文档内容
专题13 已知式子的值求代数式的值
1．已知：x2﹣5x=6，请你求出代数式10x﹣2x2+5的值．
【答案】-7．
【分析】先把10x﹣2x2+5变形为﹣2（x2﹣5x）+5，然后把x2﹣5x=6整体代入进行计算即可．
【详解】解：10x﹣2x2+5
=﹣2（x2﹣5x）+5，
∵x2﹣5x=6，
∴原式=﹣2×6+5=﹣12+5=﹣7．
【点睛】本题考查了代数式求值：先根据已知条件把代数式进行变形，然后利用整体代入进行求
值．掌握代数式求值是解题关键．
2．已知 ，求 的值．
【答案】
【分析】将 直接带入到 中即可．
【详解】解：当 时， ．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，整体代入的思想是解题的关键．
3．已知 、 互为相反数， 、 互为倒数， ，且 ，求 的值．
【答案】-8
【分析】结合题目条件，根据相反数、倒数、绝对值求出a+b=0，cd=1，m=-2，再代入求出即可．
【详解】解：解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，且
∴a+b=0，cd=1，m=-2，
∴ ．
【点睛】本题考查了相反数、倒数、绝对值、有理数的混合运算等知识点，能求出a+b=0、
cd=1、m=-2是解此题的关键．
4．已知代数式 5a+3b的值为 -4．
（1）求代数式 8a- 3（a-b-3）-9 的值；
（2）求代数式 2（a+b-5）- （7a+5b-10） 的值;
（3）求代数式 -6（3a-2b -1）+3（2a-5b-2）+（2a-3b+10） 的值．
【答案】（1）-4（2）4（3）18【详解】试题分析：（1）把所给的整式化简成5a+3b，然后根据条件可得出结果；（2）把所给的
整式化简成-（5a+3b），代入计算即可；（3）把所给的整式化简成-2（5 a +3b）+10，代入计算
即可．
试题解析：（1）原式=8a-3a+3b+9-9（1分）
=5a+3b（2分）
= -4;
（2）原式="2a+2b-10-7a-5b+10=" -5a-3b（4分）
=-（5a+3b）
= 4
（3）原式=-18a+12b+6+6a-15b-6+2a-3b+10（6分）
=-2（5 a +3b）+10（7分）
=-2×（-4）+10
=18．
考点：化简求值．
5．整体思想是数学学习中的一种重要的思想方法，认真阅读下面的探究过程，然后解决问题：
探究：已知x满足 ，求代数式 的值．
解：由 可得， ，
将 看作一个整体，代入得：
原式 ，
∴代数式 的值为2022．
(1)若x满足 ，求代数式 的值；
(2)若 ，且 ，求代数式 的值．
【答案】(1)20
(2)0
【分析】（1）把将 看作一个整体代入 ，再求值即可；
（2）先求解 ，根据 ，再整体代入求值即可．
（1）
解：由 可得： ，
将 看作一个整体代入得： ；
（2）
因为 ， ，
所以 ，
，
，
所以将 、 分别代入，
可得 ．
【点睛】本题考查的是求解代数式的值，掌握“整体代入法求解代数式的值”是解本题的关键．
6．已知a﹣2b＝﹣5，b﹣c＝﹣2，3c+d＝6，求（a+3c）﹣（2b+c）+（b+d）的值．
【答案】-1
【分析】原式去括号整理后，把已知等式代入计算即可求出值．
【详解】解：∵a-2b＝-5，b-c＝-2，3c+d＝6，
∴原式＝a+3c-2b-c+b+d＝(a-2b)+(b-c)+(3c+d)＝-5-2+6＝-1．
【点睛】本题考查了已知式子求代数式的值的知识，先去括号再对照已知的式子进行变形是解答
本题的关键．
7．先化简，再求值：已知 ， ，若 的值为-8，求 的值．
【答案】 ，0
【分析】先去括号，再合并同类项，将原整式化简，然后再将3b﹣a＝﹣8代入求解即可．
【详解】解：A-2B＝ －2
= －
=当 的值为-8时，
原式＝
＝
＝
＝
＝0
【点睛】此题考查了整式的混合运算，主要考查了整式的加减法、去括号、合并同类项的知识点．
注意运算顺序以及符号的处理．
8．已知代数式
(1)已知当 时，该代数式的值为 ，试求 的值：
(2)已知当 时，该代数式的值为9，试求当 时该代数式的值．
【答案】(1)a+b =-3；
(2)-11
【分析】（1）将x=1代入代数式即可求出a+b的值；
（3）将x=3代入代数式求出35a+33b的值，再将x=-3代入代数式，变形后将35a+33b的值整体代入
计算即可求出值．
（1）解：把x=1代入代数式，得到a+b+3-1=-1，∴a+b =-3；
（2）解：把x=3代入代数式，得到35a+33b+9-1=9，即35a+33b=1，当x=-3时，原式=-35a-33b-9-1=-
（35a+33b）-9-1=-1-9-1=-11．
【点睛】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．阅读材料：
“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广
泛，如我们把 看成是一个整体，则
．
尝试应用：
(1)把 看成一个整体，合并 的结果是____________．(2)已知 ，求 的值；
(3)已知 ， ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)4
【分析】（1）利用合并同类项进行计算即可；
（2）把 的前两项提公因式3，再代入求值即可；
（3）利用已知条件求出 ， 的值，再代入计算即可．
（1）
故答案为： ．
（2）∵ ，∴ ，∴ ；
（3）∵ ， ， ，∴①+②得： ，②+③得： ，
∴
【点睛】此题主要考查了整式的加减 化简求值，解题的关键是掌握整体思想，注意去括号时符
号的变化．
10．阅读理解：已知 ，求代数式 的值．
解：因为 ，所以原式 ．
仿照以上解题方法，完成下面的问题：
(1)已知 ，求 的值；
(2)已知 ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）仿照例题，可得 ，将 ，整体代入求
解即可；
（2）仿照例题，可得 ，将 ， ，，整体
代入求解即可．
(1)
解：因为 ，
所以原式
．
(2)
解：因为 ， ，
所以原式
．
【点睛】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键．
11．如下表，给出了在 的不同取值时，三个代数式所得到的代数式的值，回答问题：
－
… －2 0 1 2 …
1
… 5 3 1 －1 …
－
… －11 －5 －2 …
8
… 1 2 3 …
(1)根据表中信息可知： _____________； ____________； ____________；
_____________；
(2)表中代数式 的值的变化规律是： 的值每增加1， 的值就都减少2.类似地，代数式 的值的变化规律是：__________________；
(3)请直接写出一个含 的代数式，要求 的值每增加1，代数式的值就都减少5；
(4)已知 ， ， 是三个连续偶数；当 时， ；当 时， ；当
时， ；且 ．求 的值．
【答案】(1)7；1；0.5；2
(2) 的值每增加1， 的值就都增加3
(3) （答案不唯一）
(4) 的值为4032
【分析】（1）分别将 和 代入两个代数式．计算可得 和 的值；分别把 和 代
入 ，建立方程组求解即可；
（2）结合所给例子并观察表格数字的变化情况即可得出结论；
（3）按要求使 的系数为 ，常数项可随意取值即可；
（4）在（1）计算的基础上，分别代入上面三个式子，计算即可．
(1)
解：用2替换代数式中的 ， ， ．
由表格可知，当 时， ；当 时， ；
解得 ， ；
故答案为：7；1；0.5；2；
(2)
解：观察表格中第三行可以看出， 的值每增加1， 的值就都增加3，
故答案为： 的值每增加1， 的值就都增加3；
(3)
解： 的值每增加1，代数式的值就都减小5，
的系数为 ，
这个含 的代数式是： （答案不唯一）；
(4)
解：由（1）知， ， ，
， ， ，，
，
，
即 的值为4032．
【点睛】本题主要考查列代数式和求代数式的值，涉及到有理数的混合运算，掌握运算法则准确
计算是解题的关键．
12．整体思想是中学数学解题中一种重要思想方法．
有这样一道题：“如果整式a+b的值为-4，那么整式2(a+2b)+3a+b”的值是多少？”
爱动脑筋的小明同学把a+b作为一个整体进行求解，解题过程为：
原式=2a+4b+3a+b
=5a+5b
=5(a+b)
=5×(-4)
=-20．
请仿照以上解题方法，解决下面的问题：
(1)已知a2+a=3，求2a2+2a+2022的值；
(2)已知a-2b=-3，求3(a-b)-4a+5b+5的值．
【答案】(1)2028
(2)8
【分析】（1）利用整体代入的思想代入计算即可；
（2）首先把代数式进行变形，然后再代入计算即可
(1)
解：当a2+a=3时，
2a2+2a+2022
=2（a2+a）+2022
=2×3+2022
=2028
(2)
解：当a-2b=-3时，3(a-b)-4a+5b+5
=3a-3b-4a+5b+5
=-a+2b+5
=-（a-2b）+5
=-（-3）+5
=8
【点睛】此题考查了整式的加减一化简求值，利用整体代入的思想解答是解此题的关键．
13．我们知道， ．类似地，我们把 看成一个整体，则
．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要
的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
(1)若把 看成一个整体，则合并 的结果是 ．
(2)已知 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)10，过程见解析
【分析】（1）把 看成一个整体，合并同类项即可；
（2）把 的前两项提取公因式4，然后整体代入求值．
(1)
解：
＝（3-8+6）
＝
故答案为：
(2)
解：∵ ，∴
＝
＝
＝
＝10
【点睛】本题考查了整式的加减，掌握整体的思想是解决本题的关键．
14．A、B、C、D四个车站的位置如图所示，A、B两站之间的距离AB=a-b，B、C两站之间的距
离BC=2a-b，B、D两站之间的距离BD= a-2b-1．求：
(1)A、C两站之间的距离AC；
(2)若A、C两站之间的距离AC=90km，求C、D两站之间的距离CD．
【答案】(1)3a-2b
(2)44km
【分析】（1）根据两点间的距离列出代数式即可；
（2）根据两点间的距离列出CD的代数式进行解答即可．
(1)
解：由题意得：A、C两站之间的距离AC=a-b+2a-b=3a-2b；
(2)
解：由题意得：CD=（ a-2b-1）-（2a-b）= a-b-1，
∵A、C两站之间的距离AC=90km，
∴3a-2b=90km，
∴ a-b=45km，
∴CD=45-1=44（km）．答：C、D两站之间的距离CD是44km．
【点睛】本题主要考查了列代数式和代数式求值，解决本题的关键是根据题意列出CD的代数式．
15．数学中，运用整体思想方法在求整式的值时非常重要．
例如：已知m2＋3m＝1，则2m2＋6m＋1＝2（m2＋3m）＋1＝2×1＋1＝3
请你根据上面材料解答以下问题：
(1)若n2﹣2n＝3，求2﹣n2＋2n的值；
(2)当x＝1时，px3＋qx﹣1＝4，当x＝﹣1时，求px3＋qx﹣1的值；
(3)当x＝2021时，ax5＋bx3＋cx＋2＝k，当x＝﹣2021时，直接写出ax5＋bx3＋cx＋2的值（用含k
的式子表示）．
【答案】(1)-1
(2)-6
(3)﹣k+4
【分析】（1）将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答即可；
（2）将x＝1代入px3+qx﹣1＝4中，得到关于p，q的关系式，将x＝﹣1代入px3+qx﹣1后，适当
变形，利用整体代入的方法解答即可；
（3）利用（2）中的方法解答即可．
(1)
解：∵n2-2n=3
∴
∴ ．
(2)
解：∵当 时，
∴
∴当 时，∴ 时 ．
(3)
解：∵当 时，
∴20215a+20213b+2021c+2=k
∴
∴当 时，
∴ 时 ．
【点睛】本题考查了整体代入求整式值．解题的关键在于用将代数式适当变形．体现了整体代入
的方法和思想．
16．【阅读理解】“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广
泛．
比如， ，类似地，我们把 看成一个整体，
则 ．(1)化简 的结果是______．
(2)化简求值， ，其中 ．
(3)若 ，请直接写出 的值．
【答案】(1) ；
(2) ， ；
(3)-2．
【分析】（1）直接合并同类项，再用分配律去括号即可；
（2）先用整体思想化简，再整体代入式子的值，计算即可；
（3）逆用乘法分配律，然后整体代入式子的值，计算即可．
(1)
解： ，
= ，
= ；
(2)
解： ，
= ，
当 时，
原式= ；
(3)
解：∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用，掌握“整体思想”使问题化繁为简，达到事半功倍的效果．
17．数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知， ，则代数式
．请你根据以上材料解答以下问题：
（1）若 ，则 ；
（2）已知 ， ，求代数式 的值；
（3）当 ， 时，代数式 的值为8，则当 ， 时，求代数式
的值．
【答案】（1）-1；（2）42；（3）-10
【分析】（1）根据整体思想代入计算即可求解；
（2）根据已知条件先求出a-c的值，再整体代入到所求代数式中即可；
（3）根据已知可得2a+4b=9，再整体代入到所求代数式中即可．
【详解】解：（1）因为x2-3x=2，
所以1+3x-x2=1-（x2-3x）
=1-2=-1
故答案为：-1．
（2）∵a-b=5，b-c=3，
∴a-b+b-c=a-c=5+3=8，
∴（a-c）2-3a+2+3c=（a-c）2-3（a-c）+2=82-24+2=64-24+2=42；
（3）∵当x=-1，y=2时，代数式ax2y-bxy2-1的值为8，
即2a+4b-1=8，
所以2a+4b=9，
∴当x=1，y=-2时，代数式ax2y-bxy2-1=-2a-4b-1=-（2a+4b）-1=-9-1=-10．
【点睛】本题考查了代数式求值，解决本题的关键是运用整体代入思想．
18．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数——整体．试按提示解答
下面问题．
（1）已知A＋B＝3x2－5x＋1，A－C＝－2x＋3x2－5，求：当x＝2时，B＋C的值．提示：B＋C＝
（A＋B）－（A－C）．（2）若代数式2x2＋3y＋7的值为8，求代数式6x2＋9 y＋8的值．提示：把6x2＋9 y＋8变形为含
有2x2＋3y＋7的形式．
（3）已知 ，求代数式 的值．提示：把 和 分别看作整体；再由已知可
得 ，代入 ．
【答案】（1）0；（2）11；（3）
【分析】（1）按提示把A+B和A-C整体代入，可得B+C的表达式，然后再代值计算即可．
（2）按提示把后个代数式转化为第一个代数式的变形式，然后把第一个代数式的结果代入，可简
化运算．
（3）把代数式先进行合并同类项，然后按提示把xy和x+y当做一个整体；由已知得xy=2
（x+y），代入求值即可．
【详解】解：（1）∵B+C=（A+B）-（A-C），
∴B+C=3x2-5x+1-（-2x+3x2-5）=-3x+6；
当x=2时，上式=-6+6=0；
（2）∵6x2+9 y+8=3（2x2+3y）+8，
已知2x2+3y+7=8，得2x2+3y=1
∴上式=3×1+8=11；
（3）原代数式= ，由已知得xy=2（x+y），
所以原式= ．
【点睛】本题主要考查了用整体思想解题，为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数的整
体，可以达到简化运算的目的．
