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专题17 整式加减的应用
1．一列火车上原有 人，中途下车一半人，又上车若干人，现在车上共有乘客
人.问上车的乘客是多少人？当a=200，b=100时，上车的乘客是多少人？
【答案】 ，900.
【分析】根据题意列出代数式去括号合并即可，然后将a=200，b=100代入求值得出答案.
【详解】解：上车的人数为： ；
当 时， （人）.
故上车的乘客是900人.
【点睛】本题考查了整式的加减，解题的关键是根据题意列出代数式，计算时要注意符号的处理.
2．如图，四边形ABCD与四边形CEFG是两个正方形，边长分别为a，b，其中B，C，E在一条
直线上，G在线段CD上，三角形AGE的面积为S.
(1)①当a=5，b=3时，求S的值；
②当a=7，b=3时，求S的值；
(2)从以上结果中，请你猜想S与a，b中的哪个量有关？用字母a，b表示S，并对你的猜想进行证
明.
【答案】（1）①4.5；②4.5；（2）S= b2，证明见解析
【分析】（1）①根据S AEG=S ABCD＋S ECGF－S ABE－S ADG－S EFG，即可得出
正方形 正方形
答案；②方法同①； △ △ △ △
（2）结论S= b2，根据S AEG=S ABCD＋S ECGF－S ABE－S ADG－S EFG即可证
正方形 正方形
△ △ △ △
明.
【详解】（1）①∵四边形ABCD与四边形CEFG是两个正方形，AB=5，EC=3，
∴DG=CD－CG=5－3=2．
∴S AEG=S ABCD＋S ECGF－S ABE－S ADG－S EFG
正方形 正方形
△ △ △ △=25＋9－ ×8×5－ ×5×2－ ×3×3=4.5．
②∵四边形ABCD与四边形CEFG是两个正方形，AB=7，EC=3，
∴DG=CD－CG=7－3=4．
∴S AEG=S ABCD＋S ECGF－S ABE－S ADG－S EFG
正方形 正方形
△ △ △ △
=49＋9－ ×10×7－ ×7×4－ ×3×3=4.5
（2）结论S= b2．
证明：∵S AEG=S ABCD＋S ECGF－S ABE－S ADG－S EFG
正方形 正方形
△ △ △ △
=a2＋b2－ （a＋b）•a－ •a（a－b）－ b2
=a2＋b2－ a2－ ab－ a2＋ ab－ b2
= b2，
∴S= b2．
【点睛】本题主要考查的是整式的加减，需要熟练掌握整式的加减规律.
3．如图，已知长方形ABCD的长为 （即AD=BC= ），宽为 （即AB=DC= ），点E和点F分
别是长AD和宽DC的中点，.
（1）用含 的式子表示阴影部分（即△BEF）的面积；（写出解答过程）
（2）若△EDF的面积是10，计算△BEF的面积.（写出解答过程）
【答案】（1） ；（2）30.【分析】（1）用割补法求△BEF的面积，即 ;(2)根据已知条
件求得ab的值，整体代入求△BEF的面积.
【详解】解：（1）∵点E和点F分别是长AD和宽DC的中点，
∴ ，
∴
（2）∵
∴ab=80
∴ .
【点睛】运用割补法计算三角形的面积，掌握整式的加减运算，合并同类项的计算及整体代入思
想的运用是本题的解题关键.
4．已知数轴上A，B两点对应的有理数分别是 ，15，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，B两点同
时出发相向而行，甲的速度是3个单位/秒，乙的速度是6个单位/秒
（1）当乙到达A处时，求甲所在位置对应的数；
（2）当电子蚂蚁运行 秒后，甲，乙所在位置对应的数分别是多少？（用含 的式子表示）
（3）当电子蚂蚁运行 （ ）秒后，甲，乙相距多少个单位？（用含 的式子表示）
【答案】（1） ；（2） ， ；（3） .
【分析】（1）先求出乙到达A处时所用的时间，再求甲所在位置对应的数即可；
（2）根据甲，乙的速度和所在起点的位置列式即可；
（3）根据（2）中所求得的甲，乙所在位置对应的数，利用数轴上两点间距离公式列式化简即可.
【详解】解：（1）乙到达A处时所用的时间是 （秒），此时甲移动了 个单位，
所以甲所在位置对应的数是 ；
（2）∵甲的速度是3个单位/秒，乙的速度是6个单位/秒，
∴移动 秒后，甲所在位置对应的数是： ，
乙所在位置对应的数是 ；
（3）由（2）知，运行 秒后，甲，乙所在位置对应的数分别是 ， ，
当 时， ， ，
所以，运行 （ ）秒后，甲，乙间的距离是： 个单
位.
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题以及绝对值的性质，根据时间、速度、路程之间的关系结
合数轴的特点表示出甲，乙所在位置对应的数是解题的关键.
5．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市
自来水收费的价目表如下表（注：水费按月份结算， 表示立方米）．
每月用水量 单价
不超过 的部分 2元/
超出 不超出 4元/
超出 的部分 8元/
请根据上表的内容解答下列问题：
（1）若某户居民2月份用水 ，则应收水费_________．元
（2）若该户居民3月份用水 （其中 ），则应收水费多少元（用含a的代数式表
示，并简化）．
（3）若该户居民4，5两个月共用水 （5月份用水量超过了4月份），设4月份，用水 ，
则该户居民4，5两个月共交水费多少元（用含x的代数式表示，并简化）．
【答案】（1）8；（2）应收水费 元；（3）该户居民4，5两个月共交水费 元
或 元或36元．
【分析】（1）根据表格可以求得该户居民2月份应缴纳的水费；（2）根据表格可以求得该户居民3月份用水a （其中6 b>c），为了美观，小颖决定在包装盒外用丝带打包装饰，她发现，可以用如图所示的三种打
包方式，所需丝带的长度分别为 , , （不计打结处丝带长度）.
1 2 3
𝑙 𝑙 𝑙
（1）用含a、b、c 的代数式分别表示 , , ；
1 2 3
（2）请帮小颖选出最节省丝带的打包方𝑙 式𝑙，𝑙并说明理由.
【答案】（1） ， ， （2）最节省丝带的打包方式为
图②所示，理由详见解析.
【分析】（1）观察分析可得，可把该题看作与长，宽，高平行的丝带分别有几条，再求和即可.（2）通过比较（1）中计算出来的三种方式所用的丝带总长来判断.
【详解】（1）第一种：与长平行的丝带有4根，与宽平行的丝带有2条，与高平行的丝带有6条，
则总丝带长为：
第二种：与长平行的丝带有2根，与宽平行的丝带有4条，与高平行的丝带有6条，则总丝带长为：
第三种：与长平行的丝带有4根，与宽平行的丝带有4条，与高平行的丝带有4条，则总丝带长为：
（2）由题意可知：a>b>c，则令
则
则最节省丝带的打包方式为图②所示.
【点睛】本题考查了用代数式表示长度，解题关键在于把求总丝带长可化为求与长宽高平行的丝
带总数，把整体问题分为部分问题较为简便.
7．某服装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件定价180元，T恤每件定价60元，厂家在开展促销活
动期间，向顾客提供了两种优惠方案：①买一件夹克送一件T恤；②夹克和T恤都按定价的80%
付款；现在某客户要到该厂购买夹克30件，T恤 件（ ＞ ）.
（1）若该客户按方案①购买付款 元（用含 的式子表示）；若该客户按方案②购买付
款 元（用含 的式子表示）.
（2）当 时，通过计算说明方案①、方案②哪种方案购买较为合算？
（3）当 时，你能给出更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法.
【答案】（1） ， ；（2）按方案1购买较为合算；（3）先利用方案1购
买30件夹克会送30件 恤，再利用方案2购买 恤20件．
【分析】（1）按照两种优惠方案分别表示两种方案的付款数；列代数式即可解决问题；
（2）把 代入（1）求出的式子，再进行比较即可；
（3）分两次购买比较省钱：先利用方案1购买30件夹克，再利用方案2购买 恤10件．
【详解】解：（1）该客户按方案1购买，
夹克需付款 （元 ，恤需付款 ，
夹克和 恤共需付款： （元 ；
若该客户按方案2购买，
夹克和 恤共需付款： （元 ，
故答案为 ， ；
（2）当 时，
按方案1购买所需费用 （元 ；
按方案2购买所需费用 （元 ，
所以按方案1购买较为合算．
（3）当 时， ；
最为省钱的购买方案是：先利用方案1购买30件夹克会送30件 恤，再利用方案2购买 恤20
件．
【点睛】本题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量之间关系．
8．如图是小江家的住房户型结构图．根据结构图提供的信息，解答下列问题：
（1）用含a、b的代数式表示小江家的住房总面积S；
（2）小江家准备给房间重新铺设地砖．若卧室所用的地砖价格为每平方米50元；卫生间、厨房
和客厅所用的地砖价格为每平方米40元．请用含a、b的代数式表示铺设地砖的总费用W；
（3）在（2）的条件下，当a＝6，b＝4时，求W的值．
【答案】(1) S ＝8a－3b；(2)W＝320a－150b＋240;(3)1560
【分析】（1）根据图形及长方形面积公式求面积；
（2）分别表示出卧室及卫生间、厨房和客厅的面积，再乘以对应价格，列式化简即可；
（3）把a＝6，b＝4代入（2）中所得式子进行计算即可得出结果.
【详解】解：（1）S ＝8a－3b；
（2）由题可得，卧室面积为3(8－b)平方米，卫生间、厨房和客厅的总面积为8(a－3)平方米，∴W＝3(8－b)×50＋8(a－3)×40
＝1200－150b＋320a－960
＝320a－150b＋240，
（3）当a＝6，b＝4时，
W＝320×6－150×4＋240＝1920－600＋240＝1560（元）.
【点睛】本题考查列代数式及代数式求值，弄清题意是解题的关键.
9．如图，长为50 cm，宽为x cm的大长方形被分割为 小块，除阴影A，B外，其余 块是形状、
大小完全相同的小长方形，其较短一边长为a cm．
（1）从图可知，每个小长方形较长一边长是 cm（用含a的代数式表示）．
（2）求图中两块阴影 ， 的周长和（可以用含x的代数式表示）．
【答案】（ ） ；（ ）
【分析】（1）观察图形可知，每个小长方形较长一边长是大长方形的长-小长方形宽的3倍；
（2）观察图形可知，图形A的较长边为50-3a，较短边为x-3a；图形B的较长边为3a，较短边为
x-（50-3a），根据矩形的周长公式列出代数式，化简即可．
【详解】（ ） ．
（ ）
+12a
．
【点睛】本题考查了列代数式及整式的加减运算，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，正确列出代数式是解题关键．
10．王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，其中种茄子每亩可获利
2400元，种西红柿每亩可获利2600元，王大伯一共获纯利多少元．
（1）若设种茄子x亩，用含有x的式子填下表:
亩
每亩可获利 总获利
数
茄子
西红柿
（2）王大伯种两种蔬菜一共获纯利多少元．（用含x的代数式表示）
【答案】（1）表格见解析；（2）王大伯种两种疏菜一共获纯利 元．
【分析】找到合适的等量关系：①种茄子和西红柿的亩数=25亩；②总利润=茄子获利+西红柿获
利．
【详解】（1）若设种茄子x亩，用含有x的式子填下表:
（2）设种茄子x亩，根据题意列式得：
王大伯种两种蔬菜共获利：2400x+2600(25-x)=-200x+65000（元）；
∴王大伯种两种蔬菜共获利：（-200x+65000）元.
【点睛】本题主要考查了代数式在实际问题中的应用，利用其中的相等关系列出代数式，其中找
到“等量关系”列式是解题的关键.
11．某市电话拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一：
：计时制：0. 03元/分. ：38元/月（限一部个人住宅电话上网）.
此外，每一种上网方式都得加收通信费0. 01元/分. 某用户某月上网时间为 小时，
（1）若按照 方式收费为_____元（用含 的代数式表示），若按照 方式收费为_____元（用含
的代数式表示）；
（2）若 小时，通过计算采用哪种方式较为合算？【答案】（1） ， ；（2）采用 种方式.
【分析】（1）第一种是费用=每分钟的费用×时间+通信费，第二种的费用=月费+通信费；
（2）分别计算x=20时对应的费用，再进行比较即可．
【详解】（1）（1）采用计时制应付的费用为：
0.03×60t+0.01×60t= （元）．
采用包月制应付的费用为：
38+0.01×60t= 元；
（2）若选用 种方式收费应为： （元），
若选用 种方式收费应为 （元），
因为 ，
所以采用 种方式.
【点睛】本题考查列代数式和求代数式的值，表示费用的时候注意单位的统一．解决问题的关键
是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
12．如图：
（1）用含字母的式子表示阴影部分的面积；
（2）当 ， 时，阴影部分的面积是多少？
【答案】（1）阴影部分面积为 ；（2）阴影部分面积为
【分析】（1）用长方形的面积减去两个扇形的面积列式求得答案即可；
（2）把数值对应代入（1）中的代数式求得答案即可．
【详解】（1）阴影部分面积为： ；
（2）当 时，阴影部分面积为：.
【点睛】此题考查列代数式，掌握基本平面图形的面积计算方法是解决问题的关键．
13．如图是小明家的住房结构平面图(单位：米)，他打算把卧室以外的部分都铺上地砖.
(1)若铺地砖的价格为80元/平方米，那么购买地砖需要花多少钱(用代数式表示)？
(2)已知房屋的高为3米，现需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么需要多少平方米的壁纸(计算
时不扣除门、窗所占的面积)(用代数式表示)？
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）求出客厅、厨房、卫生间这3个矩形的面积和即可；再用单价乘以面积即可得出购
买地砖所需；
（3）客厅、卧室底面周长之和乘以高即可得到墙壁面积．
【详解】解：（1）铺上地砖的面积=
（平方米）；
买地砖所需= （元 ；
答：需要花 元钱；
（3）客厅、卧室墙面面积=
（平方米）；
答：需要 平方米的壁纸．
【点睛】本题考查了整式的混合运算；正确求出各个矩形的面积是解题的关键．
14．某商场销售一种西装和领带，西装每套定价400元，领带每条定价50元.国庆节期间商场决定
开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案, 两种优惠方案可以任意选择：方案一：买一套西装送一条领带；方案二：西装和领带都按定价的90%付款.
现某客户要到该商场购买西装20套，领带x .
（1）若该客户按方案一购买，需付款 元（用含x的式子表示）,
若该客户按方案二购买，需付款 元（用含x的式子表示）
（2）若 ，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算；
（3）当 时，你能给出一种更为省钱的购买方法吗？试写出你的购买方法和所需费用.
【答案】（1）(7000+50x)，(7200+45x)； （2）选方案一；（3）先用方案一买20套西装，赠送
20条领带，再用方案二买10条领带，用钱8450.
【分析】（1）分别用两种不同的付款方式列出代数式即可；
（2）将x=30分别代入（1）中求得的代数式中即可，然后再比较即可得到选择哪种方案更合算；
（3）先按方案一购买20套西装获赠送20条领带，再按方案二购买10条领带更合算．
【详解】（1）方案一购买，需付款：20×400+50（x-20）=7000+50x（元），
按方案二购买，需付款：0.9（20×400+50x）=7200+45x（元）；
（2）把x=30分别代入：7000+50x=7000+1500=8500（元），
7200+45x=7200+1350=8550（元）．
因为8500＜8550，所以按方案一购买更合算；
（3）先按方案一购买20套西装（送20条领带），再按方案二购买（x-20）条领带，共需费用：
20×400+0.9×50（x-20）=45x+7100，
当x=30时，45×30+7100=8450（元）．
【点睛】考查了列代数式和求代数式的值，解题的关键是认真分析题目并正确的列出代数式．
15．已知三角形第一边长为 ，第二边比第一边长 ，第三边比第一边短 ，
（1）第二边长为 ，第三边长为 （化简结果）
（2）列式并计算这个三角形的周长
【答案】（1）3m，m＋n；（2）6m+2n．
【分析】（1）根据题意用m、n表示出第二、第三边的长即可；
（2）求出三边长的和即可．
【详解】（1）∵三角形第一边长为2m＋n，第二边比第一边长m−n，
∴第二边的长＝2m＋n＋m−n＝3m；
∵第三边比第一边短m，
∴第三边的长为2m＋n−m＝m＋n．
故答案为3m，m＋n；
（2）∵三角形三边的长分别为：2m＋n，3m，m＋n，∴这个三角形的周长＝（2m＋n）＋3m＋（m＋n）＝2m＋n＋3m＋m＋n＝6m+2n．
【点睛】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．
16．【阅读理解】小海喜欢研究数学问题，在计算整式加减（﹣4x2﹣7+5x）+（2x+3x2）的时候，
想到了小学的列竖式加减法，令A＝﹣4x2﹣7+5x，B＝2x+3x2，然后将两个整式关于x进行降幂排
列，A＝﹣4x2+5x﹣7，B＝3x2+2x，最后只要写出其各项系数对齐同类项进行竖式计算如下：
所以，（﹣4x2﹣7+5x）+（2x+3x2）＝﹣x2+7x﹣7．
【模仿解题】若A＝﹣4x2y2+2x3y﹣5xy3+2x4，B＝3x3y+2x2y2﹣y4﹣4xy3，请你按照小海的方法，先对
整式A，B关于某个字母进行降幂排列，再写出其各项系数进行竖式计算A﹣B，并写出A﹣B的值．
【答案】2x4﹣x3y﹣6x2y2﹣xy3+y4
【分析】首先将两个整式关于x进行降幂排列，然后各项系数进行竖式计算即可.
【详解】首先将两个整式关于x进行降幂排列，A＝2x4+2x3y﹣4x2y2﹣5xy3，B＝3x3y+2x2y2﹣4xy3﹣
y4，
然后各项系数进行竖式计算：
∴A﹣B＝2x4﹣x3y﹣6x2y2﹣xy3+y4；
【点睛】此题主要考查整式的加减，理解题意，熟练运用，即可解题.
17．如图1，将一个边长为a厘米的正方形纸片剪去两个小矩形，得到图案，如图2所示，再将剪
下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示：
(1)列式表示新矩形的周长为______厘米(化到最简形式)
(2)如果正方形纸片的边长为8厘米，剪去的小矩形的宽为1厘米，那么所得图形的周长为______
厘米.
【答案】(1)4a﹣8b；(2)56.
【分析】(1)根据题意列出代数式，去括号合并即可得结果；(2)根据所得图形的边长列出代数式，代入a、b的值即可求解.
【详解】解：(1)根据题意，得
2(a﹣3b+a﹣b)
＝4a﹣8b.
故答案为(4a﹣8b).
(2)根据题意，可知
a＝8，a﹣3b＝2，得b＝2.
所得图形的周长为：4a+4(a﹣b)＝8a﹣4b＝64﹣8＝56.
故答案为56.
【点睛】此题考查了整式的加减，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）
户月用水量 单价
不超过12 m3的部分 2元/m3
超过12 m3但不超过20 m3的部分 3元/m3
超过20 m3的部分 4元/m3
(1) 某用户一个月用了14 m3水，求该用户这个月应缴纳的水费
(2) 某户月用水量为n立方米（12＜n≤20），该用户缴纳的水费是39元，列方程求n的值
(3) 甲、乙两用户一个月共用水40 m3，设甲用户用水量为x m3，且12＜x≤28
① 当12＜x≤20时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为__________元（用含x的整式表示）
② 当20＜x≤28时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为__________元（用含x的整式表示）
【答案】（1）30元；（2）n 等于17；（3）①(116－x)；② (x+76)
【分析】（1）根据用户用水情况，根据不同单价计算其应缴纳的水费，然后相加即为该月的水费；
（2）根据水费，代入不同的单价，计算出实际的用水量；
（3）①根据用水量12＜x≤20，然后分别计算甲、乙的水费，然后相加即可；②根据用水量20＜
x≤28，然后分别计算甲、乙的水费，然后相加即可.
【详解】解：(1)2×12+3×(14－12)=30元,
答：该用户这个月应缴纳30元水费.
(2) 2×12+3(n－12) =39 , n =17 , 答：n 等于17
(3) ①当12＜x≤20时
甲：2×12+3×（x-12）=3x-12
乙：20≤40-x＜2812×2+8×3+4×（40-x-20）=128-4x
共计：3x-12+128-4x=116-x
②当20≤x≤28时
甲：2×12+3×8+4（x-20）=4x-32
乙：12≤40-x≤20
2×12+3×（40-x-12）=108-3x
共计：4x-32+108-3x=x+76
【点睛】本题考查了有理数的混合运算、列代数式等知识点．题目难度中等，针对不同情况分类
讨论是解决（3）的关键．
