文档内容
15.3 分式方程及应用
【考点1:分式方程定义】
【考点2:分式方程的解】
【考点3:解分式方程】
【考点4:分式方程的增根】
【考点5: 分式方程应用-工程问题】
【考点6:分式方程应用-行程问题】
【考点7:分式方程应用-销售问题】
【考点8: 分式方程应用-方案问题】
【考点9: 分式方程应用-其他问题】
知识点1：分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
注意：
（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.
分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
【考点1:分式方程定义】
【典例1】下列式子中，是分式方程的是（ ）
x2+1 5 1 4x
A． = B． +
2 3 3x−1 3x+1
x 3 3−x x−4
C． − =1 D． +2=
2x−1 2x+1 4 3
【答案】C【分析】此题考查了分式方程得定义，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可．
x2+1 5
【详解】解：A． = 是一元二次方程，故选项不符合题意；
2 3
1 4x
B． + 不是方程，故选项不符合题意；
3x−1 3x+1
x 3
C． − =1是分式方程，故选项符合题意；
2x−1 2x+1
3−x x−4
D． +2= 是一元一次方程，故选项不符合题意．
4 3
故选：C．
【变式1-1】下列方程不是分式方程的是（ ）
1 3x x 5 3 7 x+2 5
A． =1 B． − = C． = D． − =7
x 2 3 6 x−5 x x−1 1−x
【答案】B
【分析】本题主要考查分式方程的定义，理解并掌握分式方程的定义是解题关键．分母里含有字母的
方程叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可．
【详解】解：A.是分式方程，不符合题意；
B. 不是分式方程，符合题意；
C. 是分式方程，不符合题意；
D. 是分式方程，不符合题意．
故选：B．
【变式1-2】在下列各式中，属于分式方程的是（ ）
x+1 2x
A．2x−3 y=0 B． −3=
2 7
x+1 3 5
C． +3 D． =
x−2 x−2 x
【答案】D
【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关
键．
【详解】解：A、2x−3 y=0是整式方程，不是分式方程，不符合题意；
x+1 2x
B、 −3= 是整式方程，不是分式方程，不符合题意；
2 7
x+1
C、 +3不是方程，不是分式方程，不符合题意；
x−23 5
D、 = 是分式方程，符合题意；
x−2 x
故选：D．
【变式1-3】下列关于x的方程中，不是分式方程的是（ ）
x 6 20 5
A． = B． = +1
5 x−5 x+1 x−1
3x x x
C． =5 D． = −x
x2+3 2 4
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的识别．根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程
判断．
【详解】解：A、B、C项分母中都含未知数，是分式方程，
D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程．
故选：D．
【考点2:分式方程的解】
2x−m
【典例2】关于x的分式方程 =3的解是负数，则字母m的取值范围是（ ）
x+1
A．m>−3 B．m>−3且m≠−2
C．m<−3 D．m<−3且m≠−2
【答案】B
【分析】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，正确掌握解分式方程和解一元一次不等式是
解题的关键．
解分式方程，得到含有m得方程的解，根据“方程的解是负数”，结合分式方程的分母不等于零，得到
两个关于m的不等式，解之即可．
2x−m
【详解】解： =3，
x+1
方程两边同时乘以(x+1)得：2x−m=3(x+1)，
解得：x=−m−3，
∵x+1≠0，
∴x≠−1，
即−m−3≠−1，
解得：m≠−2，又∵方程的解是负数，
∴−m−3<0，
解不等式得：m>−3，
综上可知：m>−3且m≠−2，
故选：B．
a 1
【变式2-1】x=2是分式方程 = 的解，则a=（ ）
x x−3
A．2 B．−2 C．4 D．−4
【答案】B
a 1 3a
【分析】先化简 = 得x= ，再把x=2代入分式方程，求出a的值即可．本题考查的是分式方
x x−3 a−1
程的解和解分式方程，熟知使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫
方程的解是解题的关键．
a 1
【详解】解： = ，
x x−3
a(x−3)=x，
3a
x= ，
a−1
∵x=2是分式方程的解，
3a
∴ 2= ，
a−1
解得a=−2．
经检验a=−2，则x=2，是原分式方程的解，
故选：B．
2x−m
【变式2-2】如果关于x的分式方程 =1的解是负数，那么实数m的取值范围为 ．
x+1
【答案】m<−1且m≠−2
【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解程得到x=m+1，再根据方程的解为负
数以及分母不为0列式求解即可．
2x−m
【详解】解： =1
x+1
去分母得：2x−m=x+1，
解得x=m+1，
∵分式方程的解是负数，∴m+1<0，
∴m<−1，
又∵分母不为0，
∴x+1≠0，
∴m+1+1≠0，
∴m≠−2；
综上所述，m<−1且m≠−2，
故答案为：m<−1且m≠−2．
m 2
【变式2-3】若关于x的分式方程 − =1的解是正数，则m的取值范围是 ．
x−1 1−x
【答案】m>−3且m≠−2
【分析】本题考查了解分式方程，一元一次不等式的应用．熟练掌握解分式方程是解题的关键．
将分式方程化为整式方程，然后解方程求出x=m+3，根据题意得到x=m+3>0，且x=m+3≠1，然
后求解作答即可．
m 2
【详解】解： − =1，
x−1 1−x
m+2=x−1，
解得，x=m+3，
m 2
∵关于x的分式方程 − =1的解是正数，
x−1 1−x
∴x=m+3>0，且x=m+3≠1
∴m>−3且m≠−2，
故答案为：m>−3且m≠−2．
知识点2：分式方程的解法
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，
再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
【考点3:解分式方程】
【典例3】解分式方程
x 2
(1) + =3；
2x−1 1−2x
2x+9 4x−7
(2)
= +2
3x−9 x−3
1
【答案】(1)x=
5
(2)无解
【分析】此题考查了解分式方程.
（1）两边同乘以2x−1得到整式方程，解方程并检验即可；
（2）两边同乘以3(x−3)得到整式方程，解方程并检验即可.
x 2
【详解】（1） + =3
2x−1 1−2x
方程两边同乘以2x−1得，x−2=3(2x−1)，
1
解得，x=
5
1 2 3
当x= 时，2x−1= −1=− ≠0，
5 5 5
1
∴x= 是分式方程的解；
5
2x+9 4x−7
（2） = +2
3x−9 x−3
两边同乘以3(x−3)得，2x+9=3(4x−7)+6(x−3)，
解得x=3
当x=3时，3(x−3)=0，
∴x=3是增根，分式方程无解.
【变式3-1】解分式方程：
4 6
(1) = ；
x x+23−2x x
(2) = −2；
x−2 2−x
7 6 3
(3) − =
x2+x x2−1 x−x2
【答案】(1)x=4
(2)x=1
(3)无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法，注意最后对方程的解进行检验．
（1）先去分母变分式方程为整式方程4(x+2)=6x，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；
（2）先去分母变分式方程为整式方程3−2x=−x−2(x−2)，然后解整式方程，最后对方程的解进行
检验即可；
（3）先去分母变分式方程为整式方程7(x−1)−6x=−3(x+1)，然后解整式方程，最后对方程的解进
行检验即可．
4 6
【详解】（1）解： = ，
x x+2
去分母得：4(x+2)=6x，
去括号得：4x+8=6x，
移项合并同类项得：−2x=−8，
系数化为1得：x=4，
检验：把x=4代入x(x+2)得：4×(4+2)=24≠0，
∴x=4是原方程的解；
3−2x x
（2）解： = −2，
x−2 2−x
去分母得：3−2x=−x−2(x−2)，
去括号得：3−2x=−x−2x+4，
移项合并同类项得：x=1，
检验：把x=1代入x−2得：1−2=−1≠0，
∴x=1是原方程的解；
7 6 3
（3）解： − = ，
x2+x x2−1 x−x2
去分母得：7(x−1)−6x=−3(x+1)，
去括号得：7x−7−6x=−3x−3，
移项合并同类项得：4x=4，系数化为1得：x=1，
检验：把x=1代入x(x+1)(x−1)得：1×(1+1)×(1−1)=0，
∴x=1是原方程的增根，
∴原方程无解．
【变式3-2】解分式方程
1 1−x
(1) = −3
x−2 2−x
x−3 3
(2)
−1=
x−2 x
【答案】(1)无解
3
(2)x=
2
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
（1）先将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可；
（2）先将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可．
【详解】（1）解：方程两边同乘x−2，得1=−1+x−3(x−2)，
解得x=2，
经检验，x=2是方程的增根，
所以，原方程无解；
（2）解：方程两边同乘x(x−2)，得x(x−3)−x(x−2)=3(x−2)，
3
解得x= ，
2
3
经检验，x= 是方程的解，
2
3
所以，方程的解为x= ．
2
【变式3-3】解分式方程：
3 x
(1) − =−2；
x−2 2−x
2 4
(2) = ．
x−1 x2−1
1
【答案】(1)x=
3
(2)无解【分析】（1）按照解分式方程的基本步骤求解即可．
（2）按照解分式方程的基本步骤求解即可．
本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
3 x
【详解】（1）解：∵ − =−2,
x−2 2−x
去分母，得3+x=−2x+4，
移项，得2x+x=4−3，
合并同类项，得3x=1，
1
系数化为1，得x= ，
3
1
经检验，x= 是原方程的根，
3
1
故x= 是原方程的根．
3
2 4
（2）∵ = ，
x−1 x2−1
2 4
=
即 ，
x−1 (x−1)(x+1)
去分母，得2(x+1)=4，
去括号，得2x+2=4，
移项、合并同类项，得2x=2，
系数化为1，得x=1
经检验，x=1是原方程的增根，
故原方程无解．
【考点4:分式方程的增根】
x−1 a
【典例4】若关于x的分式方程 = −2有增根，则a的值是 （ ）
x+1 x+1
A．−2 B．−1 C．0 D．1
【答案】A
a−1
【分析】本题主要考查了分式方程有增根的问题，正确解分式方程得到x= 是解题的关键．先解分
3
a−1 a−1
式方程得到x= ，再根据分式方程有增根得到 =−1，解方程即可得到答案．
3 3x−1 a
【详解】解： = −2
x+1 x+1
去分母得：x−1=a−2(x+1)，
去括号得：x−1=a−2x−2，
移项得：x+2x=a−2+1，
合并同类项得：3x=a−1，
a−1
系数化为1得：x= ，
3
∵分式方程有增根，
∴x+1=0，即x=−1，
a−1
∴ =−1，
3
∴a=−2，
故选A．
x−1 a
【变式4-1】若关于x的分式方程 = −5有增根，则a的值是（ ）
x+2 x+2
A．−3 B．−2 C．1 D．5
【答案】A
【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增
根代入整式方程即可求得相关字母的值．由分式方程有增根，得到x+2=0，求出x的值，代入整式方
程求出的值即可．
【详解】解：去分母得：x−1=a−5(x+2)，
由分式方程有增根，得到x+2=0，即x=−2，
把x=−2代入整式方程得：−2−1=a，
解得：a=−3，
故选：A．
2kx−1 2+k
【变式4-2】关于x的分式方程 + =3有增根，则k的值为 ．
x−2 2−x
2
【答案】k= 或k=1
3
【分析】本题考查了分式方程的解，先去分母，根据分式方程有增根的条件求解即可．
2kx−1 2+k
【详解】解： + =3
x−2 2−x
2kx−1−(2+k)=3(x−2)(2k−3)x=k−3
2
当2k−3=0，即k= 时，方程无解
3
2 k−3
当2k−3≠0，即k≠ 时，此时x=
3 2k−3
∵分式方程无解
∴x−2=0,2−x=0
∴x=2
k−3
∴ =2，解得：k=1
2k−3
2
综上，k= 或k=1时，分式方程无解
3
2
故答案为：k= 或k=1．
3
3x−2 m
【变式4-3】关于x的方程 =1+ 有增根，则m的值为 ．
x+1 x+1
【答案】−5
【分析】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程有增根，则该方程无解，解出x，即可
求出m．
【详解】解：去分母得，3x−2=x+1+m，
合并同类项得，2x−3=m，
3x−2 m
∵ =1+ 有增根，
x+1 x+1
∴该方程无解，即x+1=0，
解得：x=−1，
∴m=2x−3=−2−3=−5．
故答案为：−5．
知识点3：分式方程应用
类型一：工程问题
类型二：行程问题类型三：销售问题
类型四：方案问题
类型四：其他问题
【考点5: 分式方程应用-工程问题】
【典例5】某厂家生产甲、乙两种电动汽车零部件，已知甲种零部件每件的成本比乙种零部件每件的成
本多1500元，且投入40000元生产甲种零部件的件数和投入28000元生产乙种零部件的件数相同；
(1)求甲、乙两种零部件每件成本各是多少元?
(2)如果两种零部件共生产70件，该厂家至少要投入290000元，那么，甲种零部件至少生产多少件?
【答案】(1)甲每件成是5000元，乙每件成本是3500元
(2)甲种零部件至少生产30件
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等
关系．
（1）设乙种零部件每件成本是x元，则甲种零部件每件成本是(x+1500)元，根据题意列出方程，即可
求解；
（2）设甲种零部件生产了m件，根据题意列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设乙种零部件每件成本是x元，则甲种零部件每件成本是(x+1500)元，
40000 28000
根据题意得： = ，
x+1500 x
解得：x=3500，
经检验：x=3500是分式方程得解，
∴ x+1500=5000，
答：甲种零部件每件成是5000元，乙种零部件每件成本是3500元；
（2）解：设甲种零部件生产了m件，
5000m+3500(70−m)≥290000，
解得，m≥30，
答：甲种零部件至少生产30件．
【变式5-1】某市对一段全长2000米的道路进行改造．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，
实际施工时，若每天修路比原计划提高效率25%，就可以提前5天完成修路任务．
(1)求修这段路计划用多少天？(2)有甲、乙两个工程队参与修路施工，其中甲队每天可修路120米，乙队每天可修路80米，若每天只
安排一个工程队施工，在保证至少提前5天完成修路任务的前提下，甲工程队至少要修路多少天？
【答案】(1)25
(2)10
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出
分式方程是解题的关键．
（1）设原计划每天修x米，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）设甲工程队要修路a天，则乙工程队要修路(20−a)天，根据题意列出一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：设原计划每天修x米，由题意得，
2000 2000
− =5
x x(1+25%)
解得x=80，
经检验x=80是原分式方程的解，且符合题意，
2000
则 =25（天）
x
答：修这段路计划用25天；
（2）解：设甲工程队要修路a天，则乙工程队要修路(20−a)天，
根据题意得120a+80(20−a)≥2000．
解得a≥10，
答：甲工程队至少要修路10天．
【变式5-2】近段时间，我市积极应对台风“摩羯”和郁江2024年第1号洪水，确保了2001年以来最
高洪峰在我市安全过境．9月14日，邕江南宁水文站水位已下降至紧急水位以下且持续回落，下午市
政部门开始着手河道清淤治理工作，现有甲、乙两工程队，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时
间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的1.5倍，甲乙两工程队合作15天，余下的
任务甲工程队单独完成仍需5天完成．
(1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要几天？
(2)经过预算，甲工程队每天的费用是3000元，乙工程队每天的施工费用为2000元，为尽可能缩短施
工时间，市政部门打算让两个工程队合作完成，完成河道清淤的总费用是多少？
【答案】(1)甲、乙工程队单独完成此项工程分别各需要30天，45天
(2)完成河道清淤的总费用是90000元
【分析】本题考查了分式方程的实际应用—工程问题，理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关
键；（1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则乙工程队单独完成此项工程需要1.5x天，根据等量关
系：两队合作15天完成的工作任务与甲5天完成余下任务的和为全部任务，列出分式方程求解即可；
（2）先计算出两个工程队合作完成的时间，即可计算出总费用．
【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则乙工程队单独完成此项工程需要1.5x天，
(1 1 ) 1
由题意得：15× + +5× =1，
x 1.5x x
方程两边同乘以1.5x得：22.5+15+7.5=1.5x
解得：x=30，
检验，当x=30时，1.5x≠0，
∴x=30是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×30=45；
答：甲、乙工程队单独完成此项工程分别各需要30天，45天；
( 1 1 ) 5
（2）解：甲、乙两个工程队合作完成，需要的天数为1÷ + =1÷ =18（天)，
30 45 90
∴(3000+2000)×18=90000（元），
答：完成河道清淤的总费用是90000元．
【变式5-3】某国产新能源汽车在国内国际市场销售屡创佳绩，体现了中国制造的“大国风范”．为进
一步提升市场占有率，决定增加产量600万台．自2020年初开始实施后，实际每年产量是原计划的1.2
倍，照此进度预计可提前2年完成任务．
(1)原计划每年产量为多少万台？
(2)为更快实现目标，该品牌决定加快生产速度，要求从2023年初后续不超过5年完成，那么实际平均
每年产量至少还要增加多少万台？
【答案】(1)原计划每年产量为50万台
(2)实际平均每年产量至少还要增加36万台
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程和一元
一次不等式是解此题的关键．
（1）设原计划每年产量为x万台，则实际每年产量就是1.2x万台，根据“预计可提前2年完成任务”
列出分式方程，解分式方程即可得出答案；
（2）由（1）可得，实际每年产量就是1.2x=60万台，设实际平均每年产量至少还要增加a万台，根据“要求从2023年初后续不超过5年完成”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案．
【详解】（1）解：设原计划每年产量为x万台，则实际每年产量就是1.2x万台，
600 600
由题意得： = +2，
x 1.2x
解得：x=50，
经检验，x=50是分式方程的解且符合题意，
∴原计划每年产量为50万台；
（2）解：由（1）可得，实际每年产量就是1.2x=60万台，
设实际平均每年产量至少还要增加a万台，
由题意得：(60+a)×5≥600−2×60，
解得：a≥36，
∴实际平均每年产量至少还要增加36万台．
【考点6:分式方程应用-行程问题】
【典例6】一辆轿车原计划从甲地匀速行驶到距离200千米的乙地，出发后2小时内按原计划的速度行
驶，2小时后以原计划速度的2倍匀速行驶，结果比原计划提前1小时到达，求原计划的行驶速度．
【答案】50千米/小时
【分析】本题考查了分式方程的应用，能够根据等量关系列出分式方程是解答本题的关键．
根据速度改变后的时间=原计划的时间+1列出分式方程即可解答．
【详解】解：设原计划的速度为x千米/小时，
出发2小时行驶2x千米，剩余(200−2x)千米，
2小时后行驶速度为2x千米/小时，因为结果比原计划提前1小时到达，
200−2x 200−2x
可列方程： = +1，
x 2x
解得：x=50，
经检验，x=50是分式方程的解，
∴原计划的行驶速度是50千米/小时．
【变式6-1】进入夏季用电高峰季节，市供电局维修队接到紧急通知：要到30千米远的某乡镇进行紧急
抢修，维修工骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载所需材料出发，结果两车同时到达抢修点，已知
抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求两种车的速度．
【答案】摩托车的速度是40km/h，抢修车的速度是60km/h
【分析】本题主要考查建立分式方程模型解决简单实际问题的能力，考查基本的代数式计算推理能力．找到合适的等量关系是解决问题的关键．
设摩托车速度是x千米/时，则抢修车的速度是1.5x千米/时；路程都是30千米；由时间=路程除以速度，
两车同时到达抢修点，所用时间等量关系，列方程．
【详解】解：设摩托车的是xkm/h，
30 30 15
根据题意得： = + ，
x 1.5x 60
解得：x=40，
经检验x=40是原方程的解．
40×1.5=60(km/h)．
答：摩托车的速度是40km/h，抢修车的速度是60km/h．
【变式6-2】广南到那洒高速公路经过两年多的建设，于2020年6月 30日24时正式通车运营，全长
49km的广那高速结束了广南县城不通高速公路的历史．从广南到那洒还有条全长58km的普通公路，某
客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度快30km/h，由高速公路从广南到那
洒所需要的时间是由普通公路从广南到那洒所需时间的一半，求该客车由高速公路从广南到那洒需要
几小时．
2
【答案】该客车由高速公路从广南到那洒需要 小时
3
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设该客车由高速公路从广南到那洒需要x小时，则该客
车由普通公路从广南到那洒需要2x小时，再根据客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行
驶的平均速度快30km/h列出方程求解即可．
【详解】解：设该客车由高速公路从广南到那洒需要x小时，则该客车由普通公路从广南到那洒需要
2x小时．
49 58
依题意，得 − =30，
x 2x
2
解得 x= ，
3
2
经检验 x= 是原方程的解，且符合题意．
3
2
答：该客车由高速公路从广南到那洒需要 小时．
3
【变式6-3】2022年12月26日上午，常益长高铁正式开通运营， 自此，三湘大地形成高铁大环线，
串起湖南“金色”大通道．若从常德市到长沙市乘坐高速列车的路程为150千米，乘坐普通列车的路程
为168千米，高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的2.5倍，且高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了1.8小时．问高速列车的平均速度是多少千米/时？
【答案】高速列车的平均速度是150千米/时
【分析】此题考查的是分式方程的应用，掌握用列表法分析等量关系并列方程是解决此题的关键.
设普通列车平均速度是每小时x千米，则高速列车的平均速度是每小时3x千米，
列表如下：
普通列车 高速列车
路 168 150
程
速 x 2.5x
度
时 168 150
间 x 2.5x
然后再根据“高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了1.8小时”，列方程并解方程即可（注：
分式方程要验根）.
【详解】解：设普通列车平均速度是每小时x千米，则高速列车的平均速度是每小时2.5x千米
168 150
由题意可知： − =1.8
x 2.5x
解得：x=60
经检验：x=60是原方程的解，
∴高速列车的平均速度是每小时60×2.5=150千米.
答：高速列车的平均速度是每小时150千米.
【考点7:分式方程应用-销售问题】
【典例7】哈密瓜是新疆某地特色时令水果，哈密瓜一上市，水果店老板用2160元购进一批哈密瓜，
5
很快售完；老板又用了3700元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的 倍，但进价比第一批每件多
3
了5元．
(1)第一批哈密瓜每件进价是多少元？
(2)老板以每件225元的价格销售第二批哈密瓜，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打六折促销，
请问第二批哈密瓜赚了多少钱．
【答案】(1)180元
(2)440元【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据件数作为等量关系列出方程，
（1）设第一批哈密瓜每件进价是x元，则第二批哈密瓜的进价是x+5元，分别计算出第一批和第二批
哈密瓜的件数，根据件数建立方程，解方程即可得到答案；
（2）先计算出第二批哈密瓜的进价和件数，再分别计算两次销售的利润即可得到答案．
【详解】（1）解：设第一批哈密瓜每件进价是x元，则第二批哈密瓜的进价是x+5元，
2160 3700
根据题意得：第一批哈密瓜的件数为 ，第二批哈密瓜的件数为 ，
x x+5
2160 5 3700
∴ × = ，
x 3 x+5
解方程得：x=180，
经检验x=180是原方程的根，
∴第一批哈密瓜每件进价是180元；
（2）解：根据（1）得第二批哈密瓜的售价为180+5=185元，
3700
则第二批哈密瓜的件数为： =20件，
185
∴第二批哈密瓜的利润为：80%×20×(225−185)+20%×20(225×0.6−185)=440元．
【变式7-1】元旦前夕，某超市用4000元购进若干节日贺卡，很快售完，该超市又用7500元购进同种
贺卡，第二批购入贺卡的数量比第一批多50%，每张贺卡的进价比第一批多0.5元．那么购入的第一批
贺卡的数量是多少张？
【答案】购入的第一批贺卡的数量是2000张．
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设购入的第一批贺卡的数量是x张，则购入的第二批贺卡的数量是(1+50%)x张，根据第二批购入贺卡
每张贺卡的进价比第一批多0.5元．列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设购入的第一批贺卡的数量是x张，则购入的第二批贺卡的数量是(1+50%)x张，
7500 4000
依题意得： − =0.5，
(1+50%)x x
解得：x=2000，
经检验，x=2000是原方程的解，且符合题意．
答：购入的第一批贺卡的数量是2000张．
【变式7-2】党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．某校为响应二十大
报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，
学校准备购买篮球和排球共45个．已知每个篮球的价格是每个排球的价格的1.5倍，用480元单独购买篮球或排球，则购买篮球的数量比购买排球的数量少4个．
(1)求篮球和排球的单价分别是多少元？
(2)根据学校实际情况，购买篮球和排球的总资金为2200元，求购买篮球和排球各多少个？
【答案】(1)篮球的单价是60元，排球的单价是40元
(2)购买篮球20个，购买排球25个
【分析】本题考查了分式方程及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
（1）根据“每个篮球的价格是每个排球的价格的1.5倍，用480元单独购买篮球或排球，则购买篮球
的数量比购买排球的数量少4个”列分式方程求解即可；
（2）设购买a个篮球，则购买(45−a)个排球，把篮球和排球的总价相加即可得一元一次方程，求解即
可．
【详解】（1）解：设排球的单价为x元，则篮球的单价为1.5x元．
480 480
由题意得 − =4，
x 1.5x
解得x=40，
检验，当x=40时，1.5x≠0，
∴x=40是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x=60，
答：篮球的单价是60元，排球的单价是40元．
（2）解：设购买a个篮球，则购买(45−a)个排球，由题意得
60a+40(45−a)=2200，
解得a=20，
∴45−a=25，
答：购买篮球20个，购买排球25个．
【变式7-3】为了响应“足球进校园”的号召，某体育用品商店计划购进一批足球．第一次用6000元
购进A品牌足球m个，第二次又用6000元购进B品牌足球，购进的B品牌足球的数量比购进的A品牌足
5
球的数量多30个，并且每个A品牌足球的进价是每个B品牌足球进价的 ．
4
(1)求m的值；
4
(2)若这两次购进的A,B两种品牌的足球分别按照a元/个， a元/个的价格销售，全部销售完毕后，可
5
获得的利润不低于4800元．求出a的最小值．
【答案】(1)m的值是120(2)a的最小值是70
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
6000 6000
（1）A品牌足球的进价为 元/个，B品牌足球的进价为 元/个，再根据每个A品牌足球的进
m m+30
5
价是每个B品牌足球进价的 列出方程求解即可；
4
（2）先求出A、B两种品牌的足球的进价分别为50元/个，40元/个，再分别求出A、B两种品牌的足
球的利润，再根据总利润不低于4800元列出不等式求解即可．
6000 6000 5
【详解】（1）解：由题意得， = × ，
m m+30 4
解得m=120，
经检验，m=120是原方程的解，且符合题意，
∴m=120；
6000 6000
（2）解： =50元/个， =40元/个，
120 120+30
∴A、B两种品牌的足球的进价分别为50元/个，40元/个，
(4 )
由题意得，120(a−50)+(120+30) a−40 ≥4800，
5
解得a≥70，
∴a的最小值是70．
【考点8: 分式方程应用-方案问题】
【典例8】深圳市某商场准备购买足球、排球两种商品，每个足球的进价比排球多30元，用3000元购
进足球和2100元购进排球的数量相同．
(1)每个足球和排球的进价分别是多少？
(2)根据对运动用品的市场调查，商场计划用不超过4800元的资金购进足球和排球共60个，其中足球
1
数量不低于排球数量 倍，该商场有几种进货方案？（不用写出具体方案）
3
【答案】(1)每个排球进价70元，每个足球进价100元
(2)该商场有6种进货方案
【分析】本题考查分式方程、一元一次不等式不等式组，正确理解题意，熟练掌握解法是解题的关键．
（1）设排球每个进价为x元，则足球每个进价为(x+30)元，根据用3000元购进足球和2100元购进排球的数量相同列出方程，解方程即可；
（2）设商场购买足球a个，则购买排球(60−a)个，根据商场计划用不超过4800元的资金购进足球和
1
排球共60个，其中足球数量不低于排球数量的 ，列不等式组，解不等式组即可．
3
【详解】（1）解：设每个排球进价为x元，则每个足球进价为(x+30)元，
3000 2100
由题意得： = ，
x+30 x
解得：x=70，
经检验，x=70是原方程的解且符合题意，
∴x+30=70+30=100（元），
答：每个排球进价70元，每个足球进价100元；
（2）解：设商场购买足球a个，则购买排球(60−a)个，
{100a+70(60−a)≤4800
)
根据题意得： 1 ，
a≥ (60−a)
3
解得：15≤a≤20，
∵a是正整数，
∴a的取值为15，16，17，18，19，20，
∴该商场有6种进货方案．
【变式8-1】某公司计划生产A货物1500吨，B货物1200吨．已知每天生产A货物的数是B货物的2
倍，生产B货物所需的时间比A货物多30天．
(1)公司每天可生产A，B两种货物各多少吨？
(2)生产完毕后，现计划用甲、乙两种型号的货厢共20节运送这批货物到另外一地仓库，已知90吨A货
物和50吨B货物可装满一节甲型货厢，40吨A货物和100吨B货物可装满一节乙型货．若每节甲货厢
的运费是1.5万元，每节乙货厢的运费是1万元．据此安排甲、乙两型货厢的节数，则方案的总运费最
少是多少元？
【答案】(1)公司每天可生产A种货物30吨，生产B种货物15吨
(2)安排甲型货厢14节，安排乙型货厢6节，，则总运费最少，是27万元
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．
1
（1）设每天生产A货物的数是x吨，则每天生产B货物的数是 x吨，根据生产B货物所需的时间比A
2
货物多30天，建立分式方程，求解，并检验即可；（2）设安排甲型货厢的节数为a节，则安排乙型货厢的节数为(20−a)节，根据90吨A货物和50吨B
货物可装满一节甲型货厢，40吨A货物和100吨B货物可装满一节乙型货．建立不等式组，求解即可．
1
【详解】（1）解：设每天生产A货物的数是x吨，则每天生产B货物的数是 x吨，
2
1500 1200
+30=
根据题意得： x 1 ，
x
2
解得：x=30，
1
经检验，x=30是原方程的解，则 x=15，
2
答：公司每天可生产A种货物30吨，生产B种货物15吨；
（2）解：设安排甲型货厢的节数为a节，则安排乙型货厢的节数为(20−a)节，
{90a+40(20−a)≥1500 )
根据题意得： ，
50a+100(20−a)≥1200
解得：14≤a≤16，
则共有三种方案：
方案一：安排甲型货厢14节，安排乙型货厢20−14=6节，则费用为：1.5×14+1×6=27（万元）；
方案二：安排甲型货厢15节，安排乙型货厢20−15=5节，则费用为：1.5×15+1×5=27.5（万元）；
方案三：安排甲型货厢16节，安排乙型货厢20−16=4节，则费用为：1.5×16+1×4=28（万元）；
答：安排甲型货厢14节，安排乙型货厢6节，，则总运费最少，是27万元．
【变式8-2】2024年成都世界园艺博览会的主题是“公园城市 美好人居”，成都市的市花芙蓉是本次
博览会的会花．现有A，B两种以芙蓉为主题的文创商品，已知360元购买的A种商品件数比540元购
买的B种商品件数少2件，B种商品单价是A种商品单价的1.25倍．
(1)求A、B两种商品的单价；
(2)现在购买一件B种商品赠送一件A种商品，若顾客需要两种商品共180件，费用不超过4590元，且B
4
种商品数量少于A种商品数量的 ，问采购方案有多少种？
5
【答案】(1)A种商品的单价为36元，B种商品的单价为45元
(2)共有10种采购方案
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关
系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设A种商品的单价为x元，则B种商品的单价为1.25x元，利用数量=总价÷单价，结合360元购买的A种商品件数比540元购买的B种商品件数少2件，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得
出x的值（即A种商品的单价），再将其代入1.25x中，即可求出B种商品的单价；
（2）设购买m件B种商品，则购买(180−m)件A种商品，根据“购买费用不超过4590元，且购买B种
4
商品数量少于A种商品数量的 ”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再
5
结合m为正整数，即可得出共有10种采购方案．
【详解】（1）解：设A种商品的单价为x元，则B种商品的单价为1.25x元，
540 360
根据题意得： − =2，
1.25x x
解得：x=36，
经检验，x=36是所列方程的解，且符合题意，
∴1.25x=1.25×36=45．
答：A种商品的单价为36元，B种商品的单价为45元；
（2）设购买m件B种商品，则购买(180−m)件A种商品，
{ m< 4 (180−m) )
根据题意得： 5 ，
36(180−m−m)+45m≤4590
解得：70≤m<80，
又∵m为正整数，
∴m可以为70，71，72，73，74，75，76，77，78，79，
∴共有10种采购方案．
【变式8-3】某快递公司采用A，B两种型号的数控机器人分拣快递，已知A型数控机器人比B型数控
机器人每小时多分拣30件快递，A型数控机器人分拣900件快递所用时间与B型数控机器人分拣600件
快递所用时间相等．
(1)两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？
(2)“618”期间，快递公司的业务量猛增，已知两种机器人每天的工作时长均为8小时，若要使其刚好分
拣完成5760件快递，且两种机器人都要有，则有几种机器人的安排方案．
【答案】(1)A型数控机器人每小时分拣90件快递，B型数控机器人每小时分拣60件快递
(2)共有3种方案：方案一：A型号机器人6台，B型号机器人3台；方案二：A型号机器人4台，B型
号机器人6台；方案三：A型号机器人2台，B型号机器人9台
【分析】本题考查分式方程和一元一次方程的实际应用，读懂题意，根据所给关系列出分式方程和一元一次方程是解题的关键，注意分式方程求出解后要进行检验．
（1）设B型数控机器人每小时分拣x件快递，则A型数控机器人每小时分拣(x+30)件快递，根据题意
列分式方程，即可求解；
（2）设需要m台A型数控机器人，n台B型数控机器人，根据题意列方程，根据m,n均为正整数，列出
方案即可．
【详解】（1）解：设B型数控机器人每小时分拣x件快递，则A型数控机器人每小时分拣(x+30)件快
递，
900 600
根据题意，得 = ，
x+30 x
解得，x=60，
经检验，x=60是原分式方程的解，且符合题意，
∴60+30=90（件），
答：A型数控机器人每小时分拣90件快递，B型数控机器人每小时分拣60件快递．
（2）解：设需要m台A型数控机器人，n台B型数控机器人，
由题意得，8×90m+8×60n=5760，
2n
得m=8− ，
3
∵m,n均为正整数，
∴当n=3时，m=8−2=6，
当n=6时，m=8−4=4，
当n=9时，m=8−6=2，
答：共有3种方案：方案一：A型号机器人6台，B型号机器人3台；
方案二：A型号机器人4台，B型号机器人6台；
方案三：A型号机器人2台，B型号机器人9台．
【考点9: 分式方程应用-其他问题】
【典例9】班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车
油箱容积：40L 新能源车
油价：8元/L
电池容量：60kW-h
续航里程：mkm 电价：1元/（kW⋅h）
320
续航里程：mkm
每千来行驶费用：
m 每千米行驶费用：_______元
元
若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元．(1)分别求出这两款车的每千米行驶费用；
(2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7600元，每年行驶里程超过多少千米时，买
新能源车的年费用更低（年费用=年行驶费用+年其他费用）？
【答案】(1)燃油车的每千米行驶费用为0.64元，新能源车的每干米行驶费用为0.12元
(2)当每年行驶里程超过5000km时，买新能源车的年费用更低
【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应
的分式方程和不等式．
（1）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然
后求解即可，注意分式方程要检验；
（2）设每年行驶里程为xkm，列出不等式0.64x+5000>0.12x+7600，然后求解即可．
60
【详解】（1）解：由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为60×1÷m= （元），
m
320 60
− =0.52，
m m
解得m=500．
经检验，m=500是原分式方程的解，
320 60
∴ =0.64（元）， =0.12（元）．
500 500
答：燃油车的每千米行驶费用为0.64元，新能源车的每干米行驶费用为0.12元．
（2）解：设每年行驶里程为xkm．
由题意，得0.64x+5000>0.12x+7600，
解得x>5000．
故当每年行驶里程超过5000km时，买新能源车的年费用更低．
【变式9-1】沙漠化制约着我国西部的发展，我国一直在探索和尝试将科技与治沙相结合的模式，光伏
发电与沙漠治理相结合是“中国智慧”和“中国建设”的体现．光伏发电既安全又绿色，为我们实现
“碳达峰”、“碳中和”的目标奠定了基础．2023年8月底，新疆光伏发电项目投入建设．甲、乙两
厂承包了部分光伏板的生产任务．
(1)若甲、乙两厂共生产4000块光伏板，甲厂每天生产的光伏板数量比乙厂每天生产数量多150块，甲
厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了这批生产任务，则甲厂每天生产的光伏板数量是多少？
(2)若甲厂每天生产的光伏板比乙厂每天生产的多20%，甲、乙两厂各生产6000块光伏板时，乙厂比甲
厂多用2天时间，求甲、乙厂每天各生产多少块光伏板？
【答案】(1)甲厂每天生产的光伏板890块(2)甲、乙厂每天各生产600块和500光伏板
【分析】本题考查了一元一次方程、分式方程在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）设甲厂每天生产光伏板x块，则乙厂每天生产光伏板(x−150)块，根据题意列方程
2x+3(x−150)=4000即可求解；
（2）设乙厂每天生产m块光伏板，则甲厂每天生产(1+20%)m块光伏板，根据题意列方程
6000 6000
− =2即可求解．
m (1+20％)m
【详解】（1）解：设甲厂每天生产的光伏板x块，则乙厂每天生产的光伏板(x−150)块，
根据题意得2x+3(x−150)=4000，
解得x=890，
答：甲厂每天生产的光伏板890块；
（2）解：设乙厂每天生产的光伏板m块，甲厂每天生产的光伏板(1+20%)m块，
6000 6000
根据题意得 − =2，
m (1+20％)m
解得m=500，
经检验m=500是原方程的解，且符合题意
∴(1+20%)m=600，
答：甲、乙厂每天各生产600块和500光伏板．
【变式9-2】随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大．为满足市场需求，某大型5G
产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度．现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生
产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，求该厂家更新技术前每天生
产多少万件产品？
【答案】120万件
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找出正确的等量关系列出方程是解题的关键．
设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产(x+30)万件产品，根据题意列方程求解即
可．
【详解】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产(x+30)万件产品，
400 500
依题意，得： = ．
x x+30
解得：x=120．
经检验，x=120是原方程的解且符合实际意义．
答：更新技术前每天生产120万件产品．【变式9-3】2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等
方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，燃油汽车行驶1千
米所需的油费比电费多0.6元，若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的
4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．
【答案】这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中等量关系，设出
未知数，列出方程，注意不要忘记检验．设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，得到燃油汽车
行驶1千米所需的油费(x+0.6)元，根据题意可得等量关系：燃油汽车所需油费300元所行驶的路程
×4=电动汽车所需电费300元所行驶的路程，根据等量关系列出方程求解，即可解题．
【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，
300 300
根据题意，得 = ×4，
x x+0.6
解得x=0.2，
经检验，x=0.2是原方程的根，
答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元．
x 5 2 1+x 1 2
1．已知方程：① =2；② =2；③y= x；④ = ；⑤y+1= ；⑥1+3(x−2)=7−x，分式方
5 x 3 5+x 2 y
程的个数是（ ）
A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可．
【详解】解： 是分式方程， 是一元一次方程，③是二元一次方程；
②④⑤ ①⑥故选：C．
2．甲、乙两个植树队参加植树造林活动，已知甲队每小时比乙队少种3棵树，甲队种60棵树与乙队种66
棵树所用的时间相同．若设甲队每小时种x棵树，则根据题意可列方程为（ ）
60 66 60 66 60 66 60 66
A． = B． = C． = D． =
x+3 x x−3 x x x+3 x x−3
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲队每小时种x棵树，则乙队每小时种树(x+3)棵，根据题意
列出方程即可求解，解题的关键是读懂题意，列出方程．
【详解】解：设甲队每小时种x棵树，则根据题意可列方程为
60 66
=
x x+3
故选：C．
2ax+3 5
3．关于x的方程 = 的根为x=2，则a应取值（ ）
a−x 4
A．1 B．3 C．−2 D．−3
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的解及解分式方程，根据方程的解的定义，把x=2代入方程，即可得到
一个关于a的分式方程，求解检验即可．
2ax+3 5 4a+3 5
【详解】解：把x=2代入方程 = 得： = ，
a−x 4 a−2 4
在方程两边同乘4(a−2)得：4(4a+3)=5(a−2)，
解得：a=−2，
检验：当a=−2时，a−x≠0，
故选：C．
x x−1
4．解分式方程 −2= 时，去分母正确的是（ ）
x−2 2−x
A．x−2=x−1 B．x−2(x−2)=x−1
C．x−2(x−2)=−x−1 D．x−2(x−2)=−x+1
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的解法，解题关键在于最简公分母的确定．先确定分式方程的最简公分
母，然后左右两边同乘即可确定答案．
x x−1
【详解】解：分式方程 −2= ，
x−2 2−x方程两边同时乘以(x−2)去分母得：x−2(x−2)=−x+1，
故选：D．
2x
5．分式方程 =−1的解是（ ）
x−2
2 1 2
A．x=− B．x= C．x= D．方程无解
3 2 3
【答案】C
【分析】本题考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1，检验的步骤
进行解答即可．
2x
【详解】解： =−1，
x−2
去分母得：2x=−(x−2)，
去括号得：2x=−x+2，
移项得：2x+x=2，
合并得：3x=2，
2
系数化为1，得：x= ，
3
2
检验：把x= 代入得：x−2≠0，
3
2
∴分式方程的解为x= ．
3
故选：C．
x+4 m
6．若分式方程 = 有增根，则m的值是（ ）
x−1 x−1
A．1 B．−4 C．3 D．5
【答案】D
【分析】本题考查分式方程的增根问题．先解出分式方程，再根据分式方程有增根，则最简公分母为0
可列出关于m的方程，解之即可．
【详解】解：去分母得，x+4=m，
x+4 m
∵分式方程 = 有增根，
x−1 x−1
∴增根为x=1，
∴1+4=m，
解得m=5，故选：D．
1 1
7．对于非零的有理数a，b规定a*b= − ，若(x−2)*3=2，则x的值为（ ）
b a
7 5 3 1
A． B． C． D．−
5 4 2 6
【答案】A
1 1
【分析】本题主要考查了新定义，解分式方程，先根据新定义得到方程 − =2，再解方程即可得
3 x−2
到答案．
【详解】解：∵(x−2)*3=2，
1 1
∴ − =2，
3 x−2
7
解得x= ，
5
7
经检验，x= 是原方程的解，
5
故选：A．
x+k k
8．已知关于x的分式方程 − =1的解为负数，则k的取值范围是（ ）
x+1 x−1
1 1 1 1
A．k> 或k≠1 B．k≥ 且k≠1 C．k≤ 且k≠1 D．k< 或k≠1
2 2 2 2
【答案】A
【分析】此题主要考查了分式方程的解，首先根据解分式方程的步骤，求出关于x的分式方程
x+k k
− =1的解是多少；然后根据分式方程的解为负数，求出k的取值范围即可．
x+1 x−1
x+k k
【详解】解：由 − =1，
x+1 x−1
可得(x+k)(x−1)−k(x+1)=x2−1，
解得x=1−2k，
∵1−2k<0，且1−2k≠1，1−2k≠−1，
1
∴k> 且k≠1．
2
故选：A．x 2
9．分式方程 − =3的解为 ．
x−1 1−x
【答案】x=4
【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可．
x 2
【详解】解： − =3
x−1 1−x
去分母，得：x+2=3(x−1)，
解得：x=4；
经检验x=4是原方程的解，
故答案为：x=4．
10．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，
结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到
的方程是 ．
15 15 1
【答案】 − =
x x+1 2
【分析】本题考查的是分式方程的应用，李老师每小时走x千米，张老师每小时走(x+1)千米，利用
张老师比李老师早到半小时，再建立分式方程求解即可．
【详解】解：李老师每小时走x千米，张老师每小时走(x+1)千米，
15 15 1
根据时间的关系可列方程为： − = ，
x x+1 2
15 15 1
故答案为： − = ．
x x+1 2
1 x
11．分式方程1− = 的解为 ．
x x−1
1
【答案】x=
2
【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行
检验即可得．
1 x
【详解】解：1− =
x x−1
去分母得，x(x−1)−(x−1)=x2，
1
解得x= ，
21
检验：将x= 代入x(x−1)≠0，
2
1
∴原方程的解为x= ．
2
1
故答案为：x= ．
2
1 1 1
12．方程 + = 的正整数解(x,y)有 组．
x 8 y
【答案】3
【分析】本题考查了求分式方程的正整数解，把原方程化为(x+8)(y−8)=−64求解即可．
【详解】解：原方程可化为8 y+xy=8x，
即xy−8x+8 y−64=−64，即(x+8)(y−8)=−64．
{x+8=64
)
{x+8=32
)
{x+8=16
)
结合x，y为正整数可得 或 或 ，
y−8=−1 y−8=−2 y−8=−4
解得(x,y)=(56,7)或(24,6)或(8,4)，共3组．
故答案为：3．
13．解分式方程：
2 1 1 3 2x−5 3x−3
(1) = (2) +1= (3) = −3．
x−1 x x−1 2x−2 x−2 x−2
【答案】(1)x=−1；
3
(2)x= ；
2
(3)x=4．
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根．
（1）两边同时乘以x(x−1)去分母，再解整式方程，验根即可求解；
（2）两边同时乘以2(x−1)去分母，再解整式方程，验根即可求解；
（3）两边同时乘以x−2去分母，再解整式方程，验根即可求解．
2 1
【详解】（1）解： = ，
x−1 x
去分母得2x=x−1，
移项得x=−1，
检验：当x=−1时，x(x−1)≠0，
所以x=−1是原方程的解；1 3
（2）解： +1=
x−1 2x−2
去分母得2+2x−2=3，
移项合并得2x=3，
3
解得x= ，
2
3
检验：当x= 时，2(x−1)≠0，
2
3
所以x= 是原方程的解；
2
2x−5 3x−3
（3）解： = −3
x−2 x−2
去分母得2x−5=3x−3−3(x−2)，
去括号得2x−5=3x−3−3x+6，
移项合并得2x=8，
解得x=4，
检验：当x=4时，x−2≠0，
所以x=4是原方程的解．
14．我区某葡萄种植庄园计划要在规定时间种植6000棵葡萄树．在实际施工时，参与种植人数比计划人数
多，这样每天实际种植葡萄树比原计划每天多20%，结果比原计划提前2天完成种植任务．原计划每
天种植多少棵葡萄树？
【答案】500棵
【分析】本题考查分式方程的实际应用，设原计划每天种树x棵，根据题意，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设原计划每天种树x棵，
6000 6000
根据题意，得 − =2，
x (1+20%)x
解得x=500，
经检验，x=500是原方程的解，
答：原计划每天种植500棵葡萄树．
15．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻
器用了1600元，购买乙种用了2700元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变
阻器单价比甲种单价贵6元．(1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元；
(2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5000元，那么该校最少购买多少个
甲种滑动变阻器？
【答案】(1)甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元；
(2)该校最少购买67个甲种滑动变阻器．
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用；
（1）设甲种滑动变阻器的单价是x元，则乙种滑动变阻器的单价是(x+6)元，乙种书的单价是y元，
根据“购买甲种滑动变阻器用了1600元，购买乙种用了2700元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲
种的1.5倍”，可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器(100−m)个，利用总价=单价×数量，结合
总费用不超过5000元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲种滑动变阻器的单价是x元，则乙种滑动变阻器的单价是(x+6)元，
2700 1600
根据题意得： =1.5× ．
x+6 x
解得：x=48．
经检验，x=48是所列方程的根，且符合题意．
∴x+6=48+6=54（元）
答：甲种滑动变阻器的单价是48元，乙种滑动变阻器的单价是54元；
（2）解：设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器(100−m)个．
根据题意得：48m+54(100−m)≤5000．
200
解得：m≥ ．
3
∵m为整数，
∴m的最小值为67，
答：该校最少购买67个甲种滑动变阻器．
16．景区有一片蔬果采摘园，小美一家决定采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是
每千克6元和每千克3元，采摘这两种蔬菜一共支付了120元，其中西红柿比土豆少10千克．
(1)求西红柿和土豆各采摘了多少千克？
(2)为了让小美去体验生活，他们将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售额分别是64元和
1
80元，土豆的售价是西红柿售价的 ，土豆比西红柿多卖出12千克，求土豆和西红柿的售价．
2
【答案】(1)西红柿采摘了10kg，土豆采摘了20kg(2)土豆的售价是4元/kg，西红柿的售价是8元/kg
【分析】本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，找准等量关系正确列出相应方程是解题的关
键．
（1）设西红柿采摘了xkg，土豆采摘了ykg，根据题意列出二元一次方程组，解答即可．
（2）根据题意可设土豆的售价是m元/kg，西红柿的售价是2m元/kg，根据题意列出分式方程，解
答即可．
【详解】（1）解：设西红柿采摘了xkg，土豆采摘了ykg．
{6x+3 y=120)
根据题意得 ，
y−x=10
{x=10)
解得 ．
y=20
答：西红柿采摘了10kg，土豆采摘了20kg．
（2）解：根据题意可设土豆的售价是m元/kg，西红柿的售价是2m元/kg．
80 64
根据题意得 − =12，
m 2m
解得m=4，
经检验，m=4是原分式方程的解，且符合题意，
∴2m=8，
答：土豆的售价是4元/kg，西红柿的售价是8元/kg．
17．某商店决定购进一批香椿，已知甲种香椿每件的进价比乙种香椿每件的进价少6元，花180元购买甲
种香椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等．
(1)求甲、乙两种香椿每件的进价；
(2)由于畅销，第一批购进的香椿已经售罄，现该商店决定用4320元再购进一批甲、乙两种香椿共200
件，结果恰逢批发商进行调价，甲种香椿在第一批进价的基础上9折销售，而乙种香椿比第一批进价
提高了5%，则最多可购买乙种香椿多少件？
【答案】(1)甲种香椿每件的进价为18元，乙种香椿每件的进价为24元
(2)最多可购买乙种香椿120件
【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握总价与单价和数量的关系
列方程，列不等式，是解本题的关键．
（1）设甲种香椿每件的进价为x元，则乙种香椿每件的进价为(x+6)元，再利用花180元购买甲种香
椿的件数与花240元购买乙种香椿的件数相等列方程，再解方程即可；
（2）设购买乙种香椿a件，则购买甲种香椿(200−a)件，利用总费用为4320元，列不等式，再解不等式即可．
【详解】（1）解：设甲种香椿每件的进价为x元，则乙种香椿每件的进价为(x+6)元．
180 240
由题意得 = ，
x x+6
解得x=18
经检验，x=18是原方程的解，且符合题意，
则x+6=24．
答：甲种香椿每件的进价为18元，乙种香椿每件的进价为24元．
（2）设购买乙种香椿a件，则购买甲种香椿(200−a)件．
由题意得24a(1+5%)+18×90%×(200−a)≤4320，
解得a≤120．
∵a为正整数，
∴a的最大值为120．
答：最多可购买乙种香椿120件．
18．某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万
元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：
(1)这两种家电每件的进价分别是多少元？
(2)若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有
哪几种购买方案？
【答案】(1)A种家电每件进价500元，B种家电每件进价600元
(2)共有3种购买方案．方案1：购进A种家电65件，B种家电35件．方案2：购进A种家电66件，B
种家电34件．方案3：购进A种家电67件，B种家电33件
【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系是解本题
的关键；
（1）设A种家电每件进价为x元，根据“用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的
件数相同”再建立方程求解即可；
（2）设购进A种家电a件，根据“该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种
家电不超过67件”再建立不等式解题即可．
【详解】（1）解：设A种家电每件进价为x元，则B种家电每件进价为(x+100)元．根据题意得
10000 12000
= 解得：x=500
x x+100
经检验，x=500是原方程的解且符合题意∴x+100=500+100=600
答：A种家电每件进价500元，B种家电每件进价600元．
（2）设购进A种家电a件，则购进B种家电(100−a)件．根据题意得
¿ 解得:65≤a≤67
又∵a为正整数
∴a的值可以为65，66，67．
∴该商场共有3种购买方案．
方案1：购进A种家电65件，B种家电35件．
方案2：购进A种家电66件，B种家电34件．
方案3：购进A种家电67件，B种家电33件．
