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专题03 勾股定理与数学思想及数学方法（解析版）
类型一 方程思想
（一）单勾股列方程
技巧1 利用等腰三角形转移线段
1．（2023春•荔城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交
AB、AC于点D、E．求AE的长．
【思路引领】由勾股定理先求出BC＝6，连接BE，根据中垂线的性质设AE＝BE＝x，知CE＝8﹣x，在
Rt△BCE中由BC2+CE2＝BE2列出关于x的方程，解之可得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC 6，
=❑√AB2−AC2=❑√102−82=
连接BE，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，
在Rt△BCE中，∵BC2+CE2＝BE2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
25
解得x= ，
425
∴AE= ．
4
【总结提升】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理及线段中垂线的性质．
2．（2022秋•芙蓉区校级月考）如图，将长方形 ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C'处，BC'交AD
于点E．
（1）求证：△BED是等腰三角形；
（2）若AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
【思路引领】（1）先根据折叠的性质得出∠1＝∠2，再由矩形的对边平行，内错角相等，所以∠1＝
∠3，然后根据角之间的等量代换可知DE＝BE；
（2）设DE＝x，则AE＝8﹣x，BE＝x，在△ABE中，运用勾股定理得到BE2＝AB2+AE2，列出关于x的
方程，解方程求出x的值，再根据三角形的面积公式，即可求得△BED的面积．
【解答】（1）证明：∵△BDC′是由△BDC沿直线BD折叠得到的，
∴∠1＝∠2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴BE＝DE；
（2）解：设DE＝x，则AE＝AD﹣DE＝8﹣x，
在直角△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝DE＝x，
∴BE2＝AB2+AE2，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
∴x＝5，
1 1
∴△BED的面积= DE×AB= ×5×4＝10．
2 2【总结提升】此题通过折叠变换考查了三角形的有关知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它
属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后对应边、对应角相等．
技巧2 利用全等三角形转移线段
3．（2021春•重庆期中）如图，长方形 ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线 BE折叠后得到
△GBE，延长BG交CD于点F，若AB＝6，BC＝4❑√6，求FD的长．
【思路引领】根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出 AE＝DE＝EG，然后利用“HL”证明
△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF＝GF；设FD＝x，表示出FC、BF，然后
在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可．
【解答】解：在矩形ABCD中，
CD＝AB＝6，AD＝BC＝4❑√6，
∠A＝∠C＝∠D＝90°，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE＝2❑√6，
由折叠的性质可得，
EG＝AE，BG＝AB＝6，∠ECF＝∠A＝90°，
∴ED＝EG，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
{EG=ED)
，
EF=EF
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴FD＝FG，设FD＝a，则GF＝a，FC＝CD﹣FD＝6﹣a，
∴BF＝BG+FG＝6+a，
在Rt△BCF中，
BC2+CF2＝BF2，
即（4❑√6）2+（6﹣a）2＝（6+a）2，
解得a＝4，
即FD＝4，
故答案为：4．
【总结提升】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记
性质，找出三角形全等的条件ED＝EG是解题的关键．
（二）双勾股列方程
技巧1 利用公共边列方程
4．（2018春•淮上区期中）如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD为BC边上的高，点D为
垂足，求△ABC的面积．
【思路引领】设BD为x，利用勾股定理得出方程解答即可．
【解答】解：设BD＝x，则CD＝14﹣x，
由勾股定理可得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，
则152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解得：x＝9，
则AD ，
=❑√152−92=12
1 1
所以△ABC的面积= BC×AD= ×14×12=84．
2 2
【总结提升】本题主要考查勾股定理，关键是利用勾股定理得出方程解答．
5．如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC＝4，求BC边上的高AD的长．【思路引领】设CD＝x，由勾股定理得AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，则152﹣（4+x）2＝132﹣x2，解方
程求出CD＝5，则可得出答案．
【解答】解：设CD＝x，由勾股定理得，AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
∴152﹣（4+x）2＝132﹣x2，
解得x＝5，
∴CD＝5，
由勾股定理得，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣52＝144，
∴AD＝12．
【总结提升】本题考查了勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．
技巧2 利用相等边列方程
6．（2023春•邻水县校级期末）如图，在笔直的铁路上 A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝
10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站
的距离相等．则E应建在距A 1 5 km？
【思路引领】利用DE＝CE，再结合勾股定理求出即可．
【解答】解：设AE＝xkm，则BE＝（25﹣x）km，根据题意可得：
∵DE＝CE，
∴AD2+AE2＝BE2+BC2，
故102+x2＝（25﹣x）2+152，
解得；x＝15．
故答案为：15．
【总结提升】此题主要考查了勾股定理的应用，利用DE＝CE得出是解题关键．7．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B'处，点A
的对应点为点A'，且B'C＝3，求AM的长．
【思路引领】设AM＝x，连接BM，MB′，求出DB′＝6，然后在Rt△ABM和Rt△MDB′中，由勾股
定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设AM＝x，
连接MB，MB'，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝9，
∵B'C＝3，
∴DB'＝6，
在Rt△ABM中，AB2+AM2＝BM2，
在Rt△MDB'中，MD2+DB'2＝B'M2，
由折叠的性质得：MB＝MB'，
∴AB2+AM2＝BM2＝B'M2＝MD2+DB'2，
即92+x2＝（9﹣x）2+62，
解得：x＝2，
即AM＝2．
【总结提升】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性
质和正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
类型二 分类讨论思想（一）根据三角形高位置的不确定性分类讨论
9．（2023春•大观区校级期末）在△ABC中，AB＝10，AC＝2❑√10，BC边上的高AD＝6，则BC的长为
10 或 6 ．
【思路引领】分两种情况考虑，如图所示，分别在Rt△ABC与Rt△ACD中，利用勾股定理求出BD与
CD的长，即可求出BC的长．
【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，
如图1所示，AB＝10，AC＝2❑√10，AD＝6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD 8，CD 2，
=❑√AB2−AD2= =❑√AC2−AD2=
此时BC＝BD+CD＝8+2＝10；
如图2所示，AB＝10，AC＝2❑√10，AD＝6，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：BD 8，CD 2，
=❑√AB2−AD2= =❑√AC2−AD2=
此时BC＝BD﹣CD＝8﹣2＝6，
则BC的长为6或10．
故答案为：10或6．
【总结提升】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
10．（2022秋•海阳市期末）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=❑√3，AD＝1，AB＝2AC，则BD
的长为 3 或 5 ．
【思路引领】分△ABC是锐角三角形和△ABC是钝角三角形两种情况，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：当△ABC是锐角三角形，如图1，∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
由勾股定理得， ，
AC=❑√CD2+AD2=❑√(❑√3) 2+12=2
∵AB＝2AC，
∴AB＝4，
∴BD＝4﹣1＝3；
当△ABC是钝角三角形，如图2，
，
AC=❑√AD2+CD2=2
∴AB＝4，
∴BD＝AB+AD＝4+1＝5，
综上：BD的长为3或5，
故答案为：3或5．
【总结提升】本题考查的是勾股定理，熟知如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，
那么a2+b2＝c2是解题的关键．
（二）根据动点位置的不确定性分类讨论
8．（2022秋•冠县期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6，若点P在直线AC上
（不与点A、C重合），且∠ABP＝30°，则CP的长为（ ）
A．6或2❑√3 B．6或4❑√3 C．2❑√3或4❑√3 D．6或2❑√3或4❑√3
【思路引领】根据点P在直线AC上的不同位置，∠ABP＝30°，利用特殊角的三角函数进行求解．
【解答】解：如图1：当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，与∠ABP＝30°矛盾；
如图2：
当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠CBP＝60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴CP＝BC＝6；
如图3：
当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠PBC＝60°﹣30°＝30°，
∴PC＝PB，
∵BC＝6，
∴AB＝3，
3 3
PC=PB= = =2❑√3
∴ cos30° ❑√3
2
如图4：
当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠PBC＝60°+30°＝90°，
BC 6
PC= = =4❑√3
∴ cos30° ❑√3 ．
2
故选：D．【总结提升】本题考查利用特殊角的三角函数值求线段的长，解题的关键是确定点P在直线AC上的不
同位置．
11．（2022秋•南京期末）如图，已知点P是射线OM上一动点（P不与O重合），∠AOM＝45°，OA＝
2，当OP＝ ❑√2 或 2 或 2❑√2 时，△OAP是等腰三角形．
【思路引领】分三种情况，当OP＝AP，OA＝AP，OA＝OP时，由等腰三角形的性质可求出答案．
【解答】解：当△AOP为等腰三角形时，分三种情况：
①如图，OP＝AP，
∴∠O＝∠OAP，
∵∠AOM＝45°，
∴∠APO＝90°，
∴OP=❑√2；
②如图，
OA＝OP＝2；
③如图，OA＝AP，∴∠O＝∠APO＝45°，
∴∠A＝90°，
∴OP 2 ．
=❑√AO2+AP2=❑√22+22= ❑√2
综上所述，OP的长为❑√2或2或2❑√2．
故答案为：❑√2或2或2❑√2．
【总结提升】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
（三）根据等腰三角形要和底的不确定性分类讨论
12．（2021秋•如皋市期末）如图，在△ABC中，AC＝5，E为BC边上一点，且CE＝1，AE=❑√26，BE＝
4，点F为AB边上的动点，连接EF．
（1）求AB的长；
（2）当△BEF为等腰三角形时，求AF的长．
【思路引领】（1）证出∠ACE＝90°，由勾股定理可求出答案；
（2）分三种情况，由勾股定理可求出答案．
【解答】解：（1）∵AC＝5，CE＝1，AE=❑√26，
∴AC2+CE2＝26，AE2＝26，
∴AC2+CE2＝AE2，
∴∠ACE＝90°，
∵BC＝CE+BE＝5，AC＝5，
∴AB 5 ；
=❑√AC2+BC2=❑√52+52= ❑√2
（2）①当BF＝BE＝4时，AF＝AB﹣BF＝5❑√2−4；
②如图，当BF＝EF时，有∠FEB＝∠B＝45°，
∴∠BFE＝90°，BF＝EF，
设BF＝EF＝x，
∵BF2+EF2＝BE2，
∴x2+x2＝42，
∴x＝2❑√2（负值舍去），
∴AF＝AB﹣BF＝5❑√2−2❑√2=3❑√2；
③如图，当BE＝EF时，有∠EFB＝∠B＝45°，
∴∠BEF＝90°，EF＝BE＝4，
∴BF 4 ，
=❑√BE2+EF2= ❑√2
∴AF＝AB﹣BF＝5❑√2−4❑√2=❑√2．
综上所述，AF的长为5❑√2−4或3❑√2或❑√2．
【总结提升】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
类型三 构造等腰直角三角形或含30°角的直角三角形
技巧：①等腰直角三角形三边之比1∶1∶❑√2；②含30°的直角三角形三边之比1∶1∶❑√3
13．（2020春•涪城区校级月考）已知∠BCD＝ ，∠BAD＝ ，CB＝CD．
（1）如图1，若 ＝ ＝90°，求证：AB+AD=α❑√2AC； β
α β（2）如图2，若 ＝ ＝90°，求证：AB﹣AD=❑√2AC；
（3）如图3，若α＝β120°， ＝60°．求证：AB+AD=❑√3AC；
（4）如图4，若α＝ ＝120β°，探究AB，AD，AC之间的关系．
α β
【思路引领】（1）延长AB至点E，使BE＝AD，连接CE，证明△ADC≌△EBC，根据全等三角形的性
质得到AC＝EC，∠ACD＝∠ECB，根据等腰直角三角形的性质计算，证明结论；
（2）在线段AB上截取BF＝AD，连接CF，证明△CAD≌△CFB，根据全等三角形的性质得到 CA＝
CF，∠ACD＝∠FCB，根据等腰直角三角形的性质计算，证明结论；
（3）延长AB至M，使BM＝AD，连接CM，作CH⊥AB于H，根据等腰三角形的性质解答；
（4）在线段AB上截取BN＝AD，连接CN，仿照（2）（3）的方法，得到答案．
【解答】证明：（1）如图1，延长AB至点E，使BE＝AD，连接CE，
∵ ＝ ＝90°，
∴α∠BβCD+∠BAD＝180°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠EBC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠EBC，
在△ADC和△EBC中，
{
AD=EB
)
∠ADC=∠EBC ，
CD=CB
∴△ADC≌△EBC（SAS）
∴AC＝EC，∠ACD＝∠ECB，
∵∠ACD+∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACB＝90°，即∠ACE＝90°，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴AE=❑√2AC，
∴AB+AD＝AB+BE＝AE=❑√2AC；
（2）如图2，在线段AB上截取BF＝AD，连接CF，∵∠BCD＝∠BAD，∠BHC＝∠DHA，
∴∠B＝∠D，
在△CAD和△CFB中，
{
AD=FB
)
∠D=∠B ，
CD=CB
∴△CAD≌△CFB（SAS）
∴CA＝CF，∠ACD＝∠FCB，
∵∠ACD+∠DCF＝90°，
∴∠FCB+∠DCF＝90°，即∠ACF＝90°，
∴△ACF为等腰直角三角形，
∴AF=❑√2AC，
∴AB﹣AD＝AB﹣BF＝AF=❑√2AC；
（3）如图3，延长AB至M，使BM＝AD，连接CM，作CH⊥AB于H，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠MBC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠MBC，
由（1）可知，△ADC≌△MBC，
∴CA＝CM，∠ACD＝∠MCB，
∴∠ACM＝120°，
∴∠CAH＝30°，
1
∴CH= AC，
2
❑√3
∴AH=❑√AC2−CH2= AC，
2
∴AM＝2AH=❑√3AC，
∴AB+AD＝AB+BM＝AM=❑√3AC；
（4）AB﹣AD=❑√3AC，
理由如下：在线段AB上截取BN＝AD，连接CN，
由（2）（3）可知，AB﹣AD＝AB﹣BN＝AN=❑√3AC．【总结提升】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理
和性质定理是解题的关键．
14．（2021春•贵阳期末）已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°．
（1）如图①，若∠B＝∠D＝90°，求证：AB+AD=❑√3AC；
（2）如图②，若CB＝CD，AB+AD=❑√3AC是否还成立？请说明理由．
【思路引领】（1）因为AC平分∠DAB，∠DAB＝60°可得∠DAC＝∠BAC＝30°，∠B＝∠D＝90°，可
❑√3
得Rt△ADC和Rt△ABC中AD＝AB= AC，进而可得AD+AB=❑√3AC．
2
（2）过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，即可得到（1）的条件，证明△CFD和△BCE全等得到DF＝BE．然后按照（1）的解法进行计算即可．
【解答】证明：（1）∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，
1
∴∠DAC＝∠BAC= ∠DAB＝30°，
2
∵∠B＝∠D＝90°，
1
∴BC＝CD= AC，
2
√ 1 ❑√3
∴AD＝AB=❑ AC2−( AC) 2= AC，
2 2
∴AB+AD=❑√3AC；
（2）成立，理由如下：
过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，
∴∠CFD＝∠CEB＝90°，
∵AC平分∠DAB，CF⊥AD，CE⊥AB，
∴CF＝CE，
在Rt△CFD和Rt△CEB中，
{CF=CE)
，
CB=CD
∴Rt△CFD≌Rt△CEB（HL），
∴FD＝BE，
由（1）知AF+AE=❑√3AC，
∴AD﹣DF+AB+BE=❑√3AC，
∴AD﹣BE+AB+BE=❑√3AC，
∴AD+AB=❑√3AC．
【总结提升】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，
也是解决本题的关键．
