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专题03 勾股定理与数学思想及数学方法（原卷版）
类型一 方程思想
（一）单勾股列方程
技巧1 利用等腰三角形转移线段
1．（2023春•荔城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交
AB、AC于点D、E．求AE的长．
2．（2022秋•芙蓉区校级月考）如图，将长方形 ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C'处，BC'交AD
于点E．
（1）求证：△BED是等腰三角形；
（2）若AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
技巧2 利用全等三角形转移线段
3．（2021春•重庆期中）如图，长方形 ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线 BE折叠后得到
△GBE，延长BG交CD于点F，若AB＝6，BC＝4❑√6，求FD的长．（二）双勾股列方程
技巧1 利用公共边列方程
4．（2018春•淮上区期中）如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD为BC边上的高，点D为
垂足，求△ABC的面积．
5．如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC＝4，求BC边上的高AD的长．
技巧2 利用相等边列方程
6．（2023春•邻水县校级期末）如图，在笔直的铁路上 A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝
10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站
的距离相等．则E应建在距A km？
7．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B'处，点A
的对应点为点A'，且B'C＝3，求AM的长．类型二 分类讨论思想
（一）根据三角形高位置的不确定性分类讨论
9．（2023春•大观区校级期末）在△ABC中，AB＝10，AC＝2❑√10，BC边上的高AD＝6，则BC的长为
．
10．（2022秋•海阳市期末）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=❑√3，AD＝1，AB＝2AC，则BD
的长为 ．
（二）根据动点位置的不确定性分类讨论
8．（2022秋•冠县期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6，若点P在直线AC上
（不与点A、C重合），且∠ABP＝30°，则CP的长为（ ）
A．6或2❑√3 B．6或4❑√3 C．2❑√3或4❑√3 D．6或2❑√3或4❑√3
11．（2022秋•南京期末）如图，已知点P是射线OM上一动点（P不与O重合），∠AOM＝45°，OA＝
2，当OP＝ 时，△OAP是等腰三角形．
（三）根据等腰三角形要和底的不确定性分类讨论
12．（2021秋•如皋市期末）如图，在△ABC中，AC＝5，E为BC边上一点，且CE＝1，AE=❑√26，BE＝
4，点F为AB边上的动点，连接EF．
（1）求AB的长；
（2）当△BEF为等腰三角形时，求AF的长．类型三 构造等腰直角三角形或含30°角的直角三角形
技巧：①等腰直角三角形三边之比1∶1∶❑√2；②含30°的直角三角形三边之比1∶1∶❑√3
13．（2020春•涪城区校级月考）已知∠BCD＝ ，∠BAD＝ ，CB＝CD．
（1）如图1，若 ＝ ＝90°，求证：AB+AD=α❑√2AC； β
（2）如图2，若α＝β＝90°，求证：AB﹣AD=❑√2AC；
（3）如图3，若α＝β120°， ＝60°．求证：AB+AD=❑√3AC；
（4）如图4，若α＝ ＝120β°，探究AB，AD，AC之间的关系．
α β
14．（2021春•贵阳期末）已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°．
（1）如图①，若∠B＝∠D＝90°，求证：AB+AD=❑√3AC；
（2）如图②，若CB＝CD，AB+AD=❑√3AC是否还成立？请说明理由．
