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专题15.17 分式方程（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点提醒：
（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含
有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
【知识点2】分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉
分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分
式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因
式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最
简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
【知识点3】解分式方程产生增根的原因
方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.
产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，
对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增
根.
要点提醒：
（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘
以（或
除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，
那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.
（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，
而是
检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.
【知识点3】分式方程的应用
分式方程的应用主要就是列方程解应用题.
列分式方程解应用题按下列步骤进行：
（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；
（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
（4）解这个分式方程；
（5）验根，检验是否是增根；
（6）写出答案.
【考点目录】
【考点1】判别分式方程； 【考点2】解分式方程；
【考点3】分式方程的增根与无解； 【考点4】分式方程的应用；
【考点一】判别分式方程；
【例1】（2020下·陕西·八年级校考专题练习）在下列方程：① 、② 、③ 、
④ 、⑤ ⑥ ，⑦ ，⑧ ，⑨ 中，哪些是分式
方程，并说明理由．
【答案】③④⑤⑦,详见分析
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
解：方程①②⑥⑧分母中不含未知数，故①②⑥⑧不是分式方程；
方程③④⑤⑦分母中含表示未知数的字母，故是分式方程；
方程⑨属于无理方程．
【点拨】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，
也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
【举一反三】
【变式1】（2021上·河北石家庄·八年级石家庄市第二十七中学校考阶段练习）下列各式中是分式方
程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式方程的定义，即可得出答案．
解：A、 不是方程，故本选项不符合题意；
B、 是整式方程，不是分式方程，故本选项不符合题意；C、 是整式方程，不是分式方程，故本选项不符合题意；
D、 是分式方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了分式方程的定义，熟练掌握分母中含有未知数的方程是分式方程是解题的关
键．
【变式2】（2023上·八年级课时练习）有下列方程：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；
⑧ ；⑨ ，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序
号）
【答案】 ①②⑥⑦ ③④⑤⑨
【分析】根据整式方程和分式方程的定义逐项判断即可．
解：∵① 为整式方程；② 为整式方程；③ 为分式方程；④ 为分
式方程；⑤ 为分式方程；⑥ 为整式方程；⑦ 为整式方程；⑧ 为不是
方程；⑨ 为分式方程．
∴整式方程的是①②⑥⑦，分式方程的是③④⑤⑨．
故答案为：①②⑥⑦，③④⑤⑨．
【点拨】本题考查判断整式方程和分式方程．解题的关键是掌握整式方程是指方程里所有的未知数都
出现在分子上，分母只是常数而没有未知数的一类方程；分式方程是指分母里含有未知数或含有未知数整
式的有理方程．
【考点二】解分式方程；
【例2】（2023上·湖南岳阳·八年级校考期中）解方程：
（1） ； （2）
【答案】（1）无解；（2）【分析】本题考查了解分式方程；
（1）方程两边同时乘以 ，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验；
（2）方程两边同时乘以 ，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．
解：（1） ；
去分母， 得
解得： ．
检验：把 代入最简公分母： ．
故 是增根， 原分式方程无解．
（2）
解：去分母，得
去括号，得
解得
检验：当 时， ，
原分式方程的解．
【举一反三】
【变式1】（2023上·河北石家庄·八年级统考期中）嘉淇解分式方程 的过程如下：
解：去分母，得 ①
去括号，得 ②
移项、合并同类项，得 ③
因为 时，各分母均不为0，
所以，原分式方程的解是 ． ④
以上步骤中，最开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④【答案】B
【分析】此题考查了解分式方程，写出分式方程的正确解题过程即可作出判断．熟练掌握分式方程的
解法是解本题的关键．
解：
去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
因为 时，各分母均不为0，
所以，原分式方程的解是 ．
所以以上步骤中，最开始出错的一步是②．
故选：B．
【变式2】（2023上·山东东营·八年级校考期中）已知代数式 与 的值互为倒数，则
．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程、倒数的性质，根据题意得到 ，然后解方程即可，最
后要检验，解题的关键是根据倒数概念正确列出方程、解方程．两个数互为倒数相乘为1．
解：∵代数式 与 的值互为倒数，
∴
∴
解得 ，
检验：将 代入 ，
∴ ．故答案为： ．
【考点三】分式方程的增根与无解；
【例3】（2023上·河北保定·八年级定兴二中校考期中）已知关于 的方程 ．
（1）当 时，求该方程的解；
（2）若方程有增根，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）把 代入方程中，根据解分式方程的步骤，两边同时乘以最简公分母，转化为整式
方程，解出整式方程的解后要检验是否是分式方程的解；
（2）方程两边同乘最简公分母，转化为整式方程，求解整式方程的解，由于原分式方程有增根，故
整式方程的解让最简公分母等于0，代入即可求出k的值．
解：（1）当 时，原方程为： ，
方程两边同乘 ，得 ，
解得： ，
检验：当 时， ，
∴ 是原分式方程的解．
（2）
方程两边同乘 ，得 ，
解得： ，
∵方程有增根，
∴当 时， ，即 ，
解得： ．
【举一反三】
【变式1】（2023下·四川资阳·八年级统考期末）若关于 的方程 有增根，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】首先将原分式方程去分母化为整式方程得到， ，并进一步整理，由方程有增根，
可知 是方程的增根，将 代入得到的整式方程中，计算即可得出结论．
解：由 得： ，
∴ ，
∵方程有增根，
∴ ，即 ，
解得： ，
故选： ．
【点拨】此题考查了分式方程及增根的定义知识，熟练掌握分式方程的解法是关键．
【变式2】（2023下·四川达州·八年级统考期末）若去分母解分式方程 会产生增根，
则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据解分式方程的方法，分式方程产生增根的概念，即可求解．
解：
移项得，
分式加减得，
去分母得，
去括号，移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为 得， ，
∵原分式方程会产生增根，即 ，
∴ ，
∴ ，解得， ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查解分式方程，增根的概念的理解，掌握解分式方程的方法，分式方程增根的概
念是解题的关键．【例4】（2023上·湖南永州·八年级统考期中）已知关于 的方程 ．
（1）当 ， 时求分式方程的解；
（2）当 时，求 为何值时，分式方程 无解．
【答案】（1） ；（2）当 或3或9时原方程无解．
【分析】本题主要考查解分式方程．
（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即
可．
（1）解：当 ， 时，分式方程为 ，
去分母得： ，
解得： ，
经经验 是原方程的解；
（2）解：当 时，分式方程为 ，
去分母得： ，
整理得， ，
（1）当整式方程无解时， ， ，
（2）当分式方程产生增根时，增根为 或 ，
①当 时， ， ，
②当 时， ， ，
综上所述，当 或3或9时原方程无解．
【举一反三】
【变式1】（2023·山西晋中·校联考模拟预测）分式方程 的解是（ ）A． B． C．无解 D．
【答案】C
【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程求解，再进行检验即可．
解： ，
去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项合并，得： ，
检验，当 时， ，即 是原分式方程的增根，
∴原分式方程解．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了解分式，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤．
【变式2】（2022上·北京海淀·八年级清华附中校考阶段练习）若关于 的分式方程 无
解．则 的值为 ．
【答案】1
【分析】解分式方程得 ，由分式方程无解可得 ，从而可得 ，进行计算即可得到
答案．
解：去分母得： ，
去括号得： ，
解得： ，
关于 的分式方程 无解，
，
，
，
解得： ，
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查了分式方程无解的问题、解分式方程，分式方程无解有两种情况：一种是把分
式方程化成整式方程后，整式方程无解；一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使
分式方程的分母为0，是增根．【考点四】分式方程的应用；
【例5】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）某花卉种植基地决定采购甲、乙两种兰花进
行培育，每株甲种兰花的成本比每株乙种兰花的成本多 元，且用 元购进的甲种兰花与用 元购
进的乙种兰花数量相同．
（1）求甲、乙两种兰花每株成本分别是多少元．
（2）该基地决定在成本不超过 元的前提下，培育甲、乙两种兰花，若培育乙种兰花的株数比培
育甲种兰花的株数的 倍还多 株，求最多购进甲种兰花多少株？
【答案】（1）每株甲种兰花的成本为 元，每株乙种兰花的成本为 元；（2）最多购进甲种兰
花 株．
【分析】（ ）如果设每株乙种兰花的成本为 元，由“每株甲种兰花的成本比每株乙种兰花的成本多
元”，可知每株甲种兰花的成本为 元，根据题中等量关系列出方程；
（ ）设购进甲种兰花 株，根据乙种兰花的株数比甲种兰花的 倍还多 株，成本不超过 元，
列出不等式即可；
此题考查一元一次不等式应用，分式方程的应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式．
解：（1）设每株乙种兰花的成本为 元，则每株甲种兰花的成本为 元由题意得，
，
解得， ，经检验 是分式方程的解，
∴ ，
答：每株甲种兰花的成本为 元，每株乙种兰花的成本为 元；
（2）设购进甲种兰花 株，
由题意得 ，
解得， ，
∵ 是整数，
∴ 的最大值为 ，
答：最多购进甲种兰花 株．
【举一反三】
【变式1】（2023上·山东泰安·八年级校考阶段练习）A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流
航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为 千米/时，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度 水流速度．根据往返时间为9小时即可
建立分式方程．
解：由题意得：顺水速度为： 千米/时，逆水速度为 千米/时
故方程为：
故选：A
【点拨】本题考查列分式方程．抓住顺水速度=水流速度+静水速度，逆水速度=水流速度 静水速度是
解题关键．
【变式2】（2023上·山东东营·八年级统考期中）某工厂接到加工600件衣服的订单，预计每天做25
件，正好按时完成，后因客户要求提前3天交货，工人则需要提高每天的工作效率，设工人每天应多做
件，依题意列方程正确的是 .
【答案】
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设工人每天应多做 件，根据关键描述语“提前3天
交货”得到等量关系为“原来所用的时间 实际所用的时间 ”，由此列出方程即可．弄清题目中的等量
关系时解答本题的关键．
解：设工人每天应多做 件，则原来所用的时间为： 天，实际所用的时间为： ．
∴所列方程为： ．
故答案为：．
