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专题 03 分式方程（九大类型）
【题型1 分式方程定义】
【题型2 分式方程的解】
【题型3解分式方程】
【题型4 分式方程的增根】
【题型5 分式方程应用-工程问题】
【题型6 分式方程应用-行程问题】
【题型7 分式方程应用-销售问题】
【题型8 分式方程应用-方案问题】
【题型9 分式方程应用-其他问题】
【题型1 分式方程定义】
1．（2022秋•九龙坡区校级月考）下列式子中是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．x2+1＝0
【答案】B
【解答】解：A、不是方程，故本选项不符合题意；
B、是分式方程，故本选项符合题意；
C、是整式方程，故本选项不符合题意；
D、是整式方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．（2022秋•泰山区校级月考）下列方程不是分式方程的是（ ）
A． +x＝2+3x B． ＝
C． ﹣ ＝4 D． + ＝1【答案】C
【解答】解：A、方程分母中含未知数x，故A是分式方程；
B、方程分母中含未知数x，故B是分式方程；
C、方程分母中不含未知数，故C不是分式方程；
D、方程分母中含未知数x，故D是分式方程；
故选：C．
3．（2022秋•巴彦县校级期末）下列关于 x的方程中，不是分式方程的是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符题意；
B、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项符合题意；
C、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符题意；
D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符题意．
故选：B．
4．（2021 秋•逊克县期末）有下列方程：① ；② ；③
；④ ．属于分式方程的有（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【解答】解：①2x+ ＝10是整式方程，
②x﹣ ＝2是分式方程，
③ ﹣3＝0是分式方程，
④ + ＝0是整式方程，
所以，属于分式方程的有②③．
故选：B．【题型2 分式方程的解】
5．（2023秋•东营区期中）若方程 的根为x＝6，则m的值是（ ）
A．0 B．3 C． D．1
【答案】C
【解答】解：∵方程 的根为x＝6，
∴将x＝6代入 得， ，
解得 ．
故选：C．
6．（2023•槐荫区模拟）若关于 x的方程 + ＝2的解为正数，则m的取
值范围是（ ）
A．m＜6 B．m＞6 C．m＜6且m≠0 D．m＞6且m≠8
【答案】C
【解答】解：原方程化为整式方程得：2﹣x﹣m＝2（x﹣2），
解得：x＝2﹣ ，
因为关于x的方程 + ＝2的解为正数，
可得： ，
解得：m＜6，
因为x＝2时原方程无解，
所以可得 ，
解得：m≠0．
故选：C．
7．（2022 秋•朔城区期末）若关于 x 的分式方程 无解，则 n＝（
）A．﹣1 B．0 C．1 D．
【答案】A
【解答】解： ，
去分母，得 x+x+2＝n﹣1，
合并同类项、系数化为1，得 ，
由题意可知，分式方程的增根为x＝﹣2，
即有 ，解得n＝﹣1．
故选：A．
8．（2023秋•海门市校级期中）关于 x的方程 的解是负数，则实数a的
取值范围是（ ）
A．a＞﹣1 B．a＞﹣1且a≠﹣
C．a≠﹣ D．a＞﹣1且a≠0
【答案】B
【解答】解：分式方程去分母得：x﹣a＝2x+1，
解得：x＝﹣a﹣1，
根据分式方程解为负数得：﹣a﹣1＜0且﹣a﹣1≠﹣ ，
解得：a＞﹣1且a≠﹣ ．
故选：B．
9．（2023•美兰区一模）下列分式方程中，解为x＝﹣1的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解答】解：当x＝﹣1时，
A． 中，左边＝﹣2，右边＝﹣1，A不符合题意；
B． 中，x2﹣1＝0，分母等于0，分式无意义，B不符合题意；
C． 中，左边＝﹣1+1＝0＝右边，C符合题意；
D． 中，分母x+1＝0，D不符合题意．
故选：C．
10．（2022秋•南昌期末）若关于x的分式方程 的解为x＝2，则m值
为（ ）
A．2 B．0 C．6 D．4
【答案】C
【解答】解：∵分式方程 的解为x＝2，
∴ ，
解得m＝6．
故选：C．
11．（2023春•偃师市校级期末）已知关于 x的分式方程 的解为正
数，则k的取值范围为（ ）
A．﹣3＜k＜0 B．k＞﹣3且k≠﹣1
C．k＞﹣3 D．k＜3且k≠1
【答案】B
【解答】解：关于x的分式方程 化为整式方程为x﹣3（x﹣1）＝
﹣k，
解得x＝ ，∵关于x的分式方程 的解为正数，
∴ ＞0，
即k＞﹣3，
而分式方程有增根x＝1，
当x＝1时，k＝﹣1，
∴k的取值范围为k＞﹣3且k≠﹣1，
故选：B．
12．（2023春•建平县期末）若关于x的分式方程 无解，则k的值
为（ ）
A． B．k＝1 C． 或2 D．k＝0
【答案】C
【解答】解： ，
kx+2k﹣1＝2（x﹣1），
（2﹣k）x＝2k+1，
∵关于x的分式方程 无解，
∴分两种情况：
当2﹣k＝0时，k＝2，
当x﹣1＝0时，x＝1，
把x＝1代入kx+2k﹣1＝2（x﹣1）中可得：
k+2k﹣1＝0，
∴k＝ ，
综上所述：k的值为：2或 ，
故选：C．
【题型3解分式方程】
13．（2022秋•汉阳区校级期末）解分式方程：（1） ； （2） +1．
【答案】（1）x＝ ；
（2）无解．
【解答】解：（1）原方程去分母得：（x+1）2＝x2﹣1+5，
整理得：x2+2x+1＝x2﹣1+5，
移项，合并同类项得：2x＝3，
系数化为1得：x＝ ，
经检验，x＝ 是分式方程的解，
故原方程的解为x＝ ；
（2）原方程去分母得：3x＝2x﹣1+3x+3，
移项，合并同类项得：﹣2x＝2，
系数化为1得：x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是分式方程的增根，
故原方程无解．
14．（2023秋•东城区校级期中）解分式方程： ．
【答案】x＝3．
【解答】解：原方程两边同时乘以 （x﹣2）（2x﹣3），
去分母得：2x﹣3＝3（x﹣2），
去括号得：2x﹣3＝3x﹣6，
移项，合并同类项得：﹣x＝﹣3，
系数化为1得：x＝3，
检验：把x＝3代入最简公分母（x﹣2）（2x﹣3）得：1×3＝3≠0，
故x＝3是原方程的解．
15．（2023春•历下区期中）解方程：
（1） ． （2） ．【答案】（1）x＝4；
（2）原方程无解．
【解答】解：（1） ，
方程两边都乘x（x+2），得2（x+2）＝3x，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，x（x+2）≠0，
所以x＝4是原方程的解，
即原方程的解是x＝4；
（2） ，
方程两边都乘x﹣2，得1＝﹣（1﹣x）﹣3（x﹣2），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，
所以x＝2是增根，
即原方程无解．
16．（2023秋•东营区期中）解分式方程．
（1） ； （2） ．
【答案】（1）x＝3；
（2）无解．
【解答】解：（1） ，
解：方程两边同乘（4﹣x），得x﹣3﹣4+x＝﹣1，
移项、合并同类项得2x＝6，
解得x＝3，
检验：当x＝3时，4﹣x＝4﹣3＝1≠0，所以x＝3是原分式方程的解．
（2） ，
解：方程两边同乘x（x﹣1），得3（x﹣1）+6x＝x+5，去括号得3x﹣3+6x＝x+5，
移项、合并同类项得8x＝8，
解得x＝1，
检验：当x＝1时，x（x﹣1）＝0，所以x＝1是增根，原分式方程无解．
17．（2023秋•隆回县期中）解方程：
（1） ； （2） ．
【答案】（1）x＝﹣1．
（2）x＝0．
【解答】解：（1）去分母得：x（x+2）﹣2＝x2﹣4，
去括号得：x2+2x﹣2＝x2﹣4，
移项、合并同类项得：2x＝﹣2，
系数化1得：x＝﹣1．
检验：当x＝﹣1时，x2﹣4＝﹣3≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣1．
（2）去分母得：2（x﹣1）+3（x+1）＝1，
去括号得：2x﹣2+3x+3＝1，
移项、合并同类项得：5x＝0，
系数化1得：x＝0．
检验：当x＝0时，x2﹣1＝﹣1≠0，
∴分式方程的解为x＝0．
18．（2023秋•昆明期中）解方程：
（1） ； （2） ．
【答案】（1）x＝5；
（2）无解．
【解答】解：（1） ，
x﹣2（x﹣1）＝﹣3，
解得：x＝5，检验：当x＝5时，x﹣1≠0，
∴x＝5是原方程的根；
（2） ，
5（x﹣1）+4x＝x+3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x（x﹣1）＝0，
∴x＝1是原方程的增根，
∴原方程无解．
19．（2023秋•肥城市期中）解方程
（1） ； （2） ．
【答案】（1）无解；
（2）x＝6．
【解答】解：（1）解： ，
去分母得：11x﹣22＝﹣3（x﹣2），
去括号，移项得：11x+3x＝6+22，
合并同类项得：14x＝28，
系数化为1得：x＝2，
检验：当x＝2时，原方程 无意义，
∴原方程无解．
（2）解： ，
去分母得：x﹣2＝4，
移项合并同类项得：x＝6，
检验：当x＝6时，原分式方程 有意义，
∴原分式方程的解是x＝6．20．（2023秋•乐亭县期中）已知分式方程 ，由于印刷问题，有一
个数“▲”看不清楚．
（1）若“▲”表示的数为6，求分式方程的解；
（2）小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中
“▲”代表的数．
【答案】（1）x＝5；
（2）原分式方程中“▲”代表的数为2．
【解答】解：（1） ，
方程两边同乘（x﹣3），得：6﹣（x﹣1）＝x﹣3，
解得：x＝5，
检验：当x＝5时，x﹣3≠0，
所以x＝5是原分式方程的解；
（2）设▲＝m， ，
方程两边同乘（x﹣3），得：m﹣（x﹣1）＝x﹣3，
把x＝3代入m﹣（x﹣1）＝x﹣3，得：
m﹣2＝0，
解得：m＝2，
∴原分式方程中“▲”代表的数为2．
【题型4 分式方程的增根】
21．（2023秋•来宾期中）已知关于 x的分式方程 有增根，则k的
值为（ ）
A．﹣5 B．2 C．﹣2 D．5
【答案】A
【解答】解：去分母得：k+5＝x﹣2，
∵分式方程有增根，
∴x﹣2＝0，
解得：x＝2，
把x＝2代入k+5＝x﹣2得：k+5＝2﹣2，解得：k＝﹣5．
故选：A．
22．（2023春•秦都区期末）若关于x的分式方程 有增根，则m的
值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
【答案】D
【解答】解： ，
3﹣（x+m）＝x﹣4，
解得：x＝ ，
∵分式方程有增根，
∴x＝4，
把x＝4代入x＝ 中得：
4＝ ，
解得：m＝﹣1，
故选：D．
23．（2023春•滕州市期末）已知关于 x的分式方程 有增根，则k
的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3
【答案】C
【解答】解：去分母得：k+3＝x﹣2，
∵分式方程有增根，
∴x﹣2＝0，
解得：x＝2，
把x＝2代入k+3＝x﹣2得：k+3＝2﹣2，
解得：k＝﹣3，
故选：C．24．（2023春•砀山县期末）若分式方程 ＝2+ 有增根，则 a的值为（
）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【解答】解：已知方程去分母得：x＝2（x﹣4）+a，
解得：x＝8﹣a，
由分式方程有增根，得到x＝4，即8﹣a＝4，
则a＝4．
故选：A．
25．（2023春•南明区校级期末）若关于x的方程 有增根，则m的
值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵方程 有增根，
∴当x﹣4＝0时符合题意，
即x＝4是方程的增根，
∴m+1﹣x＝x﹣4，
∴m＝3．
故选：D．
26．（2023 春•通川区校级期末）若方程 有增根，则 m 的值是（
）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【答案】C
【解答】解：方程变形得： ﹣ ＝0，
去分母得：m﹣x+1＝0，
解得：x＝m+1，
由方程有增根，得到m+1＝4，即m＝3，则m的值为3．
故选：C
【题型5 分式方程应用-工程问题】
27．（2023春•锦州期末）为了改善锦州的交通状况，政府投资修建北外环公
路．某筑路工程公司中标了一段 3000m公路的路基工程，计划在规定时间完
成．为了向“七，一”献礼，公司决定加快工程进度实际平均每天完成的工
程量是原计划的1.2倍，结果提前10天完成任务，那么该筑路工程公司实际
每天完成路基多少米？（要求用方程求解）
【答案】60米．
【解答】解：设该筑路工程公司实际每天完成路基x米，
由题意得： ，
解得x＝60，
经检验：x＝60是分式方程的解，
答：设该筑路工程公司实际每天完成路基60米．
28．（2023秋•南岗区校级月考）六年1班承担了学校操场的清扫工作，计划每
天清扫200平方米，30天可以清扫完．
（1）若学校要求25天清扫完，每天应清扫多少平方米？
（2）若实际每天清扫的面积比计划每天清扫的面积提高了 ，实际多少天能
清扫完整个学校操场？
（3）若六年1班按照（2）的速度完成一半时，学校要求此计划提前 8天完
成，提速后每天清扫面积是多少平方米？
【答案】（1）若学校要求25天清扫完，每天应清扫240平方米；
（2）实际24天能清扫完整个学校操场；
（3）提速后每天清扫面积是300平方米．
【解答】解：（1）设若学校要求25天清扫完，每天应清扫x平方米，
由题意可得：25x＝30×200，
解得x＝240，
答：若学校要求25天清扫完，每天应清扫240平方米；（2）设实际y天能清扫完整个学校操场，
由题意可得：200（1+ ）y＝30×200，
解得y＝24，
答：实际24天能清扫完整个学校操场；
（3）设提速后每天清扫面积是m平方米，
由题意可得： + ＝30﹣8，
解得m＝300，
经检验：m＝300是原分式方程的解，
答：提速后每天清扫面积是300平方米．
29．（2023•南岗区模拟）盛夏来临之际，服装加工厂甲、乙两个车间共同加工
一款亚麻休闲装，且每人每天加工的件数相同，甲车间比乙车间少 10人，甲
车间每天加工服装400件，乙车间每天加工服装600件．
（1）求甲、乙两车间各有多少人；
（2）甲车间更新了设备，平均每人每天加工的件数比原来多了 10件，乙车
间的加工效率不变，在两个车间总人数不变的情况下，加工厂计划从乙车间
调出一部分人到甲车间，使每天两个车间加工的总数不少于 1300件，求至少
要从乙车间调出多少人到甲车间？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设甲车间有x人，乙车间有（x+10）人，由题意得
＝ ，
解得：x＝20，
经检验：x＝20是原分式方程的解，且符合题意，
则x+10＝30，
答：甲车间有20人，乙车间有30人；
（2）设要从乙车间调出y人到甲车间，由题意得
（20+y）（ +10）+ （30﹣y）≥1300，解得：y≥10．
答：至少要从乙车间调出10人到甲车间．
30．（2023•丹东）“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座
长度为36米的桥梁进行重新改造．为了尽快通车，某施工队在实际施工时，
每天工作效率比原计划提高了50%，结果提前2天成功地完成了大桥的改造
任务，那么该施工队原计划每天改造多少米？
【答案】施工队原计划每天改造6米．
【解答】解：设施工队原计划每天改造x米，
根据题意得： ＝ +2，
解得x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，
答：施工队原计划每天改造6米．
31．（2022秋•海兴县期末）为了尽快建一条全长11000米的道路，安排甲乙两
队合作完成任务，最终乙队所修的道路比甲队所修的道路的两倍少1000米．
（1）甲乙两队各修道路多少米？
（2）实际修建过程中，乙队每天比甲队多20米，最终乙队完成任务时间是
甲队完成任务时间的 倍，乙队每天修建道路多少米？
【答案】（1）甲队修道路4000米，乙队修道路7000米；
（2）乙队每天修建道路70米．
【解答】解：（1）设甲队修道路x米，则乙队修道路（2x﹣1000）米，
由题意得：x+2x﹣1000＝11000，
解得：x＝4000，
则2x﹣1000＝7000，
答：甲队修道路4000米，乙队修道路7000米；
（2）设乙队每天修建道路x米，则甲队每天修建道路（x﹣20）米，
由题意得： ＝ × ，
解得：x＝70，
经检验，x＝70是原方程的解，且符合题意，答：乙队每天修建道路70米．
【题型6 分式方程应用-行程问题】
32．（2023秋•延庆区期中）列方程解应用题：
小东一家自驾车去某地旅游，手机导航系统为他们推荐了两条路线方案，方
案一全程75km，方案二全程90km．汽车在方案二行驶的平均速度是在方案
一行驶的平均速度的1.8倍，预计在方案二行驶的时间比方案一行驶的时间
少半小时，求汽车在方案一行驶的平均速度．
【答案】汽车在方案一行驶的平均速度为50km/h．
【解答】解：设汽车在方案一行驶的平均速度为x km/h，则在方案二行驶的
平均速度为1.8x km/h，
由题意得： ＝ + ，
解得x＝50，
经检验，x＝50是原方程的根，
答：汽车在方案一行驶的平均速度为50km/h．
33．（2023•邗江区一模）学校组织学生到距离为15千米的公园参加露营活动，
一部分同学骑自行车先走，40分钟后其余同学乘坐大巴前往，结果他们同时
到达，如果大巴士的平均速度是自行车平均速度的3倍，问：大巴士与自行
车的平均速度分别是每小时多少千米？
【答案】自行车的平均速度是每小时 15千米，大巴士的平均速度是每小时
45千米．
【解答】解：设自行车的平均速度是每小时 x千米．则大巴士的平均速度是
每小时3x千米．
由题意： ﹣ ＝ ，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
∴3x＝3×15＝45，
答：自行车的平均速度是每小时15千米，大巴士的平均速度是每小时45千
米．
34．（2023秋•肇源县期中）甲、乙两城间的铁路路程为 1600千米，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加了20千米/时，列车从甲
城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超
过140千米/时，请你用学过的知识说明在这条铁路的现有条件下列车是否还
可以再次提速．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设提速前的列车速度为xkm/h．
则： ＝ +4．
解之得：x＝80．
经检验，x＝80是原方程的解．
所以，提速前的列车速度为80km/h．
因为 80+20＝100＜140．
所以可以再提速．
35．（2023•邗江区二模）某校甲、乙两个班的同学以班级为单位分别乘坐大巴
车去某基地参加研学活动，此基地距离该校90千米，甲班的甲车出发10分
钟后，乙班的乙车才出发，为了比甲车早到5分钟，乙车的平均速度是甲车
的平均速度的1.2倍，求乙车的平均速度．
【答案】乙车的平均速度是72千米/时．
【解答】解：设甲车的平均速度是 x千米/时，则乙车的平均速度是 1.2x千
米/时，
根据题意，得 ＝ + ，
解得x＝60．
经检验，x＝60是原方程的解，
此时1.2x＝72．
答：乙车的平均速度是72千米/时．
36．（2023•朝阳区校级一模）小颖乘公共汽车从甲地到相距 40千米的乙地办
事，然后乘出租车原路返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，
若小颖回来路上所花的时间比去时所用时间节省了 ，求公共汽车的平均速
度．【答案】60千米/时．
【解答】解：设公共汽车的平均速度为 x千米/时，则出租车的平均速度为
（x+20）千米/时，
根据题意得： ×（1﹣ ）＝ ，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意．
答：公共汽车的平均速度为60千米/时．
【题型7 分式方程应用-销售问题】
37．（2023秋•普陀区校级期中）多多果品店在批发市场购买某种水果销售，
第一次用1200元购进若干千克，由于水果畅销，很快售完，第二次用 1430
元购买了一批水果，每千克的进价比第一次提高了10%，所购买的水果的数
量比第一次多20千克，求第一次购买水果的进价是每千克多少元？
【答案】第一次购买水果的进价是每千克5元．
【解答】解：设第一次购买水果的进价是每千克 x元，则第二次购买水果的
进价是每千克（1+10%）x元，
依题意得： ﹣ ＝20，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
答：第一次购买水果的进价是每千克5元．
38．（2023春•舞钢市期末）某服装店老板到厂家选购甲、乙两种品牌的童装
准备进行销售．每套甲品牌的童装比乙品牌的童装进价多 25元，用2000元
购进甲种品牌的童装数量是用750元购进的乙种品牌的童装数量的2倍．
（1）求甲、乙两种品牌的童装每套进价分别是多少元？
（2）若甲品牌童装每套的售价为130元，乙品牌童装每套售价为95元，服
装店老板去进货时决定购进甲品牌的童装数量是乙品牌童装数量的 2倍还多
4套，两种童装全部售出后要使总利润不少于 1230元，至少购进甲品牌的童
装多少套？
【答案】（1）甲品牌每套进价是100元，乙品牌每套进价75元；
（2）至少购进甲品牌的童装32套．【解答】解：（1）设甲品牌每套进价是x元，乙品牌每套进价（x﹣25）元，
根据题意得，
，
解得x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，
100﹣25＝75（元），
答：甲品牌每套进价是100元，乙品牌每套进价75元；
（2）设购进甲品牌童装a套，则购进乙品牌童装 套，根据题意得，
（130﹣100）a+（95﹣75）× ≥1230，
解得a≥31.75，
答：至少购进甲品牌的童装32套．
39．（2023秋•沙坪坝区校级月考）成都大运会期间，某网店直接从工厂购进
A、B 两款文创纪念品，已知 A、B 两款纪念品的进价分别为 30 元/个、25
元/个．
（1）网店第一次用1400元购进A、B两款纪念品共50个，求A款纪念品购
进的个数；
（2）大运会临近结束时，网店打算把A款纪念品降价20%销售，则降价后
销售A款纪念品要获得销售额800元，比按照原价销售要多卖4个才能获得
同样多的销售额，求A款纪念品降价以前的售价．
【答案】（1）30个；
（2）50元．
【解答】解：（1）设网店第一次购进x个A款纪念品，则购进（50﹣x）个
B款纪念品，
根据题意得：30x+25（50﹣x）＝1400，
解得：x＝30．
答：网店第一次购进30个A款纪念品；
（2）设A款纪念品降价以前的售价为y元，则降价后的售价为（1﹣20%）y
元，根据题意得： ﹣ ＝4，
解得：y＝50，
经检验，y＝50是所列方程的解，且符合题意．
答：A款纪念品降价以前的售价为50元．
40．（2023 春•高陵区月考）教育部印发的《义务教育课程方案（2022 年
版）》，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来，某中学为了让学生
体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了
解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的1.5倍，用300元在市场上购
买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少5捆．
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元，学校决定在菜苗基地购买A，B
两种菜苗共100捆，所花的费用不超过2400元，求在菜苗基地购买A种菜苗
至少多少捆．
【答案】（1）20元；
（2）60捆．
【解答】解：（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，
根据题意得： ﹣ ＝5，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100﹣m）捆，
20m+30（100﹣m）≤2400，
解得：m≥60，
∴所花的费用不超过2400元，在菜苗基地购买A种菜苗至少60捆．
答：菜苗基地购买A种菜苗至少60捆．
41．（2023春•渭滨区期末）疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以
保护自己免受新型冠状病毒感染，某药店用4750元购进若干包一次性医用口
罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一
批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多 0.5元，求购进的第二批医用口罩有多少包？
【答案】购进的第二批医用口罩有750包．
【解答】解：设购进的第一批医用口罩有x包，则
＝ ﹣0.5．
解得：x＝500．
经检验x＝500是原方程的根并符合实际意义．
所以（1+50%）x＝750．
答：购进的第二批医用口罩有750包．
42．（2023•禅城区校级三模）2022年10月16日，习总书记在第二十次全国代
表大会上的报告中提出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应
节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车的
进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进A型汽车的数量比
2400万元购进B型汽车的数量少20辆．
（1）A型和B型汽车的进价分别为每辆多少万元？
（2）该公司决定用不多于3600万元购进A型和B型汽车共150辆，最多可
以购买多少辆A型汽车？
【答案】（1）A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万
元；
（2）最多可以购买60辆A型汽车．
【解答】解：（1）设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每
辆1.5x万元，
依题意得： ，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是方程的解，且符合题意，
则1.5x＝1.5×20＝30，
答：A型汽车的进价为每辆30万元，B型汽车的进价为每辆20万元；
（2）设购买辆A型汽车m辆，则购买（150﹣m）辆B型汽车，
依题意得：30m+20（150﹣m）≤3600，
解得：m≤60，答：最多可以购买60辆A型汽车．
43．（2023•迎泽区校级二模）某中学开学初在商场购进 A、B两种品牌的足球，
购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A
品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购
买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
（2）该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品
牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌
足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品
牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足
球？
【答案】（1）购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需
要80元；
（2）该中学此次最多可购买20个B品牌足球．
【解答】解：（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的
足球需要（x+30）元，
依题意得： ＝2× ，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝80．
答：购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元．
（2）设该中学此次可以购买m个B品牌足球，则可以购买（50﹣m）个A品
牌足球，
依题意得：50×（1+8%）（50﹣m）+80×0.9m≤3060，
解得：m≤20．
答：该中学此次最多可购买20个B品牌足球．
【题型8 分式方程应用-方案问题】
44．（2022秋•廉江市期末）“疫情未结束，防疫不放松”某工厂准备生产 A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本多
500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种
防疫用品的箱数相等．请解答下列问题．
（1）求A，B两种防疫用品每箱的成本；
（2）该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，
且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？
【答案】（1）A种防疫用品每箱的成本为2000元，B种防疫用品每箱的成
本为1500元；
（2）该工厂有6种生产方案．
【解答】解：（1）设B种防疫用品每箱的成本为x元，则A种防疫用品每箱
的成本为（x+500）元，
根据题意得： ＝ ，
解得：x＝1500，
经检验，x＝1500是所列方程的解，且符合题意，
∴x+500＝1500+500＝2000．
答：A种防疫用品每箱的成本为2000元，B种防疫用品每箱的成本为1500元．
（2）设生产B种防疫用品m箱，则生产A种防疫用品（50﹣m）箱，
根据题意得： ，
解得：20≤m≤25，
又∵m为正整数，
∴m可以为20，21，22，23，24，25，
∴该工厂有6种生产方案．
45．（2023•五通桥区模拟）某超市购进甲、乙两种商品，购买 1个甲商品比购
买1个乙商品多花6元，并且花费400元购买甲商品和花费100元购买乙商
品的数量相等．
（1）求购买一个甲商品和一个乙商品各需多少元；
（2）商店准备购买甲、乙两种商品共40个，并要求商品个数为正整数，若
甲商品的数量不少于乙商品数量的3倍，并且购买甲、乙商品的总费用不低
于230元且不高于266元，那么超市有几种购买方案？哪种方案费用少？【答案】（1）购买一个甲商品需8元，一个乙商品需2元；
（2）超市有2种购买方案：①购买甲商品30个，乙商品10个；②购买甲
商品31个，乙商品9个；方案①费用最低．
【解答】解：（1）设购买一个甲商品需x元，则购买一个乙商品需（x﹣6）
元，
由题意得： ＝ ，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，
则x﹣6＝8﹣6＝2，
答：购买一个甲商品需8元，一个乙商品需2元；
（2）设购买甲种商品a个，则购买乙种商品（40﹣a）个，
由题意得： ，
解得：30≤a≤31，
∵a为整数，
∴a＝30或31．
∴超市有2种购买方案：
①购买甲商品30个，乙商品10个，费用为：30×8+10×2＝260（元）；
②购买甲商品31个，乙商品9个，费用为：31×8+9×2＝266（元）；
∵260＜266，
∴方案①费用最低．
46．（2023•泰山区一模）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学
生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球，足球两门选修课程，
需要购进一批篮球和足球．若购买篮球的数量是足球的2倍，购买篮球用了
6000元，购买足球用了2000元，篮球单价比足球单价贵30元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球多于40个，且总费用低
于5000元．那么有哪几种购买方案？
【答案】（1）篮球的单价是90元，足球的单价是60元；（2）共有6种购买方案，①采购篮球41个，足球19个；②采购篮球42个，
足球18个；③采购篮球43个，足球17个；④采购篮球44个，足球16个；
⑤采购篮球45个，足球15个；⑥采购篮球46个，足球14个．
【解答】解：（1）设篮球的单价是x元，则足球的单价是（x﹣30）元，
由题意得： ＝2× ，
解得：x＝90，
经检验，x＝90是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣30＝60，
答：篮球的单价是90元，足球的单价是60元；
（2）设采购篮球m个，则采购足球为（60﹣m）个，
由题意得： ，
解得： ，
又∵m为整数，
∴m的值可为41，42，43，44，45，46，
∴共有6种购买方案：
①采购篮球41个，足球19个；
②采购篮球42个，足球18个；
③采购篮球43个，足球17个；
④采购篮球44个，足球16个；
⑤采购篮球45个，足球15个；
⑥采购篮球46个，足球14个．
【题型9 分式方程应用-其他问题】
47．（2022春•岱山县期末）在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳100下，小
范比小季多跳20下．已知小范每分钟比小季多跳30下，设小季每分钟跳x
下，下列方程正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解答】解：由于小季每分钟跳x下，所以小群每分钟跳（x+20）下．
根据题意，得 ．
故选：B．
48.（2023春•平舆县期末）某学校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和
笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多 3元，且用200
元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同，求笔袋和笔记本的价
格．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设每个笔记本的价格为x元，则每个笔袋的价格为（x+3）元，
由题意得， ＝ ，
解得x＝4，
经检验，x＝4是分式方程的解，
所以，x+3＝4+3＝7，
答：笔袋和笔记本的价格分别为7元和4元．
49．（2023春•灌云县期末）列分式方程解应用题：
为了提高学生体育锻炼的意识和能力、丰富学生体育锻炼的内容，学校准备
购买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低 10元，用
3150元购买甲种跳绳与用3900元购买乙种跳绳的数量相同，求甲、乙两种
跳绳的单价各是多少元？
【答案】甲种跳绳的单价为42元，乙种跳绳的单价为52．
【解答】解：设甲种跳绳的单价为x元，则乙种跳绳的单价为（x+10）元，
由题意得： ，
解得：x＝42，
经检验，x＝42是原方程的解，且符合题意，
则x+10＝52，
答：甲种跳绳的单价为42元，乙种跳绳的单价为52．
