当0＜t＜ 时，P、Q都没有到达C点
点P表示的数为5t，点Q表示的数为10t-12，
依题意得：|5t-（10t-12）|=4，
即12-5t=4或5t-12=4，
解得：t= 或t= ；
当 ≤t＜6时，Q已经到达C点，P没有到达C点
点P表示的数为5t，点Q表示的数为-10（t- ）+30=-10t+72，
依题意得：|5t-（-10t+72）|=4，
即72-15t=4或15t-72=4，
解得：t= 或t= ；
当t≥6时，P、Q都已经到达C点
点P表示的数为30，点Q表示的数为-10（t- ）+30=-10t+72，
依题意得：30-（-10t+72）=4，
解得：t= （不合题意，舍去）．答：当 t 为 或 或 或 秒时，P，Q 之间的距离为 4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，解题的关键是：（1）利用数轴上两
点间的距离公式，找出点B表示的数；（2）利用绝对值的定义，去掉绝对值符号；（3）找准等
量关系，正确列出一元一次方程；（4）分0＜t＜ ， ≤t＜6或t≥6三种情况，找出关于t的一
元一次方程．
4．如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足|a+3|+（c﹣9）2＝
0，b＝1．
（1）a＝ ，c＝ ；
（2）若将数轴折叠，使得A点与点C重合，则点B与数 表示的点重合．
（3）在（1）的条件下，若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，求当x取何值时代数式|x﹣a|
﹣|x﹣c|取得最大值，并求此最大值．
（4）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点C处以2个单位/秒的速度也向
左运动，在点Q到达点B后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），求第几
秒时，点P、Q之间的距离是点C、Q之间距离的2倍？
【答案】（1）-3，9；（2）5；（3）当x≥9时，|x－a|﹣|x﹣c|取得最大值为12；（4）第 秒，
第 秒，第28秒时，点P、Q之间的距离是点C、Q之间距离的2倍．
【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性求解即可．
（2）根据折叠点为点A与点C的中点，列式求解即可．
（3）将（1）中所得的a与c的值代入代数式|x﹣a|﹣|x﹣c|，再根据数轴上两点之间的距离与绝对
值的关系可得出答案．
（4）先求得线段BC的长，再求得其一半的长，然后分类计算即可：当0＜t≤4时，点P表示的数
为﹣3﹣t，点Q表示的数为9﹣2t；当t＞4时，点P表示的数为﹣3﹣t，点Q表示的数为1+2（t﹣
4）．
【详解】解：（1）∵|a+3|+（c﹣9）2＝0，
又∵|a+3|≥0，（c﹣9）2≥0，
∴a+3＝0，c﹣9＝0，∴a＝﹣3，c＝9．
故答案为：﹣3，9．
（2）∵将数轴折叠，使得点A与点C重合，
∴折叠点表示的数为： ＝3，
∴2×3﹣1＝5，
∴点B与数5表示的点重合．
故答案为：5．
（3）∵a＝﹣3，c＝9．
∴|x﹣a|﹣|x﹣c|＝|x+3|﹣|x﹣9|，
∵代数式|x+3|﹣|x﹣9|表示点P到点A的距离减去点P到点C的距离，
∴当x≥9时，|x+3|﹣|x﹣9|取得最大值为9﹣（﹣3）＝12．
（4）∵BC＝9﹣1＝8，
∴8÷2＝4，
当0＜t≤4时，点P表示的数为﹣3﹣t，点Q表示的数为9﹣2t，
∴PQ＝9﹣2t﹣（﹣3﹣t）
＝9﹣2t+3+t
＝12﹣t，
CQ＝2t，
∵PQ＝2CQ，
∴12﹣t＝2×2t，
∴5t＝12，
∴t＝ ．
当t＞4时，点P表示的数为﹣3﹣t，点Q表示的数为1+2（t﹣4），
∴CQ＝|9﹣[1+2（t﹣4）]|，
PQ＝1+2（t﹣4）﹣（﹣3﹣t）
＝1+2t﹣8+3+t
＝3t﹣4，
∵PQ＝2CQ，
∴3t﹣4＝2|9﹣[1+2（t﹣4）]|＝2|16﹣2t|，
∴当3t﹣4＝2（16﹣2t）时，
3t﹣4＝32﹣4t，∴7t＝36，
∴t＝ ；
当3t﹣4＝2（2t﹣16）时，
3t﹣4＝4t﹣32，
∴t＝28．
∴第 秒，第 秒，第28秒时，点P、Q之间的距离是点C、Q之间距离的2倍．
【点睛】本题考查了数轴上的两点之间的距离、绝对值与偶次方的非负性及一元一次方程在数轴
上的动点问题中的应用，熟练掌握相关运算性质及正确列式是解题的关键．
5．已知代数式M＝（a﹣16）x3+20x2+10x+9是关于x的二次多项式，且二次项系数为b．如图，
在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c，已知AC＝6AB．
（1）直接依次写出a、b、c的值： ， ， ；
（2）若动点P、Q分别从C、O两点同时出发，向右运动，且点Q不超过点A．在运动过程中，E
为线段AP的中点，F为线段BQ的中点，若动点P的速度为每秒2个单位长度，动点Q的速度为
每秒3个单位长度，则 的值是 ；
（3）若动点P、Q分别从A、B两点同时出发，都以每秒2个单位长度的速度向左运动，动点M
从点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒，若动点P、Q分别
从C、O两点同时出发，3＜t 时，数轴上有一点N与点M的距离始终为2个单位长度，且点N
在点M的左侧，T为线段MN上的一点（点T不与M、N重合），在运动的过程中，若满足MQ﹣
NT＝3PT（点T不与点P重合），求出此时线段PT的长度．
【答案】（1）16，20，﹣8；（2）2；（3）PT＝1或PT
【分析】（1）根据 是关于 的二次多项式，二次项的系数为 ，可
计算得 、 以及 的值；结合 ，通过计算即可得到答案；
（2）设点P的出发时间为t秒，根据点E为线段 的中点，点F为线段 的中点，若动点P的速度为每秒2个单位长度，动点Q的速度为每秒3个单位长度，分别得 、 、 ，通过计
算即可得到答案；
（3）设点P的出发时间为t秒，P点表示的数为 ，Q点表示的数为 ，M点表示的数
为 ，N点表示的数为 ，T点表示的数为x，得 ， ， ；结合 ，
通过求解方程即可完成求解．
【详解】解：（1）∵ 是关于x的二次多项式，二次项的系数为
∴a＝16， ＝20，
∴AB＝4，
∵AC＝6AB，
∴AC＝24，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ，
（2）设点P的出发时间为t秒，由题意得：
①当t 时，
EF＝AE﹣AF
AP BQ+AB
（24﹣2t） （20﹣3t）+4
＝6 ，
∴BP﹣AQ＝（28﹣2t）﹣（16﹣3t）＝12+t，
∴ 2；
②当 时，此时点 与点 重合，
即AQ＝0，点F对应的数值为 （16+20）＝18；
此时点P在点O的右侧，即OP＝2t﹣8，
而PB＝|2t﹣8﹣20|＝|28﹣2t|，则点E对应的值为 （2t﹣8+16）＝t+4，
则EF＝|18﹣（t+4）|＝|14﹣t|，
而BP﹣AQ＝PB＝|28﹣2t|，
故 2；
故答案为：
（3）设点P的出发时间为t秒，P点表示的数为16﹣2t，Q点表示的数为20﹣2t，M点表示的数
为6t﹣8，N点表示的数为6t﹣10，T点表示的数为x，
∴MQ＝28﹣8t，NT＝x﹣6t+10，PT＝|16﹣2t﹣x|，
∵MQ﹣NT＝3PT，
∴28﹣8t﹣（x+10﹣6t）＝3|16﹣2t﹣x|，
∴x＝15﹣2t或x 2t，
∴PT＝1或PT ．
【点睛】本题考查了数轴、代数式、整式加减、绝对值、一元一次方程的知识；解题的关键是熟
练掌握数轴、代数式、整式加减、绝对值、一元一次方程的性质，从而完成求解．
6．新规定：点C为线段AB上一点，当CA＝3CB或CB＝3CA时，我们就规定C为线段AB的“三
倍距点”．如图，在数轴上，点A所表示的数为﹣3，点B所表示的数为5．
（1）确定点C所表示的数为 ；
（2）若动点P从点B出发，沿射线BA方向以每秒2个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．
①当点P与点A重合时，则t的值为 ；
②求AP的长度（用含t的代数式表示）；
③当点A为线段BP的“三倍距点”时，直接写出t的值．
【答案】（1）-1或3；（2）①4秒；②AP=|2t-8|；③t= 或16．
【分析】（1）设点C所表示的数为c，根据定义即可求出答案；
（2）①根据路程、时间、速度之间的关系即可求出答案；
②根据点P的位置即可求出AP的表达式；
③根据定义列出方程求出答案即可．【详解】解：（1）设点C所表示的数为c，
当CA=3CB时，
∴c+3=3（5-c），
解得：c=3，
当CB=3CA时，
∴5-c=3（c+3），
解得：c=-1，
故答案为：-1或3；
（2）①设AB=8，
t=8÷2=4s，
答：当点P与点A重合时，t的值为4秒；
故答案为：4秒；
②由题意可知：BP=2t，
设点P所表示的数为p，
∴5-p=2t，
∴p=5-2t，
∴AP=|-3-5+2t|=|2t-8|；
③设点P所表示的数为p，
由题意可知：p＜-3，
∴t＞4，
当PA=3AB时，
此时-3-p=3×8，
解得：p=-27，
∴BP=5+27=32，
∴t= =16，
当AB=3PA时，
∴8=3（-3-p），
解得：p=- ，
∴BP=5+ = ，
∴t= ÷2= ，∴综上所述，t= 或16．
【点睛】本题考查了一元一次方程，解题的关键是正确找出等量关系．
7．【背景知识】数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞
b，则可简化为AB＝a﹣b：线段AB的中点M表示的数为 ．
【问题情境】已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，8，点P，Q分别从A，B同时出发，
点P以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向
左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】（1）A、B两点的距离为 ，线段AB的中点C所表示的数 ；
（2）点P所在的位置的点表示的数为 ，点Q所在位置的点表示的数为 （用含t的代数
式表示）；
（3）P、Q两点经过多少秒会相遇？
【答案】（1）18，-1；（2）-10+5t，8-3t；（3）P、Q两点经过 秒会相遇．
【分析】（1）根据两点间的距离公式和中点坐标公式即可求解；
（2）根据左减右加即可求解；
（3）根据路程和=速度和×时间列方程求解可得．
【详解】解：（1）A、B两点的距离为8-（-10）=18，
线段AB的中点C所表示的数[8+（-10）]÷2=-1，
故答案为：18，-1；
（2）点P所在的位置的点表示的数为-10+5t，
点Q所在位置的点表示的数为8-3t，
故答案为：-10+5t，8-3t；
（3）依题意有：5t+3t=18，
解得t= ．
故P、Q两点经过 秒会相遇．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离及一元一次方程的实际应用能力，根据路程和=速度和×时
间，列出方程是解题的关键．8．如图，以O为原点的数轴上有A，B两点，它们对应的数分别为a，b，且（a﹣10）
2+（2b+8）2＝0．
(1)直接写出结果：a＝ ，b＝ ．
(2)设点P，Q分别从点A，B同时出发，在数轴上相向运动，且在原点O处相遇．设它们运动的时
间为t秒，点P运动的速度为每秒2.5个单位长度．
①用含t的式子表示：t秒后，点P，Q在数轴上所对应的数（直接写出结果），点P对应的数是
，点Q对应的数是 ．
②当P，Q两点间的距离恰好等于A，B两点间距离的一半时，求t的值．
【答案】(1)10，-4
(2)①10﹣2.5t，﹣4+t；②2或6
【分析】（1）根据绝对值与平方的非负性即可求出答案；
（2）①先根据点P和点Q相向运动，且在原点O处相遇，可求出点去点Q的速度，再结合点的
运动即可得出结果；
②求出PQ用含t的式子表示，根据题意列出方程即可求出答案．
（1）
∵（a﹣10）2+（2b+8）2＝0，（a﹣10）2≥0，（2b+8）2≥0，
∴（a﹣10）2＝0，（2b+8）2＝0，
∴a﹣10＝0，2b+8＝0，
∴a＝10，b＝﹣4．
故答案为：10，﹣4．
（2）
①根据题意可知，点P向左运动，点Q向右运动，
设点Q的运动速度为m，
∴点P所对应的数为10﹣2.5t，点Q所对应的数为﹣4+mt，
∴当点P和点Q相遇时，10﹣2.5t＝0，且﹣4+mt＝0，
∴t＝4，m＝1．
由点P和点Q的运动可知，点P所对应的数为10﹣2.5t，点Q所对应的数为﹣4+t，
故答案为：10﹣2.5t，﹣4+t．
②点P和点Q相遇前，点P在点Q的右边，∴10﹣2.5t﹣（﹣4+t）＝ [10﹣（﹣4）]，解得t＝2，
点P和点Q相遇后，点P在点Q的左边，
∴﹣t+4﹣（10﹣2.5t）＝ [10﹣（﹣4）]，解得t＝6．
∴当P，Q两点间的距离恰好等于A，B两点间距离的一半时，t的值为2或6．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、绝对值的意义、数轴．解本题的关键熟练掌握绝对值
得意义，及理解题意．
9．数轴上，把点A表示的数记为a，点B表示的数记为b．在学习绝对值时，我们知道了绝对值
的几何含义：数轴上点A，B之间的距离记作|AB|．例如：当a＝1，b＝3时，点A，B之间的距离|
AB|＝|1﹣3|＝2；当a＝﹣1，b＝﹣3时，点A，B之间的距离|AB|＝|﹣1﹣（﹣3）|＝2；当a＝﹣
1，b＝3时，点A，B之间的距离|AB|＝|﹣1﹣3|＝4；由此我们知道，一般情况下，点A，B之间的
距离|AB|＝|a﹣b|．已知a＝﹣6，b＝2．
（1）直接写出|AB|的值为 ；
（2）若点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点N从点B出发，以2个
单位/秒的速度向右移动，设移动时间为t秒．
①移动过程中点M表示的数为 ，点N表示的数为 ，点M，N之间的距离|MN|为
（用含t的式子表示）；
②在移动过程中，若点M，N之间相距3个单位长度，求t的值；
（3）在的（2）条件下，在点M，N移动的同时点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向
右移动，在三个点移动的过程中，|MN|+2|PN|或|MN|﹣2|PN|在某种条件下是否会为定值，请分析并
说明理由．
【答案】（1） ； （2）① ， ， ；② 或 ；（3）当 时，|MN|+2|
PN| ；当 MN|﹣2|PN|
【分析】（1）根据题意，点A，B之间的距离|AB|＝|a﹣b|，据此即可求得|AB|的值；
（2）①根据题意，先表示出 点在数轴上表示的数，进而根据两点距离求解即可；②根据①
的结论，列出方程 ，解方程即可；（3）根据（2）的结论，求得 ，根据绝对值的意义和整式的运算，求得当|MN|+2|PN|或|MN|﹣
2|PN|为定值时，即含 的系数为0，据此求解即可．
【详解】（1）根据题意
故答案为： ；
（2）①点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点N从点B出发，以2个
单位/秒的速度向右移动，设移动时间为t秒，
则 表示的数为 ，点N表示的数为 ；
故答案为： ， ，
②根据题意
或
解得 或
（3）点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向右移动，
则点P表示的数为 ， ，
|PN|
|MN|+2|PN|
当 时，即 时，|MN|+2|PN|
|MN|﹣2|PN|
当 时，即 时，|MN|﹣2|PN|
综上所述，当 时，|MN|+2|PN| ；当 MN|﹣2|PN|
【点睛】本题考查了数轴上两点距离，在数轴表示有理数，绝对值方程，数轴上的动点问题，整
式的加减，化简绝对值，理解两点的距离是解题的关键．
10．已知数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，且|a＋1|＋|b﹣3|＝0
（1）求点A、B两点对应的有理数是 、 ；A、B两点之间的距离是 ．（2）若点C到点A的距离刚好是6，求点C所表示的数应该是多少？
（3）若点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，
经过多少秒时，P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍？
（4）若点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向右运动，
若运动的时间为t秒，2PA﹣mPB的值不随时间t的变化而改变，求m的值．
【答案】（1）-1，3，4；（2）5或-7；（3） 秒或 秒；（4）2
【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b即可得到A、B表示的数，然后根据数轴上两点的距离
公式进行求解即可；
（2）设点C所表示的数应该是x，由点C到点A的距离刚好是6，点A表示的数是-1，可得
即 ，由此解方程即可；
（3）分P在AB之间和P在B点右侧两种情况讨论求解即可得到答案；
（4）先求出运动t秒后 ， ，则
，由此求解即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点A、B两点对应的有理数是-1、3，
∴ ，
故答案为：-1，3，4；
（2）设点C所表示的数应该是x，
∵点C到点A的距离刚好是6，点A表示的数是-1，
∴ 即 ，∴ ，
解得 或 ，
∴点C所表示的数应该是5或-7；
（3）设P的运动时间为t秒，
∴t秒后点P表示的数为 ，
∵当P运动到A点左边时， ，不符合题意，
∴只需要讨论P在AB之间和P在B点右侧，
当P在AB之间时， ， ，
∵P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍，
∴ ，
解得 ；
当当P在B右侧时， ， ，
∵P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍，
∴ ，
解得 ；
∴经过 秒或 秒时，P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍；
（4）由题意得：运动t秒后，点P表示的数为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵2PA﹣mPB的值不随时间t的变化而改变，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，非负数的性质，整式加减中的
无关型问题，解题的关键在于能够熟练掌握数轴的相关知识．
11．如图，数轴上有两条可以左右移动的线段OB和CD．已知OB＝m，CD＝n，且m，n满足|m
﹣4|+（n﹣8）2＝0．（1）m＝ ，n＝ ；
（2）如图1，线段OB的中点为M，线段CD中点为N，线段OB以每秒4个单位长度向右运动，
同时线段CD以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，MN＝8，求线段CD在向右运动前，
点C在数轴上所对应的数；
（3）如图2，已知BC＝24，线段CD固定不动，M，N分别为OB，CD中点，线段OB以每秒4
个单位长度向右运动t秒，若始终有MN+OD为定值．求出这个定值，并直接写出对应t的取值范
围．
【答案】（1）4，8；（2）线段CD向右运动前，点C在数轴上所对应的数是24或8；（3）
，此时 ．
【分析】（1）由绝对值及平方的非负性即可得出结果；
（2）设线段CD在向右运动前，点C在数轴上所对应的数为x，根据运动方向和运动速度列方程
即可，但是需注意分情况讨论；
（3）由题意可得 ， ，根据题意分情况讨论即可得到 定值及t
的取值范围．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为：4，8；
（2）设线段CD在向右运动前，点C在数轴上所对应的数为x，
∵线段OB的中点为M，线段CD的中点为N，且 ， ，
∴ ， ，
∴运动前，M在数轴上表示的数为2，N在数轴上表示的数为 ，
由题意可得： 或 ，
解得： 或 ，∴线段CD向右运动前，点C在数轴上所对应的数是24或8；
（3）运动t秒后， ， ，
当 时，
；
当 时，
；
当 时，
；
综上可得：当 时， ，此时 ．
【点睛】题目主要考查数轴上两点间的距离、绝对值及平方的非负性质，理解题意，列出相应的
方程及找出各线段间的关系是解题关键．
12．在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足 ，其中O
为原点，如图：
（1）直接写出： _____， ______，A，B两点之间的距离为______．
（2）在数轴上有一动点M，若点M到点A的距离是点M到点B的距离的2倍，求点M对应的数．
（3）在数轴上有一动点P，动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度；然后在此位置进行
第二次运动，向右运动2个单位长度；然后在此位置进行第三次运动，向左运动3个单位长度……；
按照如此规律不断地进行左右运动，当运动到2021次时，求此时点P所对应的有理数．
【答案】（1）﹣5；7；12；（2）3或19；（3）
【分析】（1）根据非负数的性质即可求出a、b的值，根据点之间的距离公式求出A，B两点之间
的距离；
（2）分点M在A点左侧，点M在AB之间，点M在点B的右侧三种情况讨论，分别表示出MA、
MB，利用MA＝2MB建立方程，求解即可；
（3）根据题意得到点P每一次运动后所在的位置，然后有理数的加法进行计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
B两点之间的距离为：7－（﹣5）＝12，故答案为：﹣5；7；12．
（2）设点M表示的数为m，
当点M在A点左侧时，m＜﹣5
， ，
由题意得 ，即 ，
解得 （舍去），
当点M在AB之间时， ，
， ，
∴ ，
解得： ，
当点M在点B的右侧时， ，
， ，
∴ ，
解得：
综上所述：点M对应的数为3或19．
（3）根据题意，设点P对应的数为p，
，
，
，
故点P所对应的有理数为 ．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴，两点间的距离公式．解题关键
是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程再求解．
13．点A对应数 ，点B对应数b，点C对应数c．
（1）已知 与 的和是 ，那么 ， ，
；
（2）点P为数轴上一点，且满足 ，请求出点P所表示的数；
（3）点M为数轴上点A右侧一点，甲、乙两点分别从A、M出发，相向而行，2分钟后在途中相
遇，相遇后，两点的速度都提高了l单位长度/分，当甲到达M点后立刻按原路向A返行，当乙到达A点后也立刻按原路向M点返行．甲、乙两点在第一次相遇后3分36秒又再次相遇，则A、M
两点的距离是 单位长度．
（4）当甲以4单位长度/分的速度从A出发，向右运动，乙同时从点C出发，以6单位长度/分的
速度向左运动，当甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时，甲立即掉头返行，请问甲、乙还
能碰面吗？若能，求出碰面的地点对应的数；若不能，请说明理由．
【答案】（1） ， ， ；（2） 或 ；（3） ；（4）甲、乙还能碰面，碰面地点对
应的数为：
【分析】（1）根据题意可得 、 、 为同类项，根据同类项的定义以及合并同
类项法则进行解答即可；
（2）设点P所表示的数为 ，根据点A对应数 ，点B对应数b，分情况进行讨论，当点 在
点左边时，当点 在 之间时，当点 在 点右边时，将（1）中所求数值代入 ，解
方程即可；
（3）由题意可知按原来速度 分钟可走两个来回，都提高速度后 分钟可走两个来回，列方程求
解；
（4）设甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时，对应的点为 ，然后分三种情况进行讨论：
①当点 位于 之间时；②当点 位于 之间时；③当点 位于 点右边时；
分别根据甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度列出方程求解即可．
【详解】解：（1）∵ 与 的和是 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
故答案为： ， ， ；
（2）设点P所表示的数为 ，根据点A对应数 ，点B对应数b，
当点 在 点左边时， ， ，
则： ，解得： 与题设不符，舍去；
当点 在 之间时， ， ，
则 ，解得： ，符合题意；
当点 在 点右边时， ， ，则 ，解得： ，符合题意；
综上：点 表示的数为： 或 ；
（3）设甲的速度为 单位长度/每分钟，乙的速度为 长度/每分钟，
由题意可得： ，
可得： ，
∴A、M两点的距离= ，
故答案为： ；
（4）设甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时，对应的点为 ，
当点 位于 之间时，
有： ，
解得： ，
则点 到点 的距离为： ，
甲到达点 的时间为： 分，
则此时乙到达的位置为： ，
然后两人同时向左运动，乙追上甲的时间为： 分，
此时两人碰面的位置为： ；
当点 位于 之间时，
有： ，
解得： ，
则点 到点 的距离为： ，
甲到达点 的时间为：
20÷4=5分，
则此时乙到达的位置为： ，
则两人同时向左运动，乙在甲的左边，乙的速度大于甲，
∴甲不能追上乙，甲、乙不能碰面；
当点 位于 点右边时，
有： ，
解得： (与题设不符，舍去)；
综上：甲、乙还能碰面，碰面地点对应的数为： ．
【点睛】本题考查了同类项以及合并同类项法则，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到正确的等量关系列出方程．
14．如图，点A和点B在数轴上分别对应数a和b，其中a和b满足（a+4）2＝﹣|8﹣b|，原点记作
O．
（1）求a和b；
（2）数轴有一对动点A 和B 分别从点A和B出发沿数轴正方向运动，速度分别为1个单位长
1 1
度/秒和2个单位长度/秒．
①经过多少秒后满足AB＝3AB？
1 1
②另有一动点O 从原点O以某一速度出发沿数轴正方向运动，始终保持在 与 之间，且满足
1
，运动过程中对于确定的m值有且只有一个时刻t满足等式：AO+BO＝m，请直接写出
1 1
符合条件m的取值范围．
【答案】（1） ；（2）① 或 ；②
【分析】（1）先把条件化为： 再利用非负数的性质可得： ；
（2）①先表示 对应的数分别为： 再求解 再结合已知
AB＝3AB，列方程，再解方程即可；②设 的速度为每秒 个单位，则 对应的数为 再表示
1 1
代入 可得： 再表示
再结合已知可得答案.
【详解】解：（1）
解得：（2）①由（1）得： 对应的数分别为
动点A 和B 分别从点A和B出发沿数轴正方向运动，速度分别为1个单位长度/秒和2个单位
1 1
长度/秒，
对应的数分别为： 如图，
AB ＝3AB，
1 1
或
解得： 或
②设 的速度为每秒 个单位，则 对应的数为
解得： 经检验：符合题意；
当 时，即 时，
当 时，即 时，运动过程中对于确定的m值有且只有一个时刻t满足等式：AO+BO＝m，
1 1
此时
即符合条件的m的取值范围为：
【点睛】本题考查的是非负数的性质，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值方程
的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练的应用以上知识解题是关键.
