文档内容
专题 16 分式方程（4 个知识点 3 种题型 2 个易错点 3 个中考考点）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.分式方程的定义
知识点2分式方程的解法（重点）
知识点3.含有字母系数的分式方程的解法（拓展）
知识点4.分式方程的应用（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1.解分式方程
题型2.利用分式方程解的情况求字母的值
题型3.利用分式方程解实际问题
【方法三】差异对比法
易错点1.解分式方程易忘记检验
易错点2.根据分式方程无解，求分式方程中字母系数的值时漏解
【方法四】 仿真实战法
考法1.解含整式项的分式方程
考法2. 分式方程在工程问题中的应用
考法3.分式方程在行程问题中的应用
【方法五】 成果评定法
【学习目标】
1. 了解分式方程的定义，能判断一个方程是不是分式方程。
2. 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，了解解分式方程验根的必要性，在解题过程中体会转化
思想的运用。
3. 会列分式方程解应用题，体会通过数学建模来解决实际问题。【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.分式方程的定义
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
【例1】（2023上·河北邢台·八年级校联考阶段练习）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】未知数在分母中的有理方程是分式方程，根据分式方程的定义可得答案．
【详解】解： 是一元一次方程，故A不符合题意；
是二元一次方程，故B不符合题意；
是一元一次方程，故C不符合题意；
符合分式方程的定义，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查分式方程的定义，理解分式方程的定义为解题的关键．
知识点2分式方程的解法（重点）1.解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，
去掉分母。
在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。因为解
分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
2.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当
分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于 0，则这个解是原分式方程的解，若
最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
3.分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于 0的整式，分式的值不变。
【例2】（2023上·北京石景山·八年级校考期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程；
（1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为1计算，然后检验即可得出结果；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为1计算，然后检验即可得出结果；
【详解】（1）解：
去分母，可得： ，
去括号，可得： ，
移项，可得： ，
合并同类项，可得： ，
把系数化为1，可得： ，
检验：当 时， ，
∴ 是原分式方程的解；
（2）解：去分母，可得： ，
去括号，可得： ，
移项，可得： ，
合并同类项，可得： ，
把系数化为1，可得： ，
检验：当 时， ，
∴原分式方程无解．
知识点3.含有字母系数的分式方程的解法（拓展）
解含字母系数的分式方程，它的解法和步骤与解分式方程没有区别，都是先把分式方程转化为整式方程.
再分清哪些字母表示未知数，哪些字母表示常数的情况下，对字母表示的数值区别不同的情形分类讨论，
分别确定方程的解集，最终获得完整的解答。
【例3】（2023上·山东烟台·八年级统考期中）若关于x的方程 无解，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，分两种情况：一种是把分式方程化成整式方程后，整式方
程无解；一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式方程的分母为0，是增根，
熟练掌握理解这两种情况是解题关键．先解分式方程得到 ，再根据分式方程无解，即分式方程有
增根即可得到关于m的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：
去分母得： ，
解得 ，
∵关于x的方程 无解，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
知识点4.分式方程的应用（难点）
分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、
恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.
【例4】（2023·全国·八年级专题练习）某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，
工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完
工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③ ，剩下的工程由乙队单独做，
也正好如期完工．某同学设规定的工期为 天，根据题意列出了方程： ，则方案③中被墨水污
染的部分应该是
A．甲乙合作了4天 B．甲先做了4天
C．甲先做了工程的 D．甲乙合作了工程的
【答案】A
【分析】本题考查分式方程的应用；根据题意和方程 ，可知甲干了4天，乙干了 天，从而可
以得到③后面应填入的内容，本题得以解决．
【详解】解： 某同学设规定的工期为 天，根据题意列出了方程： ，
甲工作了4天，乙工作了 天，
即甲乙合作了4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工，
可知在③应填入的内容为：甲乙合作了4天，
故选：A．
【方法二】实例探索法
题型1.解分式方程
1．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)无解【分析】此题考查了解分式方程，
（1）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）
去分母得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
∴ 是分式方程的解；
（2）
去分母得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
∴ 是分式方程的增根，原分式方程无解．
题型2.利用分式方程解的情况求字母的值
2．（2023上·山东淄博·八年级统考期中）分式方程 有增根，则 的值为（ ）
A．3 B．6 C．1或 D．0或6
【答案】B
【分析】本题考查了分式方程的增根，先将分式方程化为整式方程，求出 ，再求出增根，从而
得到 或 ，求出 的值即可．
【详解】解：将原式去分母得： ，
，
，∵方程有增根，
或 ，
或 ，
或 ，
当 时，方程无解，
，
故选：B．
题型3.利用分式方程解实际问题
3.．（2023上·河北邢台·八年级统考期中）有一道题：“甲队修路 与乙队修路 所用天数相同，
若……，求甲队每天修路多少米？“根据图中的解题过程，省略号”……“表示的条件应是 ，
．
解：设甲队每天修路 米，
依题意得：
……
【答案】 乙队每天修路比甲队的2倍少 22.5
【分析】本题考查分式的实际应用，根据所列方程， 表示的含义即为省略号“……”表示的条件，
解分式方程，求出 的值即可．
【详解】解：设甲队每天修路 米，则 表示乙队每天修路比甲队的2倍少 ，
，解得： ；
经检验， 是原方程的解；
故答案为：乙队每天修路比甲队的2倍少 ，22.5
【方法三】差异对比法
易错点1.解分式方程易忘记检验
1．（2023上·广西北海·八年级统考期中）解分式方程： ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，关键是方程两边同乘 去分母转化为整式方程，求出整式方程的解
得到 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：方程两边同乘 ，得 ，
去括号得：
移项合并同类项得：
解得 ．
检验：当 时， ，
所以，原分式方程的解为 ．
易错点2.根据分式方程无解，求分式方程中字母系数的值时漏解
2.（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）若关于 的分式方程 无解，则 的值为
．
【答案】 或 或
【分析】根据分式的性质化简，再根据解分式方程的方法求解，由分式方程无解（分式的分母为零，或解
是分式，其分母为零）即可判定 的值，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
【详解】解：
等式两边同时乘以 得， ，
去括号得， ，
移项得， ，
合并同类项得， ，
系数化为 得， ，
∵分式方程无解，即 或 或 ，即 或 或 ，
∴ ，解得， ，
，解得， ，
综上所述， 的值为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．【方法四】 仿真实战法
考法1.解含整式项的分式方程
1．（2023·西藏·统考中考真题）解分式方程： ．
【答案】
【分析】方程两边同时乘以 ，将分式方程化为整式方程，再求解即可．
【详解】
，
经检验， 是原方程的根，
故原方程的解为： ．
【点睛】本题考查了求解分式方程的知识，掌握相应的求解方程，是解答本题的关键．注意：解分式方程
时，要将所求的解代入原方程进行检验．
考法2. 分式方程在工程问题中的应用
2．（2023上·湖南怀化·八年级统考期中）某县进入防汛期后，民兵突击队接到上级命令，对防洪堤进行加
固．民兵突击队先加固了800米后，采用了新的加固方法，这样每天加固的长度是原来的2倍，结果共7
天加固了4800米，光荣的完成了任务．问：民兵突击队原来每天加固河堤多少米？
【答案】原来每天加固400米
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用．设原来每天加固河堤x米，则采用了新的加固方法每天加
固 米，然后根据共用了7天完成任务列出方程求解即可．
【详解】解：设原来每天加固河堤x米，则采用了新的加固方法每天加固 米，由题意得， ，
解得 ，
经检验 是原方程的解，
∴民兵突击队原来每天加固河堤400米，
答：民兵突击队原来每天加固河堤400米．
考法3.分式方程在行程问题中的应用
3．（2023上·湖南永州·八年级统考阶段练习）某校学生利用双休时间去距学校 的永州植物园去游玩，
一部分学生骑自行车从学校先出发，过了 后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．
已知汽车的速度是自行车速度的2倍，求自行车和汽车的速度分别是多少？
【答案】骑车学生的速度和汽车的速度分别是每小时 小时， 小时，
【分析】设骑车学生的速度为x千米/小时，汽车的速度为 千米/小时，根据题意列出分式方程，解方程，
即可求解．
【详解】解：设骑车学生的速度为x千米/小时，汽车的速度为 千米/小时，
可得： ，
解得 ，经检验 是原方程的解，
，
答：骑车学生的速度和汽车的速度分别是每小时 小时， 小时，
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）关于 的分式方程 有增根，则 的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增
根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【详解】去分母得： ，
由分式方程有增根，得到 ，即 ，
把 代入 得： ，故选：A．
2．（2023·全国·八年级专题练习）分式方程 的解是（ ）
A．1 B．0 C． D．无解
【答案】A
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求
解．解分式方程一定注意要验根．先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，
经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解．
故选：A．
3．（2023上·四川成都·九年级统考期中）若关于x的分式方程 有增根，则m的值为( )．
A． B．2 C．6 D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定
增根的可能值，让最简公分母 ，得到 ，然后代入化为整式方程的方程算出 的值．
【详解】解：方程两边都乘 ，
得 ，
原方程有增根，
最简公分母 ，
解得 ，
当 时， ，
故 的值是 ．
故选：D．
4．（2023上·河北唐山·八年级统考期中）遵化市沙石峪人民创造了“万里千担一亩田，青石板上创高产”
的奇迹，沙石峪人民被周恩来同志誉为“当代愚公”，为激励后人传承和发扬“当代愚公”的光荣传统和
优良作风，建造了沙石峪纪念馆，2019年沙石峪纪念馆被中宣部授予“全国爱国主义教育示范基地”．五
四青年节，学校的八年级学生去距学校 的沙石峪纪念馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了
后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为 ，则所列方程正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查分式方程的应用，设骑车学生的速度为 ，则汽车的速度是 ，根据路程、
时间和速度的关系列方程即可．
【详解】解：设骑车学生的速度为 ，则汽车的速度是 ，
根据题意得， ．
故选：C．
5．（2023上·湖南怀化·八年级统考期中）要整治一条河道，如果由甲队施工，那么30天可完成；如果由
甲队、乙队同时施工，那么10天能完成工程总量的 ，现若乙队单独施工，则需要 天完成．根据题意列
的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键．若乙队单
独施工，则需要 天完成．由题意：如果由甲队施工，那么30天可完成；如果由甲队、乙队同时施工，那
么10天能完成工程总量的 ，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：由题意得： ，
故选：C．
6．（2023上·福建泉州·八年级福建省永春第一中学校考期中）已知 是一个整数的平方，则满足要求
的正整数 的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C【分析】本题考查了有理数的乘方、一元一次方程的应用，理解题意，根据当 时，当
时，当 时，当 时，分别进行计算即可得到答案，得出一元一次方程是解此题的关键．
【详解】解： 是一个整数的平方， 为正整数，
，
， ,
当 时，解得： ，符合题意；
当 时，解得： ，符合题意；
当 时，解得： ，符合题意；
当 时，解得： ，不符合题意；
综上所述，满足要求的正整数 的为10，16，18，共3个，
故选：C．
7．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）若关于的不等式组 无解，且关于 的分式方程
有整数解，则满足条件的整数 的值为（ ）
A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7
【答案】D
【分析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定 的
取值，进而解决此题．
【详解】解不等式组 ，得 ，
不等式组无解，，
，
分式方程 ，
方程的两边同时乘 ，
得， ，
整理得， ，
，
方程有整数解，
或 或 或 ，
或 或 或 或 或 或 或 ，
， ，
，
或 或 ，
故选：D．
8．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家
到单位有两条路线可选择，路线 为全程25千米的普通道路，路线 包含快速通道，全程21千米，走路
线 比路线 平均速度提高 ，时间节省20分钟，求走路线 和路线 的平均速度分别是多少？设走路
线 的平均速度为 千米/小时，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据走两条路线速度间的关系，可得出走路线b的平均
速度为 千米/时，利用时间=路程÷速度，结合走“走路线 比路线 时间节省20分钟”，即可得
出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】设走路线 的平均速度为 千米/小时，则走路线b的平均速度为 千米/时，由题意得， ，
故选：B．
9．（2023上·山东淄博·八年级统考期中）在我市“绿水青山”行动中，某工程队承接了6万平方米的河滩
绿化任务，为了应对雨季的到来，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前20天完成了这项任务．设
实际每天的绿化面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程．找到合适的等量关系是解决问题的关键．设原计划工
作时每天绿化的面积为x万平方米，根据工作时间 工作总量 工作效率结合提前20天完成任务，即可得
出关于x的分式方程．
【详解】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，根据题意可得： ．
故选：C．
10．（2023上·广西来宾·八年级校考阶段练习）分式方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察可得方程最简公分母为 ，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．
【详解】解：两边同乘 ，得 ，
整理、解得： ．
检验：将 代入 ，
方程的解为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式
方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．二、填空题
11．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）当 ，分式 的值与分式 的值互为相反
数．
【答案】
【分析】此题考查了解分式方程，根据题意列出分式方程，求出解即可得到x的值．
【详解】∵分式 的值与分式 的值互为相反数
∴ ，
去分母得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解，
故答案为： ．
12．（重庆市沙坪坝区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题）如果关于 的分式方程
有整数解，且关于 的不等式组 的解集至少有2个整数解，那么符合条件的
所有整数 的和为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式方程的解法和不等式组的解法．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整
式方程的解，由方程的解为整数确定出 的值，不等式组整理后，由已知解集确定出 的范围，进而确定
出满足题意的所有 的值，求出它们的和即可．
【详解】解： ，
去分母得： ，∴ ，且 ，
∵这个分式方程有整数解，
∴ 可以是： 或 或 或 或 ，
∴ 或 或 或 或 ．
关于 的不等式组 ，
整理得： ，
∵这个不等式组的解集至少有2个整数解，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值为： ， ， ，
∴符合条件的所有整数 的和为： ．
故答案为： ．
13．（2023上·河北石家庄·八年级石家庄市第四十一中学校考期中）若关于 的分式方程 有
增根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，即使最简公分
母 的值，确定后代入整式方程即可求得 的值，熟练掌握解分式方程的方法与分式方程的增根的含
义是解题的关键．
【详解】解：
方程两边都乘以 得 ，
，
，
∵方程的增根是使 的值，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
14．（2023上·湖南岳阳·八年级校考期中）对于实数a，b，定义一种运算“ ”为： ，
方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义以及解分式方程．根据“ ”的运算规则，可将所求的方程化为：
，然后解这个分式方程即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
给方程两边同时乘以 ，
得 ，
化简得 ，
解得 ，
经检验： 是原分式方程的解．
故答案为： ．
15．（2023上·湖南湘潭·八年级湘潭江声实验学校校考期中）解分式方程 去分母时，
等式两边都乘以 ．
【答案】【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程时方程两边乘最简公分母，这样分式方程化为了整式方程，
确定最简公分母是关键．
【详解】解：∵分式方程 可化为： ，
∴去分母时，方程两边应都乘以： ，分式方程即化为整式方程．
故答案为： ．
16．（2023上·广西贵港·八年级统考期中）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气
中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年
的平均滞尘量的2倍少4mg，一年滞尘1000mg所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550mg所需的国槐树叶
的片数相同．若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 ，则根据题意可得方程是
．
【答案】
【分析】根据一年滞尘 所需的银杏树叶的片数与一年滞尘 所需的国槐树叶的片数相同，列
方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是弄清题意，找到题目中的关键语句，
列出方程．
【详解】解：设一片槐树叶一年平均滞尘量为 ，
则一片银杏树叶一年平均滞尘量为 ，
由题意得： ．
故答案为： ．
17．（2023上·湖南永州·八年级统考期中）若关于x的分式方程 有增根，则m的值为
．
【答案】1
【分析】本题考查了分式方程的增根，根据题意可得 ，然后把x的值代入整式方程中进行计算即可解
答．
【详解】解： ，方程两边同时乘以最简公分母 得：
，
解得： ，
∵分式方程有增根，
，
∴ ，
把 代入 中，即 ，
m的值为：1，
故答案为：1．
18．（2023上·河北保定·八年级统考期中）若关于 的分式方程 无解，则 的值为
．
【答案】3
【分析】由题意可先去分母，然后再根据分式方程无解的问题可求解，熟练掌握分式方程无解的问题是解
题的关键．
【详解】解：
，
，
∵关于 的分式方程 无解，
∴ ，
∴ ；
故答案为3．
三、解答题
19．（湖南省娄底市市直学校2023-2024学年八年级上学期期中联考数学试题）2020年11月20日，娄底
市荣获“第六届全国文明城市”称号．为巩固“国家文明城市”创建成果，共享文明健康美好生活，我市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造．现有甲、乙两个工程队
有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的
2倍．若甲、乙两工程队合作只需要10天完成．求甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
【答案】甲需要15天，乙需要30天
【分析】本题考查了工程问题，分析题意，找到合适的等量关系是解决本题的关键．此题等量关系比较多，
主要用到公式：工作总量=工作效率×工作时间． 设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成
该工程需 天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要10天”，列出方程解决问题．
【详解】解：根据题意得： ，
方程两边同乘以 ，得 ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解．
∴当 时， ，
答：单独完成此项工程甲需要15天，乙需要30天．
20．（湖南省娄底市市直学校2023-2024学年八年级上学期期中联考数学试题）（1）计算：
（2）解方程： ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】本题考查了负整数指数幂运算，解分式方程等知识，掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）根据积的乘方、同底数幂相乘法则、负整数指数幂的意义计算即可；
（2）先把分式方程转化为整式方程，然后进行求解，最后要检验．
【详解】解：（1）
；
（2）
去分母，得 ，
解得 ，经检验，得 是原分式方程的解．
∴原分式方程的解为 ．
21．（2023上·山东威海·八年级威海经济技术开发区皇冠中学校联考期中）计算题：
(1)因式分解
①
②
(2)分式化简：
①
②
(3)解方程：
①
②
【答案】(1)① ；②
(2)① ；②
(3)①无解；②
【分析】此题考查了因式分解，分式的混合运算，解分式方程，
（1）①首先利用十字相乘法因式分解，然后利用完全平方公式法分解因式即可；
②首先利用提公因式法分解因式，然后利用平方差公式和完全平方公法分解因式即可；
（2）①首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，然后计算乘法；
②根据分式的混合运算法则求解即可；
（3）①首先去分母转化成整式方法，然后求解，最后要检验；
②首先去分母转化成整式方法，然后求解，最后要检验．
解题的关键是熟练掌握以上运算法则和运算顺序．【详解】（1）①
；
②
；
（2）①
；
②
．（3）①
去分母得：
去括号得
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
检验：当 时， ，
∴原方程无解；
②
去分母得：
去括号得，
移项合并同类项得： ，
系数化为1得：
检验：当 时， ，
∴原分式方程的解是 ．
22．（2023·全国·八年级专题练习）4月23日是“世界读书日”，小明和爸爸参加了学校开展的“书香家
庭，相伴共读”亲子阅读活动．已知小明每天比爸爸多读5页，小明读100页所用的时间与爸爸读80页所
用的时间相等．求小明和爸爸每天各读书多少页？
【答案】爸爸每天读书20页，小明每天读书25页
【分析】本题考查了分式方程的应用．设爸爸每天读书 页，则小明每天读书 页，根据小明读100
页所用的时间与爸爸读80页所用的时间相等，可列出关于 的分式方程，解之经检验后，可得出爸爸每天
读书的页数，再将其代入 中，即可求出小明读书的页数．
【详解】解：设爸爸每天读书 页，则小明每天读书 页，
根据题意得： ，解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
．
答：爸爸每天读书20页，小明每天读书25页．
23．（2023上·山东东营·八年级校联考期中）（1）把下列各式因式分解：
① ；
② ．
（2）解方程
① ；
② ；
【答案】（1）① ；② ；（2） ；②
【分析】本题考查了因式分解、解分式方程：
（1）①先提取公因数，再利用公式法即可求解；②利用公式法即可求解；
（2）①利用解分式方程的一般步骤即可求解；②利用解分式方程的一般步骤即可求解；
熟练掌握提公因式法及公式法分解因式和解分式方程的一般步骤是解题的关键．
【详解】（1）①原式
．
②原式
．
① ，
两边同时乘以 得：
，
解得： ，
检验：当 时， ，是原方程的根；
② ，
两边同时乘以 得：
，
解得： ，
检验：当 时， ，
是原方程的根．
24．（2023上·湖南娄底·八年级统考期中）观察下列各式：
； ；…．
请利用你所得的结论，解答下列问题：
(1)计算： ．
(2)解方程 ．
(3)若 ，求n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查规律探索问题及解分式方程．
（1）观察各式可得 ，根据此规律将原式变形后计算即可；（2）根据 将原方程变形后解方程即可；
（3）类比所发现的规律可知 ，根据此规律将原式变形后计算即可．
结合已知条件总结出规律： ，是解题的关键．
【详解】（1）解：观察各式可得： ，
原式 ；
（2）解：方程整理得： ，
即 ，
去分母得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解．
（3）类比所发现的规律可知： ，
∵
∴
∴ ，即 ，
∴解得： ，
∴经检验， 是分式方程的解，
故原方程的解为： ．
25．（2023上·湖南永州·八年级校考期中）解分式方程．(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程，平方差公式．正确的将分式方程化成整式方程并进行检验是解题的关键．
（1）先去分母 ，移项合并，系数化为1，最后进行检验即可；
（2）先去分母，然后移项合并，系数化为1，最后进行检验即可．
【详解】（1）解： ，
两边同时乘以 得， ，
移项合并得， ，
系数化为1得， ，
将 代入 ，
∴ 是原分式方程的解；
（2）解： ，
两边同时乘以 得， ，
去括号得， ，
移项合并得， ，
系数化为1得， ，
将 代入 ，
∴原分式方程无解．
26．（2023上·湖南怀化·八年级统考期中）某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋
和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了 元，购买围棋用了 元，已知每副围棋比每副象棋贵
元．
(1)求每副象棋和围棋的价格各多少元？
(2)若该校决定再次购买同种象棋和围棋共 副，但费用不能超过 元，则最多可再次购买多少副围棋？【答案】(1)象棋每副 元，围棋每副 元
(2)围棋最多可买 副
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，按题意设合理的未知数列出方
程或不等式是解答本题的关键．
（1）依题意设每副象棋 元，围棋每副 元，列出关于 的分式方程，求解方程组得到答案．
（2）依题意设最多可再次购买 副围棋，列出关于 的一元一次不等式，解不等式得到结果．
【详解】（1）解：依题意设每副象棋 元，围棋每副 元，
则 ，
，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴ （元）
故答案为象棋每副 元，围棋每副 元．
（2）依题意设最多可再次购买 副围棋，
则 ，
解得 ，
故答案为围棋最多可买 副．
