文档内容
人教版初中数学八年级下册
17.2.2 勾股定理的逆定理的应用 教学设计
一、教学目标：
1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.
二、教学重、难点：
重点：灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
难点：将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.
三、教学过程：
复习回顾
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
∵Rt△ABC，a、b为直角边，c为斜边.
∴a2+b2=c2
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三
角形.
∵△ABC的三边a、b、c满足a2+b2=c2
∴△ABC是直角三角形
典例解析
例 1.如图，一块四边形花圃 ABCD中，已知∠B=90°， AB=4m，BC=3m，CD=12m，
AD=13m.
(1)求四边形花圃ABCD的面积；
(2)求C到AD的距离．（1）解：连接AC，
∵∠B=90°，AB=4m，BC=3m，
∴ m，
AC=❑√AB2+BC2=❑√42+32=5
∵CD=12m，AD=13m，
∴AC2+CD2=52+122=132=AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，
∴四边形花圃ABCD的面积=S△ +S
ABC △ACD
1 1
= AB⋅BC+ AC⋅CD
2 2
1 1
= ×4×3+ ×5×12
2 2
=36
∴四边形花圃ABCD的面积是36m2；
（2）过点C作CE⊥AD于E，
1 1
∵S = AD⋅CE= AC⋅CD，
△ACD 2 2
∴13CE=5×12，
60
∴CE= ，
1360
∴C到AD的距离是 m．
13
例2.在一条东西走向的河流一侧有一村庄 C，河边原有两个取水点 A，B，其中AB=AC，由
于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水
点 D（A、D、B 在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CB=13千米，CD=12千米，
BD=5千米．求原来的路线AC的长．
解：∵CB=13千米，CD=12千米，BD=5千米，即52+122=132，
∴CB2=BD2+CD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠CDB=90°，
∴∠CDA=90°，
∴AC2=AD2+CD2，
设AB=AC=x，
∴AD=AB-BD=x-5，
∴ ，即 ，
x2=(x-5) 2+122 10x=169
解得：x=16.9，
答：原来的路线AC的长为16.9千米．
【针对练习】2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”
的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的
人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地
（阴影部分）．如图，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m，技术人员通过测量确定
了∠ABC=90°．
(1)问这片绿地的面积是多少？
(2)小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C
将少走多少路程？
（1）解：如图，连接AC，
∵∠ABC=90°，AB=9m，BC=12m，
，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√92+122=15m
∵CD=17m，AD=8m，
∴AD2+AC2=DC2，
∴△ADC是直角三角形，即∠DAC=90°，
1 1 1 1
∴S = AD⋅AC= ×8×15=60m2，S = AB⋅BC= ×9×12=54m2，
△DAC 2 2 △ACB 2 2
，
∴S =S +S =60+54=114m2
四边形ABCD △DAC △ACB
（2）解：AB+BC-AC=9+12-15=6m.
例3.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，
各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它
们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
解：根据题意，
PQ=16×1.5=24，
PR=12×1.5=18，
QR=30.
∵ 242+182=302，即PQ2+PR2=QR2
∴ ∠QPR=90°
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
【点睛】解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知
和所求；应用数学知识求解.
【针对练习】如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上 10时28分，我边防反
偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的 C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通
知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若
该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？
分析：根据勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三
角形的面积公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.解：∵AC=10，AB=6，BC=8，
∴AC2=AB2+BC2，
即△ABC是直角三角形.
设PQ与AC相交于点D，根据三角形面积公式有
1 1
BC·AB= AC·BD，
2 2
24
即6×8=10BD，解得BD= .
5
在Rt△BCD中，
又∵该船只的速度为12.8海里/时，
6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟），
∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海.
例4.如图，已知等腰△ABC的底边BC=2❑√10cm，AH平分∠BAC交BC于H，D是腰AC上点，且
CD=2cm，BD=6cm，求AH的长．
解：∵BC=2❑√10，BD=6，CD=2，
∴ ， ，
BC2=(2❑√10) 2=40 BD2+CD2=62+22=40
∴BC2=BD2+CD2，
∴△BDC为直角三角形，
∴∠BDC=∠ADB=90°，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC，
设AD=x，则AB=AC=x+2，在Rt△ABD中，勾股定理得 ，
x2+62=(x+2) 2
解得x=8，
∴AB=8+2=10，
∵AB=AC，AH⊥BC，BC=2❑√10，
∴BH=HC=❑√10，
由勾股定理得AH= =3 （cm）．
❑√AB2-BH2 ❑√10
例5.如图所示，在△ABC中，AB:BC:CA=3:4:5，且△ABC的周长为36cm，点P从点A开始
沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如
果P、Q两点同时出发，经过3秒时，P、Q两点间的距离为多少？
解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵△ABC的周长为36cm，
∴AB+BC+AC=36cm，
即3x+4x+5x=36，
解得：x=3，
∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，
∵AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°．
经过3秒时，BP=9-3×1=6(cm)，BQ=2×3=6(cm)，
又∵在Rt△BPQ中，QP2=BP2+BQ2，
∴PQ=6❑√2cm，
即经过3秒时，P、Q两点间的距离为6❑√2cm．
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.在海面上有两个疑似漂浮目标． 接到消息后，A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向
北偏西50°方向航行． 同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东方向行驶，如图所
示，离开港口1.5小时后两船相距30海里，则B舰艇的航行方向是（ ）
A．北偏东60° B．北偏东50° C．北偏东40° D．北偏东30°
2.如图，在Rt△ABC中，AB=8，AC=6，BC=10，D是AB的中点，P，Q分别是BC，DC上的动点，
则AQ+QP的最小值是________．
3.已知:如图，四边形 ABCD 中，AB=20，BC=15， CD=7，AD=24，∠B=90°.求证:
∠A+∠C=180.
4.如图,有一块地，已知∠ADC=90°，AD=4m， CD=3m，AB=13m，BC=12m.求这块地的面积.5.如图，A，B，C，D是四个小镇，它们之间除(B，C外)都有笔直的公路相连接，公共汽车行
驶于城镇之间，其票价与路程成正比.已知各城镇间的公共汽车票价如下:A ↔ B:10元; A
↔ C:12. 5元; A ↔ D:8元; B ↔ D: 6元;C ↔ D:4.5元.为了B，C之间的交通方便，在
B，C之间建成笔直的公路，请按上述标准计算出B，C之间的公路的票价为多少元?
6.某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向有A向B移动，已知点C处为以城镇，且点C与
A、B两点的距离AC=30km,BC=40km,AB=50km，以沙尘暴中心为圆心，周围25km以内都会
受到沙尘暴影响．
(1)通过计算说明城镇C是否会受到影响；
(2)若沙尘暴中心的移动速度为20km/h，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？
【参考答案】
1. C
2. 4.8
3.证明:连接AC.在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC2=AB2+BC2=202+152=252
∴AC=25
∵72+242=252
即CD2+AD2=AC2
∴∠D=90°
∴∠DAB+∠BCD=360°-∠B-∠D=180°
4.解:连接AC.
在Rt△ACD中，根据勾股定理,
AC2=AD2+CD2=42+32=25
∴AC=5m
∵52+122=132
即AC2+BC2=AB2
∴∠ACB=90°
1 1
∴S =S -S = ×5×12- ×3×4=24(m2)
阴 △ABC △ACD
2 2
5.解:连接BC.∵82+62=102,即AD2+BD2=AB2
∴∠ADB=90°，∴∠BDC=90
在Rt△BDC中，根据勾股定理，BC=❑√BD2+CD2= ❑√62+4.52=7.5
因此，B，C之间的公路的票价为7.5元.
6.（1）解：作CD⊥AB于D，
在三角形ABC中，AC2+BC2=302+402=AB2，
∴△ABC是直角三角形，即∠ACB=90°，
1 1
AB⋅CD= AC⋅BC，
2 2
1 1
×50⋅CD= ×30×40，
2 2
解得∶CD=24km<25千米，
所以，城镇C会受到影响．
（2）解：设沙尘暴中心到点E处城镇C开始受到影响，此时CE=25千米，
到F处结束影响，此时CF=25千米，
，
DE=❑√CE2-CD2=❑√252-242=7
EF=2DE=14千米，
受影响的时间为14÷20=0.7（小时）四、教学反思：
本节课让学生经历一个探究解决问题的过程，抓住“任意的三条线段能不能围成一个三角
形”引发学生探究的欲望，围绕这个问题让学生自己动手操作，发现有的能围成，有的不能
围成，由学生自己找出原因，为什么能？为什么不能？初步感知三条边之间的关系，重点研
究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系”．通过观察、验证、再操作，最终发现三
角形任意两边之和大于第三边这一结论．这样教学符合学生的认知特点，既提高了学生学习
的兴趣，又增强了学生的动手能力．
