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第 04 讲 分式方程
课程标准 学习目标
1. 掌握分式方程的概念、能够熟练的判断分式方程，
①分式方程的概念
并根据分式方程的概念求值。
②解分式方程
2. 掌握解分式方程的方法并能够熟练的解分式方程。
③分式方程的实际应用
3. 能够熟练的应用分式方程解决实际问题。
知识点01 分式方程的概念
1. 分式方程的概念：
的方程叫做分式方程。
分母中含有
题型考点：①判断分式方程。
【即学即练1】
1．下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． + ＝1 B．x+ ＝2 C．2x＝x﹣5 D．x﹣4y＝1
【即学即练2】2．在① x2﹣x+ ，② ﹣3＝a+4，③ +5x＝6，④ ＝1 中，其中关于 x 的分式方程的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点02 解分式方程
1. 解分式方程的基本思路：
去分母：分式方程的两边同时乘以分母的 。使分式方程转化为整式方程再进行求解。
2. 解分式方程的基本步骤：
①去分母：分式方程的左右两边乘以分母的 ，将分式方程转化为整式方程。
②解整式方程：
③检验：将解出的整式方程的解带入 中，若最简公分母不为0，则整式方程的解就是
分式方程的解。若最简公分母为0，则整式方程的解是分式方程的 ，原分式方程无解。
④写解：根据检验的情况写出分式方程的解。
注意解分式方程一定要检验。
题型考点：①解分式方程。②分式方程的曾根与无解 。③分式方程的特殊解
【即学即练1】
3．解分式方程．
（1） ； （2） ．
【即学即练2】
4．解方程：
（1） ； （2） ．
【即学即练3】
5．解下列分式方程：（1） ； （2） ．
【即学即练4】
6．若在解关于x的方程 时，会产生增根，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【即学即练5】
7．若关于x的分式方程 有增根，则m的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
【即学即练6】
8．若关于x的分式方程 无解，则k的取值是（ ）
A．﹣3 B．﹣3或﹣5 C．1 D．1或﹣5
【即学即练7】
9．若关于x的方程 ＝1的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜3 B．m＞3 C．m＞3且m≠1 D．m＜3且m≠1
【即学即练8】
10．已知关于x的分式方程 +1＝ 的解是非负数．则m的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠﹣2 D．m＜2且m≠﹣2
知识点03 列分式方程解实际应用题
1. 列分式方程解实际应用题的基本步骤：
①审：仔细审题，审清题意，找出题目中已知量与未知量的 。
②设：设出未知数。
③列：列出分式方程。
④解：解分式方程。
⑤验：检验求出的解是不是分式方程的解，也要检验这个解是否符合实际问题。
⑥答：写出答案。题型考点：①由实际问题抽象出分式方程。②列分式方程解决实际问题。
【即学即练1】
11．2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地震应急演练，
在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多 15，结果2000名同学全部撤离的时间比
第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练2】
12．为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校 15km的烈
士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了30min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已
知汽车的速度是骑车师生速度的 2倍，设骑车师生的速度为x km/h．根据题意，下列方程正确的是（
）
A． B．
C． D．
【即学即练3】
13．某文教用品商店购进甲、乙两种文具进行销售，一个甲种文具的进价比一个乙种文具的进价多 5元，
用4000元购进甲种文具的数量是用1500元购进乙种文具的数量的2倍．
（1）求每个甲种文具的进价是多少元？
（2）该商店将每个甲种文具的售价定为30元，每个乙种文具的售价定为25元，商店根据市场需求，
决定向文具厂再购进一批文具，且购进乙种文具的数量比购进甲种文具的数量的 2倍还多6个，若本次
购进的两种文具全部售出后，总获利不低于3360元．求该商店本次购进甲种文具至少是多少个？
【即学即练4】
14．杭州亚运会于9月23日正式开幕，其吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”受到了广大群众的喜爱，学校计划购买一批吉祥物挂件和吉祥物徽章作为奖品，其中吉祥物挂件占 ．
（1）求吉祥物徽章的个数占吉祥物挂件个数的几分之几？
（2）通过对学生的调查得知，喜欢吉祥物徽章的学生较多，因此学校决定再多买50个吉祥物徽章，这
样吉祥物徽章的数量就占吉祥物挂件的 ，求学校共买了多少个吉祥物挂件？
（3）在（2）的条件下，若授权店将吉祥物徽章按照原价 销售，那么吉祥物徽章的单价恰好是吉祥物
挂件单价的 ，但购买当天授权店无优惠活动，学校购买吉祥物挂件和吉祥物徽章共花 14750元，求吉
祥物挂件的单价为多少元？
题型01 判断分式方程
【典例1】在方程 ， ， ， 中，分式方程有 3 个．
【典例2】
下列方程不是分式方程的是（ ）
A． +x＝2+3x B． ＝
C． ﹣ ＝4 D． + ＝1
【典例3】
下面是分式方程的是（ ）
A． + B． ＝
C． x+5＝ （x﹣6） D． + ＝1
【典例4】
有下列方程：① ；② ；③ ；④ ．属于分式方程的有
（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
题型02 解分式方程
【典例1】
嘉淇解分式方程 的过程如下：
解：去分母，得6＝2x﹣（3x﹣3）①
去括号，得6＝2x﹣3x﹣3②
移项、合并同类项，得x＝﹣9③
因为x＝﹣9时，各分母均不为0，
所以，原分式方程的解是x＝﹣9．④
以上步骤中，最开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【典例2】
解方程：
（1） ； （2） ．【典例3】
解方程：
（1） ； （2） ．
【典例4】
解方程：
（1） ＝5 ． （2） ＝0．
【典例4】
解方程：
（1） ＝ +1； （2） ﹣ ＝ ．
题型03 分式方程的曾根与无解
【典例1】
若关于x的分式方程 有增根，则m的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．﹣1
【典例2】若关于x的分式方程 有增根，且关于y的不等式m+n≤y≤8中有2个整数解，则整数n是（
）
A．3 B．2 C．1 D．0
【典例3】
若关于x的分式方程 有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣1或2
【典例4】
若关于x的分式方程 无解，则m的值是（ ）
A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6
【典例5】
若关于x的方程 ＝ +1无解，则a的值是（ ）
A．1 B．3 C．﹣1或2 D．1或2
题型04 分式方程的特殊解
【典例1】
若整数a使关于x的不等式组 有且只有3个整数解，且使关于y的分式方程 的
解满足y＜7，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．8 B．6 C．10 D．7
【典例2】
若关于x的方程 + ＝2的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜6 B．m＞6 C．m＜6且m≠0 D．m＞6且m≠8
【典例3】
如果关于x的分式方程 有整数解，且关于x的不等式组 有且只有四个
整数解，那么符合条件的整数a的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【典例4】如果关于x的分式方程 的解是负数，那么实数m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0
C．m＞﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣2
【典例5】
若整数 a 使得关于 x 的不等式组 至少有 2 个整数解，且使得关于 y 的分式方程
有整数解，则满足条件的整数a之和为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．4
题型05 分式方程的实际应用
【典例1】
阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．
某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点
800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的 1.2倍，乙同学比甲
同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】
甲地到乙地之间的铁路长210千米，动车运行后的平均速度是原来火车的1.5倍，这样由甲地到乙地的行
驶时间缩短了90分钟，设原来火车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】
市政府为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，
打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，
实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面
积为x万平方米，则所列方程正确的是（ ）
A． B．C． D．
【典例4】
习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应
节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的
1.5倍，现公司用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．
（1）求每辆B型汽车进价是多少万元？
（2）A型汽车利润率为5%，B型汽车利润率为8%，那么该公司出售完此批汽车后总利润是多少元？
【典例5】
某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，
且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．
（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，
满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．【典例6】
酸辣粉是重庆的特色美食，三峡广场某小吃店推出两款酸辣粉，一款是“经典手工酸辣粉”，另一款是
“肉沫哨子酸辣粉”．已知1份“经典手工酸辣粉”和2份“肉沫哨子酸辣粉”需34元；3份“经典手
工酸辣粉”和1份“肉沫哨子酸辣粉”需42元．
（1）求“经典手工酸辣粉”和“肉沫哨子酸辣粉”的单价；
（2）红薯粉条是制作酸辣粉的原材料之一，该小吃店老板发现今年第三季度平均每千克红薯粉条的价
格比第二季度上涨了20%，第三季度花600元买到的红薯粉条数量比第二季度花同样的钱买到的红薯粉
条数量少了10千克，求第三季度红薯粉条的单价．
1．下列各式中为分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．解方程 去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（ ）
A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x
C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x3．分式 与 互为相反数，则x的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
4．若关于x的分式方程 无解，则n＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
5．青年志愿团队到某地开展志愿服务活动，他们从距离活动地点11km的地方出发．一部分人骑自行车先
走，过了30min后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车速度是骑车志愿者速度的 2倍，
设骑车志愿者的速度为x km/h．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．分式方程 有增根，则m的值为（ ）
A．3 B．6 C．1或﹣2 D．0或6
7．若关于x的不等式 的解集为x＞4，且关于x的分式方程 有正整数解，则满
足条件的所有整数m的和为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
8．新能源车的技术越来越成熟，而且更加环保节能．小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航
里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多 0.54元，已知燃油车的油
箱容积为40升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为0.6元/千瓦时，则小松爸
爸选择的两台汽车的续航里程是（ ）
A．600km B．500km C．450km D．400km
9．已知代数式 与 的值互为倒数，则x＝ ．
10．若分式方程 + ＝1的解是正数，则m的取值范围为 ．
11．甲，乙，丙三管齐开，12分钟可以注满全池，乙，丙，丁三管齐开，15分钟可注满全池．甲，丁两管
齐开，20分钟注满全池，如果是四管齐开，需要 分钟可以注满全池．
12．若关于x的一元一次不等式组 的解集为x≥3，且关于y的分式方程 有正整
数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．13．已知分式方程 ，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚．
（1）若“▲”表示的数为6，求分式方程的解；
（2）小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数．
14．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少 2元，且用80
元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不
超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两
种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种
方案？15．我们把形如 （m，n不为零），且两个解分别为x ＝m，x ＝n的方程称为“十字分式方
1 2
程”．
例如 为十字分式方程，可化为 ，∴x ＝2，x ＝3．
1 2
再如 为十字分式方程，可化为 ．
∴x ＝﹣1，x ＝﹣7．
1 2
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若 为十字分式方程，则x ＝ ，x ＝ ．
1 2
（2）若十字分式方程 的两个解分别为x ＝a，x ＝b，求 的值．
1 2
（3）若关于x的十字分式方程 的两个解分别为x ，x （k＞3，x ＞x ），求 的
1 2 1 2值．
