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15.2.4 分式的混合运算 教学设计
一、教学目标：
1.明确分式混合运算的顺序.
2.熟练地进行分式的混合运算．
二、教学重、难点：
重点：掌握分式加减乘除法的法则，并会运用法则进行分式加减乘除法的计算.
难点：能够运用分式加减乘除法则来解决混合运算的实际问题.
三、教学过程：
复习回顾
一、有理数的混合运算法则：
1.先算乘方，再算乘除，最后算加减；
2.同级运算，按照从左至右的顺序进行；
3.如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的.
二、分式的运算法则：
知识精讲
思考：我们已经学过了分式乘除、乘方的运算法则和分式加减的运算法则，那么将分式的乘
除、乘方和加减运算混合在一起，应该怎么计算呢？
问题：如何计算 ？
请先思考这道题包含的运算，确定运算顺序，再独立完成.解原式
分式的混合运算顺序：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.计算结果要化为最简分式或整
式．
典例解析
( 5 ) 2m−4 ( x+2 x−1 ) x−4
m+2+ ⋅ − ÷
例1.计算：(1) 2−m 3−m (2) x2 −2x x2 −4x+4 x
(m+2)(2−m)+5 2m−4 9−m2 2(m−2)
⋅ = ⋅
解：(1)原式= 2−m 3−m 2−m 3−m
(3−m)(3+m) −2(2−m)
= ⋅ =−2(m+3)=−2m−6
2−m 3−m
注：当式子中出现整式时，把整式看成整体，并把分母看做“1”.
[ x+2 x−1 ] x (x+2)(x−2)−(x−1)x x
− ⋅ = ⋅
(2)原式=
x(x−2) (x−2) 2 x−4 x(x−2) 2 x−4
x2 −4−x2 +x 1
= =
(x−2) 2 (x−4) (x−2) 2
注：分子或分母是多项式的先因式分解，不能分解的要视为整体.
【针对练习】计算：(1)( 1 3 ) a-1 (2) 2x-1 x-2
- ÷ ( -x+1)÷
a-2 a2-4 a2+2a x+1 x2+2x+1
a+2 3 a-1
解:(1)原式=( - )÷
(a+2)(a-2) (a+2)(a-2) a(a+2)
a-1 a(a+2)
= ×
(a+2)(a-2) a-1
a
= ．
a-2
(2)原式 2x-1 x2-1 x-2
=( - )÷
x+1 x+1 (x+1) 2
2x-x2 (x+1) 2
= ⋅
x+1 x-2
x(x-2) (x+1) 2
=- ⋅
x+1 x-2
=-x(x+1)
=-x2-x．
例2.计算：
利用乘法分配率简化运算
解：原式
【点睛】观察题目的结构特点，灵活运用运算律，适当运用计算技巧，可简化运算，提高速
度.【针对练习】用两种方法计算：
方法一：按运算顺序
解原式
方法二：利用乘法分配律
解原式
例3.先化简再求值：
3 x-2
（ x-1 －x－1）÷ x2-2x+1 ，x是不等式组 的一个整数解．
3 x2-1 (x-1) 2
解原式=( - )×
x-1 x-1 x-2
=-(x+2)(x-1)
=-x2-x+2，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x>-1，
∴不等式组的解集为：-1<x≤2，
根据分式有意义的条件得： ≠ ， ≠ ，
x 1 x 2∴取 ，
原式
x=0
【点睛】把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数
=2.
时，要求分母不能为0.
【针对练习】先化简代数式a2-2a+1 3 1 ，再选择一个你喜欢的数代入求值．
÷(1- )+
a2-4 a+1 a-2
解原式＝ (a-1) 2 ÷a+2-3 1
+
(a+2)(a-2) a+2 a-2
＝ (a-1) 2 ÷a-1 1
+
(a+2)(a-2) a+2 a-2
＝ (a-1) 2 a+2+ 1
·
(a+2)(a-2) a-1 a-2
a-1 1
＝ +
a-2 a-2
a-1+1
＝
a-2
a
＝ ，
a-2
要使分式a2-2a+1 3 1 有意义，a﹣2≠0，a+2≠0，a﹣1≠0，
÷(1- )+
a2-4 a+2 a-2
所以a不能为2，﹣2，1，
取a＝0，
0
当a＝0时，原式＝ ＝0．
0-2
a+2 ( 5 )
例4.小明准备完成题目：化简： ÷ □+ ，发现代数式“□”印刷不清楚．
a2+3a a+3
a-3 a+2 (a-3 5 )
(1)他把“□”猜成 ，请你化简： ÷ + ；
a+3 a2+3a a+3 a+3
1
(2)他妈妈说“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是 ”，通过计算求原题中
a(a-2)
“□”．a+2 a-3 5
（1）解： ÷( + )
a2+3a a+3 a+3
a+2 a-3+5
= ÷
a(a+3) a+3
a+2 a+3
= ×
a(a+3) a+2
1
=
a
1 a+2 ( 5 )
（2）由题意得， = ÷ □+
a(a-2) a2+3a a+3
a+2 1 5
□= ÷ -
a2+3a a(a-2) a+3
a+2 5
= ×a(a-2)-
a(a+3) a+3
a2-4 5
= -
a+3 a+3
(a+3)(a-3)
=
a+3
=a-3
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
x- y
1．计算(x2-xy)÷ 的结果是（ ）
x
A． B． C． D．x
x2 x2- y (x- y) 2
2．计算( 2x 1-x) 1 的结果是（ ）
- ÷
x2-1 x+1 x2-1
1 1
A． B． C．x2+1 D．x2-1
x2+1 x2-1
1 a2+b2 a
3．如果a=-3，b=- ，那么代数式( -2b)⋅ 的值是（ ）
2 a a-b1 1 1 1
A．3 B．-3 C．2 D．-2
2 2 2 2
4.下面是涂涂同学完成的一组分式化简的练习题，每小题20分，他能得的分数是（ ）
A．40分 B．60分 C．80分 D．100分
x2-1 2 a b 1 1 x+ y
① =x+1；② 3﹣x• =2；③ 1÷ × =1；④ + = ；
x-1 3-x b a x y xy
x x2-x x-x2+x x2-x x（2-x） x+1 2-x
⑤（ -x）÷ = ÷ = • = ．
x+1 x+1 x+1 x+1 x+1 x（x-1） x-1
( 1) (1 ) a2
5．已知P= a- ÷ -b ，Q= -a-b，则当a>b>0时，P与Q的大小关系是（ ）
b a a-b
A．P>Q B．P=Q C．P<Q D．无法确定
6．已知a ＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a ＝1÷（1﹣a ），a ＝1÷（1﹣a ）…，则a ＝（
1 2 1 3 2 2021
）
1 x
A．x B．x+1 C．﹣ D．
x x+1
7.计算:
(1) x 2y xy 1 1 ; (2) x2-2xy+ y2 x- y.
( + )⋅ ÷( + ) (xy-x2)÷ ⋅
x+ y x+ y x+2y x y xy x2
8．先化简 a-2 a2-4，再从﹣2≤a≤2中选取一个合适的整数代入求值．
1- ÷
a a2+a
【参考答案】
1. A
2. C
3. D
4. A
5. C
6. C
x+2y xy x+ y
7.解:(1)原式= ⋅ ÷
x+ y x+2y xy
xy xy
= ⋅
x+ y x+ y= x2y2
(x+ y) 2
（2）原式＝x（y－x）÷(x- y) 2 x- y
⋅
xy x2
xy x- y
＝－x（x－y）⋅ ⋅
(x- y) 2 x2
＝－y．
a-2 a(a+1)
8.解：原式＝1- ×
a (a-2)(a+2)
a+2 a+1
= -
a+2 a+2
a+2-a-1
＝
a+2
1
＝
a+2
∵a≠2，a≠0，a≠-1，a≠−2，且﹣2≤a≤2，a取整式，
∴a＝1
1 1
∴当a=1时，原式＝ =
1+2 3
四、教学反思：
