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培优专题 05 确定二次函数解析式的 8 种方法
◎方法一：利用平移确定二次函数的解析式
1．（2020·青海·湟源县第一中学九年级期中）把抛物线 的图象向左平移2个单位，再向上
平移3个单位，所得的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·广西·梧州市第十中学九年级阶段练习）将二次函数 的图象向上平移2个单位，得到
的新图象的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．3．（2022·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，若抛物线 经一次变换后得到抛
物线 ，则这个变换可以是（ ）
A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位 C．向上平移8个单位 D．向下平移8个单位
4．（2022·陕西西安·九年级期末）抛物线 的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再
向下平移3个单位，则平移后的解析式为______．
5．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线 的顶点为P，与x轴相交于M，N两点（点M
在点N左侧），平移此抛物线，使点P平移后的对应点 落在x轴上，点M平移后的对应点 落在y轴
上，则平移后的抛物线解析式为________．
◎方法二：已知一点、两点或三点坐标求二次函数的解析式
6．（2022·全国·九年级专题练习）若抛物线 的顶点是 ，且经过点 ，则抛物线
的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·全国·九年级单元测试）二次函数 的图象经过点 ，则代数式 的值为
（ ）
A．0 B． C． D．2
8．（2022·江苏·九年级专题练习）已知抛物线 经过点 ，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·江苏·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线 恰好经过 和
两点．
（1）求a的值___________；
（2）平移抛物线 ，使其顶点仍在直线 上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的
最大值___________．
10．（2022·河南洛阳·九年级期末）已知二次函数的图象经过(-1、0)、(3、0)、(0、3)三点，那么这个二次
函数的解析式为______．
◎方法三：设“顶点式”确定二次函数的解析式
11．（2022·全国·九年级专题练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的x、y的部分对应值如下表所示，则下列判
断不正确的是（ ）
x 0 1 2
y 0 1.5 2 1.5
A．当 时，y随x的增大而增大 B．当 时，
C．顶点坐标为(1，2) D． 是方程 的一个根
12．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线的顶点坐标是 ，且与y轴交于点 ，这个抛物线的
解析式是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2022·湖南益阳·九年级期末）已知抛物线 的顶点坐标为 ，则b、c的值分别为（ ）
A．2，2 B．-2，2 C．2，0 D．-2，0
14．（2022·江苏泰州·九年级期末）若一条抛物线与y=2x2图像的形状相同且开口向下，顶点坐标为（0，
2），则这条抛物线的解析式为________．
15．（2021·全国·九年级课时练习）已知，抛物线 经过原点，其顶点为 ．
（1）当 时，抛物线的解析式为_________．
（2）当点A在抛物线 上，且 时，a的取值范围是______．
◎方法四：设“交点式”确定二次函数的解析式
16．（2021·全国·九年级课时练习）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点是（1，0），（﹣3，0），则
这条抛物线的对称轴是（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣3
17．（2020·江西·宜春九中九年级期中）已知抛物线 与 轴的交点为 ， ，则
该抛物线的对称轴（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D． 轴
18．（2023·河北·九年级专题练习）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标
系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：
① ；
②池底所在抛物线的解析式为 ；
③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，
则最深处到水面的距离减少为原来的 ．
其中结论正确的是（ ）A．①② B．②④ C．③④ D．①④
19．（2022·宁夏·隆德县第二中学九年级期末）抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应
值如下表：
x 0 1 2 3 4
y ⋯ 3 0 -1 0 3 ⋯
⋯ ⋯
则抛物线的解析式是______________．
20．（2022·全国·九年级单元测试）如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于A， 两点
，则该抛物线的解析式是____．
◎方法五：根据图形变换确定二次函数的解析式
类型1 平移变换
21．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点 是抛物线 的图象的
顶点，点 ， 的坐标分别为 ， ，将 沿 轴向下平移使点 平移到点 ，再绕点 逆时针
旋转 ，若此时点 ， 的对应点 ， 恰好落在抛物线上，则 的值为（ ）A． B．－1 C． D．－2
22．（2022·全国·九年级）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）图象的对称轴为直线x＝2．
向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，则平移后图象所对应的二次函数的表达式为（ ）
A．y＝x2﹣2x B．y＝x2﹣4x C．y＝x2﹣4x﹣3 D．y＝x2﹣4x+3
类型2 旋转变换
23．（2010·湖北恩施·中考真题）将抛物线 绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是
（）
A． B．
C． D．
24．（2022·湖北荆州·九年级期末）在平面直角坐标系中，将抛物线 绕着原点旋转 ，所
得抛物线的解析式是（ ）A． B．
C． D．
类型3 轴对称变换
25．（2023·安徽·九年级专题练习）将抛物线C ：y＝（x－3）2＋2向左平移3个单位长度，得到抛物线
1
C ，抛物线C 与抛物线C 关于x轴对称，则抛物线C 的解析式为（ ）．
2 2 3 3
A．y＝x2－2 B．y＝－x2＋2 C．y＝x2＋2 D．y＝－x2－2
26．（2020·江西·新建五中九年级阶段练习）抛物线C1：y=x2+1与抛物线C2关于X轴对称，则抛物线C2
的解析式为（ ）
A．y=-x2 B．y=-x2+1 C．y=x2-1 D．y=-x2-1
◎方法六：根据图像信息确定二次函数的解析式
27．（2022·浙江丽水·一模）如图，抛物线 与x轴相交于点 ，与y轴相交于点
C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点 是抛物线上不同的两点．
①若 ，求 之间的数量关系．
②若 ，求 的最小值．
28．（2019·浙江金华·九年级阶段练习）已知抛物线 的图象经过三个点（－1，0），点（3，0），点（0，-3）；
（1）求抛物线解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
29．（2021·全国·九年级专题练习）已知二次函数y＝(x－m)2－1.
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；
（2）如下图，当m＝2时，该抛物线与轴交于点C，顶点为D，求C、D 两点的坐标；
◎方法七：根据几何图形的性质确定二次函数的解析式
30．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线 经过点 和点 ．解答下
列问题．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为 ，对称抽与 轴的交点为 ，求线段 的长；
(3)点 在抛物线上运动，是否存在点 使 的面积等于6？如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，
说明理由．
31．（2021·内蒙古呼和浩特·九年级阶段练习）如图，在▱ABCD中，AB＝4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过x轴上的点A，B．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．
32．（2016·陕西安康·九年级期末）如图，二次函数y=a（x﹣2）2的图象与直线交于A（0，﹣1），B
1
（2，0）两点．
（1）确定二次函数的解析式；
（2）设直线AB解析式为y，根据图形，确定当y＞y 时，自变量x的取值范围．
2 1 2
◎方法八：根据数量关系确定二次函数的解析式
33．（2022·全国·九年级课时练习）某件产品的成本是每件10元，试销售阶段每件产品的销售价x（元）
与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表所示．
x/元 15 20 30 35
y/件 25 20 10 5
(1)观察以上数据，根据我们所学到的一次函数、二次函数，回答：y是x的什么函数？并求出解析式．(2)要使得每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少？此时每日的销售利润是多少？
34．（2022·广西·中考真题）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗，某特产公司近期销售一种盒装油茶，
每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图
像如图所示．
(1)求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大?求出最大利润．
35．（2022·浙江温州·九年级期末）某景区商店销售一种成本价为 10 元/件的纪念品，已知这种纪念品的
销售价不低于成本价，且物价部门规定销售价不得高于 24 元/件，经市场调查发现，该纪念品每天的销售
量 y（件）与销售价 x（元/件）之间的函数关系如图所示．
(1)求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；
(2)求每天的销售利润 W（元）关于销售价 x（元/件）的函数解析式，并求出当每件的销售价为多少元时，
每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
