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2022-2023学年七年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】
专题1.3整式的加减应用及综合问题八大核心考点精讲精练
（知识梳理+典例剖析+变式训练）
【目标导航】
【知识梳理】
1.代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先
化简再求值．
（3）题型简单总结以下三种：① 已知条件不化简，所给代数式化简；
② 已知条件化简，所给代数式不化简；
③ 已知条件和所给代数式都要化简．
2.整式加减的应用主要考查的题型有：
（1）整体思想在整式加减中的应用
（2）代数式求值问题
（3）整式加减中的无关性问题
（4）整式的应用——面积问题
（5）整式的应用——销售问题
（6）整式的应用——方案比较问题
（7）探索规律——数字变化问题
（8）探索规律——图形变化问题
【典例剖析】
【考点1】整体思想在整式加减中的应用
【例1】（2020秋•滨海新区期末）我们知道，4a﹣3a+a＝（4﹣3+1）a＝2a，类似地，我们把（x+y）看成
一个整体，则4（x+y）﹣3（x+y）+（x+y）＝（4﹣3+1）（x+y）＝2（x+y）．“整体思想”是中学数
学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
请尝试：
（1）把（m﹣n）2看成一个整体，合并2（m﹣n）2﹣4（m﹣n）2+（m﹣n）2的结果是 ﹣（ m ﹣ n ） 2 ；
15
（2）已知x2﹣4x＝2，求3x2﹣12x− 的值；
2
（3）已知a﹣2b＝3，c﹣d＝3，2b﹣c＝﹣10，求（2b﹣d）﹣（2b﹣c）+（a﹣c）的值．
【分析】（1）把（m﹣n）2看成一个整体，合并同类项即可；
15
（2）将3x2﹣12x− 的前两项提取公因数3，再将x2﹣4x＝2整体代入计算即可；
2
（3）对（2b﹣d）﹣（2b﹣c）+（a﹣c）去括号，再合并同类项，将a﹣2b＝3，c﹣d＝3，2b﹣c＝﹣
10三个式子相加，即可得到a﹣d的值，则问题得解．
【解析】（1）2（m﹣n）2﹣4（m﹣n）2+（m﹣n）2＝﹣（m﹣n）2，
故答案为：﹣（m﹣n）2；
15
（2）3x2﹣12x−
215
＝3（x2﹣4x）− ，
2
∵x2﹣4x＝2，
15 3
∴原式=3×2− =− ；
2 2
（3）（2b﹣d）﹣（2b﹣c）+（a﹣c）
＝2b﹣d﹣2b+c+a﹣c
＝a﹣d，
∵a﹣2b＝3，c﹣d＝3，2b﹣c＝﹣10，
∴a﹣2b+c﹣d+2b﹣c＝3+3﹣10，
∴a﹣d＝﹣4，
∴（2b﹣d）﹣（2b﹣c）+（a﹣c）＝﹣4．
【变式1.1】（2022秋•香洲区期中）我们知道，4a﹣3a+a＝（4﹣3+1）a＝2a，类似地，我们把（x+y）看
成一个整体，则4（x+y）﹣3（x+y）+（x+y）＝（4﹣3+1）（x+y）＝2（x+y）．“整体思想”是中学
数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请尝试：
（1）把（m﹣n）2看成一个整体，合并2（m﹣n）2﹣4（m﹣n）2+（m﹣n）2的结果是 ﹣（ m ﹣ n ） 2
．
（2）已知x2﹣4x＝2，求3x2﹣12x﹣10的值；
（3）已知a﹣2b＝3，c﹣d＝3，2b﹣c＝﹣10，求（2b﹣d）﹣（2b﹣c）+（a﹣c）的值．
【分析】（1）利用整体的思想，进行计算即可解答；
（2）利用整体的思想，进行计算即可解答；
（3）根据已知易得a﹣d＝﹣4，然后再将所求的式子去括号，合并同类项，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）2（m﹣n）2﹣4（m﹣n）2+（m﹣n）2
＝（2﹣4+1）（m﹣n）2
＝﹣（m﹣n）2，
故答案为：﹣（m﹣n）2；
（2）∵x2﹣4x＝2，
∴3x2﹣12x﹣10
＝3（x2﹣4x）﹣10
＝3×2﹣10
＝6﹣10
＝﹣4，∴3x2﹣12x﹣10的值为﹣4；
（3）∵a﹣2b＝3，c﹣d＝3，2b﹣c＝﹣10，
∴a﹣2b+c﹣d+2b﹣c＝3+3﹣10，
a﹣d＝6﹣10，
a﹣d＝﹣4，
∴（2b﹣d）﹣（2b﹣c）+（a﹣c）
＝2b﹣d﹣2b+c+a﹣c
＝a﹣d
＝﹣4，
∴（2b﹣d）﹣（2b﹣c）+（a﹣c）的值为﹣4．
【变式1.2】（2022秋•张湾区期中）阅读材料：“如果代数式5a+3b的值为﹣4，那么代数式2（a+b）+4
（2a+b）的值是多少？”我们可以这样来解：
原式＝2a+2b+8a+4b＝10a+6b．把式子5a+3b＝﹣4两边同乘以2，得10a+6b＝﹣8．
仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
（1）已知a2+a＝0，求2a2+2a+2017的值；
（2）已知a﹣b＝﹣3，求3（a﹣b）﹣a+b+5的值；
【分析】（1）2a2+2a+2017＝2（a2+a）+2017，再将a2+a＝0代入计算即可；
（2）把3（a﹣b）﹣a+b+5变形为3（a﹣b）﹣（a﹣b）+5，然后利用整体代入的思想计算．
【解答】解：∵a2+a＝0，
∴2a2+2a+2017
＝2（a2+a）+2017
＝2×0+2017
＝2017；
（2）∵a﹣b＝﹣3，
∴3（a﹣b）﹣（a﹣b）+5
＝3×（﹣3）﹣（﹣3）+5
＝﹣9+3+5
＝﹣1．
【变式1.3】（2022秋•石阡县期中）[阅读材料]
我们知道，4x+2x﹣x＝（4+2﹣1）x＝5x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则 4（a+b）+2
（a+b）﹣（a+b）＝（4+2﹣1）（a+b）＝5（a+b）．“整体思想”是解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
[尝试应用]
（1）把（a﹣b）2看成一个整体，将3（a﹣b）2﹣7（a﹣b）2+2（a﹣b）2合并同类项，结果是 ﹣ 2
（ a ﹣ b ） 2 ；
（2）已知x2+2y＝5，求3x2+6y﹣21的值；
[拓展探索]
（3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣c）﹣（2b﹣d）的值．
【分析】（1）把（a﹣b）看作一个整体，合并即可得到结果；
（2）原式前两项提取3变形后，将已知等式代入计算即可求出值；
（3）原式去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）把（a﹣b）看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣7（a﹣b）2+2（a﹣b）2的结果是﹣2
（a﹣b）2，
故答案为：﹣2（a﹣b）2；
（2）∵x2+2y＝5，
∴原式＝3（x2+2y）﹣21＝15﹣21＝﹣6；
（3）∵a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，
∴原式＝a﹣c+2b﹣d﹣2b+c＝a﹣d＝a﹣2b+2b﹣c+c﹣d＝（a﹣2b）+（2b﹣c）+（c﹣d）＝3﹣5+10＝
8．
【考点2】代数式求值问题
【例2】（2020秋•平山县期中）已知a2+ab＝﹣3，ab+b2＝7，试求a2+2ab+b2与a2﹣b2的值．
【分析】根据题意a2+2ab+b2与可化为（a2+ab）+（ab+b2），a2﹣b2的可化为（a2+ab）﹣（ab+b2），
把a2+ab＝﹣3，ab+b2＝7，代入即可得出答案．
【解析】a2+2ab+b2＝（a2+ab）+（ab+b2）＝﹣3+7＝4，
a2﹣b2＝（a2+ab）﹣（ab+b2）＝﹣3﹣7＝﹣10．
【变式2.1】通过计算填写下表．
a 2 1 ﹣1
−
3
1 17 82 2
a2+
a2 4 9
1 25 100 4
（a+ ）2
a 4 91 1 1
请你根据上表，直接写出a2+ 与（a+ ）2之间的数量关系；并验证当a=− 时，上式是否成立？
a2 a 2
1 1
【分析】把数值分别代入计算得出答案，根据计算结果得出 a2+ 与（a+ ）2之间的数量关系，进一
a2 a
步代入验证即可．
【解答】解：填表如下：
1 1
由表可知：a2+ ＜（a+ ）2，
a2 a
1 1 17 1 25
当a=− 时，a2+ = ＜（a+ ）2= ．
2 a2 4 a 4
17 82 25 100
故答案为： ； ；2； ； ；4．
4 9 4 9
【变式2.2】请根据图示的对话，解答下列问题．
我不小心把老师布置的作业题弄丢了，只记得式子是8﹣a+b﹣c．
我告诉你，a的相反数是3，b的绝对值是7，c与b的和是﹣8．
（1）求a，b的值；
（2）求8﹣a+b﹣c的值．
【分析】（1）根据对话求出所求即可；
（2）求出a，b，c的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：（1）根据题意得：a＝﹣3，b＝7或﹣7，b+c＝﹣8；
（2）当a＝﹣3，b＝7时，c＝﹣15，此时原式＝8+3+7+15＝33；
当a＝﹣3，b＝﹣7，c＝﹣1，此时原式＝8+3﹣7+1＝5，
综上所述，原式的值为33或5．
【变式2.3】（2022秋•南开区期中）已知A＝3x2﹣x+2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y+xy．（Ⅰ）化简：2A﹣B；
6
（Ⅱ）若x+y= ，xy＝﹣1，求2A﹣3B的值．
7
【分析】（1）利用整式加减运算法则化简即可．
（2）把（x+y），xy看作一个整体，代入求值可得．
【解答】解：（1）2A﹣B
＝2（3x2﹣x+2y﹣4xy）﹣（2x2﹣3x﹣y+xy）
＝6x2﹣2x+4y﹣8xy﹣2x2+3x+y﹣xy
＝4x2+x+5y﹣9xy；
6
（2）∵x+y= ，xy＝﹣1，
7
6
∴2A﹣3B＝7x+7y﹣11xy＝7（x+y）﹣11xy＝7× −11×（﹣1）＝6+11＝17．
7
【考点3】整式加减中的无关性问题
【例3】（2019秋•黄冈期末）已知A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+12ab+2．
（1）化简4A﹣（3A﹣2B）；
（2）若（1）中式子的值与a的取值无关，求b的值．
【分析】（1）先化简4A﹣（3A﹣2B），再将a与b的值代入计算即可求出值；
（2）把（1）结果变形，根据结果与a的值无关求出b的值即可．
【解析】（1）∵A＝2a2+3ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+12ab+2，
∴原式＝4A﹣3A+2B＝A+2B＝2a2+3ab﹣2a﹣1+2（﹣a2+12ab+2）＝2a2+3ab﹣2a﹣1﹣2a2+24ab+4＝27ab
﹣2a+3；
（2）原式＝（27b﹣2）a+3，
2
由结果与a的取值无关，得到27b﹣2＝0，解得b= ．
27
【变式 3.1】（2022 秋•东港区校级期中）有这样一道题：当 a＝2，b＝﹣2 时，求多项式
1 1 1
3a3b3− a2b+b2−(4a3b3− a2b−b2 )+(a3b3+ a2b)−2b2+3的值，马小虎做题时把a＝2错抄
2 4 4
成a＝﹣2，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．
【分析】原式去括号合并同类项后，得到最简结果与a无关，即可说明．
1 1 1
【解答】解：3a3b3− a2b+b2−(4a3b3− a2b−b2 )+(a3b3+ a2b)−2b2+3
2 4 41 1 1
＝3a3b3− a2b+b2﹣4a3b3+ a2b+b2+a3b3+ a2b−2b2+3
2 4 4
1 1 1
＝（3﹣4+1）a3b3+(− + + )a2b+（1+1﹣2）b2+3
2 4 4
＝3，
∵多项式的值和a无关，
∴他们做出的结果都为3．
【变式3.2】（2022秋•丹徒区期中）已知：A＝x2+2x﹣1，B＝3x2﹣2ax+1．
（1）当x＝1，a＝﹣3时，求B的值；
（2）用含a，x的代数式表示3A﹣B；
（3）若3A﹣B的值与x无关，求a的值．
【分析】（1）直接把x＝1，a＝﹣3代入B，求值即可；
（2）先把A、B表示的代数式代入，然后去括号，合并同类项；
（3）根据代数式的值与x无关，得到关于a的方程，求解即可．
【解答】解：（1）当x＝1，a＝﹣3时，
B＝3×12﹣2×（﹣3）×1+1
＝3+6+1
＝10；
（2）3A﹣B
＝3（x2+2x﹣1）﹣（3x2﹣2ax+1）
＝3x2+6x﹣3﹣3x2+2ax﹣1
＝6x+2ax﹣4；
（3）∵3A﹣B的值与x无关，
∴6x+2ax＝0
∴6+2a＝0．
∴a＝﹣3．
【变式3.3】（2022秋•石阡县期中）已知M＝x2﹣ax﹣1，N＝3x2﹣2ax﹣2x﹣1．
（1）求N﹣（N﹣2M）；
（2）若多项式3M﹣N的值与字母x的取值无关，求a的值．
【分析】（1）N﹣（N﹣2M）＝N﹣N+2M＝2M，根据M＝x2﹣ax﹣1求解即可；
（2）先计算3M﹣N的值，因为多项式3M﹣N的值与字母x的取值无关，所以x的系数为0，列方程解
答即可．【解答】解：（1）∵N﹣（N﹣2M）＝N﹣N+2M＝2M，
∴2M＝2（x2﹣ax﹣1）＝2x2﹣2ax﹣2；
（2）∵M＝x2﹣ax﹣1，N＝3x2﹣2ax﹣2x﹣1，
∴3M﹣N＝3（x2﹣ax﹣1）﹣（3x2﹣2ax﹣2x﹣1）
＝3x2﹣3ax﹣3﹣3x2+2ax+2x+1
＝﹣ax+2x﹣2
＝（﹣a+2）x﹣2，
∵多项式3M﹣N的值与字母x的取值无关，
∴﹣a+2＝0，
∴a＝2．
【考点4】整式的应用——面积问题
【例4】（2018秋•曲阳县期末）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放
在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S，S，已知小长方形纸片
1 2
的长为a，宽为b，且a＞b
（1）当a＝9，b＝2，AD＝30时，请求：
①长方形ABCD的面积；
②S﹣S的值．
2 1
（2）当AD＝30时，请用含a，b的式子表示S﹣S的值．
2 1
【分析】（1）①根据长方形的面积公式，直接计算即可；
②求出S和S的面积，相减即可；
1 2
（2）根据长方形面积公式表示S和S的面积，相减即可求得结论；
1 2
【解析】（1）①长方形ABCD的面积为AD•AB＝AD（a+4b）＝30×（4×2+9）＝510；
②S S＝（30﹣3×2）×9﹣（30﹣9）×4×2＝48；
2﹣ 1（2）当AD＝30时，
S﹣S＝a（30﹣3b）﹣4b（30﹣a）＝30a﹣3ab﹣120b+4ab＝ab+30a﹣120b．
2 1
【变式4.1】（2022秋•社旗县期中）某校开展了丰富多样的劳动实践课．八（1）班在边长为a米的正方
形空地的四角均留出一块边长为b米的正方形空地种植萝卜，其余的地方种植白菜．
（1）先画出本题的示意图．
（2）用含a、b的代数式表示种植白菜的面积．
（3）当a＝6.4米、b＝1.8米时，计算种植白菜的面积．
【分析】画出图案，利用数形结合的方法列出代数式，代入求值．
【解答】解：（1）如右图．
（2）S＝a2﹣4b2．
（3）当a＝6.4，b＝1.8时，
S＝a2﹣4b2．
＝（6.4）2﹣4（1.8）2
＝40.96+4×3.24
＝40.96+12.96
＝53.92（平方米）．
【变式4.2】（2022秋•历下区期中）小磊房间窗户的装饰物如图阴影部分所示，它们由两个半径相同的四
分之一圆组成（单位：米）．1
（1）请用字母表示装饰物的面积（结果保留 ）：
πa2
；
2
π
1
（2）请用字母表示窗户能射进阳光的部分面积（结果保留 ）： 2 a b− πa2 ；
2
π
2
（3）若a= ，b＝2时，请求出窗户能射进阳光的面积（ 取3）．
3
π
【分析】（1）根据题意，列代数式即可；
（2）用整个窗户的面积减去装饰物的面积即可；
（3）将数据代入（2）的代数式中进行计算即可．
1
【解答】解：（1）装饰物的面积为： a2，
2
π
1
故答案为： a2；
2
π
1
（2）窗户能射进阳光的部分面积为：2ab− a2，
2
π
1
故答案为：2ab− a2；
2
π
2
（3）当a= ，b＝2时，
3
1
2ab− a2
2
π
2 1 2
＝2× ×2− ×3×（ ）2
3 2 3
＝2．
【变式4.3】（2022秋•高港区期中）如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个
“5”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示．（1）用含a、b的代数式表示新矩形的周长；
（2）当a＝4，b＝1时，求新矩形的周长．
【分析】（1）根据题意列式、计算求解；
（2）将a＝4，b＝1代入（1）题结果并计算．
【解答】解：（1）∵2[（a﹣b）+（a﹣3b）]
＝2（a﹣b+a﹣3b）
＝2（2a﹣4b）
＝4a﹣8b，
∴新矩形的周长为4a﹣8b；
（2）当a＝4，b＝1时，
4a﹣8b＝4×4﹣8×1＝16﹣8＝8，
∴新矩形的周长是8．
【考点5】整式的应用——销售问题
【例5】（2020秋•岐山县期中）某商店销售一种商品，每件成本a元，每件先按成本增加b元定出售价，
销售了20件．后来由于库存积压，在原售价的基础上降价20%出售，又销售了50件．请用含a，b的
代数式表示．
（1）该商店销售70件这种商品的总销售额为多少元？
（2）销售70件这种商品，该商店共盈利多少元？
【分析】（1）根据题意表示售价，乘20件，得到打折前的销售额，再由售价乘（1﹣20%），再乘50
件，表示出打折后的销售额，相加即可得到结果；
（2）用总售价减去总成本，即可表示出盈利的钱数．
【解答】解：（1）根据题意得：20（a+b）+50×（1﹣20%）×（a+b）＝20a+20b+40a+40b＝
（60a+60b）元，则该商店销售70件这种商品的总售价为（60a+60b）元；
（2）根据题意得：（60a+60b）﹣（20+50）a＝60a+60b﹣70a＝（60b﹣10a）（元）．
故销售70件这种商品共盈利（60b﹣10a）元．
【变式5.1】（2022秋•盐城期中）随着北京冬奥会周边“冰墩墩”不断售罄，某玩具加工厂打算紧急招聘
了80名工人进行冰墩墩的制作，已知冰墩墩分为普通款和升级款两种款式，普通工人每人每天可以生
产2件普通款或1件升级款，根据市场行情，普通款每件利润为150元，升级款每件利润为350元，设
每天生产升级款x件．
（1）根据信息填表：
产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件）
普通款
升级款
（2）当x＝30时，工厂每日的利润可达到多少元？
【分析】（1）依据题意填写表格即可；
（2）利用利润＝件数×每件的利润求得普通款和升级款的利润和的代数式，再将x＝30代入运算即可．
【解答】解：（1）根据信息填表如下：
（2）每日的利润为：2（80﹣x）×150+350x＝（24000+50x）元，
当x＝30时，
工厂每日的利润＝24000+50×30＝35500（元），
答：当x＝30时，工厂每日的利润可达到25500元．
【变式5.2】（2022秋•长汀县期中）某农户去年承包荒山若干亩，投资17800元改造后，种果树2000棵．
今年水果总产量为18000千克，此水果在市场上每千克售a元，在果园每千克售b元（b＜a）．该农户
将水果拉到市场出售平均每天出售2000千克，需8人帮忙，每人每天付工资100元，农用车运费及其
他各项税费平均每天400元．
（1）分别用a，b表示两种方式出售水果的收入？
（2）若a＝2.6，b＝2.1，且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，请你通过计算说明选择哪种出售方式较好．
（3）该农户加强果园管理，力争到明年纯收入达到25000元，那么纯收入增长率是多少？（纯收入＝
总收入﹣总支出，该农户采用了（2）中较好的出售方式出售）
【分析】（1）市场出售收入＝水果的总收入﹣额外支出，而水果直接在果园的出售收入为：18000b元．
（2）根据（1）中得到的代数式，将a＝2.6，b＝2.1，代入代数式计算即可．
（3）根据（2）的数据，首先确定今年的最高收入，然后计算增长率即可．
【解答】解：（1）将这批水果拉到市场上出售收入为：
18000 18000
18000a− ×8×100− ×400
2000 2000
＝18000a﹣7200﹣3600
＝（18000a﹣10800）（元），
故在果园直接出售收入为：18000b元；
（2）当a＝2.6时，市场收入为18000a﹣10800＝18000×2.6﹣10800＝36000（元）．
当b＝2.1时，果园收入为18000b＝18000×2.1＝37800（元），
因36000＜37800，所以应选择在果园直接出售；
25000−18000
（3）因为今年的纯收入为37800﹣36000＝1800（元）， ×100%≈39%，
18000
所以增长率为39%．
【变式5.3】（2022秋•青云谱区期中）某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物 优惠办法
少于200元 不予优惠
低于500元但不低于200元 八折优惠
500元或超过500元 其中500元部分给予八折优惠，
超过500元部分给予七折优惠
（1）若王老师一次性购物600元，他实际付款 47 0 元．若王老师实际付款160元，那么王老师一次
性购物可能是 16 0 或 20 0 元；
（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 0. 8 x 元，当x
大于或等于500元时，他实际付款 （ 0. 7 x +5 0 ） 元（用含x的代数式表示并化简）；
（3）如果王老师有两天去超市购物原价合计900元，第一天购物的原价为a元（200＜a＜300），用含
a的代数式表示这两天购物王老师实际一共付款多少元？当a＝250元时，王老师两天一共节省了多少元？
【分析】（1）利用优惠方案列式运算即可；
（2）利用优惠方案列式运算即可；（3）利用优惠方案列式，再将a值代入运算即可．
【解答】解：（1）500×0.8+（600﹣500）×0.7
＝400+100×0.7
＝400+70
＝470（元）；
实际付款160元，有两种可能：
一是一次性购物160元，没有优惠；
二是一次性购物x元（x≥200），则有八折优惠，实际付款160元，
则建立等式：x×0.8＝160，
解得：x＝200．
所以，王老师一次性购物可能是160或200元．
故答案为：470；160或200；
（2）当x小于500元但不小于200时，实际付款x×0.8＝0.8x；
当x大于或等于500元时，
实际付款：500×0.8+（x﹣500）×0.7
＝400+（0.7x–350）
＝400+0.7x﹣350
＝（0.7x+50）元；
故答案为：0.8x；（0.7x+50）；
（3）因为第一天购物原价为a元（200＜a＜300），
则第二天购物原价为（900﹣a）元，
易知：（900﹣a）＞500，
第一天购物优惠后实际付款 a×0.8＝0.8a（元），
第二天购物优惠后实际付款：
500×0.8+[（900﹣a）﹣500]×0.7
＝400+[900﹣a﹣500]×0.7
＝400+（400﹣a）×0.7
＝400+280﹣0.7a
＝（680﹣0.7a）元，
则一共付款 0.8a+680﹣0.7a
＝（0.1a+680）元，当a＝250元时，
实际一共付款：680+0.1×250＝680+25＝705（元），
一共节省900﹣705＝195（元）．
【考点6】整式的应用——方案比较问题
【例6】（2019秋•南召县期末）某电器商销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价 800元，电磁炉每台
定价200元．“十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；
方案二：微波炉和电磁炉都按定价的90%付款．
现某客户要到该卖场购买微波炉10台，电磁炉x台（x＞10）．
（1）若该客户按方案一购买，需付款 （ 20 0x +600 0 ） 元．（用含x的代数式表示）若该客户按方案
二购买，需付款 （ 18 0x +720 0 ） 元．（用含x的代数式表示）
（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当x＝30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．并计算需付款多少元？
【分析】（1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可；
（2）将x＝30代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算；
（3）根据题意考可以得到先按方案一购买10台微波炉送10台电磁炉，再按方案二购买20台微波炉更
合算．
【解析】（1）800×10+200（x﹣10）＝200x+6000（元），
（800×10+200x）×90%＝180x+7200（元）；
故答案为：（200x+6000）；（180x+7200）
（2）当x＝30时，方案一：200×30+6000＝12000（元），
方案二：180×30+7200＝12600（元），
所以，按方案一购买较合算．
（3）先按方案一购买10台微波炉送10台电磁炉，再按方案二购买20台电磁炉，
共10×800+200×20×90%＝11600（元）．
【变式6.1】（2022秋•未央区校级期中）某商场销售一款运动鞋和运动袜，运动鞋每双定价 200元，运动
袜每双定价40元，商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一双运动
鞋送一双运动袜；方案二：运动鞋和运动袜都按定价的90%付款，现某客户要到该商场购买运动鞋10
双和运动袜x双（x＞10）．
（1）若该客户按方案一购买，需付款 （ 4 0 x +160 0 ） 元；（需化简）若该客户按方案二购买，需付
款 （ 3 6 x +180 0 ） 元．（需化简）（2）当x＝20时，通过计算说明上面的两种购买方案哪种省钱？
【分析】（1）方案一：买完10双鞋子后送10双袜子，即袜子只需要买（x﹣10）双，再进行计算即可，
方案二：根据运动鞋和运动袜都按定价的90%付款计算出来，再进行计算即可；
（2）将x代入（1）中的式子，再进行比较即可．
【解答】（1）解：按方案一购买：需付款200×10+40（x﹣10）＝（40x+1600）元；
按方案二购买：需付款200×10×90%+40x×90%＝（36x+1800）元；
故答案为：（40x+1600）；（36x+1800）；
（2）解：当x＝20时，40x+1600
＝40×20+1600
＝2400元；
36x+1800＝
36×20+1800
＝2520元，
∵2520＞2400，
∴方案一更省钱．
【变式6.2】（2022秋•临潼区期中）青少年活动中心为了满足乒乓球社团活动的需要，决定购置某品牌乒
乓球拍和乒乓球．以阳呼乒乓球拍每副定价90元，乒乓球每个定价20元．现有A、B两个体育店出售
这种品牌，并提出了各自的优惠方案．具体如下：
A店乒乓球拍和乒乓球都按定价的8折付款；B店买一副乒乓球拍送4个乒乓球．
已知该青少年活动中心共购买乒乓球拍50副，乒乓球x个（x＞200）．
（1）求在A店、B店购买各需付多少元钱（用含x的式子表示）？
（2）当x＝500时，在哪家购买划算．
【分析】（1）根据A店乒乓球拍和乒乓球都按定价的8折付款；B店买一副乒乓球拍送4个乒乓球，列
出两个代数式；
（2）把x＝500代入（1）的式子计算，然后比较大小．
【解答】解：（1）在A店购买需付款：50×90×0.8+20×0.8x＝（3600+16x）元，
在B店购买需付款：50×80+20（x﹣4×50）＝20x（元）；
答：在A店、B店购买各需付（3600+16x）元、20x元．
（2）当x＝500时，在A店购买需付款：3600+16×500＝11600（元），
在B店购买需付款：20×500＝10000（元），
∵10000＜11600，∴在B店购买划算．
【变式6.3】（2022秋•黄冈期中）某商店销售羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价40元，羽毛球每桶
定价10元，“双十一”期间商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一副羽毛球拍送一桶羽毛球；
方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款．
现某客户要到该商店购买羽毛球拍10副，羽毛球x桶（x＞10）．
（1）若该客户按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？（用含x的代数式表示）
（2）当x＝30时，通过计算，说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当x＝30时，你还能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少
元？
【分析】（1）根据方案一：买一副羽毛球拍送一桶羽毛球；方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的
90%付款，列算式；
（2）把x＝30代入（1）计算；
（3）先按方案一买羽毛球拍10副，送10桶羽毛球，按方案二购买20桶羽毛球，求出共付款．
【解答】解：（1）该客户按方案一需付款：40×10+10（x﹣10）＝（10x+300）元；
该客户按方案二需付款：（40×10+10x）×90%＝（9x+360）元；
答：该客户按方案一、方案二购买，分别需付款（10x+300）元、（9x+360）元；
（2）当x＝30时，按方案一需付款：10×30+300＝600（元），
按方案二需付款：9×30+360＝630（元），
∵600＜630，
∴客户按方案一购买较为合算；
（3）能，
先按方案一买羽毛球拍10副，送10桶羽毛球，按方案二购买20桶羽毛球，
共付款：40×10+10×20×90%＝580（元），
答：能，先按方案一买羽毛球拍10副，送10桶羽毛球，按方案二购买20桶羽毛球，需付款580元．
【考点7】探索规律——数字变化问题
【例7】（2020秋•莲湖区期中）观察下列等式：
1 1 1 1 1 1 1 1
=1− ， = − ， = − ，
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
将以上三个等式两边分别相加得：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
+ + =1− + − + − =1− = ．
1×2 2×3 3×4 2 2 3 3 4 4 41 1 1
（1）猜想并写出： = − ．
2020×2021 2020 2021
1 1 1 1 2019
（2）直接写出计算结果： + + +⋯+ = ；
1×2 2×3 3×4 2019×2020 2020
（3）探究并计算：
1 1 1 1 1
+ + +⋯+ + ．
1×3 3×5 5×7 2017×2019 2019×2021
①
1 1 1 1 1 1 1
− + − + +⋯+ − ．
1×3 2×4 3×5 4×6 5×7 17×19 18×20
②
【分析】（1）观察已知等式即可得结果；
（2）根据已知等式的计算过程进行计算即可得结果；
（3） 结合（1）（2）的计算过程进行计算即可；
结合① 进行有理数混合运算即可．
② ① 1 1 1
【解答】解：（1） = − ；
2020×2021 2020 2021
1 1
故答案为： − ；
2020 2021
1 1 1 1
（2） + + +⋯+
1×2 2×3 3×4 2019×2020
1 1 1 1 1 1 1
＝1− + − + − +⋯+ −
2 2 3 3 4 2019 2020
1
＝1−
2020
2019
= ；
2020
2019
故答案为： ；
2020
1 1 1 1 1
（3） + + +⋯+ +
1×3 3×5 5×7 2017×2019 2019×2021
①
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= （1− + − + − +⋯+ − + − ）
2 3 3 5 5 7 2017 2019 2019 2021
1 1
= ×（1− ）
2 2021
1010
= ；
20211 1 1 1 1 1 1
− + − + +⋯+ −
1×3 2×4 3×5 4×6 5×7 17×19 18×20
②
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= ×（1− − + + − − + + − +⋯+ − − + ）
2 3 2 4 3 5 4 6 5 7 17 19 18 20
1 1 1 1
= ×（1− − + ）
2 2 19 20
189
= ．
760
【变式7.1】（2022秋•顺德区校级期中）定义一种新运算“f”：f（n）表示n在运算f作用下的结果．若f
（n）＝n2﹣（n﹣1）2表示n在运算f作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：f（1）＝12﹣（t﹣
1）2＝1，f（2）＝22﹣（2﹣1）2＝3，f（3）＝32﹣（3﹣1）2＝5，……
根据以上定义完成以下问题：
（1）计算f（20）的值；
（2）计算f （1）+f （2）+f （3）+…+f（20）的值；
1 1 1 1
（3）计算 + + +⋯+ 的值．
f(1)×f(2) f(2)×f(3) f(3)×f(4) f(19)×f(20)
【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可；
（2）所求的式子可转为：1+3+5+…+39，从而可求解；
（3）把相应的值代入，再进行裂项，从而可求解．
【解答】解：（1）f（20）＝202﹣（20﹣1）2＝39；
（2）f （1）+f （2）+f （3）+…+f（20）
＝1+3+5+…+39
20×(1+39)
=
2
＝400；
1 1 1 1
（2） + + +⋯+
f(1)×f(2) f(2)×f(3) f(3)×f(4) f(19)×f(20)
1 1 1 1
= + + +⋯+
1×3 3×5 5×7 37×39
1 1 1 1 1 1 1 1
= ×（1− + − + − +⋯+ − ）
2 3 3 5 5 7 37 39
1 1
= ×(1− )
2 391 38
= ×
2 39
19
= ．
39
【变式7.2】（2022秋•龙口市期中）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+2100．
首先设S＝1+2+22+23+24+…+2100①，
则2S＝2+22+23+24+25+…+2101②，
②﹣①得S＝2101﹣1，
即1+2+22+23+24+…+2100＝2101﹣1．
以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法”．
请你根据上面的材料，解决下列问题：
（1）1+2+22+23+24+…+22000．
1 1 1 1 1
（2）1+ +（ ）2+（ ）3+（ ）4+…+（ ）2000；
2 2 2 2 2
（3）求1+3+32+33+34+…+32022的值．
【分析】（1）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以2，再错位相减求解；
1
（2）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以 ，再错位相减求解；
2
（3）模仿例题，设原式为S，再让两边同乘以3，再错位相减求解．
【解答】解：（1）设S＝1+2+22+23+24+…+22000①，
则2S＝2+22+23+24+…+22000+22001②，
②﹣①得：S＝22001﹣1；
1 1 1 1 1
（2）设S＝1+ +（ ）2+（ ）3+（ ）4+…+（ ）2000①，
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
则 S = +（ ）2+（ ）3+（ ）4+…+（ ）2001②，
2 2 2 2 2 2
1 1
①﹣②得： S＝1﹣（ ）2001，
2 2
1 1
所以S＝2﹣2×（ ）2001＝2﹣（ ）2000．
2 2
1 1 1 1 1 1
即1+ +（ ）2+（ ）3+（ ）4+…+（ ）2000＝2﹣（ ）2000；
2 2 2 2 2 2
（3）设S＝1+3+32+33+34+…+32022①，则3S＝3+32+33+34+35+…+32023②，
②﹣①得：2S＝32023﹣1，
32023−1
所以S= ，
2
32023−1
即1+3+32+33+34+…+32022= ．
2
【变式7.3】（2022秋•黄陂区期中）观察下列四行数，回答下面的问题：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…；①
0，6，﹣6，18，﹣30，…；②
﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…；③
3，﹣3，9，﹣15，33，…；④
（1）第①行数的第7个数是 ﹣ 12 8 ；
（2）设第①行第n个数为a，写出第②行数的第n个数是 a + 2 （用含a的式子表示）；
（3）取每行数中的第m个数，则第①②④行这三个数的和能否等于﹣509？如果能，请你求出m的
值，如果不能，请说明理由；
（4）若第③行连续三个数的和恰为﹣192，直接写出这三个数分别为 ﹣ 6 4 ， 12 8 ，﹣ 51 2 ．
【分析】（1）后一个数都是前一个数的﹣2倍，所以第n项为（﹣2）n，把7代入求解；
（2）第二行都是第一行对应数加2得到，从而求解；
（3）假设能，列方程求解；
（4）设这三个数分别为x，﹣2x，4x，从而列方程求解．
【解答】解：（1）第一列数的第n个数是：（﹣2）n，
所以地7个数为：（﹣2）7＝﹣128，
故答案为：﹣128；
（2）第二列式的第n个数是第一列对应数加上2，
所以第②行数的第n个数为：a+2，
故答案为：a+2；
（3）设第①②④行的第m个数的和能等于﹣509，
则（﹣2）m+（﹣2）m+2﹣（﹣2）m+1＝﹣509，
解得：m＝9，
所以取每行数中的第9个数，则第①②④行这三个数的和等于﹣509；
（4）第③行第n个数为x，则x+（﹣2x）+4x＝﹣192，
解得：x＝﹣64，
∴﹣2x＝128，4x＝﹣512，
故答案为：﹣64，128，﹣512．
【考点8】探索规律——图形变化问题
【例8】（2019秋•海州区校级期中）列代数式表示
（1）某商品售价为a元，打八折后又降价20元，则现价为 （ 1 6a ﹣ 2 0 ） 元．
（2）如图，搭一个三角形需要3根火柴，搭两个三角形需要5根火柴，搭三个三角形需要7根火柴，
…，按这个规律，搭n个这样的三角形的需要火柴棒根数为 2n + 1 ．
（3）用代数式表示：①a与b的差的平方： （ a ﹣ b ） 2 ；②a的立方与﹣1的和 a 3 ﹣ 1 ．
【分析】（1）打八折的价格为0.8a，再减去20即可；
（2）搭第一个图形需要3根火柴棒，结合图形，发现：后边每多一个图形，则多用2根火柴；
（3）a与b的差的平方是先计算差再计算乘方；a的立方与﹣1的则是先计算乘方再计算和．
【解析】（1）依题意得 a×80%﹣20＝（16a﹣20）元．
故答案是：16a﹣20．
（2）结合图形，发现：搭第n个图形，需要3+2（n﹣1）＝2n+1（根）．
故答案为：2n+1．
（3）a与b的差的平方表示为（a﹣b）2；a的立方与﹣1的和表示为a3﹣1．
故答案为（a﹣b）2；a3﹣1．
【变式8.1】（2022秋•安徽期中）（规律探索）用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼
成长方形：
第（1）个图形中有2张正方形纸片；
第（2）个图形中有2（1+2）＝6＝2×3张正方形纸片；
第（3）个图形中有2（1+2+3）＝12＝3×4张正方形纸片；
第（4）个图形中有2（1+2+3+4）＝20＝4×5张正方形纸片．
请你观察上述图形与算式，完成下列问题：
（规律归纳）
（1）第（6）个图形中有 4 2 张正方形纸片（直接写出结果）；n(n+1)
（2）根据上面的发现我们可以猜想：1+2+3+…+n＝ （用含n的代数式表示）；
2
（3）（规律应用）根据你的发现计算：121+122+123+…+400．
【分析】（1）从已知入手，找到数据和个数之间的关系．通过多个情况，找到规律．
（2）根据第（1）的结论，或者说利用高斯定理，代数求值．
【解答】解：（1）第⑥个图形中有2（1+2+3+4+5+6）＝6×7＝42，
∵2（1+2+3+...+n）＝n（n+1），
n(n+1)
∴1+2+3+...+n=
2
(121+400)(400−120)
（2）121+122+123+...+400= =7294，
2
n(n+1)
故答案为：（1）30， ；（2）7294．
2
【变式8.2】（2022秋•霞浦县期中）用火柴棒按如图的方式搭图形．
（1）按图示规律完成下表：
图形 1 2 3 4 5 …
火柴棒根数 5 9 13 1 7 2 1 …
（2）按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要 （ 4 n + 1 ） 根火柴棒．（用含n的代数式表示）
（3）小静同学说她按这种方式搭出来的一个图形用了 200根火柴棒，你认为可能吗？如果可能，那么
是第几个图形？如果不可能，请说明理由．
【分析】（1）由图可以看出，图 1火柴棒根数为 5，图 2火柴棒根数为 5+4，图 3火柴棒根数为
5+4+4•••••，由此可以得出图4，图5中火柴棒根数；
（2）根据图示规律可得，第n个图形需要5+4（n﹣1），即（4n+1）根火柴棒；199
（3）用4n+1＝200求解，可得n= ，因为n为正整数，故不可能．
4
【解答】解：（1）由图可以看出，
图1中火柴棒根数为：5；
图2中火柴棒根数为：5+4＝9；
图3中火柴棒根数为：5+4+4＝13；
图4中火柴棒根数为：5+4+4+4＝17；
图5中火柴棒根数为：5+4+4+4+4＝21．
故答案为：17；21．
（2）根据（1）中的规律可得，
第n个图形中火柴棒根数为：5+4（n﹣1）＝4n+1，
故答案为：（4n+1）；
（3）不可能，理由如下：
设第n个图形用了200根火柴棒，其中n为正整数，
199
则4n+1＝200，解得n= ，不符合题意舍去，
4
故不可能用了200根火柴棒按这种方式搭出来的一个图形．
【变式8.3】（2022秋•无为市期中）如图，利用黑白两种颜色的五边形组成的图案，根据图案组成的规律
回答下列问题：
（1）图案④中黑色五边形有 4 个，白色五边形有 1 3 个；
（2）图案n中黑色五边形有 n 个，白色五边形有 （ 3 n + 1 ） 个；（用含n的式子表示）
（3）图案n中的白色五边形可能为2022个吗？若可能，请求出n的值；若不可能，请说明理由．
【分析】（1）不难看出后一个图形中黑色五边形比前一个图形中黑色五边形多 1个，后一个图形中白
色五边形比前一个图形中白色五边形多3个，据此可求解；
（2）结合（1）进行总结即可；
（3）根据（2）中的规律进行求解即可．
【解答】解：（1）∵第1个图形中黑色五边形的个数为：1，白色五边形的个数为：4，
第2个图形中黑色五边形的个数为：2，白色五边形的个数为：7＝4+3＝4+3×1，第3个图形中黑色五边形的个数为：3，白色五边形的个数为：10＝4+3+3＝4+3×2，
∴第4个图形中黑色五边形的个数为：4，白色五边形的个数为：4+3×3＝13，
故答案为：4，13；
（2）由（1）可得：第n个图形中黑色五边形的个数为：n，白色五边形的个数为：4+3（n﹣1）＝
3n+1，
故答案为：n，（3n+1）；
（3）不可能，理由如下：
由题意得：3n+1＝2022，
解得：n＝673……2，
故图案n中的白色五边形不可能为2022个．
