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15.3.1 分式方程
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
注意：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知
数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.
分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
题型1：分式方程的定义
1.给出下列方程： ， ， ， ，其中分式方程的个数是（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-1】下列方程：①x2﹣2x＝ ；② ；③x4﹣2x2＝0；④ x2﹣
1＝0．其中分式方程是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④
【变式1-2】已知方程：
① ＝0，
② ＝1
③x+ ＝2+
④（x+ ）（x﹣6）＝﹣1．
这四个方程中，分式方程的个数是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1．
题型2：解分式方程
2.解方程
（1） ＝ ；
＝ ．
（2）
（3）解方程： ＝ ．
【变式2-1】解分式方程：
（1） ﹣ ＝1
（2）3﹣ ＝ ．
【变式2-2】解方程：（1） ．
+ ＝
（2）
题型3：增根（无解）与求字母的值
3.若关于x的分式方程 有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣2
【变式3-1】分式方程： ﹣1＝ 有增根，求m值．
【变式3-2】若关于x的方程 ﹣1＝ 有增根．求m的值．
【变式3-3】k为何值时，方程 ﹣ ＝1﹣ 会产生增根？
题型4：根据文字列方程求值解4.当x为何值时，分式 的值和分式 的值互为相反数？
【变式4-1】已知点A，B在数轴上所对应的数分别为 ， ，若A，B两点到原
点距离相等，求x的值．
【变式4-2】如图，点A、B在数轴上且点A在点B的左侧，它们所对应的数分别是
和 ．
（1）当x＝1.5时，求AB的长．
（2）当点A到原点的距离比B到原点的距离多3，求x的值．
题型5：根据解的正负字母求取值范围
5.已知关于x的方程 的解为正数，求a的取值范围．
【变式5-1】若关于x的方程 有非负数解，求m得取值范围．
【变式5-2】若关于x的方程 无解，求m的值．
题型6：分式方程与新定义问题
6.定义一种新运算“ ”，规则如下：a b＝ ，（a≠b2），这里等式右边是
⊗ ⊗
实数运算，例如：1 3＝ ＝﹣ ．求x （﹣2）＝1中x的值．
⊗ ⊗
【变式6-1】定义新运算：对于任意实数a，b（其中a≠0），都有a b＝ ﹣ ，等
⊗
式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如2 3＝ ﹣ ＝ + ＝1．
（1）求（﹣2） 3的值；
⊗
（2）若x 2＝1，求x的值．
⊗
⊗一．选择题（共5小题）
1．下列关于x的方程① ＝x+y，② ＝5，③ ＝x﹣3，④ ＝ 中，是分式
方程的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若分式方程 + ＝ 有增根，那么增根的值为（ ）
A．﹣4或6 B．﹣4或﹣6 C．2或﹣2 D．4或6
3．解分式方程 ﹣2＝ ，去分母得（ ）
A．3﹣2（x﹣1）＝﹣1 B．3﹣2（x﹣1）＝1
C．3﹣2x﹣2＝﹣1 D．3﹣2x﹣2＝1
4．若关于 x的不等式组 有解且所有的解都是正数，且关于 y的分式方程
＝0的解为整数，则符合条件的所有整数a的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．关于x的分式方程 ，下列说法正确的是（ ）
A．方程的解是x＝m﹣3
B．当m＞3时，方程的解是正数
C．当m＜3时，方程的解为负数
D．当m＝3时，方程无解
二．填空题（共4小题）
6．关于x的方程 ＝1的解为正数，且关于y的不等式组 有解，
则符合题意的所有整数m的和为 ．7．符号“ |”称为二阶行列式，规定它的运算法则为： |＝ad﹣bc，请你根据运算
法则求出等式中x的值．若 |＝1，那么x＝ ．
8．若关于x方程 的解是x＝3，则a的值为 ．
9．关于x的分式方程 的解为正整数，则满足条件的整数a的值为 ﹣ 3
．
三．解答题（共6小题）
10．若关于x的分式方程 ＝2﹣ 的解为正数，求满足条件的正整数m的值．
11．解下列分式方程：
（1） ；
（2） ．
12．解分式方程： ．
13．解方程：
14．若关于x的分式方程 ＝1的解与分式方程 的解相同，求m的值．
15．若关于x的分式方程 ＝1的解为x＝2，求m的值，
