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2022-2023 学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
15.3 分式方程
题型导航
题型1
分式方程的判断
分 题型2
分式方程无解问题
式
题型3
列分式方程
方
题型4
解分式方程
程
题型5
分式方程的应用
题型变式
【题型1】分式方程的判断
1．（2022·山东枣庄·八年级阶段练习）下列方程① ，② ，③ ，④ 中，
是关于x的分式方程的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据分式方程的定义，即可判断．
【详解】解：① 是关于y的分式方程；② 是关于x的分式方程；③ 是关于x的整式方程；④ 是关于x的整式方程；
所以关于x的分式方程共有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就
是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
【变式1-1】
2．（2021·全国·九年级专题练习）在方程 中，分式方程有______个．
【答案】3
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】解：在方程 中，分式方程有 ， 一
共3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就
是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
【题型2】分式方程无解问题
1．（2022·新疆·石河子第九中学八年级期末）若关于x的方程 ﹣2＝ 有增根，则m的值应为
（ ）
A．2 B．-2 C．5 D．-5
【答案】C
【分析】根据增根的意义及产生原因解答．
【详解】解：由题意可得：
x=5且x-2（x-5）=m，
∴m=5-0=5，
故选C．【点睛】本题考查分式方程的应用，熟练掌握增根的意义及产生原因是解题关键．
【变式2-1】
2．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学八年级阶段练习）若关于 的分式方程 无解，则
a的值为____．
【答案】1或-2
【分析】将分式方程化为整式方程，根据分式方程无解，分为整式方程无解和分式方程有增根两种情况进
行解题即可．
【详解】解：方程两边同乘 得： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
①当整式方程无解时： 0，解得： ，
②当分式方程有增根时： 0，解得：x=0或 ，
当 0时，整式方程无解，
当 ： ，解得： ；
故答案为：1或-2．
【点睛】本题考查分式方程无解时求参数的值，注意分式方程无解有两种情况：整式方程无解或分式方程
有增根．
【题型3】列分式方程
1．（2022·新疆·库车市第七中学八年级期末）甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，
甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方
程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设甲班每天植树x棵，则乙班每天植树（x-5）棵，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲班植80棵树所用时间与乙班植70棵树所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设甲班每天植x棵，
则乙班每天植树（x-5）棵，
那么甲班植80棵树所用的天数应该表示为： ，
乙班植70棵树所用的天数应该表示为： ，
所列方程为： ．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式3-1】
2．（2022·上海外国语大学附属双语学校八年级期中）某工人要完成 个零件，起初机器出现故障，每
分钟比原计划少加工 个零件，加工 个零件后，换了一台新机器，每分钟比原计划多加工 个零件．已
知用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少 分钟，设原计划每分钟加工 个零件，则
可列方程为：______．
【答案】
【分析】根据题意可知：用新机器加工零件的时间比前面用旧机器加工零件的时间少 分钟，即可列出相
应的分式方程．
【详解】解：由题意可得：
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的
方程．
【题型4】解分式方程
1．（2022·陕西省西安爱知中学九年级开学考试）解分式方程： ．【答案】
【分析】方程两边同时乘以 ，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．
【详解】解：方程两边同时乘以 ，得，
，
，
，
解得 ，
检验：当 时， ，
∴ 是原方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，正确的计算是解题的关键．
【变式4-1】
2．（2021·山东·滨州市滨城区教学研究室八年级期末）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程
的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
（1）
解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，所以 是分式方程的解；
（2）
解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得：
解得： ，
检验：当 时， ，
所以 是分式方程的解；
【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求
解．解分式方程一定注意要验根．
【题型5】分式方程的应用
1．（2022·上海嘉定·九年级阶段练习）2022年北京冬残奥会开幕式门票主要有两种订购渠道，已知网上订
购比电话订购每张优惠40元．小王准备用4800元以网上订购的方式订购该门票，结果比电话订购多订购
到6张门票，求电话订购每张门票价格是多少元？
【答案】电话订购每张门票价格是200元．
【分析】设电话订购每张门票价格是x元，根据“网上订购比电话订购每张优惠40元．小王准备用4800
元以网上订购的方式订购该门票，结果比电话订购多订购到6张门票”，列出分式方程，进行求解即可．
【详解】解：设电话订购每张门票价格是x元，
由题意： ，
解得： ， ，
检验： ， 都是原方程的解，
但 不符合题意，舍去，
∴x＝200．
答：电话订购每张门票价格是200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式5-1】
2．（2022·辽宁·丹东市第十七中学八年级期末）随着樱桃的陆续成熟，市场上樱桃的价格有所下调，今天
较昨天每斤降价2元，昨天88元买到的樱桃今天只要80元就能买到，请你算一算今天的樱桃卖多少钱一
斤？
【答案】今天的樱桃卖20元一斤
【分析】设今天的樱桃卖x元一斤，则昨天的樱桃卖 元一斤根据昨天88元买的樱桃数量=今天80元
买的樱桃数量，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设今天的樱桃卖x元一斤，则昨天的樱桃卖 元一斤，根据题意得：
，
解得： ，
经检验 是原方程的根，且符合实际，
答：今天的樱桃卖20元一斤．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意找出题目中的等量关系式，列出方程是，是解题的关
键，注意解分式方程要进行检验．
专项训练
一．选择题
1．（2023·安徽·九年级专题练习）已知关于 的方程： ，则对这个方程的解的描述正确的
是（ ）
A．解为 B．解为 C．解为 D．无解
【答案】D
【分析】按照解分式方程的步骤解方程后，根据解的情况进行判断即可．【详解】解：
两边同乘以（x－3）得，
2－x＝﹣1－2（x－3）
解得，x＝3
当x＝3时，x－3＝0，
∴ x＝3是增根，原方程无解．
故选：D
【点睛】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
2．（2022·浙江温州·七年级阶段练习）若x≠y，则下列分式化简中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：A. ∵当x=1，y=2时， ， ，∴ ，故不正确；
B. ∵当x=1，y=3时， ， ，∴ ，故不正确；
C. ，正确；
D. ∵当x=1，y=2时， ， ，∴ ，故不正确；
故选C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分
式的值不变．
3．（2021·广西百色·中考真题）方程 ＝ 的解是（ ）．
A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝3
【答案】D
【分析】根据解分式方程的方法求解，即可得到答案．【详解】∵ ＝
∴
∴
经检验，当 时， 与 均不等于0
∴方程 ＝ 的解是：x＝3
故选：D．
【点睛】本题考查了解分式方程的知识点；解题的关键是熟练掌握分式方程的解法，从而完成求解．
4．（2022·江苏·八年级专题练习）已知一个三角形三边的长分别为6，8，a，且关于y的分式方程
的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．20 B．18 C．17 D．15
【答案】D
【分析】根据三边关系，即可求出a的取值范围，再求出分式方程的解，利用分式方程的解为非负数建立
不等式，即可求出a的范围，注意分母不能为0．最后综合比较即可求解．
【详解】解：∵一个三角形三边的长分别为6，8，a，
∴8−6＜a＜8＋6．即：2＜a＜14，
∵ ，
∴y＝6−a，
∵解是非负数，且y≠3，
∴6−a≥0，且6−a≠3，
∴a≤6且a≠3，
∴2＜a≤6且a≠3，
∴符合条件的所有整数a为：4或5或6．
∴符合条件的所有整数a的和为：4＋5＋6＝15．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形三边关系、求解分式方程、一元一次不等式等知识，关键在于利用分式方程的
解为非负数，建立不等式，同时一定要注意分母不为0的条件．属于中考填空或者选择的常考题．
5．（2021·全国·八年级专题练习）民勤六中九年级的几名同学打算去游学，包租一辆面包车的租价为360元，出发时又增加了5名同学，结果每个同学比原来少分担了6元钱的车费．原有人数为x，则可列方程
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设原有人数为x人，根据增加之后的人数为（x+5）人，根据增加人数之后每个同学比原来少分担
了6元车费，列方程．
【详解】解：设原有人数为x人，根据则增加之后的人数为（x+5）人，
由题意得， ．
即 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的
等量关系，列方程即可．
二、填空题
6．（2021·全国·八年级课时练习）若分式 有意义，则x的取值范围是____．
【答案】x≠−2
【分析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解．
【详解】解：根据题意得，x＋2≠0，
解得x≠−2．
故答案是：x≠−2．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，根据分母不等于0列式是解题的关键．
7．（2021·全国·八年级专题练习）某人上山，下山的路程都是 ，上山速度 ，下山速度 ，则这个人上
山和下山的平均速度是______．
【答案】
【分析】平均速度=总路程÷总时间，根据公式列式化简即可．【详解】解：由题意上山和下山的平均速度为： .
故答案为： ．
【点睛】本题考查列分式，分式的加法和除法，总路程包括往返路程，总时间包括上山时间和下山时间．
解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
8．（2022·全国·八年级单元测试）受疫情的影响，“84”消毒液需求量猛增，某商场用4000元购进一批
“84”消毒液后，供不应求，商场又用6750元购进第二批这种消毒液，所购的瓶数是第一批瓶数的1.5倍，
但每瓶单价贵了1元，则该商场第一批购进“84”清毒液每瓶的单价为______元．
【答案】8
【分析】设该商场第一批购进“84”清毒液每瓶的单价为x元，根据所购的瓶数是第一批瓶数的1.5倍列分
式方程解答．
【详解】解：设该商场第一批购进“84”清毒液每瓶的单价为x元，由题意得
，
解得x=8，
经检验，x=8是原方程的解，
故答案为：8．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意列得分式方程是解题的关键．
9．（2021·海南·九年级专题练习）若方程 的解与方程 的解相同，则 ________．
【答案】
【分析】求出第二个分式方程的解，代入第一个方程中计算即可求出a的值．
【详解】解：方程 去分母得：3x＝6，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解，
根据题意将x＝2代入第一个方程得：
解得： ，经检验 是原分式方程的解，
则 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
10．（2021·全国·八年级单元测试）某校学生捐款支援地震灾区，第一次捐款的总额为6600元，第二次捐
款的总额为7260元，第二次捐款的总人数比第一次多30人，而且两次人均捐款额恰好相等，则第一次捐
款的总人数为________人．
【答案】300
【分析】先设第一次的捐款人数是x人，根据两次人均捐款额恰好相等列出方程，求出x的值，再进行检
验即可求出答案．
【详解】解：设第一次的捐款人数是x人，根据题意得： ，
解得：x＝300，
经检验x＝300是原方程的解，
故答案为300．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程，解分式
方程时要注意检验．
11．（2021·西藏·中考真题）若关于x的分式方程 ﹣1＝ 无解，则m＝___．
【答案】2
【分析】去分母，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根时无解求m的值．
【详解】解： ﹣1＝ ，
方程两边同时乘以x﹣1，得2x﹣（x﹣1）＝m，
去括号，得2x﹣x＋1＝m，
移项、合并同类项，得x＝m﹣1，
∵方程无解，
∴x＝1，
∴m﹣1＝1，
∴m＝2，故答案为2．
【点睛】本题考查分式方程无解计算，解题时需注意，分式方程无解要根据方程的特点进行判断，既要考
虑分式方程有增根的情况，又要考虑整式方程无解的情况.
12．（2022·陕西宝鸡·八年级期末）分式 的值比分式 的值大3，则x为______．
【答案】1
【分析】先根据题意得出方程，求出方程的解，再进行检验，最后得出答案即可．
【详解】根据题意得： - =3，
方程两边都乘以x-2得：-（3-x）-1=3（x-2），
解得：x=1，
检验：把x=1代入x-2≠0，
所以x=1是所列方程的解，
所以当x=1时， 的值比分式 的值大3．
【点睛】本题考查了解分式方程，能求出分式方程的解是解此题的关键．
三、解答题
13．（2022·宁夏石嘴山·八年级期末）解方程： ．
【答案】
【分析】方程两边同乘以 ，化成整式方程，再求解即可.
【详解】解：方程两边同乘以 得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ，
解得：
经检验： 为原方程的解.
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握方程的解法，注意检验.
14．（2021·四川·攀枝花第二初级中学八年级期中）（1）解方程：（2）计算：
【答案】（1）原分式方程无解
（2）
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程
的解；
（2）首先将式子通分，化成同分母，分子合并同类项即可．
【详解】解：（1）
经检验： 是增根
所以原方程无解．
（2）原式=
=
=
= ．
【点睛】本题考查了解分式方程和分式的化简，解题的关键是熟练掌握分式方程的解法和分式的化简运算
法则．
15．（2021·全国·八年级专题练习）如果解关于 的方程 会产生增根，求 的值.
【答案】k=2
【分析】首先根据分式方程的解法求出方程的解，然后根据增根求出k的值．
【详解】两边同时乘以(x－2)可得：x=2(x－2)+k， 解得：x=4－k，
∵方程有增根， ∴x=2， 即4－k=2，解得：k=2．【点睛】本题主要考查的是分式方程有增根的情况，属于基础题型．解决这种问题时，首先我们将k看作
已知数，求出方程的解，然后根据解为增根得出答案．
16．（2019·山东青岛·中考真题）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的 1.5
倍，两人各加工 600 个这种零件，甲比乙少用 5 天．
（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是 150 元和 120 元，现有 3000 个这种零件的加
工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过 7800 元，那么
甲至少加工了多少天？
【答案】（1）乙每天加工40个零件，甲每天加工60个零件；（2）甲至少加工40天.
【分析】（1）设乙每天加工x个零件，则甲每天加工1.5x个零件，根据甲比乙少用5天，列分式方程求解；
（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，根据3000个零件，列方程；根据总加工费不超过7800元，列不等
式，方程和不等式综合考虑求解即可．
【详解】（1）设乙每天加工x个零件,则甲每天加工1.5x个零件
化简得：600×1.5=600+5×1.5x
解得x=40
经检验，x=40是分式方程的解且符合实际意义．
1.5x=60
答：甲每天加工60个零件，乙每天加工40个零件.
（2）设甲加工了x天，乙加工了y天，则由题意得
由①得y=75-1.5x ③
将③代入②得：150x+120（75-1.5x）≤7800
解得：x≥40，
当x=40时，y=15，符合问题的实际意义．
答：甲至少加工了40天．
【点睛】本题是分式方程与不等式的实际应用题，题目数量关系清晰，难度不大．
17．（2020·黑龙江·哈尔滨市光华中学校七年级阶段练习）现有一装修工程，若甲、乙两队装修队合作，
需要12天完成；若甲队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要9天才能完成．求：（1）甲乙两个装修队单独完成分别需要几天？
（2）已知甲队每天施工费用4000元，乙队每天施工费用为2000元，要使该工程施工总费用为70000元，
则甲装修队施工多少天？
（3）甲装修队有装修工人12人，乙装修队有装修工人10人，该工程需要在13天内（包括13天）完成，
该工程由甲乙两队合作完成，两队合作4天后，乙队另有任务需调出部分人员，则乙队最多调走多少人？
【答案】（1）甲、乙两装修队单独完成此项工程分别需要20天、30天；（2）10天；（3）2人
【分析】（1）等量关系为：甲的工作效率×5+甲乙合作的工作效率×9=1，先算出甲单独完成此项工程需要
多少个月．而后算出乙单独完成需要的时间；
（2）两个关系式：甲乙两个工程队需完成整个工程；工程施工总费用为70000元．
（3）设乙队调走m人，利用（1）中所求数据得出甲乙两队每人一天完成的工作量，进而得出不等式求出
即可．
【详解】解：（1）设甲装修队单独完成此项工程需要x天．
根据题意，得 ，
解得x=20，
经检验，x=20是原方程的解．
，
答：甲、乙两装修队单独完成此项工程分别需要20，30天．
（2）设实际工作中甲、乙两装修队分别做a、b天．
根据题意，得
，
解得a=10，b=15．
答：要使该工程施工总费用为70000元，甲装修队应施工10天．
（3）设乙装修队调走m人，
由题意可得：
，
解得：m≤ ，∴m的最大整数值为2，
答：乙队最多调走2人．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及不等式解法与应用，利用总工作量为1得出等式方程是解决问题
的关键．
18．（2022·广东中山·八年级期末）某商场计划在年前用30000元购进一批彩灯，由于货源紧张，厂商提
价销售，实际的进货价格比原来提高了20%，结果比原计划少购进100盏彩灯．该商场实际购进彩灯的单
价是多少元？
【答案】商场实际购进彩灯的单价是60元
【分析】设商场原计划购进彩灯的单价为 元，则商场实际购进彩灯的单价为 元，由题意：某商
场计划在年前用30000元购进一批彩灯，由于货源紧张，厂商提价销售，实际的进货价格比原来提高了
，结果比原计划少购进100盏彩灯．列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设商场原计划购进彩灯的单价为 元，则商场实际购进彩灯的单价为 元，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
则 （元 ，
答：商场实际购进彩灯的单价为60元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，解题的关键是正确列出分式方程．
