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培优专题 04 整式的化简求值的五种类型
【专题精讲】
整式的化简常与求值相结合,体现了特殊与一般的辩证关系.解决这类问题的大体
步骤可以简化为“一化、二代、三计算”,但有时也可根据题目的特征和已知条
件灵活选择解题方法.根据代入方法的不同,可将整式的化简求值题划分为以下几
种类型：
(1)利用直接代入法求值;(2)利用整体代入法求值(3)利用拆项或添项法求值(4)利
用降次消元法求值;(5)利用赋值法求值
◎类型一：利用直接代入法求值
解题方法：整式的化简求值一般分为三步：
一是利用整式加减的运算法则将整式化简;
二是把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子;
三是依据有理数的运算法则进行计算
1．（黑龙江省大庆市庆新中学2021-2022学年六年级（五四学制）下学期期末考试数学试
题）先化简，再求值 ，其中
【答案】化简得： ；代入得： ．
【分析】先去括号、合并同类项，然后代入x、y的值进行计算即可．
【详解】解：原式＝ ＝ ，当 时，原式＝ ．
【点睛】本题考查了整式的加减——化简求值，正确的去括号、合并同类项是解决此题的
关键．
2．（2022·湖南·长沙市开福区清水塘实验学校七年级期末）先化简，再求值：
，其中a＝﹣1．
【答案】 ，2
【分析】首先去括号，合并同类项，把代数式化简，然后再代入a的值，进而可得答案．
【详解】解：
当a＝﹣1时，原式
【点睛】此题主要考查了整式的化简求值，给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一
般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计
算．
3．（2020·天津市红桥区教师发展中心七年级期中）已知 ，
(1)求 ；
(2)当 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)21
【分析】（1）把A和B代入，去括号，然后合并同类项即可求解；
（2）把x和y的值代入求解即可．
（1）
解：
（2）
解：当 ，y＝1时，
原式＝＝21
【点睛】本题主要考查整式的加减-化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解
题的关键．
4．（2021·福建·福州十八中七年级期中）先化简，再求值：
(1) 其中 ．
(2) 其中x，y满足 ．
【答案】(1) ，－9
(2) ，-2018
【分析】（1）先去括号，然后将字母的值代入即可求解；
（2）先去括号，然后将字母的值代入即可求解．
（1）
解：原式
；
当 时，原式= ；
（2）
解：原式
∵
∴
解得
∴原式
【点睛】本题考查了整式加减中的化简求值，正确的计算是解题的关键．
◎类型二：利用整体代入法求值
解题方法：解答此类题目,先将原式化简,再将已知条件(或变形后的条件)整体代
入求值。
5．（2022·全国·七年级单元测试）已知 ，则 的值是
（ ）
A．5 B．-5 C．1 D．-1【答案】A
【详解】根据整式的加减运算法则即可求出答案．
【分析】解：原式＝a+c+b﹣d
＝a+b+c﹣d，
当a+b＝3，c﹣d＝2时，
∴原式＝3+2＝5，
故选：A．
【点睛】本题考查整式的加减中的化简求值，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本
题属于基础题型．
6．（2021·福建漳州·七年级期中）若代数式 ，则代数式 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 可得 再把 化为
，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴
∴
故选B.
【点睛】本题考查的是已知式子的值，求代数式的值，掌握“整体代入法求解代数式的
值”是解本题的关键．
7．（2022·全国·七年级课时练习）已知 ，则式子 的值为
（ ）
A．-1 B．1 C．-5 D．5
【答案】C
【分析】原式去括号、合并同类项得到最简结果，再把已知等式代入计算即可．
【详解】解：原式 ，
当 时，原式 ．
故选：C．【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
8．（2022·全国·七年级课时练习）若 ，则代数式 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】D
【分析】将所求式子变形，再把 的值整体代入即可
【详解】
原式=
=
故选D
【点睛】本题主要考查了代数式求值，寻找要求的代数式与题设之间的关系，利用整体代
入法是解题的关键．
◎类型三：无关类题型的求值
9．（2020·天津市红桥区教师发展中心七年级期中）已知 ，小明错将
“ ”看成“ ”,算得结果 .
(1)计算 的表达式；
(2)求正确的结果的表达式；
(3)小强说（2）中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若 求（2）中代数式
的值
【答案】(1)
(2)
(3)对，与 无关；0
【分析】（1）根据整式的加减混合运算法则，即可求解；
（2）根据整式的加减混合运算法则，即可求解；
（3）根据（2）中的结果，即可得到结论，进而代入求值即可 ．
（1）
解： ，（2）
解：
（3）
解：将 ， 代入，得：
原式=
【点睛】本题主要考查整式的加减混合运算法则，化简求值，掌握去括号法则与合并同类
项法则，是解题的关键．
10．（2021·陕西·西北大学附中七年级期中）如果关于 、 的代数式
的值与字母 所取的值无关，试化简代数式
，再求值．
【答案】 ， ．
【分析】对关于 、 的代数式去括号，合并同类项，化简后根据其值与字母 所取的值
无关列式求出a，b的值，然后对所求代数式去括号，合并同类项，化简后把a、b的值代
入计算即可．
【详解】解：
，
∵代数式 的值与字母x所取的值无关，
∴2−2b＝0，a＋3＝0，
解得：b＝1，a＝−3，；
当b＝1，a＝−3时，原式 ．
【点睛】此题主要考查了整式的加减−−化简求值，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则
是解题的关键．
11．（2022·全国·七年级专题练习）已知多项式M＝ ．
(1)当x＝1，y＝2，求M的值；
(2)若多项式M与字母x的取值无关，求y的值．
【答案】(1)2
(2)y＝2
【分析】（1）先化简多项式，将x＝1，y＝2，代入化简结果求值即可求解；
（2）根据（1）的结果，令 的系数为0，即可求得 的值．
（1）
解：M＝
＝xy﹣2x+2y﹣2，
当x＝1，y＝2时，
原式＝2﹣2+4﹣2＝2；
（2）
（2）∵M＝xy﹣2x+2y﹣2＝（y﹣2）x+2y﹣2，且M与字母x的取值无关，
∴y﹣2＝0，
解得：y＝2．
【点睛】本题考查了整式的加减运算化简求值，整式加减中无关类型问题，正确的计算是
解题的关键．
12．（2022·全国·七年级专题练习）已知代数式 ．
(1)当x＝﹣1，y＝﹣2时，求2A﹣B的值．
(2)若2A﹣B的值与x的取值无关，求y的值．
【答案】(1)4xy+4y﹣x﹣23，﹣22
(2)
【分析】（1）把A、B表示的代数式代入，计算出2A-B；
（2）根据2A-B的值与x的取值无关，得到含x项的系数为0，从而求出y的值．（1）
2A﹣B
＝
＝4xy+4y﹣x﹣23．
当x＝﹣1，y＝﹣2时，
原式＝4×（﹣1）×（﹣2）+4×（﹣2）﹣（﹣1）﹣23＝﹣22．
（2）
2A﹣B
＝4xy+4y﹣x﹣23
＝（4y﹣1）x+4y﹣23．
∵2A﹣B的值与x的取值无关，
∴4y﹣1＝0，
∴y＝ ．
即当 时，2A﹣B的值与x的取值无关．
【点睛】本题主要考查了整式的加减，掌握合并同类项法则是解决本题的关键．另整式的
值与字母无关时，该字母的系数为0．
◎类型四：图形类问题的应用求值
13．（2022·浙江绍兴·七年级期末）已知有2个完全相同的边长为a、b的小长方形和1个
边长为m、n的大长方形，小明把这2个小长方形按如图所示放置在大长方形中，小明经过
推事得知，要求出图中阴影部分的周长之和，只需知道a、b、m、n中的一个量即可，则
要知道的那个量是（ ）
A．a B．b C．m D．n
【答案】D
【分析】先用含a、b、m、n的代数式表示出阴影矩形的长宽，再求阴影矩形的周长和即
可．
【详解】解：如图，由图和已知条件可知：AB＝a，EF＝b，AC＝n﹣b，GE＝n﹣a．阴影部分的周长为：2（AB+AC）+2（GE+EF）
＝2（a+n﹣b）+2（n﹣a+b）
＝2a+2n﹣2b+2n﹣2a+2b
＝4n．
∴求图中阴影部分的周长之和，只需知道n一个量即可．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了整式的加减，能用含a、b、m、n的代数式表示出阴影矩形的长
宽是解决本题的关键．
14．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图所示，三张正方形纸片①，②，③分别放置于长
，宽 的长方形中，正方形①，②，③的边长分别为a，b，c，且 ，则阴影
部分周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平移的性质求出水平边之和及竖直边之和，再列式计算解答．
【详解】解：将阴影部分水平的边通过平移可得水平边之和为：2（a＋b），
将阴影部分竖直的边通过平移可得竖直边之和为：2（a＋c－b），
∴阴影部分的周长为：2（a＋b）＋2（a＋c−b）＝2a＋2b＋2a＋2c−2b＝4a＋2c，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平移的性质，整式的加减，根据平移的性质求出水平边之和及竖
直边之和是解题的关键．
15．（2021·广东·揭西县宝塔实验学校七年级期中）如图，大长方形ABCD是由一张周长
为C 正方形纸片①和四张周长分别为C ，C ，C ，C 的长方形纸片②，③，④，⑤拼成，
1 2 3 4 5
若大长方形周长为定值，则下列各式中为定值的是（ ）A．C B．C +C C．C +C +C D．C +C +C
1 3 5 1 3 5 1 2 4
【答案】B
【分析】将各长方形的边长标记出来，可将大长方形ABCD的周长为 和正方形纸片①的
周长C 和四张长方形纸片②，③，④，⑤的周长分别为C ，C ，C ，C 表示出来，其中大
1 2 3 4 5
长方形ABCD的周长为 为定值，然后分别计算C +C ，C +C +C ，C +C +C ，找出其中
3 5 1 3 5 1 2 4
为定值的即可．
【详解】解：如图，将各长方形的边长标记出来，
∴大长方形ABCD的周长为 为定值，
∴ ， ， ， ，
∵①是正方形，
∴
∴ ，
∴ ，
，
，
∴ 为定值，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的加减的计算，熟练掌握整式的加减的运算法则是解答本题
的关键．
16．（2022·山东·万杰朝阳学校期中）如图，阴影部分的面积是 ( )A． xy B． xy C．4xy D．2xy
【答案】A
【分析】根据图形补全成大长方形，用大长方形的面积减去小长方形的面积即可求解．
【详解】解：如图，
阴影部分面积等于
故选A
【点睛】本题考查了整式加减的应用，用代数式表示出长方形的面积是解题的关键．
◎类型五：利用数轴化简求值
17．（2022·全国·七年级课时练习）已知A，B，C三点在数轴上如图所示，它们表示的数
分别是a，b，c．且|a|＜|b|．
(1)填空：abc 0，a+b 0（填“＞”“＜”或“＝”）．
(2)化简：|a﹣b|﹣2|a+b|+|b﹣c|．
【答案】(1)＜，＞；
(2)﹣3a﹣2b+c
【分析】（1）根据数轴上点的位置可知a <0，b>0，c>0，|c|＞|b|＞|a|，由此求解即可；
（2）根据绝对值的含义和求法，化简|a﹣b|﹣2|a+b|+|b﹣c|即可．
（1）
根据数轴上A、B、C三点的位置，可知a＜0＜b＜c，且|c|＞|b|＞|a|，
∴abc＜0，a+b＞0，
故答案为：＜，＞；（2）
由题意可知，a﹣b＜0，a+b＞0，b﹣c＜0，
∴|a﹣b|﹣2|a+b|+|b﹣c|
＝b﹣a﹣2（a+b）+c﹣b
＝b﹣a﹣2a﹣2b+c﹣b
＝﹣3a﹣2b+c
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，绝对值的含义和求法整式的加减，要熟
练掌握以上知识点，同时要明确∶当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大是解题的
关键．
18．（2022·贵州黔西·七年级期末）（1）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如
图所示，化简： ；
（2）若x的相反数是 ，y没有倒数， ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）0或-8
【分析】（1）根据数轴上点的位置得出 ，可判断
，再利用式子的符号化简绝对值，去括号合并同类项即可；
（2）先把整式加减去括号合并同类项化简，再求出 ，然后代入求值即可．
【详解】解：（1）由数轴可知 ，
∴ ，
∴ ，
= ，
，
．
（2） ，
，
．
∵x的相反数是 ，y没有倒数， ，
∴ ．
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
综上所述， 的值为0或 ．
【点睛】本题考查数轴点点表示数，利用数轴比大小，判定式子的符号，化简绝对值，整式加减化简求值．
19．（2021·河南开封·七年级期中）已知 、 两数在数轴上表示如图．
（1）试在数轴上找出表示 ， 的点，并用“<”连接 ， ， ， ．
（2）若 的绝对值等于3， 的倒数等于它本身，化简求值： ．
【答案】（1）画图见解析， ；（2）当 时，化简结果 值为
5；当 时，化简结果 值为9；当 时，化简结果 值
为9；当 时，化简结果 值为5.
【分析】（1）利用相反数的含义，确定表示 的点，再按照右边的数大于左边的数，
用“＜”连接即可；
（2）由 的绝对值等于3， 的倒数等于它本身，可得 再分情况讨论即可
得到答案.
【详解】解：（1）利用相反数的含义确定表示 的点如图示，
所以
（2） 的绝对值等于3， 的倒数等于它本身，
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
【点睛】本题考查的是相反数的含义，利用数轴比较有理数的大小，绝对值的化简，整式
的加减运算，代数式的值，熟悉以上基础知识是解题的关键.
20．（2021·天津·耀华中学七年级期中）已知在数轴上的位置如图所示：
（1）判断下列式子正负：a+1 0；c﹣b 0；b﹣1 0；（2）化简：|a+1|+|c﹣b|﹣|b﹣1|；
（3）若 与 的差仍是单项式，且a与﹣1的距离等于c与﹣1的距离，求﹣
4c2+2（a﹣4b）﹣3（﹣c2+5a﹣b）的值．
【答案】（1）＞，＜，＜；（2） ；（3）-74
【分析】（1）先根据数轴上点的位置可得到 ，由此进行求解即可；
（2）根据（1）计算的结果，根据去绝对值的方法进行求解即可；
（3）根据题意可得 与 是同类项，由此即可求出 ，然后求出a与﹣1
的距离 ，即可得到c与﹣1的距离 ，
则 ，然后根据整式的加减计算法则先化简，然后求值即可．
【详解】解：（1）由数轴上点的位置可知： ，
∴ ， ， ，
故答案为：＞，＜，＜；
（2）∵ ， ， ，
∴
；
（3）∵ 与 的差仍是单项式，
∴ 与 是同类项，
∴ ，
∴ ，
∴a与﹣1的距离 ，
∵a与﹣1的距离等于c与﹣1的距离，
∴c与﹣1的距离 ，
∴ 或 （不符合题意，舍去），
∴．
【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置判定式子符号，化简绝对值，同类项的定义，
整式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握有理数与数轴，整式的加减计算法则．
【专题训练】
1．（2022·广西贵港·七年级期末）若a﹣5＝6b，则(a+2b)﹣2(a﹣2b)的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10
【答案】B
【分析】根据去括号的法则，先去括号，再将已知式子整体代入求解即可．
【详解】解：∵a﹣5＝6b，
(a+2b)﹣2(a﹣2b)
故选B
【点睛】本题考查了整式的加减，化简求值，整体代入是解题的关键．
2．（2022·全国·七年级课时练习）如果a﹣4b＝0，那么多项式2（b﹣2a+10）+7（a﹣2b
﹣3）的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【答案】A
【分析】利用整式的加减计算法则和去括号法则化简
，由此求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴
，
故选A．
【点睛】本题主要考查了整式的加减--化简求值，去括号，熟知相关计算法则是解题的关
键．
3．（2021·黑龙江·绥芬河市第三中学七年级期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡
片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形(长为m，宽为n)的盒子底部(如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是( )
A．4m B．4n C．2(m＋n) D．4(m－n)
【答案】B
【分析】本题需先设小长方形卡片的长为a，宽为b，再结合图形得出上面的阴影周长和下
面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案．
【详解】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b，
∴L =2（n-a+m-a）,
上面的阴影
L =2（m-2b+n-2b）,
下面的阴影
∴L =L +L
总的阴影 上面的阴影 下面的阴影
=2（n-a+m-a）+2(m-2b+n-2b)
=4m+4n-4（a+2b），
又∵a+2b=m，
∴4m+4n-4(a+2b)=4n，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题
的关键．
4．（2022·浙江绍兴·七年级期中）如图，大长方形按如图方式分成5块，其中标号①，③，
④的为正方形，标号②，⑤的为长方形，若要求出⑤与②的周长差，则只需知道下列哪个
条件（ ）
A．①的周长 B．②的周长 C．⑤的面积 D．③的面积
【答案】D
【分析】设正方形①的边长为x，正方形③④的边长为y，长方形②的宽为z，根据长方形
的周长公式计算，判断即可．
【详解】解：设正方形①的边长为x，正方形③④的边长为y，长方形②的宽为z，
则长方形⑤的周长-长方形②的周长
=2[2y+（x+z-y）]-2（x+z）
=2y+2x+2z-2x-2z=2y，
则要求出⑤与②的周长差，只需知道③的面积，
故选：D．
【点睛】本题考查的是整式加减的应用，熟记整式加减的运算法则是解题的关键．
5．（2020·湖北·公安县教学研究中心七年级期中）先化简，再求值：
，其中a＝2、b＝- ．
【答案】 ，10
【分析】先进行整式的加减运算，再求值即可．
【详解】解：原式=
=
当a＝2、b＝ 时，
原式=
=4+6
=10．
【点睛】本题主要考查整式的化简求值，掌握去括号法则以及合并同类项法则是解题的关
键．
6．（2021·河北·原竞秀学校七年级期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后
用一张纸挡住了一个多项式，形式如下：
(1)求所挡的多项式；
(2)当 时，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据整式的加减运算法则，计算 减去 即可得；
（2）将 代入 即可得．
（1）
解：所挡的多项式为
．
（2）
解：将 代入 得： ，即代数式的值为4．
【点睛】本题考查了整式的加减、以及求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．
7．（2022·全国·七年级专题练习）已知代数式 ．
(1)求A﹣2B；
(2)当x＝﹣1，y＝3时，求A﹣2B的值；
(3)若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值．
【答案】(1)5xy﹣2x+2y
(2)-7
(3)
【分析】（1）直接利用整式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接把x,y的值代入得出答案；
（3）直接利用已知得出5y=2，即可得出答案．
（1）
∵ ，
∴
＝
＝5xy﹣2x+2y；
（2）
当x＝﹣1，y＝3时，
原式＝5xy﹣2x+2y
＝5×（﹣1）×3﹣2×（﹣1）+2×3
＝﹣15+2+6
＝﹣7；
（3）
∵A﹣2B的值与x的取值无关，
∴5xy﹣2x＝0，
∴5y＝2，
解得： ．
【点睛】此题主要考查了整式的加减-化简求值，正确合并同类项是解题关键．
8．（2020·浙江·余姚市姚江中学七年级期中）已知：
(1)当 时，求 的值．(2)若 的值与 的值无关，求 的值．
【答案】(1) ，5
(2)y=1
【分析】（1）先利用整式的加减运算法则化简A+2B，再代值求解即可；
（2）根据题意使含有x的项的系数为0列出方程求解即可．
（1）
解：
，
当 ，
∴ ；
（2）
解：∵ 的值与 的值无关，
∴y-1=0，
∴y=1．
【点睛】本题考查整式加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则和运算顺序，理
解无关型含义是解答的关键，
9．（2021·重庆市万州第二高级中学七年级阶段练习）（1）已知 ，
，求当 时，求 ；
（2）已知 ， ，且 ，求 的值；
（3）已知有理数 在数轴上对应的点如图所示：
化简： ．
【答案】（1） ；（2）40或-40；（3） ．
【分析】（1）将 化简后得： ，将 ， 代入
中，去括号合并得到化简即可；
（2）根据绝对值和 求出 ， 的值，即可解答；
（3）根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去
括号合并即可得到结果．
【详解】解：（1）∵
且 ， ，∴
（2）∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴①当 ， 时，
∴ ；
②当 ， 时，
∴ ；
③当 ， 时， （舍去）；
④当 ， 时， （舍去）；
综上所述， 的值为40或-40；
（3）根据数轴得： ， ，
， ， ，
则原式 ，
故答案是： ．
【点睛】本题考查了整式的加减 化简求值，绝对值的性质及其应用，数轴等知识点，熟
练掌握相关知识点是解本题的关键．
10．（2020·山东·日照市新营中学七年级期中）条件求值：
（1）对于有理数a、b，定义运算：a※b＝a×b＋|a|－b．计算(－5)※4的值；
（2）已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：|b－c|＋2|c＋a|－3|a－
b|；
（3）若代数式x2的值和代数式2x＋y－1的值相等，则代数式9－2(y＋2x)＋2x2的值；
（4）先化简再求值：3x2y－[2x2y－3(2xy－x2y)－xy]，其中x＝ ，y＝2．
【答案】（1） ；（2） ；（3）7；（4）－2x2y＋7xy，6
【分析】（1）根据新定义直接代入计算即可；
（2）先根据数轴可得 ，进而可得 ， ， ，由此去绝对
值化简即可；
（3）将x2＝2x＋y－1代入9－2(y＋2x)＋2x2中化简即可求解；
（4）先根据去括号法则及合并同类项法则化简原式，再将x＝ ，y＝2代入计算即可．
【详解】解：（1）由题意可得：
(－5)※4＝ |
＝＝ ；
（2）由数轴可知： ，
∴ ， ， ，
∴原式
；
（3）由题意可得：x2＝2x＋y－1，
∴原式＝9－2(y＋2x)＋2(2x＋y－1)
＝9－2y－4x＋4x＋2y－2
＝7；
（4）原式＝3x2y－(2x2y－6xy＋3x2y－xy)
＝3x2y－2x2y＋6xy－3x2y＋xy
＝－2x2y＋7xy，
当x＝ ，y＝2时，
原式＝－2×( )2×2＋7× ×2
＝－2× ×2＋7× ×2
＝－1＋7
＝6．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式加减的运算法则及运算顺序是解决本
题的关键．
