文档内容
15.3.3 分式方程的应用 教学设计
一、教学目标：
1.理解数量关系正确列出分式方程.
2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题.
二、教学重、难点：
重点：实际生活中分式方程应用题数量关系的分析.
难点：将复杂实际问题中的等量关系用分式方程表示，并进行归纳总结.
三、教学过程：
复习回顾
1.解分式方程的基本思路是什么？
2.解分式方程有哪几个步骤？
一化二解三检验
3.验根有哪几种方法？
有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种代入原分式方程.通常使用第一种方法.
典例解析
例1.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时
增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
表格法分析如下：设乙单独完成这项工程需要x个月.
等量关系：甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”
解：设乙单独完成这项工程需要x个月.记工作总量为1，甲的工作效率是 ，根据题意得
即
方程两边都乘以2x,得
解得 x=1.检验：当x=1时，6x≠0.
所以，原分式方程的解为x=1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成
全部任务，所以乙队的施工速度快.
思考：问题中的哪个等量关系可以用来列方程？
1
解：设乙队如果单独施工 1个月能完成总工程的x .记总工程量为1，根据工程的实际进度，
1 1 1
+ + =1
得 3 6 2x
方程两边同乘6x，得 2x+x+3=6x，解得 x=1
检验：当x=1时，6x≠0.所以，原分式方程的解为x=1.
1
由上可知，若乙队单独工作1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完在任务的3，可知乙
队施工速度快.
【总结提升】列分式方程解决工程问题的解题策略：
1.题中有“单独”字眼通常可知工作效率；
2.通常间接设元，如××单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率；
3.弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”.
4.解题方法：可概括为“321”，即3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作
时间，工作量；2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；
1指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和=全部工
作总量.
【针对练习】甲、乙二人做某种机械零件.已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时
间与乙做60个所用的时间相等.求甲、乙每小时各做零件多少个.
解：设乙每小时做零件 x 个，则甲每小时做零件(x +6)个，根据题意，得
方程两边同乘x(x+6)，得 90x=60(x+6)
解得 x=12
检验：x=12时x(x+6)≠0，所以，原分式方程的解为x=12.
答：甲、乙每小时分别做零件18个、12个.
例2.某次列车平均提速vkm/h. 用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶
50km，提速前列车的平均速度为多少？
分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为 xkm/h，那么提速前列车
行驶 skm 所用时间为_____h，提速后列车的平均速度为_____ km/h，提速后列车运行
(s+50)km所用时间为________h.
根据行驶时间的等量关系可以列出方程
解：设提速前列车的平均速度为 x km/h，根据行驶时间的等量关系，得
s s+50
=
x x+v
方程两边乘x(x+v)，得 s(x+v)=x(s+50)
sv
解得 x=50
sv
检验：由于 v，s 都是正数，得x=50 时x(x+v)≠0.
sv
所以，原分式方程的解为x=50 .
sv
答：提速前列车的平均速度为50 km/h.
【总结提升】列分式方程解决行程问题的解题策略：
1.注意关键词“提速”与“提速到”的区别；
2.明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来；
3.行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程.
【针对练习】八年级学生去距学校 10km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了
20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，
求骑车学生的速度.
解：设骑车学生的速度为 x km/h，则汽车的速度为2x km/h，根据题意，得
10 10 20
− =
x 2x 60方程两边同乘6x，得 60-30=2x
解得 x=15
检验：x=15时6x≠0，所以，原分式方程的解为x=15.
答：骑车学生的速度为15km/h.
例3.某经销商销售的冰箱二月份的售价比一月份每台降价500元，已知卖出相同数量的冰箱
一月份的销售额为9万元，二月份的销售额只有8万元．
(1)二月份每台冰箱的售价为多少元？
(2)为了提高利润，该经销商计划三月份再购进洗衣机进行销售，已知洗衣机每台进价为
4000元，冰箱每台进价为3500元，预计用不多于7.6万元的资金购进这两种家电共20台，
设冰箱为y台（y≤12），请问有几种进货方案？
（1）解：设二月份冰箱每台售价为x元，则一月份每台售价(x+500)元，
90000 80000
依题意得 =
x+500 x
解得x=4000
经检验可知x=4000是原方程的根．
∴二月份冰箱每台售价为4000元．
（2）依题意得：3500 y+4000(20- y)≤76000
解得y≥8，
∵y≤12，且y是正整数，
∴y=8，9，10，11，12
∴共有五种购物方案．
【针对练习】2022年第二十四届冬奥会在我国成功举办，吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可爱、
英姿飒爽形象，深受大家喜爱．某商店第一次用3000元购进一批“冰墩墩”玩具，很快售完；
该商店第二次购进该“冰墩墩”玩具时，进价提高了 20%，同样用3000元购进的数量比第一
次少了10件．
(1)求第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价；
(2)若两次购进的“冰墩墩”玩具每件售价均为75元，且全部售完，求两次的利润总和．
（1）解：设第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为 x 元，则第二次每件的进价为
(1+20%)x元，
3000 3000
依题意得： - =10，
x (1+20%)x解得：x=50，
经检验：x=50是方程的解，且符合题意，
答：第一次购进的“冰墩墩”玩具每件的进价为50元．
（2）解：由题意可得 (3000 3000 ) （元），
75× + -3000×2=2250
50 50×(1+20%)
答：两次的总利润为2250元．
【总结提升】列分式方程解应用题的一般步骤：
1.审:清题意，并设未知数；
2.找:相等关系；
3.列:出方程；
4.解:这个分式方程；
5.验:根（包括两方面 :(1)是否是分式方程的根；(2)是否符合题意）；
6.写:答案.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.福建三明市套宁县发生山体滑坡后，周边市县为了应对，决定对 4800米长的河提进行加固，
在加固工程中，该地驻军出色地完成了任务，它们在加固 600米后，采用了新的加固模式，
每天加固的长度是原来的2倍，结果只用9天就完成了加固任务．求该地驻军原来每天加固
大坝的米数？设原来每天加固x米，则下列所列方程正确的是（ ）
600 2×4800 600 4800-600 2×600 4800-600
A． + =9 B． + =9 C． + =9 D ．
x x x 2x x x
2×600 4800-600
+ =9
x 2x
2.武汉新冠肺炎疫情爆发后，某省紧急组织调运一批医疗物资，由车队送往距离出发地 900
千米的武汉，出发第一小时内按原计划速度匀速行驶，一小时后以原来速度的 1.2倍匀速行
驶，因此比原计划提前2小时到达目的地．设原计划速度为x千米/时，则根据题意可列方程
为（ ）900-x 900 900 900-x 900 900 900-x 900
A． +1= -2 B． -2= C． +2= D． +1= +2
1.2x x x 1.2x x 1.2x 1.2x x
3.在创建文明县城的进程中，我县为美化县城环境，计划植树 20万棵，由于志愿者的加入，
实际每天植树比原计划多20%，结果提前3天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得
到的方程是（ ）
20 20 20 20 20 20
A． - =3 B． - =3 C． -3= D ．
x (1+20%)x x 20%x 20%x x
20 20
- =3
(1+20%)x x
4.某工程队在中山路改造一条长3000米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工
3000 3000
时“×××”，设实际每天改造人行道x米，则可得方程 = +10，根据已有信息，
x-20 x
题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为（ ）
A．每天比原计划少铺设20米，结果延迟10天完成
B．每天比原计划多铺设20米，结果延迟10天完成
C．每天比原计划多铺设20米，结果提前10天完成
D．每天比原计划少铺设20米，结果提前10天完成
5.在防疫新型冠状病毒期间，市民对医用口罩的需求越来越大．某药店第一次用3000元购进
医用口罩若干个，第二次又用3000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次进价
的1.25倍，购进的数量比第一次少200个．则第一次和第二次共购进的医用口罩数量______个．
6.受疫情的影响，“84”消毒液需求量猛增，某商场用4000元购进一批“84”消毒液后，供
不应求，商场又用6750元购进第二批这种消毒液，所购的瓶数是第一批瓶数的1.5倍，但每
瓶单价贵了1元，则该商场第一批购进“84”清毒液每瓶的单价为______元．
7.在实施“中小学生蛋奶工程”中，某配送公司按上级要求，每周向学校配送鸡蛋 10000个，
鸡蛋用甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装，若单独使用甲型包装箱比单独使用乙型包装
箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，设每个甲型包装箱可
装x个鸡蛋，根据题意可列方程为__________________．
8.科技创新加速中国高铁技术发展，某建筑集团承担一座高架桥的铺设任务，在合同期内高
效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话：
记者：你们是用10天完成4500米长的高架桥铺设任务的？工程师：是的，我们铺设500米后，采用新的铺设技术，这样每天铺设长度是原来的2倍．
(1)通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度．
(2)请求出该建筑集团是提前多少天完成铺设任务的？
9.在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项改造工程由甲工程
队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做
20天才能完成．
(1)求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；
(2)若两队合做这项工程，求完成工程所需的天数．
(3)若甲队的费用每天1200元，乙队每天850元，可以有哪些施工方案？怎样施工费用最低？
【参考答案】
1. B
2. A
3. A
4. C
5. 1800
6. 8
10000 10000
7. +10=
x x-50
8.（1）解：设该建筑集团原来每天铺设高架桥x米，则采用新的铺设技术后每天铺设高架桥
2x米，
500 4500-500
由题意得： + =10，
x 2x
解得：x=250，
经检验，x=250是原方程的解，且符合题意，
答：该建筑集团原来每天铺设高架桥300米；
4500
（2）解： -10=18-10=8，
250
答：该建筑集团提前8天完成铺设任务．
9.（1）设乙单独完成该工程需要x天，
10 1 1
依题意得： +20( + )=1，
x 40 x
解得：x=60，经检验得，x=60是原方程的解，
答：乙单独完成该工程需要60天；
1 1
（2）两队合作需要时间：1÷( + )=24，
40 60
即两队合作需要24天；
（3）共有三种施工方案：①由甲单独完成，需40天，
施工费用：40×1200=48000元；
②由乙单独完成，需60天，
施工费用：60×850=51000元；
③由甲乙合作完成，需24天，
施工费用：24×（1200+850）=49200元；
∴由甲单独完成施工费用最低．
四、教学反思：
