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专题5.2 解方程及分式方程的应用（七大类型）
【题型1 解分式方程】
【题型2 分式方程有增根问题】
【题型3 分式方程应用-工程问题】
【题型4 分式方程应用-行程问题】
【题型5 分式方程应用-销售问题】
【题型6 分式方程应用-方案问题】
【题型7 分式方程应用-其他问题】
【题型1 解分式方程】
【典例1】解下列方程：
2 1
(1) = ；
x−4 x+1
1 2 4
(2) + = ．
x+1 x−1 x2−1
【答案】(1)x=−6
(2)无解
【分析】本题主要考查了解分式方程：
（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可；
（2）按照去分母，去括号，移项， 合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可．
2 1
【详解】（1）解： =
x−4 x+1
去分母得：2(x+1)=x−4，
去括号得：2x+2=x−4，
移项得：2x−x=−4−2，
合并同类项得：x=−6，
检验，当x=−6时，(x+1)(x−4)≠0，
∴x=−6是原方程的解；1 2 4
（2）解： + =
x+1 x−1 x2−1
去分母得：x−1+2(x+1)=4，
去括号得：x−1+2x+2=4，
移项得：x+2x=4+1−2，
合并同类项得：3x=3，
系数化为1得：x=1
检验，当x=1时，(x+1)(x−1)=0，
∴x=1是原方程增根，
∴原方程无解．
【变式1-1】解方程：
3 1−x
(1) +2= ；
4−x x−4
x 2
(2) + =1．
x−1 x2−1
【答案】(1)无解
(2)x=−3
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的解题步骤是解题关键．
（1）方程两边都乘(x−4)进行去分母运算，然后求解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘(x+1)(x−1)进行去分母运算，求出方程的解，再进行检验即可．
3 1−x
【详解】（1）解： +2= ，
4−x x−4
方程两边同乘(x−4)，得−3+2(x−4)=1−x，
解得 x=4，
检验，x=4时，x−4=0,
∴x=4不是原分式方程的解，原分式方程无解；
x 2
（2）解： + =1，
x−1 x2−1
去分母得，x(x+1)+2=x2−1，
解得 x=−3，
检验：x=−3时，(x+1)(x−1)≠0，
∴原方程的解为x=−3．
【变式1-2】解方程：5 7
(1) = ；
x x−2
16 x+2
(2) +1= ．
x2−4 x−2
【答案】(1)x=−5
(2)无解
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的求解步骤是解答的关键，注意计算结果要检验．
（1）先去分母化为整式方程，再解整式方程，然后经检验可得分式方程的解；
（2）先去分母化为整式方程，再解整式方程，然后经检验可得分式方程的解．
【详解】（1）解：去分母，得5(x−2)=7x
去括号，得5x−10=7x
移项、合并同类项，得−2x=10
解得x=−5，
经检验，x=−5是分式方程的解；
（2）解：去分母，得16+x2−4=(x+2) 2
去括号，得16+x2−4=x2+4x+4
移项、合并同类项，得−4x=−8
解得x=2
经检验，x=2是分式方程的增根，
故原分式方程无解．
【变式1-3】解分式方程：
x 3
(1) −1= ；
x−1 (x−1)(x+2)
x−2 4
(2) + =1．
x+2 x2−4
【答案】(1)原方程无解
(2)x=3
【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方
程求解．解分式方程一定注意要验根．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．x 3
【详解】（1）解： −1=
x−1 (x−1)(x+2)
方程两边同时乘以(x−1)(x+2)得：x(x+2)−(x−1)(x+2)=3，整理得：2x−x+2=3，
解得：x=1，
检验：当x=1时，(x−1)(x+2)=0，
则x=1是增根，
∴原方程无解；
x−2 4
（2）解： + =1，
x+2 x2−4
方程两边同时乘以(x+2)(x−2)得：(x−2) 2 +4=x2−4，整理得：−4x+4+4=−4，
解得：x=3，
检验：当x=3时，(x+2)(x−2)≠0，
∴原方程的解为x=3．
【题型2 分式方程有增根问题】
3x m
【典例2】若关于x的方程 = +4无解，则m的取值为（ ）
x−1 1−x
A．−1 B．1 C．−2 D．−3
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决
本题的关键．先解分式方程，再根据分式方程无解得关于m的方程即可．
3x m
【详解】解： = +4，
x−1 1−x
去分母，得3x=−m+4(x−1)，
去括号，得3x=−m+4x−4，
移项并合并，得x=4+m，
3x m
∵当x=1时，方程 = +4无解，
x−1 1−x
∵4+m=1，
∴m=−3．
故选：D．x 3a
【变式2-1】若关于x的分式方程 + =2a无解，则a的值为（ ）
x−3 3−x
1 1
A．1 B． C．1或 D．以上都不是
2 2
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式方程无解的情况，先解分式方程得到(2a−1)x=3a，再分当2a−1=0，
1
即a= 时和当2a−1≠0时两种情况，讨论求解即可．
2
x 3a
【详解】解： + =2a
x−3 3−x
去分母得：x−3a=2a(x−3)，
去括号得：x−3a=2ax−6a，
移项，合并同类项得：(2a−1)x=3a，
1 3
当2a−1=0，即a= 时，此时有0= ，故原方程无解，
2 2
3a
当2a−1≠0时，则x= ，
2a−1
∵原方程无解，
∴原方程有增根，
∴x−3=0，
3a
∴ =3，
2a−1
解得a=1；
1
综上所述，a= 或a=1，
2
故选：C．
x−3 m
【变式2-2】若关于x的方程 = 产生增根，则m的值是（ ）
x−1 x−1
A．−3 B．−2 C．2 D．0
【答案】B
【分析】本题主要考查分式方程有增根的情况下求参数，理解分式方程的增根情况是解题关键．先去
分母化简，然后根据题意得出x=1，将其代入方程求解即可．
x−3 m
【详解】解： =
x−1 x−1方程两边同乘以x−1，得x−3=m
∵原方程有增根，
∴x−1=0，即x=1，
把x=1代入x−3=m，得m=−2，
故选：B．
6−x 2m
【变式2-3】若关于x的方程 − ＝0有增根，则m的值是（ ）
x−3 x−3
3 2
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
2 3
【答案】A
【分析】本题主要考查分式方程的增根，正确理解分式方程产生增根的原因是解决本题的关键．去分
母是分式方程可能产生增根的原因，所以方程的增根为x=3，去分母后的方程的根为x=3，将x=3代
入即得m的值．
【详解】方程两边同乘以x−3，得6−x−2m=0①，
6−x 2m
若关于x的方程 − ＝0有增根，则增根为x=3，
x−3 x−3
将x=3代入①，得6−3−2m=0，
3
解得m= ．
2
故选A．
2 mx 5
【变式2-4】若关于x的分式方程 + = 无解，则m的值为 ．
x−2 x2−4 x+2
【答案】−4或10或3
【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，根据分式方程无解的两
种情况即可求出m的值．
2 mx 5
【详解】解： + =
x−2 x2−4 x+2
去分母得，2(x+2)+mx=5(x−2)
2x+4+mx=5x−10
(m−3)x=−14，
当增根为x=2或x=−2时，
2(m−3)=−14或−2(m−3)=−14
解得m=−4或m=10，即m=−4或m=10时，分式方程无解，
当m−3=0时，即m=3时，整式方程无解，分式方程无解，
综上可知，当m的值为−4或10或3．
故答案为：−4或10或3．
3 k−1
【变式2-5】若关于x的方程 − =1无解，则k的值为 ．
x−2 x−2
【答案】4
【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，先去分母变成整式方程，再根据无解求解即可．
3 k−1
【详解】方程 − =1两边同乘(x−2)得3−k+1=x−2，
x−2 x−2
3 k−1
∵关于x的方程 − =1无解，
x−2 x−2
∴x−2=0，
∴3−k+1=0，
解得k=4，
故答案为：4．
【题型3 分式方程应用-工程问题】
【典例3】某村计划对总长为1800m的道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完
成的道路长度是乙队每天能完成的2倍，并且在独立完成长为400m的道路时，甲队比乙队少用4天．
(1)求甲、乙两工程队每天能完成道路的长度分别是多少m？
(2)若村委每天需付给甲队的道路改造费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的道路改造费用不超
过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
【答案】(1)甲工程队每天能完成道路的长度是100m，乙工程队每天能完成道路的长度是50m
(2)至少应安排甲队修建10天
【分析】该题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是找出等量关系式和不等量
关系式．
（1）设乙工程队每天能完成道路的长度是xm，根据“已知甲队每天能完成的道路长度是乙队每天能完
成的2倍，并且在独立完成长为400m的道路时，甲队比乙队少用4天”，列分式方程即可求解；
（2）设应安排甲队工作y天，根据“这次的道路改造费用不超过8万元”列出不等式求解即可；
【详解】（1）解：设乙工程队每天能完成道路的长度是xm，
400 400
根据题意得： − =4，
x 2x解得：x=50，
经检验x=50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成道路的长度是50×2=100m．
答：甲工程队每天能完成道路的长度是100m，乙工程队每天能完成道路的长度是50m．
（2）解：设应安排甲队工作y天，
1800−100 y
根据题意得：0.4 y+ ×0.25≤8，
50
解得：y≥10．
答：至少应安排甲队修建10天．
【变式3-1】甲、乙两个工程队铺设一条公路，已知甲工程队每天比乙工程队少铺设6km，甲工程队铺
设60km所用的时间与乙工程队铺设90km所用的时间相同，求甲、乙两个工程队每天各铺设多少km？
【答案】甲工程队每天铺设12km，则乙工程队每天铺设18km
【分析】本题考查了列分式方程，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程．设甲工程
队每天铺设xkm，则乙工程队每天铺设(x+6)km，根据题意列方程求解即可．
【详解】解∶ 设甲工程队每天铺设xkm，则乙工程队每天铺设(x+6)km，
60 90
由题意得： = ，
x x+6
解得x=12，
经检验∶ x=12是原方程的解，
∴x+6=18，
答：甲工程队每天铺设12km，则乙工程队每天铺设18km．
【变式3-2】我市经济技术开发区某电子工厂开展班组劳动技能比赛，测得甲组做40个零件与乙组做
30个零件所用的时间相等，又知甲、乙两组一小时共做21个零件，求甲、乙两组每小时各做多少个零
件？
【答案】甲组每小时做12个零件，乙组每小时做9个零件
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设甲组每小时做x个零件，则乙组每小时做(21−x)个零件，
根据甲组做40个零件与乙组做30个零件所用的时间相等，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设甲组每小时做x个零件，则乙组每小时做(21−x)个零件，根据题意得：
40 30
= ，
x 21−x
解得：x=12，
经检验x=12是所列方程的根，并且x=12时，21−x=21−12=9（个），符合题意，答：甲组每小时做12个零件，乙组每小时做9个零件．
【变式3-3】拥有便捷的交通是经济发展的前提，某地为了打造全新旅游体验，提高地域知名度，计划
修建一段音乐旅游公路．某施工队承揽了这段旅游公路的施工，原计划施工300米，施工队在施工了
60米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该阶段工程．问该工程队原计划每
天施工多少米？
【答案】该工程队原计划每天施工20米．
【分析】本题主要考查分式方程的运用，根据提议，设该工程队原计划每天施工x米，由此列式求解即
可．
【详解】解：设该工程队原计划每天施工x米，
300−60 300−60
根据题意得： − =4，
x 1.5x
解得x=20，
经检验，x=20是原方程的解且符合实际．
答：该工程队原计划每天施工20米．
【变式3-4】在创建全国文明城市中，我市需要在丁香花园外侧修建一条900米的亲水栈道将江滨公 园
与南岸公园的绿道连通，构建清远市“万里绿道”．由于工期缩短，工程队改进了施 工方式，实际每
天修建的长度是原计划的1.5倍，结果提前了3天完成这一工程，求实 际每天修建栈道多少米?
【答案】实际每天修建栈道 150 米
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意，列出方程即可解答，熟练找到等量关系是解题的关
键．
【详解】
解：设原计划每天修建栈道 x 米，
900 900
依据题意 − =3
x 1.5x
解得：x=100
经检验，x=100是原方程的解，
100×1.5=150（米）
答：实际每天修建栈道 150 米．
【变式3-5】新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍
有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，
每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．(1)求原来生产防护服的工人有多少人？
(2)复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产
的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？
【答案】(1)原来生产防护服的工人有20人；
(2)至少还需要生产8天才能完成任务
【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意正确列方程和一元一次不等式是解
题的关键．
（1）设原来生产防护服的工人有x人，根据每小时完成的工作量不变列方程，解方程并检验即可；
（2）设还需要生产 y天才能完成任务.求出每人每小时生产的防护服套数，公司决定将复工后生产的防
护服14500套捐献给某地，据此列不等式，解不等式即可得到答案.
【详解】（1）解：设原来生产防护服的工人有x人，
800 650
由题意，得 =
8x 10(x−7)
解得x=20.
经检验，x=20是原分式方程的解，
答：原来生产防护服的工人有20人；
（2）设还需要生产 y天才能完成任务.
800
=5(套)，
8×20
即每人每小时生产5套防护服.
由题意，得10×650+20×5×10 y≥14500，
解得y≥8
答：至少还需要生产8天才能完成任务．
【变式3-6】荷花文化节前夕，我市对观光路工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，甲、乙施
工一天的工程费用分别为1.5万元和1.1万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案：
①甲队单独做这项工程刚好如期完成．
②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天．
③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．求：
(1)甲乙单独完成这项工程各需多少天？
(2)在确保如期完成的情况下，你认为哪种方案最节省工程款，通过计算说明理由．
【答案】(1)甲队单独完成需要20天，，乙队单独完成需要25天；
(2)方案③最省钱【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，有理数乘法的实际应用：
（1）设工程期为x天，则甲队单独完成用x天，乙队单独完成用(x+5)天，把工作总量看做单位1，根
据甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求分别求出对应方案的费用，比较即可得到结论．
【详解】（1）解：设工程期为x天，则甲队单独完成用x天，乙队单独完成用(x+5)天，
4 x
由题意得， + =1，
x x+5
解得x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
∴x+5=25，
答：甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要25天；
（2）解：方案①的费用为1.5×20=30万元，
方案②的费用为25×1.1=27.5万元，但是此种方案耽误工期，不符合题意；
方案③的费用为4×1.5+20×1.1=28万元，
∵28<30，
∴方案③最省钱．
【题型4 分式方程应用-行程问题】
【典例4】小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结
果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍．
(1)①求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米/小时？
②小李恰好不迟到时，从A地到B地所用的时间为______小时；
(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．若小李立即跑步去上班，且恰好提前5
分钟到达，求跑步的速度为多少千米/小时？
2
【答案】(1)①小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；②
3
(2)跑步的速度为7.2千米/小时
【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，列出方程．
（1）①设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米/小时，由题意：小李从A地
出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第
二天骑自行车去上班结果早到10分钟，列出分式方程，解方程即可；
②根据求出的速度，列式求出结果即可；（2）设小李跑步的速度为m千米/小时，根据出发1.5千米后自行车发生故障，跑步去上班，恰好提前5
分钟到达，列出一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：①设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米/小时，
4.5 5 4.5 10
由题意得： − = + ，
x 60 1.5x 60
解得：x=6，
经检验，x=6是原方程的解，且符合题意，
则1.5x=9，
答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；
②小李恰好不迟到时，从A地到B地所用的时间为：
4.5 5 2
− = （小时）；
6 60 3
1
（2）解：小李骑自行车出发1.5千米所用的时间为1.5÷9= （小时），
6
设小李跑步的速度为m千米/小时，
(2 1 5 )
由题意得1.5+ − − m=4.5，
3 6 60
解得：m=7.2，
答：为了提前5分钟到达，则跑步的速度为7.2千米/小时．
【变式4-1】列方程解应用题
京源学校初一、初二年级同学乘坐大巴车去国家大剧院观看京剧演出，国家大剧院距离学校16千米．
初一年级的车队出发5分钟后，初二年级的车队才出发，结果两个年级同学同时到达，初二年级车队的
平均速度是初一年级车队的平均速度的1.2倍． 问初一年级车队平均每小时行驶多少千米？
【答案】初一年级车队平均每小时行驶32千米；
【分析】本题考查分式方程解决实际应用问题，设初一年级车队平均每小时行驶x千米，则初二年级车
队平均每小时行驶1.2x千米，根据时间关系列方程求解即可得到答案；
【详解】解：设初一年级车队平均每小时行驶x千米，则初二年级车队平均每小时行驶1.2x千米，由题
意可得，
16 16 5
= + ，
x 1.2x 60
解得：x=32，
答：初一年级车队平均每小时行驶32千米．【变式4-2】甲、乙两名学生到离校2.1km的“荣光社区”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自
行车，骑自行车速度是步行速度的3倍，甲出发14min后乙同学出发，两名同学同时到达，求甲同学
步行的速度为多少千米每小时？
【答案】甲同学步行的速度为6千米每小时
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设甲同学步行的速度为x千米每小时，则乙同学骑自行
车的速度为3x千米每小时，根据甲早出发14min，但是二人同时到达列出方程求解即可．
【详解】解：设甲同学步行的速度为x千米每小时，则乙同学骑自行车的速度为3x千米每小时，
2.1 2.1 14
由题意得， − = ，
x 3x 60
解得x=6，
检验，当x=6时，x⋅3x≠0，
∴x=6是原方程的解，且符合题意，
答：甲同学步行的速度为6千米每小时．
【变式4-3】2022年12月26日上午，常益长高铁正式开通运营， 自此，三湘大地形成高铁大环线，
串起湖南“金色”大通道．若从常德市到长沙市乘坐高速列车的路程为150千米，乘坐普通列车的路程
为168千米，高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的2.5倍，且高速列车的乘车时间比普通列车
的乘车时间缩短了1.8小时．问高速列车的平均速度是多少千米/时？
【答案】高速列车的平均速度是150千米/时
【分析】此题考查的是分式方程的应用，掌握用列表法分析等量关系并列方程是解决此题的关键.
设普通列车平均速度是每小时x千米，则高速列车的平均速度是每小时3x千米，
列表如下：
普通列车 高速列车
路 168 150
程
速 x 2.5x
度
时 168 150
间 x 2.5x
然后再根据“高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了1.8小时”，列方程并解方程即可（注：
分式方程要验根）.
【详解】解：设普通列车平均速度是每小时x千米，则高速列车的平均速度是每小时2.5x千米168 150
由题意可知： − =1.8
x 2.5x
解得：x=60
经检验：x=60是原方程的解，
∴高速列车的平均速度是每小时60×2.5=150千米.
答：高速列车的平均速度是每小时150千米.
【变式4-4】甲、乙两船从相距300km的A,B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与
从B地逆流航行的乙船相遇，水流速度为6km/h,若甲、乙两船在静水中的速度相同，求两船在静水中
的速度．
【答案】两船在静水中的速度为30km/h
【详解】解：设两船在静水中的速度为xkm/h,
180 300−180
根据题意得： = ，
x+6 x−6
解得x=30，
经检验，x=30是原分式方程的解，且符合题意．
答：两船在静水中的速度为30km/h．
【题型5 分式方程应用-销售问题】
【典例5】第22届国际世界杯足球赛于2022年11月20日至12月18日在卡塔尔境内8座球场举行．某体
育运动专卖店采购员预测某款型短袖T恤衫能畅销市场，就用6000元购进一批这种T恤衫，由于市场
供不应求，该店铺又用15000元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，由于供货
紧张，每件价格比第一次贵10元．
(1)该店铺购进第一批，第二批T恤衫每件的进价分别是多少元?
(2)如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后断码的50件T恤衫按五折优惠售出，要使两批T恤衫全部售
完后利润率为80%（除去450元的快递费用），那么每件T恤衫的标价是多少元？
【答案】(1)购进第一批T恤衫每件的进价是40元，第二批T恤衫每件的进价是50元
(2)每件T恤衫的标价是90.85元
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次方程的应用，解应用题时需要理清楚等量关系，找
到合适的量设未知数，顺题意列出方程，注意分式方程求解需要检验．
（1）设购进第一批T恤衫每件的进价是x元，则第二批T恤衫每件的进价是(x+10)元，根据两次购买
数量关系列分式方程求解即可；
（2）设每件T恤衫的标价是a元，根据售价−成本=利润列方程，即可求解．【详解】（1）解：设购进第一批T恤衫每件的进价是x元，则第二批T恤衫每件的进价是(x+10)元，
6000 15000
由题意得： ×2= ，
x x+10
解得：x=40，
经检验，x=40是原方程的解，
∴ x+10=50，
∴购进第一批T恤衫每件的进价是40元，第二批T恤衫每件的进价是50元；
（2）设每件T恤衫的标价是a元，
6000 15000
两次够进T恤衫的数量为： + =450（件），
40 50
总成本为：6000+15000+450=21450（元），
根据题意得：(450−50)a+50×0.5a−21450=21450×80%，
解得：a≈90.85，
∴每件T恤衫的标价是90.85元．
【变式5-1】某中学在开学前去商场购进A，B 两款书包奖励班级表现优秀的学生，购买A 款书包共花
费 6000元，购买B款书包共花费3200元，且购买A 款书包数量是购买B款书包数量的3倍，已知购
买一个B 款书包比购买一个A 款书包多花30元． 求购买一个A 款书包、 一个B 款书包各需多少元？
【答案】购买一个A 款书包需50元，则购买一个B 款书包需80元
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设购买一个A 款书包需x元，则购买一个B 款书包需
(x+30)元，再根据购买A 款书包共花费 6000元，购买B款书包共花费3200元，且购买A 款书包数
量是购买B款书包数量的3倍列出方程求解即可．
【详解】解：设购买一个A 款书包需x元，则购买一个B 款书包需(x+30)元，
6000 3200
由题意得， =3× ，
x x+30
解得x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
∴x+30=80，
答：购买一个A 款书包需50元，则购买一个B 款书包需80元．
【变式5-2】某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑
动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑
动变阻器单价比乙种单价贵5元．
(1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元．(2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少
个甲种滑动变阻器?
【答案】(1)甲单价为55元，乙单价为50元
(2)40个
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用；
（1）设乙种滑动变阻器的单价是x元，则甲种滑动变阻器的单价是(x+5)元，乙种书的单价是y元，根
据“购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的
1.5倍”，可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器(100−m)个，利用总价=单价×数量，结合
总费用不超过5200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【详解】（1）设乙种滑动变阻器的单价是x元，
1650 1000
根据题意得： =1.5× ．
x+5 x
解得：x=50．
经检验，x=50是所列方程的根，且符合题意．
∴x+5=50+5=55（元）
答：甲种滑动变阻器的单价是55元，乙种滑动变阻器的单价是50元．
（2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器(100−m)个．
根据题意得：55m+50(100−m)≤5200．
解得：m≤40．
答：该校最多可以购买40个甲种滑动变阻器．
【变式5-3】“海上生明月，天涯共此时”．中秋节前夕，某超市购入甲、乙两种月饼礼盒共25盒，总
共花费4800元．超市购入甲、乙两种月饼礼盒的价格分别为180元/盒，200元/盒．
(1)甲、乙两种月饼礼盒各购入多少盒？
(2)该超市将这批月饼礼盒加价后进行出售．每盒甲月饼礼盒的售价比乙月饼礼盒的售价少40元，消费
5
者用2000元购入甲月饼礼盒的数量是用1920元购入乙月饼礼盒数量的 ．则这批月饼全部售出后，该
4
超市能获利多少元？
【答案】(1)甲月饼礼盒购入10盒，乙月饼礼盒购入15盒
(2)该超市能获利800元
【分析】本题考查了二元一次方程组和分式方程的实际应用，正确理解题意是解题关键．（1）设甲、乙两种月饼礼盒各购入x盒、y盒．据题意得¿，据此即可求解；
2000 1920 5
（2）设甲月饼礼盒的售价为a元，则乙月饼礼盒的售价为(a+40)元，据题意得： = × ，
a a+40 4
据此即可求解；
【详解】（1）解：设甲、乙两种月饼礼盒各购入x盒、y盒．
据题意得：¿
{x=10)
解得：
y=15
∴甲月饼礼盒购入10盒，乙月饼礼盒购入15盒．
（2）解：设甲月饼礼盒的售价为a元，则乙月饼礼盒的售价为(a+40)元
2000 1920 5
据题意得： = ×
a a+40 4
解得：a=200
经检验，a=200为原方程的根
∴总利润为10×(200−180)+15×(200+40−200)=800元
∴该超市能获利800元．
【变式5-4】春节期间，南坪万达永辉超市准备从厂家购进甲、乙糖果进行销售，若甲种糖果每千克进
价比乙种糖果每千克进价多5元，且用6000元购进甲种糖果的数量是用2500元购进乙种糖果数量的2
倍．
(1)求每千克甲种糖果的进价是多少元？
(2)该超市准备将每千克甲种糖果的售价定为45元，每千克乙种糖果的售价定为36元．根据市场需求，
超市决定向厂家再购进一批糖果，且购进乙种糖果的数量比购进甲种糖果的数量的2倍还多100千克，
若本次购进的两种糖果全部售出后，总获利不少于19600元，求该超市本次购进甲种糖果至少是多少千
克？
【答案】(1)每千克甲种糖果的进价是30元
(2)该超市本次购进甲种糖果至少是500千克
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用；
（1）设每千克甲种糖果的进价是x元，则每千克乙种糖果的进价是(x−5)元，根据用6000元购进甲
种糖果的数量是用2500元购进乙种糖果数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）该超市本次购进甲种糖果是m千克，则购进乙种糖果(2m+100)千克，根据总获利不少于19600
元，列出一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
【详解】（1）设每千克甲种糖果的进价是x元，则每千克乙种糖果的进价是(x−5)元，6000 2500
由题意得： = ×2
x x−5
解得：x=30
经检验，x=30是分式方程的解，且符合题意，
答：每千克甲种糖果的进价是30元
（2）由（1）可知，x−5=30−5=25
该超市本次购进甲种糖果是m千克，则购进乙种糖果(2m+100)千克，
由题意得：(45−30)m+(36−25)(2m+100)≥19600
解得：m≥500
∵m为正整数，
∴m的最小值为500
答：该超市本次购进甲种糖果至少是500千克
【变式5-5】某超市用5000元购进一批新品种葡萄进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元
资金第二次购进该品种葡萄，但第二次的进货价比试销时每千克多了0.5元，第二次购进葡萄数量是试
销时的2倍．
(1)求试销时该品种葡萄的进货价是每千克多少元？
(2)求两次共购进葡萄多少千克？
【答案】(1)试销时该品种苹果的进货价是每千克5元；
(2)3000
【分析】本题考查了分式方程的应用．
（1）设试销时该品种葡萄的进货价是每千克x元，则实际进货价为(0.5+x)元，根据题意列出分式方
程求解即可；
（2）根据题意列式求解即可．
【详解】（1）解：设试销时该品种葡萄的进货价是每千克x元，则实际进货价为(0.5+x)元，
5000 11000
由题意得， ×2= ，
x x+0.5
解得：x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解，且符合题意．
答：试销时该品种苹果的进货价是每千克5元；
5000 11000
（2） + =3000（千克）
5 5+0.5
∴两次共购进葡萄3000千克．【变式5-6】某服装店用4000元购进一批运动衫，很快售完，该店又用6300元购进第二批这种运动衫，
所购进的件数比第一批多40%，每件运动衫的进价比第一批多10元．
(1)求购进第一批运动衫的件数；
(2)若在这两批运动衫的销售中，售价保持一致，且售完这两批运动衫，服装店的总利润不少于4100元，
那么服装店销售这种运动衫每件的最低售价是多少元？
【答案】(1)第一批购进运动衫50件
(2)该服装店销售该品牌运动衫每件最低售价为120元
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，
（1）设第一批购进运动衫x件，根据数量等于总价除以单价结合第二批每件运动衫的进价比第一批每
件运动衫的进价多10元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据第二批购进的件数比第一批多40%，可求出第二批的进货数量，设该服装店销售该品牌运动
衫每件的售价为y元，根据利润=销售单价×销售数量-进货总价，即可得出关于y的一元一次不等式，
解之取其内的最小值即可得出结论．
【详解】（1）解：（1）设第一批购进运动衫x件，
4000 6300
+10=
根据题意得： x 0 ，
(1+40 )x
0
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
答：第一批购进运动衫50件；
（2）解：第二批购进运动衫(1+40%)×50=70（件），
设该服装店销售该品牌运动衫每件的售价为y元，
根据题意得：(50+70)y−4000−6300≥4100，
解得：y≥120，
答：该服装店销售该品牌运动衫每件最低售价为120元．
【题型6 分式方程应用-方案问题】
【典例6】2023年杭州第19届亚运会的吉祥物由琮琮、莲莲、宸宸三个可爱的机器人组成，他们的成
团出道的组合名叫“江南忆”，出自诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”．某校准备举行亚运
会知识竞赛活动，购买30套吉祥物作为竞赛奖品，某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每
套贵20元，若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同．(1)求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，并且总费用不得超过2400元，试求该校一共有哪几种
购买方案？
(3)在（2）的条件下，直接写出该校购买30套吉祥物的最低费用．
【答案】(1)甲规格吉祥物每套70元，乙规格吉祥物每套90元
(2)该校一共有6种方案，分别为：甲规格吉祥物购买20套，乙规格吉祥物购买10套；甲规格吉祥物购
买19套，乙规格吉祥物购买11套；甲规格吉祥物购买18套，乙规格吉祥物购买12套；甲规格吉祥物购
买17套，乙规格吉祥物购买13套；甲规格吉祥物购买16套，乙规格吉祥物购买14套；甲规格吉祥物购
买15套，乙规格吉祥物购买15套
(3)2300元
【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，求代数式的值的应用，根据题意建立相
应的关系式是解题的关键．
（1）设甲规格吉祥物每套x元，则乙规格吉祥物每套(x+20)元，根据“用700元购买甲规格与用900
元购买乙规格的数量相同”列分式方程，求解即可；
（2）设乙规格吉祥物购买m套，总费用为w元，根据“购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍”列一
元一次不等式，求出m的取值范围，即可得解；
（3）由（2）知：含m的代数式表示出费用w，然后将m的值代入计算进行比较即可；
【详解】（1）解：设甲规格吉祥物每套x元，则乙规格吉祥物每套(x+20)元，
700 900
根据题意，得： = ，
x x+20
解得：x=70，
经检验，x=70是原方程的解且符合题意，
∴70+20=90（元），
答：甲规格吉祥物每套70元，乙规格吉祥物每套90元；
（2）解：设乙规格吉祥物购买m套，总费用为w元，
根据题意，得：30−m≤2m，
解得：m≥10，
又∵w=70(30−x)+90x=20m+2100≤2400，解得：m≤15，
∴10≤m≤15，
∵m为正整数，
∴m取10，11，12，13，14，15，
∴该校一共有6种方案，分别为：甲规格吉祥物购买20套，乙规格吉祥物购买10套；甲规格吉祥物购买
19套，乙规格吉祥物购买11套；甲规格吉祥物购买18套，乙规格吉祥物购买12套；甲规格吉祥物购买
17套，乙规格吉祥物购买13套；甲规格吉祥物购买16套，乙规格吉祥物购买14套；甲规格吉祥物购买
15套，乙规格吉祥物购买15套；
（3）解：由（2）知：w=20m+2100，
当m=10时，w=20×10+2100=2300（元），
当m=11时，w=20×11+2100=2320（元），
当m=12时，w=20×12+2100=2340（元），
当m=13时，w=20×13+2100=2360（元），
当m=14时，w=20×14+2100=2380（元），
当m=15时，w=20×15+2100=2400（元），
∴该校购买30套吉祥物的最低费用为2300元．
【变式6-1】学校举办以“诵读经典诗词，弘扬传统文化”为主题的诵读比赛，计划选购甲、乙两种图
书作为奖品，已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图
书要少10本．
(1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
(2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1020元，要使购买的甲种图书数量不少于
乙种图书的数量，则共有几种购买方案？
【答案】(1)甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元．
(2)共有3种方案．
【分析】本题考查分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，正确得出等量关系是解题关键．
（1）用总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元，根据两种
图书数量之间的关系列方程；
（2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书(40−a)本，根据“投入的经费不超过1020元，甲种图书
数量不少于乙种图书的数量”列出不等式组解决问题．
【详解】（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元，
600 600
由题意得： − =10，
x 1.5x解得：x=20，
经检验得出：x=20是原方程的根．
则1.5x=30，
答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元．
（2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书(40−a)本，
{30a+20(40−a)≤1020)
根据题意得： ，
a≥40−a
解得：20≤a≤22，
∴当a=20时，40−a=20，
当a=21时，40−a=19，
当a=22时，40−a=18，
∴共有3种方案．
【变式6-2】学校准备为运动会的某项活动购买A,B两种奖品，A中奖品的单价比B种商品的单价多2
元，用600元购进A种奖品和用570元购进B种商品的数量相同．
(1)A种商品和B种商品的单价分别是多少？
(2)学校计划用不超过1555元的资金购进A、B两种奖品共40件，其中A种奖品的数量不低于B种奖品
数量的一半，学校去购买的时候商店正在做促销活动，每件A种商品的售价优惠3元，B种商品的售价
不变，请为学校设计出最省钱的购买方案．
【答案】(1)A种商品的单价是40元，则B种商品的单价是38元
(2)最省钱的购买方案为购买A种商品40件，则购买B种商品0件
【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，理解题意，弄清数量关系是
解题关键．
（1）设A种商品的单价是x元，则B种商品的单价是(x−2)元，根据题意列出分式方程，求解并检验，
即可获得答案；
（2）设购买A种商品m件，则购买B种商品(40−m)件，根据题意列出一元一次不等式组并求解，结合
实际即可获得答案．
【详解】（1）解：设A种商品的单价是x元，则B种商品的单价是(x−2)元，
600 570
根据题意，可得 = ，
x x−2
解得 x=40（元），
经检验，x=40是该分式方程的解，所以x−2=38（元）．
答：A种商品的单价是40元，则B种商品的单价是38元；
（2）设购买A种商品m件，则购买B种商品(40−m)件，
{(40−3)m+38(40−m)≤1555
)
根据题意，可得 1 ，
m≥ (40−m)
2
40
解得m≥ ，
3
根据题意，A种商品的售价优惠3元，即实际售价为37元，
而B种商品的售价不变，为38元，
∵37<38，
∴A种商品数量越多越省钱，
所以应购买A种商品40件，
即最省钱的购买方案为购买A种商品40件，则购买B种商品0件．
【题型7 分式方程应用-其他问题】
【典例7】某茶具生产车间有25名工人生产茶壶和茶杯，1个茶壶和6个茶杯配成一套．已知一名工人
一天可以生产3个茶壶或7个茶杯．
(1)要使一天生产的茶壶和茶杯正好配套，应分别安排多少名工人生产茶壶和茶杯？
(2)10月一套茶具的成本比9月提高了20%，9月投入了10万元，10月投入的比9月多5000元，结果生
产的茶具比9月少50套，求10月每套茶具的成本是多少元？
【答案】(1)安排7名工人生产茶壶，安排18名工人生产茶杯使一天生产的茶壶和茶杯正好配套．
(2)300元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，解答的关键是理解清楚题意，找到
其中的数量关系．
（1）根据生产总量=每人生产的数量×人数，得到每天生产的茶壶的数量，每天生产的茶杯的数量，根
据题意列出方程求解．
（2）设9月的成本是每套y万元，则10月的成本是每套(1+20%)y万元，根据题意列出分式方程求解．
【详解】（1）解：设安排x名工人生产茶壶，则安排(25−x)名工人生产茶杯，
每天生产的茶壶数为：3x个，每天生产的茶杯为：7(25−x)个，
根据题意得：6×3x=7(25−x)，
解得x=7，25−7=18，
答：应安排7名工人生产茶壶，安排18名工人生产茶杯使一天生产的茶壶和茶杯正好配套．
（2）解：设9月的成本是每套y万元，则10月的成本是每套(1+20%)y万元，
根据题意得
10 10+0.5
= +50，
y (1+20%)y
解得y=0.025，
经检验，y=0.025是原方程的解，
∴0.025×(1+20%)×10000=300（元）．
答：10月每套茶具的成本是300元．
【变式7-1】某国产新能源汽车在国内国际市场销售屡创佳绩，体现了中国制造的“大国风范”．为进
一步提升市场占有率，决定增加产量600万台．自2020年初开始实施后，实际每年产量是原计划的1.2
倍，照此进度预计可提前2年完成任务．
(1)原计划每年产量为多少万台？
(2)为更快实现目标，该品牌决定加快生产速度，要求从2023年初后续不超过5年完成，那么实际平均
每年产量至少还要增加多少万台？
【答案】(1)原计划每年产量为50万台
(2)实际平均每年产量至少还要增加36万台
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程和一元
一次不等式是解此题的关键．
（1）设原计划每年产量为x万台，则实际每年产量就是1.2x万台，根据“预计可提前2年完成任务”
列出分式方程，解分式方程即可得出答案；
（2）由（1）可得，实际每年产量就是1.2x=60万台，设实际平均每年产量至少还要增加a万台，根据
“要求从2023年初后续不超过5年完成”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案．
【详解】（1）解：设原计划每年产量为x万台，则实际每年产量就是1.2x万台，
600 600
由题意得： = +2，
x 1.2x
解得：x=50，
经检验，x=50是分式方程的解且符合题意，
∴原计划每年产量为50万台；
（2）解：由（1）可得，实际每年产量就是1.2x=60万台，
设实际平均每年产量至少还要增加a万台，由题意得：(60+a)×5≥600−2×60，
解得：a≥36，
∴实际平均每年产量至少还要增加36万台．
【变式7-2】随着农业科技的发展，市场对某型号的小型耕田机的需求越来越大，为满足市场需求，某
小型耕田机生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产24台小型耕田
机，现在生产600台小型耕田机所需的时间与更新技术前生产400台小型耕田机所需时间相同，更新技
术后每天生产多少台小型耕田机？
【答案】更新技术后每天生产72台小型耕田机
【分析】本题主要考查了分式方程的应用， 设更新技术后每天生产x台小型耕田机，则更新技术前每
天生产(x−24)台小型耕田机，根据现在平均每天比更新技术前多生产24台小型耕田机列出分式方程求
解即可得出答案．
【详解】解：设更新技术后每天生产x台小型耕田机，
400 600
由题意可列方程： =
x−24 x
解得：x=72
经检验x=72是原方程的解
答：更新技术后每天生产72台小型耕田机．
【变式7-3】2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等
方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，燃油汽车行驶1千
米所需的油费比电费多0.6元，若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的
4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
【答案】这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中等量关系，设出
未知数，列出方程，注意不要忘记检验．设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，得到燃油汽车
行驶1千米所需的油费(x+0.6)元，根据题意可得等量关系：燃油汽车所需油费300元所行驶的路程
×4=电动汽车所需电费300元所行驶的路程，根据等量关系列出方程求解，即可解题．
【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，300 300
根据题意，得 = ×4，
x x+0.6
解得x=0.2，
经检验，x=0.2是原方程的根，
答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元．
【变式7-4】经销商小李需要购进一批学生画图工具6000套，为此考察了甲、乙两个文具加工厂．已
知甲厂的加工能力是乙厂的1.5倍，且甲厂单独加工这批画图工具所需要的天数比乙厂单独加工这批画
图工具所需要的天数少10天，还了解到这种画图工具甲厂的出厂价格为6元/套，乙厂的出厂价格为
5.6元/套．
(1)求甲、乙两个加工厂每天能加工这种画图工具各多少套？
(2)小李计划从甲、乙两厂购买这种画图工具，且费用不超过35400元，他最多能向甲工厂购买多少套
这种画图工具？
【答案】(1)甲工厂每天可加工这种画图工具300套，乙工厂每天可加工这种画图工具200套
(2)4500套
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设乙工厂每天可加工这种画图工具x套，则甲工厂每天可加工这种画图工具1.5x套，根据甲厂单
独加工这批画图工具所需要的天数比乙厂单独加工这批画图工具所需要的天数少10天，列出分式方程，
进行求解即可；
（2）设小李向甲工厂购买y套，根据题意，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设乙工厂每天可加工这种画图工具x套，则甲工厂每天可加工这种画图工具1.5x套，
6000 6000
根据题意，可得 − =10，
x 1.5x
解得x=200，
经检验，x=200是原方程的解，且符合题意．
1.5x=300．
答：甲工厂每天可加工这种画图工具300套，乙工厂每天可加工这种画图工具200套．
（2）设小李向甲工厂购买y套．
根据题意，得6 y+5.6(6000−y)≤35400，
解得y≤4500．
答：小李最多能向甲工厂购买4500套画图工具．
【变式7-5】为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代，其中甲类生产线有10条，乙类生产线有20条．经测算，购买更新1条甲类生产线的
设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和
用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少
资金更新生产线的设备？
【答案】1330万元．
【分析】题目主要考查分式方程的应用，设购买更新1条乙类生产线的设备需投入m万元，则购买更新
1条甲类生产线的设备需投入(m+5)万元，根据题意列出分式方程求解即可，理解题意是解题关键．
【详解】解：设购买更新1条乙类生产线的设备需投入m万元，则购买更新1条甲类生产线的设备需投
入(m+5)万元，
200 180
根据题意得： = ，
m+5 m
解得：m=45，
经检验，m=45是所列分式方程的解，且符合题意，
∴10(m+5)+20m−70=10×(45+5)+20×45−70=1330．
答：还需投入1330万元资金更新生产线的设备．
