文档内容
专题 16 分式方程（4 个知识点 3 种题型 2 个易错点 3 个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.分式方程的定义
知识点2分式方程的解法（重点）
知识点3.含有字母系数的分式方程的解法（拓展）
知识点4.分式方程的应用（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.解分式方程
题型2.利用分式方程解的情况求字母的值
题型3.利用分式方程解实际问题
【方法三】差异对比法
易错点1.解分式方程易忘记检验
易错点2.根据分式方程无解，求分式方程中字母系数的值时漏解
【方法四】 仿真实战法
考法1.解含整式项的分式方程
考法2. 分式方程在工程问题中的应用
考法3.分式方程在行程问题中的应用
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 了解分式方程的定义，能判断一个方程是不是分式方程。
2. 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，了解解分式方程验根的必要性，在解题过程中体会转化
思想的运用。
3. 会列分式方程解应用题，体会通过数学建模来解决实际问题。【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.分式方程的定义
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
【例1】（2023上·河北邢台·八年级校联考阶段练习）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
知识点2分式方程的解法（重点）
1.解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，
去掉分母。
在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。因为解
分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
2.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当
分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于 0，则这个解是原分式方程的解，若
最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
3.分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于 0的整式，分式的值不变。【例2】（2023上·北京石景山·八年级校考期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
知识点3.含有字母系数的分式方程的解法（拓展）
解含字母系数的分式方程，它的解法和步骤与解分式方程没有区别，都是先把分式方程转化为整式方程.
再分清哪些字母表示未知数，哪些字母表示常数的情况下，对字母表示的数值区别不同的情形分类讨论，
分别确定方程的解集，最终获得完整的解答。
【例3】（2023上·山东烟台·八年级统考期中）若关于x的方程 无解，则 ．
知识点4.分式方程的应用（难点）
分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、
恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方
程，并进行求解.
【例4】（2023·全国·八年级专题练习）某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，
工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完
工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③ ，剩下的工程由乙队单独做，
也正好如期完工．某同学设规定的工期为 天，根据题意列出了方程： ，则方案③中被墨水污
染的部分应该是
A．甲乙合作了4天 B．甲先做了4天
C．甲先做了工程的 D．甲乙合作了工程的【方法二】实例探索法
题型1.解分式方程
1．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
题型2.利用分式方程解的情况求字母的值
2．（2023上·山东淄博·八年级统考期中）分式方程 有增根，则 的值为（ ）
A．3 B．6 C．1或 D．0或6
题型3.利用分式方程解实际问题
3.．（2023上·河北邢台·八年级统考期中）有一道题：“甲队修路 与乙队修路 所用天数相同，
若……，求甲队每天修路多少米？“根据图中的解题过程，省略号”……“表示的条件应是 ，
．
解：设甲队每天修路 米，
依题意得：……
【方法三】差异对比法
易错点1.解分式方程易忘记检验
1．（2023上·广西北海·八年级统考期中）解分式方程： ．
易错点2.根据分式方程无解，求分式方程中字母系数的值时漏解
2.（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）若关于 的分式方程 无解，则 的值为
．
【方法四】 仿真实战法
考法1.解含整式项的分式方程
1．（2023·西藏·统考中考真题）解分式方程： ．考法2. 分式方程在工程问题中的应用
2．（2023上·湖南怀化·八年级统考期中）某县进入防汛期后，民兵突击队接到上级命令，对防洪堤进行加
固．民兵突击队先加固了800米后，采用了新的加固方法，这样每天加固的长度是原来的2倍，结果共7
天加固了4800米，光荣的完成了任务．问：民兵突击队原来每天加固河堤多少米？
考法3.分式方程在行程问题中的应用
3．（2023上·湖南永州·八年级统考阶段练习）某校学生利用双休时间去距学校 的永州植物园去游玩，
一部分学生骑自行车从学校先出发，过了 后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．
已知汽车的速度是自行车速度的2倍，求自行车和汽车的速度分别是多少？
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）关于 的分式方程 有增根，则 的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．（2023·全国·八年级专题练习）分式方程 的解是（ ）
A．1 B．0 C． D．无解
3．（2023上·四川成都·九年级统考期中）若关于x的分式方程 有增根，则m的值为( )．
A． B．2 C．6 D．4．（2023上·河北唐山·八年级统考期中）遵化市沙石峪人民创造了“万里千担一亩田，青石板上创高产”
的奇迹，沙石峪人民被周恩来同志誉为“当代愚公”，为激励后人传承和发扬“当代愚公”的光荣传统和
优良作风，建造了沙石峪纪念馆，2019年沙石峪纪念馆被中宣部授予“全国爱国主义教育示范基地”．五
四青年节，学校的八年级学生去距学校 的沙石峪纪念馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了
后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速
度为 ，则所列方程正确的是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2023上·湖南怀化·八年级统考期中）要整治一条河道，如果由甲队施工，那么30天可完成；如果由
甲队、乙队同时施工，那么10天能完成工程总量的 ，现若乙队单独施工，则需要 天完成．根据题意列
的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023上·福建泉州·八年级福建省永春第一中学校考期中）已知 是一个整数的平方，则满足要求
的正整数 的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）若关于的不等式组 无解，且关于 的分式方程
有整数解，则满足条件的整数 的值为（ ）
A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7
8．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家
到单位有两条路线可选择，路线 为全程25千米的普通道路，路线 包含快速通道，全程21千米，走路
线 比路线 平均速度提高 ，时间节省20分钟，求走路线 和路线 的平均速度分别是多少？设走路线 的平均速度为 千米/小时，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023上·山东淄博·八年级统考期中）在我市“绿水青山”行动中，某工程队承接了6万平方米的河滩
绿化任务，为了应对雨季的到来，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前20天完成了这项任务．设
实际每天的绿化面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023上·广西来宾·八年级校考阶段练习）分式方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）当 ，分式 的值与分式 的值互为相反
数．
12．（重庆市沙坪坝区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）如果关于 的分式方程
有整数解，且关于 的不等式组 的解集至少有2个整数解，那么符合条件的
所有整数 的和为 ．
13．（2023上·河北石家庄·八年级石家庄市第四十一中学校考期中）若关于 的分式方程 有
增根，则 ．14．（2023上·湖南岳阳·八年级校考期中）对于实数a，b，定义一种运算“ ”为： ，
方程 的解为 ．
15．（2023上·湖南湘潭·八年级湘潭江声实验学校校考期中）解分式方程 去分母时，
等式两边都乘以 ．
16．（2023上·广西贵港·八年级统考期中）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气
中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年
的平均滞尘量的2倍少4mg，一年滞尘1000mg所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550mg所需的国槐树叶
的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 ，则根据题意可得方程是
．
17．（2023上·湖南永州·八年级统考期中）若关于x的分式方程 有增根，则m的值为
．
18．（2023上·河北保定·八年级统考期中）若关于 的分式方程 无解，则 的值为
．
三、解答题
19．（湖南省娄底市市直学校2023-2024学年八年级上学期期中联考数学试题）2020年11月20日，娄底
市荣获“第六届全国文明城市”称号．为巩固“国家文明城市”创建成果，共享文明健康美好生活，我市
政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造．现有甲、乙两个工程队
有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的
2倍．若甲、乙两工程队合作只需要10天完成．求甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
20．（湖南省娄底市市直学校2023-2024学年八年级上学期期中联考数学试题）（1）计算：（2）解方程： ．
21．（2023上·山东威海·八年级威海经济技术开发区皇冠中学校联考期中）计算题：
(1)因式分解
①
②
(2)分式化简：
①
②
(3)解方程：
①
②22．（2023·全国·八年级专题练习）4月23日是“世界读书日”，小明和爸爸参加了学校开展的“书香家
庭，相伴共读”亲子阅读活动．已知小明每天比爸爸多读5页，小明读100页所用的时间与爸爸读80页所
用的时间相等．求小明和爸爸每天各读书多少页？
23．（2023上·山东东营·八年级校联考期中）（1）把下列各式因式分解：
① ；
② ．
（2）解方程
① ；
② ；
24．（2023上·湖南娄底·八年级统考期中）观察下列各式：； ；…．
请利用你所得的结论，解答下列问题：
(1)计算： ．
(2)解方程 ．
(3)若 ，求n的值．
25．（2023上·湖南永州·八年级校考期中）解分式方程．
(1) ；
(2) ．26．（2023上·湖南怀化·八年级统考期中）某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋
和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了 元，购买围棋用了 元，已知每副围棋比每副象棋贵
元．
(1)求每副象棋和围棋的价格各多少元？
(2)若该校决定再次购买同种象棋和围棋共 副，但费用不能超过 元，则最多可再次购买多少副围棋？
