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专题 21.7 菱形的判定
教学目标
1. 掌握菱形的判定方法，能够熟练的选择合适的判定方法判定菱形。
1. 重点
（1）菱形的判定。
教学重难点 2. 难点
（1）熟练的选择合适的判定方法判定菱形；
（2）能够结合菱形的判定与性质，熟练的解决相应的题目。知识点02 菱形的判定
1. 菱形的判定：
判定方法 文字语言 数学语言 图形
四条边都 的四 ∵AB BC CD AD
直接判定
边形是菱形 ∴四边形ABCD是菱形
邻边 的平行四 ∵在 ▱ABCD中，AB=AD
平行四边形 边形是菱形 ∴四边形ABCD是菱形
加特殊性 对角线 的 ∵在 ▱ABCD中，AC⊥BD
四边形是菱形 ∴四边形ABCD是菱形
【即学即练1】
1．要检测一个四边形是不是菱形，下列方案可行的是（ ）
A．任选两个角，测量它们的角度
B．测量四条边的长度
C．测量两条对角线的长度
D．测量两条对角线交点到四个顶点的长度
【即学即练2】
2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，能判定 ABCD为菱形的是（ ）
A．∠A＝90° B．∠B＝∠C C．AC⊥BD D．AC＝BD
▱
【即学即练3】
3．如图，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AD＝AB B．AC平分∠BAD
C．OA＝OC，OB＝OD D．AC⊥BD
【即学即练4】
4．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练5】
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE，过点B作BF∥DE，且BF＝DE，连接EF，求证：四边形BDEF是菱形．
【即学即练6】
1
6．如图，在平行四边形ABCD中，分别以A，C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于M，N
2
两点，作直线MN，分别与AD，BC，AC相交于点E，F，O．连接AF，CE．
（1）根据作图过程，判断EF与AC的位置关系是 ；
（2）求证：四边形AFCE是菱形．
题型01 熟悉菱形的判定条件
【典例1】欲证明如图四边形为菱形，下列条件中错误的是（ ）∥
A．AB CD，AB＝BC B．AC⊥BD，BO＝OD
=
∥
C．AB＝CD＝BC＝AD D．AB CD，AC⊥BD
=
【变式1】如图，根据平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，能判定其为菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】在实验课上，为判断一个四边形是否为菱形，琪琪用仪器进行了测量，首先测量出两组对边分
别相等，然后再测量出_____，最后得到结论：这个四边形是菱形．则横线处应填（ ）
A．两组对边分别平行 B．两条对角线垂直
C．两条对角线相等 D．一组邻角相等
题型02 添加菱形的判定条件
【典例 1】如图， ABCD，对角线 AC，BD交于点 O，添加下列条件，能使 ABCD变为菱形的是
（ ）
▱ ▱
A．AB＝AC B．AC＝BD C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD
【变式1】如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加下列一个条件，不能判定 ABCD一
定为菱形的是（ ）
▱ ▱
A．AB＝AD B．AC⊥BD C．∠BAC＝∠DAC D．AC＝BD
【变式2】已知四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件：①AB∥CD；②OA＝OC；③OB＝
OD；④AC⊥BD，从以上条件中任选三个，能判定四边形ABCD是菱形的选法有（ ）种．A．1 B．2 C．3 D．4
题型03 菱形的判定证明
【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、BC的中点，BF∥DE，EF∥DB．求证：四边
形BDEF是菱形．
【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB＝AF，连接BF，点O为BF的中点，AO
的延长线交边BC于点E，连接EF．
求证：四边形ABEF是菱形．
【变式2】如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD垂直平分AC，点E是OB上一点，
且∠AEO＝∠CDO．求证：四边形AECD是菱形．【变式3】已知：如图，在 ABCD中，E为BC的中点，EF⊥AC于点G，交AD于点F，AB⊥AC，连接
AE，CF．求证：
▱
（1）△AGF≌△CGE；
（2）四边形AECF是菱形．
题型04 菱形的判定与性质
【典例1】如图，在 ABCD中，连接AC，AB＝AC，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，连接
CE交AD于点H．
▱
（1）求证：四边形ACDE是菱形；
（2）若AC=❑√5，BC＝2，求CE的长．【变式1】如图，△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝
BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝2，四边形BCFE的面积为8，求四边形BCFE的周长．
【变式2】如图， ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，
OE＝CD．
▱
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求AE的长．
▱
【变式3】课本再现
思考：
我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形
吗？
可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（1）定理证明：为了证明该定理，张明同学画出了图形（如图 1），并写出了“已知”和“求证”，
请你完成证明过程．
已知：如图1，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．
求证：平行四边形ABCD是菱形．
（2）知识应用：如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD
＝6．
①求证：平行四边形ABCD是菱形；
1
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E= ∠ACD，求CE的长．
2
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是（ ）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB⊥BC D．AC⊥BD
2．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，BC的中点，过点E作EF∥AB，交AC于点F，连接AE，则
下列条件不能使四边形ADEF为菱形的是（ ）
A．AB＝AC B．AE平分∠BAC
C．DE＝BE D．AE⊥BC
4．如图，等宽的丝带重叠部分一定是（ ）
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．以上都有可能
5．在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AC 与BD相交点 O，下列条件不能判定四边形 ABCD 是菱形的是
（ ）
A．AB＝BC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝CD，∠AOD＝90°
C．OA＝OC，∠ABD＝∠CBD D．AC＝BD，AC⊥BD
6．如图，已知平行四边形ABCD，要求利用所学知识在平行四边形ABCD内作一个菱形，甲、乙两位同学
的作法分别如下：
甲：连接AC，作AC的中垂线交 乙：分别作∠A与∠B的平分线AE、
AD、BC于E、F，则四边形 BF，分别交BC于点E，交AD于点
AFCE是菱形． F，则四边形ABEF是菱形．
下列判断正确的是（ ）A．甲、乙均正确 B．甲错误，乙正确
C．甲正确，乙错误 D．甲，乙均错误
7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，若AF＝8，则四边
形AEDF的周长是（ ）
A．24 B．28 C．32 D．36
8．小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别
交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点 C；④连接
BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（ ）
A．64° B．66° C．68° D．70°
9．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC．若AB＝2，BC＝
6，则图中阴影部分的面积为（ ）
8 16
A．4 B． C． D．6
3 3
10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，
连接 BE 分别交 AC，AD 于点 F，G，连接 AE，则下列结论：① AC⊥AE；②△DEG≌△ABG；
③OG∥AB；④四边形ABDE是菱形．其中正确的有（ ）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
11．在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，请你添加一个条件 ，
使四边形ABCD是菱形．
12．如图，已知线段AB=8❑√2cm，分别以点A，B为圆心，以6cm为半径画弧，两弧相交于点C，D，连
接AC，BC，AD，BD，则四边形ACBD的面积为 cm2．
13．如图是利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为 20cm，∠1＝60°，则在
墙上悬挂晾衣加的两个铁钉A，B之间的距离为 cm．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作
CDEB，当AD＝ ， CDEB为菱形．
▱ ▱
15．如图，在 ABCD中，∠B＝60°，AB＝6cm，BC＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D
运动，同时点Q从点C出发，以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动，
▱
当点P到达端点D时，点Q随之停止运动，在此运动过程中，四边形
PQCD是平行四边形出现 次．当P出发 秒时，四边形
PQCD是菱形．
16．如图，点E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、CD上的点，AE＝CF，连接BE、BF，∠ABE＝
∠CBF，求证：四边形ABCD是菱形．17．如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点
F．连接AF，CD．
（1）求证：AF＝CD；
（2）如果点D是AB的中点，请直接写出当AC与BC满足什么条件时，四边
形ADCF是菱形．
18．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，延长CD至点E，使得CE＝2BC，连接BE交AD边
1
于点F，点D、F分别是CE、BE的中点，DF= AD．
2
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝6，OB+BC＝9，求四边形ABCD的面积．
19．小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形ABCD是一个菱
形外框架，对角线AC，BD相交于点O，四边形AECF是其内部框架，且点E、F在BD上，BE＝DF．
（1）求证：四边形内部框架AECF为菱形．
（2）若AE⊥AD，F为DE的中点，AB=6❑√3，求四边形AECF的周长．20．如图1，直线l ∥l ，直线l 分别交直线l ，l 于点A，B．嘉淇在图1的基础上进行尺规作图，得到如
1 2 3 1 2
图2．
（1）直接写出AB与BC的数量关系，∠ABD与∠CBD的数量关系；
（2）猜想四边形ABCD的形状，并证明自己的猜想；
（3）若AB＝6，∠ABC＝60°，直接写出四边形ABCD的面积．
