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14.1 全等三角形及其性质
题型一 图形的全等
1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是全等形的识别、利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答
案．
【详解】解：解：A、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；
D、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选：C．
2．（21-22八年级上·河南焦作·阶段练习）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是全等形的识别，利用全等图形的概念 “两个图形能够完全重合，就是全等图形”
是解答本题的关键．
本题观察四个选项，根据“两个图形能够完全重合，就是全等图形”的定理即可得到答案．
【详解】解：A选项两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；
B选项两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C选项两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
D选项两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选：A
3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）下列各组图形中，属于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是全等图形，根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解．
【详解】解：A、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故A选项不符合题意；
B、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故B选项不符合题意；
C、由图可知两个图形可以完全重合，所以是全等图形，故C选项符合题意；
D、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故D选项不符合题意．
故选：C．
4．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）下列图形中，是全等图形的是（ ）
A． B． 与C． D． 与
【答案】D
【分析】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键．
根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断．
【详解】解：考虑三角形的阴影，图形 顺时针旋转 可得到图形 ， 图形 逆时针旋转 可得到图
形 ，
因此， 与 是全等图形， 与 是全等图形，
故选：D．
5．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）下列各组图形中全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等图形的识别，根据全等图形是能够完全重合的两个图形进行分析即可得出答案，
熟练掌握全等图形的定义是解此题的关键．
【详解】解：根据全等图形的定义可得：只有D选项符合题意，
故选：D．
题型二 全等三角形的概念
1．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图， ，点 和 是对应点，点 和 是对应
点，则 的对应角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念即可判断，正确找出对应边，对应角是解
题的关键．【详解】解：∵ ，点 和 是对应点，点 和 是对应点，
∴ 的对应角是 ，
故选： ．
2．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图， ， 和 ， 和 是对应边，则
的对应角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件 ， 和 ， 和 是对应
边，点 与点 对应点，点 与点 是对应点，由此即可得到 的对应角，理解其概念是解题的关键．
【详解】∵ ，
∴∠ 的对应角是 ，
故选： ．
3．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形，一定是全等图形
B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形
C．两个等边三角形一定是全等图形
D．能够完全重合的两个图形是全等图形
【答案】D
【分析】根据全等三角形的定义进行判断作答即可．
【详解】解：两个面积相等的图形，不一定是全等图形，A错误，故不符合要求；
若两个图形周长相等，则它们不一定是全等图形，B错误，故不符合要求；
两个等边三角形不一定是全等图形，C错误，故不符合要求；
能够完全重合的两个图形是全等图形，D正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
4．（22-23八年级上·天津河西·期中）下列说法正确的是（ ）A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形
C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为 的等边三角形都是全等三角形
【答案】D
【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形为全等三角形，据此判断即可．
【详解】A、形状相同且大小相同的两个三角形一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；
B、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；
C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；
D、边长为 的等边三角形都是全等三角形，原说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的定义，熟记定义是解本题的关键．
5．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）若 ，则 的对应边是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 的对应边是 ，
故答案为： ．
题型三 利用全等三角形的性质求角度
1．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）如图，若 ，且 ， ，则
．
【答案】 /35度
【分析】此题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理．根据全等三角形的性质得到 ，
再由三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．2．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图， ， ， ，则
的度数是 ．
【答案】 /110度
【分析】本题考查了全等三角形性质，根据全等三角形的对应角相等解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图， 交于点F，则
的度数是 °．
【答案】50
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的对应角相等，三角形的外角
等于两个不相邻的内角和是解题关键．设 与 交于点O，根据全等三角形的性质可知 ，
结合题意即得出 ，最后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：如图，设 与 交于点O，∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：50．
4．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，已知 ， ， ，
相交于点 ，则 的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形中求角度，涉及全等三角形性质、对顶角相等、三角形内角和定理等知识，先由
全等性质得到 ， ，等量代换得到 ，进而由已知求出
，在 和 中，由三角形内角和定理即可得到答案．熟练掌握全等三
角形性质、三角形内角和定理等知识是解决问题的关键．
【详解】解： ，
， ，
， ，
，
， ，，
在 和 中， ， ，则由三角形内角和定理可知 ，
故答案为： ．
5．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）如图，若 与 全等，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查全等三角形的性质和三角形定理，根据全等三角形对应角相等可得 ，
再由三角形内角和定理可得结论．
【详解】解：∵ 与 全等，
∴ ，
又 ，
∴ ，
故答案为： ．
题型四 利用全等三角形的性质求线段长度
1．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图， ， ， ， ，则 的长为
．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．
根据全等三角形的性质，即可得出 的长．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴故答案为： ．
2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图， ，若 ，则 长度为
．
【答案】6
【分析】此题主要考查了全等三角形的性质．关键是掌握全等三角形的对应边相等．
根据全等三角形的性质可得 ，进而可得答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：6．
3．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图， ，A、C的对应点分别是B、D．若 ，
， ，则 ．
【答案】7
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键，注意：全等三角形的对
应边相等，对应角相等．根据全等三角形的性质得出 ，即可得出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为：7．
4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图： ， ， ，那么 的长为 ．【答案】3
【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，利用全等三角形的性质可得 ，再解即可，关键
是掌握全等三角形的对应边相等．
【详解】解： ，
，
，
，
故答案为：3．
5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图， ，且点 在 上．若 ，
则 的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据三角形全等的性质，
对应边相等可得 ，则有 ，即 ，由此即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
故答案为：2 ．
题型五 利用全等三角形的性质求周长
1．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图， ， ， 的延长线交于点 若 ，， ，则 的周长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
由全等三角形的对应边相等，推出 ， ，求出 ，由 的周长
求解即可．
【详解】解： ，
， ，
，
，
，
的周长 ．
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知 ， 若 ， 则 的
周长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
由 ， ，可得 ，根据 的周长是
，计算求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ 的周长是 ，
故答案为： ．
3．（24-25七年级下·福建宁德·期中）如图， ，若 ， ， ，则 的
周长等于 ．【答案】13
【分析】本题考查了全等三角形性质的运用，运用全等三角形的性质，找对对应边，即可得 三边边
长，然后根据三角形的周长公式求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ 的周长为 ．
故答案为：13．
4．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，在 中，点 、 分别在边 、 上， ，
． ．若 ，则 的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得 ， ，进而求
得 ，根据三角形的周长公式，即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ．
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的周长为
故答案为： ．
5．（24-25八年级下·山西晋中·期中）某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全
等的 和 重叠在一起，固定 不变，将 沿射线 平移．若 的周长为8，平移
的距离为2，则四边形 的周长 ．
【答案】12【分析】本题考查平移性质，根据平移性质得到 ，进而可求解．
【详解】解：∵ 沿 方向平移的距离为2，
∴ ， ，
∵ 的周长为8，即 ，
∴
∴四边形 的周长为 ，
故答案为：12．
题型六 利用全等三角形的性质进行证明
1．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图， ，点 对应点 ，点 对应点 ，点 、 、
、 在同一条直线上．
(1)求证： ；
(2)请你判断 和 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，内错角相等两直线平行等知识点，熟练掌握全等三角形的性
质是解题的关键．
（1）由全等三角形的性质可得 ，进而可得 ，于是结论得证；
（2）由全等三角形的性质可得 ，然后由内错角相等两直线平行即可得出答案．
【详解】（1）证明： ，
，
，
即： ；
（2）解： ，理由如下：
，
，
．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图， 、 相交于点 ， ．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质的运用，根据 ，可得到： 和
，根据角的和与差求出 ．
【详解】证明： ，
， ，
，
．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图， ， 和 和 是对应边， 和
相等吗？为什么？
【答案】相等，见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．根据全等三角形对应角
相等可得 ，再根据等式的性质两边同时减去 可得结论．
【详解】解： ，理由如下，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
4．（24-25八年级上·湖南益阳·开学考试）如图， ， ．判断 与 的关系，并证
明你的结论．【答案】 且 ．证明见解析．
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解答此题的关键．
先根据 得出 ，再由 可知， ，
由 可知 ，故 ，由此可得出结论．
【详解】解： 且 ，证明如下：
，
，
，
，
，
，
，即 ．
5．（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知 ， ， ，且点 在线段
上．
(1)求 的长．
(2)求证： ．
(3)猜想 与 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3)直线 与直线 垂直，理由见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的
关键．（ ）根据全等三角形的性质得出 ， ，然后通过线段和差即可求解；
（ ）根据全等三角形的性质得出 ， 然后由平角定义即可求证；
（ ）延长 交 于点 ，根据全等三角形的性质得出 ，最后由三角形内角和即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵点 在线段 上，
∴
∴ ，
∴ ；
（3）解：直线 与直线 垂直，理由：
如图，延长 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
题型七 利用全等三角形的性质解决动点问题
1．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在长方形 中， ， ，延长
至点 使 ，连接 ，动点 从点 出发，以每秒 的速度沿折线 运动．当
点 运动 秒时， 和 全等．【答案】 或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，①点 在 上时，由全等三角形的性质，即可求解；②点 在
上时，同理可求；掌握全等三角形的性质，能根据点的位置进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：①点 在 上时，如图，
，
，
运动 秒；
②点 在 上时，如图，
，
，
，
的运动路程为：
，
，
运动 秒；
运动 或 秒；故答案为： 或 ．
2．（24-25八年级上·山西临汾·期中）如图，在长方形 中， ， ，点 是 延长线上
一点，且 ，连接 ，动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿 向终点
运动．设点 运动的时间为 ，则当 和 全等时， 的值为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，由题意得 ， ，然后分 当
时和 当 时两种情况分析即可，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关
键．
【详解】解：由题意得 ， ，
如图，当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图，当 时，
∴ ，∴ ，
∴ ；
∴当 的值为 或 秒时， 和 全等，
故答案为： 或 秒．
3．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知 ．点 在线段
上以每秒1个单位长度的速度由点 向点 运动，同时，点 在线段 上由点 向点 运动，它们运
动的时间为 ．若运动过程中存在 与 全等，则点 的运动速度为每秒 个单位长度．
【答案】1或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用．由题意知当 与 全等，分
和 两种情况，根据全等的性质列方程求解即可．
【详解】解：设运动时间为t，由题意知， ，
与 全等， ，
∴分两种情况求解：
①当 时， ，即 ，解得 ；
②当 时， ，即 ,
解得 ，
，即 6，
解得 ；
综上所述，x的值是1或 ，故答案为：1或 ．
4．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，已知长方形 的边长 ，点E在边
上， ．如果点P从点B出发在线段 上以 的速度向点C运动，同时，点Q在线段
上由点D向点C运动，那么当 与 全等时，运动时间t的值为 ．
【答案】1或3
【分析】本题考查全等三角形的性质，属于全等三角形的动点问题，解题关键是分 和
两种情况分别计算．
首先根据题意得到 ，然后分两种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
当 时，则有 ，即 ，
解得 ，
当 时，则 ，即 ，
解得 ，
故答案为：1或3．
1．（23-24八年级上·吉林四平·阶段练习）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点， 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格
中按要求画图．
(1)在图①中画 ，使 （点D不与点A重合）；
(2)在图②中画 ，使 ，其中点E在边 上 ；
(3)在图③中画出线段 ，交 于点M，使 与 的面积相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查格点作图，作全等三角形，三角形中线的性质．
（1）取格点 ，连接 ，使得 即可；
（2） 上取格点 ，取格点 ，连接 ，使得 即可；
（3）根据三角形中线的性质取 中点为M，连接 即可．
【详解】（1）解：如图①所示， 为所求；
（2）解：如图②所示， 为所求；（3）解：如图③所示，射线 为所求．
2．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在 中， ， ，点 为边 的中点．动点
从点 出发，以每秒2个单位的速度沿射线 运动，同时动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度
沿线段 向终点 运动，设点 运动的时间为 秒 ．
(1)用含t的代数式表示线段 的长；
(2)若 ，且点 在边 上时，若 与 全等，求t和a的值；
(3)当 ，且 为等腰三角形时，直接写出 的度数．
【答案】(1)
(2) ， 或 ，
(3) 的度数为 或 或 或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学
会分类讨论的思想思考问题．
（1）分两种情况讨论，用 的长度减去 的长度即可；（2）分两种情况：当 时，当 时，根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到
结论；
（3）分点P在线段 上和在线段 的延长线上两种情况，当P在线段 上时有三种情况；再利用等
腰三角形的性质、三角形内角和定理即可完成．
【详解】（1）解：点 在射线 上以每秒2个单位长度的速度由 点向 点运动， ，
当点 在线段 上时，
；
当点 在射线 上时，
；
综上分析可知： ；
（2）解： 中， ，点 为 的中点， ，
， ，
， ， ，
当 时， ， ，
， ，
解得： ， ；
当 时， ， ，
， ，
解得： ， ；
综上所述， ， 或 ， ；
（3）解：若点P在线段 上，分三种情况：
当 时，则 ；
当 时，则 ，
∴ ；
当 时，则 ，∴ ；
点P在线段 的延长线上，当 时，则 ，
，
；
综上， 的度数为 或 或 或 ．
3．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在长方形ABCD中， ， ，点 以每秒1个
单位长度的速度从点 向点 运动，同时点 以每秒2个单位长度的速度从点 向点 运动，设 、 两
点运动的时间为 （秒），点 为边 上任意一点（点 不与点 、 重合），连接 、 ．
(1)请直接用含 ， 的代数式表示线段 的长度；
(2)当 时．
①若点 是 的中点，当图中存在等腰三角形时，求 的值；
②若 与 全等，求 的长；
(3)若在边 上总存在点 ，使得 （点 、 、 的对应点分别为点 、 、 ），请直
接写出 的取值范围．
【答案】(1)线段 的长度为
(2)① ；② 或
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的性质，列代数式，一元一次不等式的应用；熟练掌握相关定理是解题的
关键．注意当不能确定对应点的时候要注意分情况讨论．
（1）利用路程，速度，时间的关系求出 ，即可解决问题；（2）当 时．由题意得： ，
①若点 是 的中点，则 ，根据题意只有 ，解答即可．
②由题意得： ，当 时：当 时，分别建立方程，解方程即可求
解；
（3）由 ，知 ，故 ，得 ，可得 ，
即可解得答案．
【详解】（1）解：根据题意， ，
，
∴线段 的长度为 ；
（2）解：当 时．
由题意得： ，
①若点 是 的中点，则 ，
当 时， ，解得： ．
②当 时， ，
解得： ，
此时 ；
当 时： ，
解得： ，
此时 ；
综上所述： 或 时， 与 全等；
（3）解： ，
，
由 知： ，解得： ，
，
，
即 ．
，
，
，
即 ；
由①②解得： ，
∴满足条件 的取值范围为 ．
1．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与实践
问题情境：
如图1，学校有一块三角形空地，其中 米， 米， 米．点 在边 上，点
在边 上， 米， 米，在 范围内种植谷物．
思考探究：
（1）种植谷物的面积为_________平方米．
方案设计：
现需要在剩余空地上分割出一块三角形空地种植玉米（ 为种植玉米三角形空地的一个顶点），其面积与
种植谷物的面积相同．
（2）可以利用全等三角形面积相等的方法设计方案．
①欣欣的方案：如图2，在边 上选取一点 ，在边 上选取点 ，当 时，即可使种植玉米的面积与种植谷物的面积相同，求此时 的长．
②彤彤认为还有其他全等情况也符合设计要求，请直接写出其他符合设计要求的方案中 的长．（点
在边 上，点 在边 上）
（3）畅畅想到了利用中线分割的方法，如图3，选取 的中点 ，连接 ，选取 的中点 ，连接
，则 即为符合条件的种植玉米的三角形空地．请说明畅畅的想法是否正确，并说明理由．
【答案】（1）6；（2）① 米；②当 时， 米；（3）正确，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形中线的性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键．
（1）利用三角形的面积公式计算即可；
（2）①当 时， 米，进而可求出 的长；
②当 时， 米，进而可求出 的长；
（3）根据中线的性质求出 的面积，即可判断畅畅的想法是否正确．
【详解】解：（1）∵ ， 米， 米，
∴种植谷物的面积 平方米．
故答案为：6；
（2）①∵ ，
∴ 米，
∴ 米；
②当 时，
则 米，
∴ 米；
（3）∵ 米， 米，
∴ 平方米．
∵P是 的中点，
∴ 平方米．
∵Q是 的中点，
∴ 平方米．∴ ，
∴畅畅的想法正确．
2．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图 ，在 中， ， ， ，
，现有一动点 从点 出发，沿着三角形的边 运动，回到点 停止，速度为
，设运动时间为 ．
(1)如图 ，当 时， _____ ．
(2)如图 ，当 ______ 时， 的面积等于 面积的一半；
(3)如图 ，在 中， ， ， ， ， 在 的边上，若
另外有一个动点 ，与点 同时从点 出发，沿着边 运动，回到点 停止 在两点运动过程
中的某一时刻，恰好 ≌ ，求点 中的运动速度．
【答案】(1)
(2) 或
(3) 运动的速度为 或 或 或
【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握
全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键．
（1）当 时，点P在线段 上，根据点P速度表示 的长即可；
（2）分两种情况讨论：①点P在 上；②点P在 上，利用三角形面积分别求解即可；（3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点 所走的路程，进而可求出 的运
动时间，即 的运动时间，再利用速度 路程 时间求解即可．
【详解】（1）解：当 时，点P在线段 上，
∵点P速度为 ，
∴ ．
故答案为： ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵ 的面积等于 面积的一半，
∴ ．
①当点P在 上时，
，
∴ ，
．
②当点P在 上时，过点C作 于点D，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
．
故答案为： 或
（3）设点 的运动速度为 ，
①当点 在 上，点 在 上， 时，
，
∴ ；
②当点 在 上，点 在 上， 时，
，
∴ ；③当点P在 上，点 在 上， 时，
，
∴点P的路程为 ，点Q的路程为 ，
∴ ；
④当点P在 上，点Q在 上， 时
，
∴点P的路程为 ，点Q的路程为 ，
∴ ．
∴ 运动的速度为 或 或 或
3．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）如图，已知 中， ， ， ，
点D为 的中点．如果点P在线段 上以每秒 的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段 上
以每秒 的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）．(1)若点Q与点P的运动速度相同，当 时， 与 是否全等，请说明理由；
(2)若点Q与点P的运动速度不相同，当a的值是多少时，能够使 与 全等？请说明理由，并求
出此时t的值．
【答案】(1)全等，理由见解析
(2) ，理由见解析，
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，
（1）当 时，可证 ， ，进而可证 与 全等；
（2）由点Q与点P的运动速度不相同，可知 ，再根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：全等，理由如下：
∵点D为 的中点，
∴ ，
∵当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（2）解：当a的值是 时，能够使 与 全等，理由如下：
∵点Q与点P的运动速度不相同，
∴ ，
与 全等，
，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
当 时，能够使 与 全等，此时t的值为3．
4．（23-24七年级下·广东梅州·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，
点 从点 出发，以 的速度向点 运动，当点 与点 重合时，停止运动．设点 的运动时间为 秒．
(1) ________ ．（用含 的代数式表示）
(2)如图1，当 为何值时， ．
(3)如图2，当点 从点 开始运动，同时点 从点 向点 以 的速度运动（点 运动到点 处时停
止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动）．在点 和点 运动过程中， 与 可能
全等吗？若可能，求出 的值；若不可能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键．
（1）根据路程 速度 时间，根据点 的速度，表示出 ，再表示出 ；
（2）根据全等三角形对应边相等的性质得 ，即 ，求解即可；
（3）分两种情况讨论，当 ， ， 时或当 ， ， 时，
与 全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出 的值，再计算 的值即可．
【详解】（1）解： 点 从点A出发，以 秒的速度向点 运动，点 的运动时间为 秒，，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
当 时， ；
（3）解：情况一：当 ， ， 时， ，
， ，
，
，
，
，
∴ ，
；
情况二：当当 ， ， 时，
， ，
，
，
，
，
综上所述，当 或 时， 与 全等．
