文档内容
15.1.1 从分数到分式 教学设计
一、教学目标：
1.了解分式的概念.
2.理解分式有意义的条件及分式值为零、为正、为负的条件．
3.能熟练地求出分式有意义的条件及分式值为零、为正、为负的条件．
二、教学重、难点：
重点：了解分式的概念，确定分式有意义的条件.
难点：确定分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
三、教学过程：
复习回顾
1.下列两个整数相除如何表示成分数的形式：
3÷4= 10÷3= 12÷11= -7÷2=
2.在代数式中，整式的除法是否也能类似地表示？试用类似分数的形式表示下列整式的除法：
(1) 90÷x 可以用式子( )来表示；60÷(x-6)可以用式子( )来表示.
(2) n 公顷麦田共收小麦 m 吨，平均每公顷产量可以用式子 ( )吨来表示.
知识精讲
章前引言
一艘轮船在静水中的最大航速为 30km/h，它以最大船速沿江顺流航行 90km所用时间，
与以最大航速逆流航行60km所用的时间相等，江水的流速是多少？
如果设江水的流速为 v km/h，则轮船顺流航行 90km所用时间为_________h，逆流航行
60km所用时间为_________h，由方程_________________可以解出 v 的值.
思考：填空：
(1)长方形的面积为10cm2，长为7cm，则宽为____cm；长方形的面积为 S，长为a，宽应为______.
(2)把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱形容器中，则水面高度为______cm；把
体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，则水面高度为_____.
S V m 90 60 90 60
思考：式子 a ，S ， n ， x ，x−60 ， 30+v ， 30−v ，有什么共同点？它们与分数有什么相
同点和不同点？
A
可以发现，这些式子与分数一样都是 B (即A÷B)的形式. 分数的分子 A 与分母 B 都是
整数，而这些式子中的 A， B 都是整式，并且 B 中都含有字母.
A
分式：一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子B 叫做分式. 分
A
式B 中，A 叫做分子，B 叫做分母.
(1)分式是不同于整式的另一类式子.
(2)分母中含有字母是分式的一大特点.
2 x
(3)分式比分数更具有一般性. 例如，分数3 仅表示2÷3的商，而分式 y 既可以表示2÷3，又可
以表示(-5)÷2，8÷(-9)等.
典例解析
例1.下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
b−3 m(n+p) x2 −xy+y2 2 4
5x-7，3x2-1，2a+1， 7 ，-5， 2x−1 ，7 ，5b+c
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
整式 整式 分式 整式 整式 分式 整式 分式
是分式吗？ 是分式吗？
【点睛】1.判断时，注意含有π的式子，π是常数. 2.式子中含有多项时，若其中有一项分母含有字母，则该式也为分式，如：
思考：我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为 0.要使分式有意义，分式中的分母
应满足什么条件？
分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当 B≠0时，分
A
式B 才有意义.
例2.下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
2 x 1 x+y
(1) 3x (2) x−1 (3) 5−3b (4) x−y
2
解：(1)要使分式3x有意义，则分母3x≠0，即x≠0；
x
(2)要使分式x−1有意义，则分母x-1≠0，即x≠1；
1 5
(3)要使分式5−3b有意义，则分母5-3b≠0，即b≠3；
x+y
(4)要使分式x−y 有意义，则分母x-y≠0，即x≠y.
如无特别声明，本章出现的分式都有意义.
例3.已知分式 有意义，则x应满足的条件是 ( )
A.x≠1 B．x≠2 C.x≠1且x≠2 D.以上结果都不对
【点睛】分式有意义的条件是分母不为零.如果分母是几个因式乘积的形式，则每个因式都不
为零.
【针对练习】下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
2 x+1 2m 1 2a+b 2
(1) a (2) x−1 (3) 3m+2 (4) x−y (3) 3a−b (4) x2 −12
解：(1)当分母a≠0时，分式a有意义；
x+1
(2)当分母x-1≠0，即x≠1时，分式x−1有意义；
2m
(3)当分母3m+2≠0，即m≠- 时，分式3m+2有意义；
1
(4)当分母x-y≠0，即x≠y时，分式x−y 有意义；
2a+b
(5)当分母3a-b≠0，即b≠3a时，分式3a−b有意义；
2
(6)当分母x2-1≠0，即x≠±1时，分式x2 −1有意义.
A A
思考：分式B 的值为零应满足什么条件？分式B 的值为正(负)应满足什么条件？
根据除法的意义及法则很容易得到：
A
1.当A=0且B≠0时，分式B 的值为零.
A
2. 分式B 的值为正时，A,B同号.
A
3. 分式B 的值为负时，A,B异号.
例4.当x为何值时，分式 的值为零?
解：当分子等于零而分母不等于零时,分式的值为零.
则x2-1=0，
∴x=±1，
而x+1≠0，
∴x≠-1.
∴当x=1时分式 的值为零.【针对练习】
1.当 时，分式 的值为零.
2.若 的值为零，则x＝ ．
a-3
例5.若 值为正数，则a的取值范围是（ ）
a-2
A．a>3B．a≠2 C．a<2 D．a>3或a<2
a-3
解：∵ 值为正数，
a-2
∴¿或¿，
解得：a>3或a<2，故D正确．
故选：D．
【针对练习】
2x＋1
1．若分式 的值为正，则x的取值范围为（ ）
x2
1 1 1 1
A．x≥－ B．x≤－ C．x＞－ 且x≠0 D．x＜－
2 2 2 2
2-3x
2．若分式 的值是负数，则x的取值范围是（ ）
x2+1
3 2 3 2
A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜
2 3 2 3
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
3 4 x2+1 7 5b
1．下列各式中- x， ，x+ y， ， ， 是分式的有（ ）
2 x- y π 8 3a
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
x-2
2．要使分式 有意义，x的取值应满足（ ）
x+3
A．x≠2 B．x≠﹣3 C．x≠2且x≠﹣3 D．x≠2或x≠﹣33．不论x取何值时，下列分式总有意义的是（ ）
A．x-1 B． x2 C． x D． x
x2 (x+2) 2 x+2 x2+2
4．若分式 的值为零，则x的值为（ ）
A．3或−3 B．3 C．−3 D．9
a 2a+b
5．已知 =2，则 的值是（ ）
b a-b
A．－5 B．5 C．－4 D．4
1
6．若代数式 的值为0，则x=______；当b=______时，分式4+b无意义．
x-1
7．当x的值为___________时，分式 的值为负．
x2
x 2 x+ y
8．已知 = ，则 =______.
y 3 y
4
9．分式 的值是整数，则正整数m的值等于___________．
m-1
1 2 4 8
10．观察下列各式： ，- ， ，- ，……，则第10个式子为_________．
x x2 x3 x4
x 1
11．当x为何值时，分式 - 有意义？
x-1 x+2
|x|-2
12．当x为何值时，分式 的值为零？
x2+5x+6
x-b
13．已知分式 ，当x=2时，分式的值为0；当x=-2时，分式没有意义，求a+b的值．
2x+a
14．观察下列各式：
2 1
第1个等式： =1- ．
1×3 3
2 1 1
第2个等式： = - ．
2×4 2 4
2 1 1
第3个等式： = - ．
3×5 3 5……
根据你发现的规律解答下列问题：
(1)第4个等式为：____________．
(2)写出你猜想的第n个等式：__________________（用含n的等式表示）．
【参考答案】
1. C
2. B
3. D
4. C
5. B
6. -2，-4
7.x＜1且x≠0
5
8.
3
9. 2或3或5
512
10.-
x10
11.解：由题意得，x-1≠0，x+2≠0，
解得x≠1且x≠-2．
|x|-2
12.解：∵ 的值为零
x2+5x+6
∴|x|-2=0且x2+5x+6≠0
解得：x=±2，
当x=2时，x2+5x+6=20≠0
当x=-2时，x2+5x+6=0，故舍去
综上：x=2
13.解：∵x=2时，分式的值为0，
∴2-b=0，
b=2．
∵x=-2时，分式没有意义，
∴2×(-2)+a=0，
a=4．∴a+b=6．
2 1 1 2 1 1
14.(1) = - (2) = -
4×6 4 6 n(n+2) n n+2
四、教学反思：
