文档内容
15.3.2 分式方程及其解法（2） 教学设计
一、教学目标：
1.进一步熟练掌握解分式方程的基本思路和解法.
2.能解决根据分式方程根的情况，确定字母的值或取值范围.
3.理解分式方程可能无解(即产生增根)的原因.
二、教学重、难点：
重点：能熟练解可化为一元一次方程的分式方程，并会验根.
难点：了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母的
值.
三、教学过程：
复习回顾
一、 分式方程的定义？
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
二、解分式方程的步骤？
1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式
方程的解，否则原分式方程无解；
4.写出原方程的根.
三、解分式方程的一般步骤如下：
解下列分式方程：
2x x 1 2 12
(1) - =1； (2) - = ．
x+2 x-1 x+3 3-x x2-9
（1）解：方程两边同时乘以最简公分母(x+2)(x-1)得∶2x(x-1)-x(x+2)=(x+2)(x-1)
2
解得 x=
5
2
检验：当x= 时，(x+2)(x-1)≠0，
5
2
∴x= 是原方程的的解．
5
（2）解：方程两边同时乘以最简公分母(x+3)(x-3)得
x-3+2(x+3)=12，
x-3+2x+6=12，
3x=9，
x=3．
检验：当x=3时，(x+3)(x-3)=0，
∴x=3是原方程的增根，
∴分式方程无解．
典例解析
1-m 2
例1.若关于x的分式方程 -1= 的解是正数，则m的取值范围是（ ）
x-1 1-x
A.m<4或m≠3 B.m<4C.m≤4且m≠3 D.m>5且m≠6
1-m 2
【分析】 -1= ，
x-1 1-x
去分母，得1-m-(x-1)=-2，
去括号，得1-m-x+1=-2，
移项，合并得x=4-m，
∵方程的解为正数，
∴4-m>0且4-m ≠1，
解得m<4且m≠3.
【点睛】求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式
求解，特别注意分母不能为0.
2x-a 1
例2.若关于x的分式方程 - =5的解为非负数，则a的取值范围为___________．
x-1 1-x
【分析】方程两边同时乘以（x-1）得：2x-a+1=5（x-1），
6-a
解得：x= ,
3
∵解为非负数，
6-a
∴ ≥0
3
解得：a≤6，
∵x-1≠0，
∴x≠1，
6-a
∴ ≠1
3
∴a≠3，
故答案为：a≤6且a≠3．
x m
【针对练习】已知分式方程 -1= 的解为非负数，求m的取值范围．
x-1 (x-1)(x+2)
解：去分母，得：x(x+2)-(x-1)(x+2)=m，
解得：x=m-2，
∵x为非负数，
∴m-2≥0，
即m≥2，
∵x≠1，x≠-2时分式有意义，
∴m-2≠1，m-2≠-2，
∴m≠3，m≠0，
∴m的取值范围为m≥2且m≠3．
2m m+1 1
例3.若关于x的方程 - = 有增根，求实数m的值．
x+1 x2+x x
解：∵该方程的最简公分母是x(x+1)，
∴该方程的增根为x=0或x=-1，
方程两边同乘以x(x+1)得， 2mx-(m+1)=x+1，
当x=0时， 2m×0-(m+1)=0+1，
解得m=-2；
当x=-1时， 2m×(-1)-(m+1)=-1+1，1
m=- ，
3
1
∴实数m的值为-2或- ．
3
x m
例4.分式方程： ﹣1＝ 有增根，求m值．
x-1 (x-1)(x-2)
x m
解： ﹣1＝
x-1 (x-1)(x-2)
去分母，得：x(x-2)-(x-1)(x-2)=m，
整理，得：m＝x﹣2．
令(x-1)(x-2)=0，
得：x＝1或x＝2，
∴分式方程的增根是x＝1或x＝2．
当x＝1时，m＝x﹣2＝1﹣2＝﹣1，
当x＝2时，m＝x﹣2＝2﹣2＝0，
x
当m＝0时，原分式方程转化为 ﹣1＝0，
x-1
∴x-(x-1)=0，此方程无解，原分式方程没有增根，
∴m＝0与题意不符，舍去．
综上所述：m＝﹣1．
a x
【针对练习】a为何值时，关于x的方程2+ ＝ 有增根？
x-3 x-3
a x
解：2+ ＝ ，
x-3 x-3
方程两边都乘（x﹣3），
2（x﹣3）+a＝x
2x﹣6+a＝x
因为方程有增根，所以x＝3
所以2×3﹣6+a＝3
所以 a＝3
a x
所以当a＝3时，关于x的方程2+ ＝ 有增根
x-3 x-3mx 4
例5.若关于x的分式方程 = +1无解，求m的值？
x-2 x-2
解：去分母，得：mx=4+(x-2)，
移项合并，得：(m-1)x=2，
当m-1=0时，即m=1时，该方程无解；
当原方程有增根时，分母x-2=0，增根x=2，
将x=2代入整式方程(m-1)x=2，
得：2(m-1)=2，
解得m=2，
即当m=2时，原分式方程有增根x=2，原方程也无解．
∴若原分式方程无解，则m=1或m=2．
1 m m+3
例6.若关于x的方程 + = 无解，求m的值．
x-4 x+4 x2-16
解：方程两边同时乘以(x-4)(x+4)，
得：x+4+m(x-4)=m+3，
整理得：(m+1)x=5m-1，
当m+1=0时，一元一次方程无解，
此时m=-1，
5m-1
当m≠-1时，x= ，
m+1
1 m m+3
∵关于x的方程 + = 无解，
x-4 x+4 x2-16
∴x=±4，
5m-1
当 =4时，解得：m=5；
m+1
5m-1 1
当 =-4时，解得：m=- ；
m+1 3
1
综上：m的值-1或5或- ．
3
2-kx 1
【针对练习】若分式方程：3+ = 无解，求k的值．
x-3 3-x
2-kx 1
解：3+ =
x-3 3-x
去分母得：3(x-3)+2-kx=-1，整理得：(3-k)x=6，
∴当3-k=0时或x-3=0时原方程无解，
当3-k=0时，k=3，
当x-3=0时，即x=3时，(3-k)×3=6，得k=1，
∴当k=3或k=1时，原方程无解.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
x m
1.已知关于x的方程 -2= 的解是正数，那么m的取值范围为( )
x-3 3-x
A．m>-6且m≠3 B．m<6
C．m>-6且m≠-3 D．m<6且m≠2
mx-1 1
2.关于x的方程 + =2，有整数解，则满足条件的整数m的值有（ ）
x-2 2-x
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
ax 6
3．关于x的方程 =1- 无解，则a的值为（ ）
x-2 2-x
A．1 B．3 C．1或-3 D．1或3
x+2 a
4．若整数a满足关于x的分式方程3- = 的解为非负整数，且使关于 y的不等式组
x-1 1-x
y-2a
{&
≤2
3
的解集为y≤1，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
y+1 y-3 7
& - ≤
3 4 6
A．5 B．8 C．9 D．12
2 3
5.若关于x的分式方程 = 有负数解，则m的取值范围为
x+m x+3
________________．
1 k-1
6.关于x的分式方程 ＋2＝ 的解为正实数，则k的取值范围是
x-2 x-2
________________．ax+1 4
7.关于x的分式方程 = +1无解，则a的值是______．
x-1 x-1
1 a+1
8.若分式方程 +3= 有增根，求a的值．
x-2 x-2
x m x
9.关于x的方程 + = 无解，求m的值．
x-1 x-1 x+1
3 x
10．已知分式方程 - =■有解，其中“■”表示一个数．
1+x 1+x
(1)若“■”表示的数为7，求分式方程的解；
(2)嘉淇回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错了，导致找不到原题目了，但可以肯定的是
“■”是-1，0这两个数中的一个．请你帮助嘉淇确定“■”表示的数，并求原分式方程的解．
【参考答案】
1. C
2. C
3. D
4. C
5. m>2且m≠3
6. k＞-2且k≠2
7. 1或3
8.解：方程两边都乘(x-2)，
得1+3(x-2)=a+1，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x-2=0，
解得x=2，
当x=2时，a=0．
9.解：分式方程两边同乘以(x-1)(x+1)得：
x(x+1)+m(x+1)=x(x-1)，
整理得：(m+2)x=-m，
∴当m+2=0，即m=-2时，方程(m+2)x=-m无解，则原分式方程无解；
当m+2≠0时，
∵原分式方程无解，
∴(x-1)(x+1)=0，∴x-1=0或x+1=0，
当x-1=0时，即x=1，
把x=1代入(m+2)x=-m得：m+2=-m，
解得：m=-1；
当x+1=0时，即x=-1，
把x=-1代入(m+2)x=-m得：-m-2=-m，此时m的值不存在，
∴当原分式方程无解时，m的值为－2或－1．
3 x
10.（1）解：根据题意得： - =7，
1+x 1+x
去分母得：3-x=7+7x，
1
解得：x=- ，
2
1
检验：把x=- 代入得：1+x≠0，
2
1
∴分式方程的解为x=- ；
2
3 x
（2）解：若“■”是-1，则有 - =-1，
1+x 1+x
去分母得：3-x=-1-x，该方程无解，
∴分式方程无解；
3 x
若“■”是0，则有 - =0，
1+x 1+x
去分母得：3-x=0，
解得：x=3，
检验：把x=3代入得：1+x≠0，
∴分式方程的解为x=3，
综上所述：“■”表示的数是0，分式方程的解为x=3．
四、教学反思：
