文档内容
期末真题必刷基础 60 题（60 个考点专练）
知识导图
一．科学记数法—表示较小的数（共1小题） 三十一．分式的化简求值（共1小题）
二．同底数幂的乘法（共1小题） 三十二．负整数指数幂（共1小题）
三．单项式乘单项式（共1小题） 三十三．列代数式（分式）（共1小题）
四．完全平方公式（共1小题） 三十四．分式方程的定义（共1小题）
五．完全平方公式的几何背景（共1小题） 三十五．分式方程的解（共1小题）
六．完全平方式（共1小题） 三十六．解分式方程（共1小题）
七．平方差公式（共1小题） 三十七．换元法解分式方程（共1小题）
八．平方差公式的几何背景（共1小题） 三十八．分式方程的增根（共1小题）
九．整式的除法（共1小题） 三十九．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
一十．因式分解的意义（共1小题） 四十．分式方程的应用（共1小题）
一十一．公因式（共1小题） 四十一．三角形（共1小题）
一十二．因式分解-提公因式法（共1小题） 四十二．三角形的角平分线、中线和高（共1小题）
一十三．因式分解-运用公式法（共1小题） 四十三．三角形三边关系（共1小题）
一十四．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题） 四十四．三角形内角和定理（共1小题）
一十五．因式分解-分组分解法（共1小题） 四十五．三角形的外角性质（共1小题）
一十六．因式分解-十字相乘法等（共1小题） 四十六．全等三角形的性质（共1小题）
一十七．实数范围内分解因式（共1小题） 四十七．全等三角形的判定（共1小题）
一十八．因式分解的应用（共1小题） 四十八．全等三角形的判定与性质（共1小题）
一十九．分式的定义（共1小题） 四十九．全等三角形的应用（共1小题）
二十．分式有意义的条件（共1小题） 五十．角平分线的性质（共1小题）
二十一．分式的值为零的条件（共1小题） 五十一．线段垂直平分线的性质（共1小题）
二十二．分式的值（共1小题） 五十二．等腰三角形的性质（共1小题）
二十三．分式的基本性质（共1小题） 五十三．等腰三角形的判定与性质（共1小题）
二十四．约分（共1小题） 五十四．等边三角形的判定与性质（共1小题）
二十五．通分（共1小题） 五十五．直角三角形的性质（共1小题）
二十六．最简分式（共1小题） 五十六．多边形（共1小题）
二十七．最简公分母（共1小题） 五十七．多边形内角与外角（共1小题）
二十八．分式的乘除法（共1小题） 五十八．生活中的轴对称现象（共1小题）
二十九．分式的加减法（共1小题） 五十九．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题）
三十．分式的混合运算（共1小题） 六十．坐标与图形变化-对称（共1小题）
题型强化
一．科学记数法—表示较小的数（共1小题）
1．（2024春•阳山县期末）神舟十七号载人飞船航天员在空间站进行了一系列科学实验，其中包括“空间
蛋白质分子组装与应用研究”．在此研究中，观测到某一蛋白质分子的直径仅为0.000000028米，这个数用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原数
变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时， 是正数；
当原数的绝对值 时， 是负数．
【解答】解： ．
故选： ．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为
整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
二．同底数幂的乘法（共1小题）
2．（2024春•双牌县期末）已知 ， ，则 6 ．
【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案．
【解答】解： ，
故答案为：6．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
三．单项式乘单项式（共1小题）
3．（2023秋•宜宾期末）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据运算法则计算后即可得到答案．
【解答】解： ． ，故选项错误，不符合题意；
． ，故选项正确，符合题意；． ，故选项错误，不符合题意；
． ，故选项错误，不符合题意．
故选： ．
【点评】此题考查了单项式乘单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，掌握相
应的运算法则是关键．
四．完全平方公式（共1小题）
4．（2023秋•澄城县期末）若 ，则 的值为
A．2 B．4 C． D．
【分析】根据完全平方公式即可得出答案．
【解答】解： ，
，
的值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式： 是关键．
五．完全平方公式的几何背景（共1小题）
5．（2023秋•长葛市期末）用如图所示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式是
A． B．
C． D．
【分析】用代数式表示整体长方形的面积，再用代数式表示4个组成部分的面积和即可．【解答】解：整体是长为 ，宽为 的长方形，因此面积为 ，
这个长方形是由4个部分组成的，这4个部分的面积和为 ，
所以有 ，
故选： ．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个部分的面积和以及整体的面积是正确解答
的前提．
六．完全平方式（共1小题）
6．（2023秋•黔东南州期末）若 是完全平方式，则 的值为
A．3 B． C．7 D．7或
【分析】利用完全平方公式得出关于 的方程，解方程即可得出结论．
【解答】解： 或 是完全平方式， 是完全平方式，
或 ，
或 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
七．平方差公式（共1小题）
7．（2023秋•平邑县期末）计算 ．
【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式法则展开，合并同类项，即可作答．
【解答】解：
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了整式的混合运算、平方差公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平
方差．八．平方差公式的几何背景（共1小题）
8．（2023秋•满城区期末）如图，在边长为 的正方形中，剪去一个边长为 的小正方形 ，将余
下的部分剪开后拼成一个梯形（如图 ，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于 ， 的
恒等式为
A． B．
C． D．
【分析】左边一幅图阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，右边一幅图阴影部分的面积等于
梯形面积，据此表示出两幅图中阴影部分的面积即可得到答案．
【解答】解：第一个图形阴影面积为 ，
第二个图形阴影部分为梯形，面积为 ，
两个图形阴影部分面积相等，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，掌握平方差公式的定义是关键．
九．整式的除法（共1小题）
9．（2023秋•文昌校级期末）计算 的正确结果是
A． B． C． D．
【分析】根据运算法则计算即可．【解答】解： ．
故选： ．
【点评】本题考查了整式的除法，掌握整式的除法的运算法则是关键．
一十．因式分解的意义（共1小题）
10．（2023秋•邹平市校级期末）下列变形中，从左到右不是因式分解的是
A． B．
C． D．
【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排
除法求解．
【解答】解： ．原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项不符合题意；
．原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项不符合题意；
．原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项不符合题意；
．原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项符合题意；
故选： ．
【点评】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
一十一．公因式（共1小题）
11．（2023秋•焦作期末） 中的公因式是 ．
【分析】根据确定公因式的方法可得答案．
【解答】解： 中的公因式 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查因式分解中公因式的确定，熟练掌握确定公因式的方法是解题关键．
一十二．因式分解-提公因式法（共1小题）
12．（2023秋•滨海新区期末）把多项式 分解因式时，应提取的公因式是
A． B． C． D．
【分析】将原式因式分解后即可求得答案．【解答】解： ，
则把多项式 分解因式时，应提取的公因式是 ，
故选： ．
【点评】本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键．
一十三．因式分解-运用公式法（共1小题）
13．（2023秋•思明区校级期末）如果多项式 加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式
分解，则添加的单项式不可以是
A． B． C． D．
【分析】根据添加项是中间项或第一项可作判断．
【解答】解： 、 ，不符合题意；
、 ，不符合题意；
、 ，不符合题意；
、 加上 ，无法构成完全平方式，符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中间，进行判断
即可．
一十四．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）
14．（2023秋•高阳县期末）下列因式分解中：① ；② ；③
；④ ，正确的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据提取公因式法分解因式判断即可；
②根据公式法分解因式判断即可；
③根据提取公因式法分解因式判断即可；④根据提取公因式法与公式法分解因式判断即可．
【解答】解：① ，原式错误；
② ，原式正确；
③ ，原式正确；
④ ，原式错误；
故正确的有②③，共2个，
故选： ．
【点评】本题考查了分解因式，熟练掌握利用提取公因式法、完全平方公式法分解因式是解题的关键．
一十五．因式分解-分组分解法（共1小题）
15．（2023秋•九台区期末）因式分解： ．
【分析】利用分组分解法及提公因式法因式分解即可．
【解答】解：原式
，
故答案为： ．
【点评】本题考查因式分解，将原式分组为 是解题的关键．
一十六．因式分解-十字相乘法等（共1小题）
16．（2023秋•文昌校级期末）分解因式 的结果为
A． B． C． D．
【分析】先提公因式，然后利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解： ，
故选： ．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法、提公因式法分解因式是解题的关键．一十七．实数范围内分解因式（共1小题）
17．（2023秋•浦东新区校级期末）在实数范围内分解因式： ．
【分析】首先令 ，利用公式法即可求得此一元二次方程的解，继而可将此多项式分解．
【解答】解：令 ，
则 ， ， ，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查实数范围内的因式分解．注意掌握公式法解一元二次方程的知识．
一十八．因式分解的应用（共1小题）
18．（2023秋•思明区校级期末）已知 ， ，则 的值是 ．
【分析】把所求式子因式分解为 ，再代值计算即可．
【解答】解： ， ，
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，正确的分解因式是本题解题的关键．
一十九．分式的定义（共1小题）19．（2024春•辉县市期末）在 ， ， ， ， ， 中，分式的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解： 是分式， 不是分式， 不是分式， 不是分式， 是分式， 是分式，
故选： ．
【点评】本题主要考查分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式
子即为分式．
二十．分式有意义的条件（共1小题）
20．（2023秋•思明区校级期末）当 时，下列分式中有意义的是
A． B．
C． D．
【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．
【解答】解：当 时， ， ， ， ，
四个分式中，只有 有意义，
故选： ．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
二十一．分式的值为零的条件（共1小题）
21．（2023秋•东昌府区期末）当 时，分式 的值为零．
【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知： ，
解得 ，
故答案为： ．【点评】本题考查分式的值为零的条件，熟练掌握分子为零且分母不为零的条件是解题的关键．
二十二．分式的值（共1小题）
22．（2023秋•平泉市期末）如图，若 为正整数，则表示 的值的点落在
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【分析】根据分式的性质进行化简，然后取特殊值即可求解．
【解答】解： 且 为正整数，
取 时， ，
，
表示 的值的点落在段③，
故选： ．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
二十三．分式的基本性质（共1小题）
23．（2024春•扬州期末）若把分式 中的 和 都扩大为原来的3倍，那么分式的值
A．扩大为原来的3倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
【分析】先根据题意得出算式，再根据分式的基本性质得出即可．
【解答】解：，
所以如果把分式 中的 和 都扩大为原来的3倍，那么分式的值缩小为原来的 ，
故选： ．
【点评】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键．
二十四．约分（共1小题）
24．（2023秋•沂南县期末）化简 的结果是
A． B． C． D．
【分析】先把分式的分子和分母进行因式分解，然后约分即可．
【解答】解：原式 ．
故选： ．
【点评】本题考查了分式的化简，掌握约分以及因式分解的知识是解题的关键．
二十五．通分（共1小题）
25．（2022秋•惠民县期末）将分式 与分式 通分后， 的分母变为 ，
则 的分子变为
A． B． C． D．
【分析】找出两分式分母的最简公分母，利用分式的性质判断即可．
【解答】解：两分式的最简公分母为 ，
，
则 的分子变为 ．
故选： ．
【点评】此题考查了通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母．二十六．最简分式（共1小题）
26．（2023秋•陕州区期末）下列各分式中，是最简分式的是
A． B． C． D．
【分析】根据分子分母是不是含有公因式，逐个判断得结论．
【解答】解：因为： 的分子、分母中含有公因式 ，故选项 不是最简分式；
的分子、分母中含有公因式 ，故选项 不是最简分式；
的分子、分母中含有公因数2，故选项 不是最简分式．
由于 不能再约分，所以选项 是最简分式．
故选： ．
【点评】本题考查了最简分式的定义．分子分母没有公因式的分式是最简分式．
二十七．最简公分母（共1小题）
27．（2023秋•科尔沁区期末）分式 和 的最简公分母为 ．
【分析】根据最简公分母的概念解答即可．
【解答】解：分式 和 的最简公分母为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这
样的公分母叫做最简公分母
二十八．分式的乘除法（共1小题）
28．（2023秋•夏津县期末）若 运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是
A． B． C． D．【分析】根据分式的乘除法法则进行解题即可．
【解答】解：
运算的结果为整式，
□中式子一定含有 的单项式，
故只有 项符合．
故选： ．
【点评】本题考查分式的乘除法和整式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
二十九．分式的加减法（共1小题）
29．（2023秋•莘县期末）化简 的结果是
A． B． C． D．
【分析】先将分式化成同分母，再计算分式的减法，最后化简分式即可．
【解答】解：原式
．
故选： ．
【点评】本题考查了分式的加减法运算，掌握分式的加减法运算法则是关键．
三十．分式的混合运算（共1小题）
30．（2023秋•濮阳期末）小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图
所示，则撕坏的一角中“■”为
A． B． C． D．【分析】先根据乘法与减法的意义列式表示“■”为 ，再计算即可．
【解答】解：撕坏的一角中“■”为
，
故选： ．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．
三十一．分式的化简求值（共1小题）
31．（2023秋•凉州区校级期末）如果 ，则 的值为 7 ．
【分析】根据 ，可以得到 ，然后变形，即可求得所求式子的值．
【解答】解： ，
，
，
，
，
，
故答案为：7．
【点评】本题考查分式的化简求值、完全平方公式，灵活变形，利用完全平方公式解答是解答本题的关键．
三十二．负整数指数幂（共1小题）
32．（2024春•石狮市期末）计算 的结果是
A． B．2 C．3 D．
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂计算即可．
【解答】解：原式
，
故选： ．【点评】本题考查了零指数幂和负整数指数幂，掌握 是解题的关键．
三十三．列代数式（分式）（共1小题）
33．（2023秋•庄浪县期末）一项工程，甲独做要 天完成，乙独做要 天完成，则甲、乙合做完成工程
需要的天数为
A． B． C． D．
【分析】设工作总量为1，两人合做完成这项工程所需的天数 （甲乙工作效率之和）．
【解答】解：甲的工作效率是 ，乙的工作效率是 ，工作总量是1．
两人合做完成这项工程所需的天数是 ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，找到其中的数量关
系，工程问题要有“工作效率”，“工作时间”，“工作总量”．三个要素数量关系：为工作效率 工作
时间 工作总量．
三十四．分式方程的定义（共1小题）
34．（2021秋•怀集县期末）下列是分式方程的是
A． B． C． D．
【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，对每个选项进行判断，找出是等式，且分母含有未
知数方程，即可得解．
【解答】解： 、是一个代数式，不是方程，所以 不是分式方程；
、是一元一次方程，是整式方程，所以 不是分式方程；
、是一元一次方程，是整式方程，所以 不是分式方程；
、分母含有未知数 ，所以 是分式方程．
故选： ．
【点评】本题考查分式方程的定义，正确理解分式方程的形式是本题关键．
三十五．分式方程的解（共1小题）35．（2024春•杞县期末）已知关于 的分式方程 的解是正数，则 的取值范围为
A． 且 B． 且 C． 且 D． 且
【分析】先解方程得到 ，再由方程的解为正数，得到 ，再由 ，可得 ，从
而可求 的取值范围．
【解答】解： ，
去分母得 ，
解得 ，
方程的解为正数，
，
，
，
，
，
的取值范围是 且 ，
故选： ．
【点评】本题考查的是分式方程的解的含义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
三十六．解分式方程（共1小题）
36．（2023秋•唐山期末）嘉淇准备完成题目：解方程 ．发现分母的位置印刷不清，查阅答案
后发现标准答案是 ，请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是
A． B． C． D．
【分析】设印刷不清的位置的式子为 ，把 代入分式方程计算确定出 即可．
【解答】解：设印刷不清的位置的式子为 ，即 ，
把 代入得： ，
解得： ，检验：把 代入得： ，
分式方程的解为 ，即 ，
则推断印刷不清的位置可能是 ．
故选： ．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
三十七．换元法解分式方程（共1小题）
37．（2021秋•静安区期末）已知方程 ，如果设 ，那么原方程可以变形为关于
的整式方程为 ．
【分析】先把方程变形为含 的分式方程，再去分母得整式方程．
【解答】解：方程 ，可变形为： ，
若设 ，则
所以原方程可变形为：
两边都乘以 ，得 ．
故答案为：
【点评】本题考查了分式方程的换元法．题目难度不大，注意式子的变形．
三十八．分式方程的增根（共1小题）
38．（2023秋•东阿县期末）已知关于 的分式方程 有增根，则 的值为
A．0 B．0或 C． D．0或
【分析】先确定增根的可能值，让最简公分母 ，得到 或 ，然后代入化为整式方程的方
程，满足即可．
【解答】解：方程两边都乘 ，得
原方程有增根，
最简公分母 ，
解得 或 ，
当 时， ，符合题意，
当 时，原式不成立，不符合题意；
所以增根的值为0．
故选： ．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．
三十九．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
39．（2023秋•通榆县期末）某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的 元给同学们购买口罩，
由于药店对学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩．设原计划购买口罩 包，则依题
意列方程为
A． B． C． D．
【分析】设原计划购买口罩 包，则实际购买口罩 包，利用单价 总价 数量，结合药店对学生购
买口罩每包优惠2元，即可得出关于 的分式方程，此题得解．
【解答】解：设原计划购买口罩 包，则实际购买口罩 包，
依题意得： ．
故选： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
四十．分式方程的应用（共1小题）
40．（2023秋•游仙区期末）端午节是中华民族的传统佳节，人们素有吃粽子的习俗．某超市在节前准备
购进 、 两种品牌的粽子进行销售，据了解，用6000元购买 品牌粽子的数量比用4800元购买 品牌
粽子的数量多80袋，且每袋 品牌粽子的价格是每袋 品牌粽子价格的1.2倍，求每袋 品牌粽子的价格．
【分析】设每袋 品牌粽子的价格为 元，则每袋 品牌粽子的价格为 元，利用数量 总价 单价，
结合用6000元购买 品牌粽子的数量比用4800元购买 品牌粽子的数量多80袋，即可得出关于 的分式方程，解之经检验后即可得出每袋 品牌粽子的价格．
【解答】解：设每袋 品牌粽子的价格为 元，则每袋 品牌粽子的价格为 元，
依题意得： ，
解得： ．
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
答：每袋 品牌粽子的价格为25元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
四十一．三角形（共1小题）
41．（2022春•鼓楼区校级期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是
A． 表示三边均不相等的三角形， 表示等腰三角形， 表示等边三角形
B． 表示三边均不相等的三角形， 表示等边三角形， 表示等腰三角形
C． 表示等腰三角形， 表示等边三角形， 表示三边均不相等的三角形
D． 表示等边三角形， 表示等腰三角形， 表示三边均不相等的三角形
【分析】根据三角形按边的分类可直接选出答案．
【解答】解：三角形根据边分类如下：
三角形 ；
故选： ．
【点评】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．三角形按边的关系分为两类：不等边三角
形和等腰三角形，其中等腰三角形又分为底和腰不等的等腰三角形以及等边三角形．另外，三角形还可以
按角进行分类．
四十二．三角形的角平分线、中线和高（共1小题）
42．（2024春•惠来县期末）下列各图中，画出 边上的高，正确的是A． B．
C． D．
【分析】根据三角形高的定义，过点 与 边垂直，且垂足在边 上，然后结合各选项图形解答．
【解答】解：根据三角形高线的定义，只有 选项中的 是边 上的高．
故选： ．
【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义，熟记定义并准确识图是解题的关键．
四十三．三角形三边关系（共1小题）
43．（2023秋•裕安区校级期末）若长度为 ，2，3的三条线段能组成一个三角形，则 的值可能为
A．6 B．5 C．1 D．3
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式，解不等式求出 的范围，判断即可．
【解答】解：由题意得： ，即 ，
则 的值可能是3，
故选： ．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边
是解题的关键．
四十四．三角形内角和定理（共1小题）
44．（2023秋•大同期末）把一副三角尺 与 按如图所示那样拼在一起，其中 、 、 三点在
同直线上， 为 的平分线， 为 的平分线，则 ．【分析】由角平分线的定义可知 ， ，再利用 ，
进行计算即可．
【解答】解： 为 的平分线， 为 的平分线，
， ，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，利用角平分线的定义计算角的度数是解答本题
的关键．
四十五．三角形的外角性质（共1小题）
45．（2023秋•灵山县校级期末）将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起，则图中 的度数为
．
【分析】根据三角板上的特殊角度，再根据外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个
内角的和解答．
【解答】解：根据三角板角度的特殊性可知 ， ，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了三角形的外角性质，关键是掌握三角形外角的性质．
四十六．全等三角形的性质（共1小题）
46．（2023秋•常宁市期末）如图，△ABC≌△A′B′C′，若∠B＝25°，∠A＝70°，∠A′CB＝45°，则∠B′CB的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】根据全等三角形对应角相等求出∠B′，∠A′，再利用三角形内角和为 180 度求出
∠A′CB′，最后利用角的和差关系即可求解．
【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C，∠B＝25°，∠A＝70°，
∴∠B′＝∠B＝25°，∠A′＝∠A＝70°，
∴∠A′CB′＝180°﹣∠B′﹣∠A′＝180°﹣25°﹣70°＝85°，
∵∠A′CB＝45°，
∴∠B′CB＝∠A′CB′﹣∠A′CB＝85°﹣45°＝40°，
故选：D．
【点评】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的性质，熟知以上知识是解题的关键．
四十七．全等三角形的判定（共1小题）
47．（2023秋•裕安区校级期末）如图，下列条件不能证明 的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【分析】全等三角形的判定定理有 ， ， ， ，根据以上内容逐个判断即可．
【解答】解： 、 ， ， ，符合全等三角形的判定定理“ ”，即能推出
，故本选项不符合题意；
、 ， ， ，符合全等三角形的判定定理“ ”，即能推出
，故本选项不符合题意；
、在 和 中，，
，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
即能推出 ，故本选项不符合题意；
、具备条件 ， ， 不能推出 ，故本选项符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此
题的关键，注意：全等三角形的判定定理有 ， ， ， ．
四十八．全等三角形的判定与性质（共1小题）
48．（2023 秋•赤坎区校级期末）如图，在 和 中， ， ， ，
，连接 ， 交于点 ，连接 ．下列结论：① ；② ；
③ 平分 ；④ 平分 ．其中正确的结论有
A．① B．①② C．①②③ D．①②④
【分析】由 证明 得出 ， ，①正确；
由全等三角形的性质得出 ，由三角形的外角性质得： ，得出 ，②正确；
作 于 ， 于 ， 如 图 所 示 ： 则 ， 由 证 明
，得出 ，由角平分线的判定方法得出 平分 ，④正确；
由 ，得出当 时， 才平分 ，假设 ，由
得出 ，由 平分 得出 ，推出 ，
得 ，而 ，所以 ，而 ，故③错误；即可得出结论．
【解答】解： ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
， ， ，①正确；
由三角形的外角性质得： ，
，②正确；
作 于 ， 于 ，如图2所示：
则 ，
在 和 中，
，
，
，
平分 ，④正确；
，
当 时， 才平分 ，
假设 ，，
，
平分 ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
与 矛盾，
③错误；
正确的有①②④；
故选： ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形
全等是解题的关键．
四十九．全等三角形的应用（共1小题）
49．（2023秋•岚山区期末）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨 ，点 ， 分别是
， 的中点， ， 是连接弹簧和伞骨的支架，且 ，已知弹簧 在向上滑动的过程中，
总有 ，其判定依据是A． B． C． D．
【分析】根据全等三角形判定的“ ”定理即可证得 ．
【解答】解： ，点 ， 分别是 ， 的中点，
，
在 和 中，
．
，
故选： ．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
五十．角平分线的性质（共1小题）
50．（2023 秋•遂宁期末）如图，△ 的外角 ， 的平分线 ， 相交于点 ，
于 ， 于 ，下列结论：
（1） ；
（2）点 在 的平分线上；
（3） ．
其中正确的有
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【分析】（1）作 于 ，证明△ △ ，得到 ，同理可证 即可得到结
论；
（2）根据角平分线的判定定理解答即可；
（3）根据全等三角形的性质证得 ， ，再根据四边形内角和即可证得
和 关系．
【解答】解：（1）作 于 ，
是 的平分线，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
，
平分 ，且 ， ，
，
，
（1）正确；
（2）由（1）可知： ，
又 于 ， 于 ，
点 在 的平分线上，
（2）正确；
（3） ，
又 ，
，
即 ，
由（1）知：△ △ ，
，
同理： ，
，即 ，
，
（3）正确；
故选： ．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，多边形内角和，掌握角的平分线上的
点到角的两边的距离相等是解题的关键．
五十一．线段垂直平分线的性质（共1小题）
51．（2024春•阳山县期末）如图，在△ 中， 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ，连接
，若 ， ，则 的长为 9 ．
【分析】由线段垂直平分线的性质推出 ，即可得到 ．
【解答】解： 垂直平分 ，
，
．
故答案为：9．
【点评】本题考查线段垂直平分垂线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的
距离相等．
五十二．等腰三角形的性质（共1小题）
52．（2022春•惠民县期末）等腰三角形的一个内角是 ，则另外两个角的度数分别是
A． ， B． ，
C． ， 或 ， D． ，【分析】根据等腰三角形的性质推出 ，分为两种情况：①当底角 时，②当顶角
时，根据 和三角形的内角和定理求出即可．
【解答】解：
，
，
①当底角 时，则 ，
；
②当顶角 时，
， ，
；
即其余两角的度数是 ， 或 ， ，
故选： ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，注意此题有两种情况：①当底角
时，②当顶角 时．
五十三．等腰三角形的判定与性质（共1小题）
53．（2023秋•潮阳区校级期末）如图，在△ 中， 和 的平分线相交于点 ，过点 作
，交 、 于点 、 ．若 ， ，则△ 的周长是
A．9 B．10 C．12 D．14
【分析】先由角平分线的定义得 ， ，再由平行线的性质得 ，
，则 ， ，得 ， ，即可解决问题．
【解答】解： 和 的平分线相交于点 ，
， ，，
， ，
， ，
， ，
△ 的周长
．
故选： ．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识；熟练掌握平行线的性质，证明△
和△ 为等腰三角形是解题的关键，
五十四．等边三角形的判定与性质（共1小题）
54．（2023秋•重庆期末）如图， 中， ， ，延长 至点 ，连接 ，若
的周长为25，则 的周长为 1 9 ．
【分析】根据已知易得 是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得 ，从而可
得 ，最后利用三角形的周长公式以及等量代换可得 的周长 ，即可解答．
【解答】解： ， ，
是等边三角形，
，
的周长为25，
，
的周长 ，
故答案为：19．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
五十五．直角三角形的性质（共1小题）
55．（2023秋•青龙县期末）如图，已知 于点 ， 于点 ， ，则 的度数是 ．
【分析】先证明 ，可得 ，从而可得 ．
【解答】解： ， ，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，，掌握直角三角形两锐角互余是解题的
关键．
五十六．多边形（共1小题）
56．（2020秋•巩义市期末）小李同学将 ， ， ， 的四根木棒首尾相接，组成一个凸四
边形，若凸四边形对角线长为整数，则对角线最长为
A． B． C． D．
【分析】根据三角形的三边关系即可确定对角线的范围，从而判断．
【解答】解：如图，设 ， ， ， ，连接 和 ，
由三角形 和 可知 ， ，
所以 ，
由三角形 和 可知 ， ，
以 ，
四边形对角线长为整数，
对角线最长为27，
故选： ．【点评】本题主要考查多边形，以及三角形三边关系，关键是掌握已知三角形的两边，则第三边的范围是：
大于已知的两边的差，而小于两边的和．
五十七．多边形内角与外角（共1小题）
57．（2023秋•浦北县期末）一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是
A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【分析】设这个多边形的边数为 ，然后根据多边形的内角和与外角和可得： ，进行
计算即可解答．
【解答】解：设这个多边形的边数为 ，
由题意得： ，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角，熟练掌握多边形的内角和与外角和是解题的关键．
五十八．生活中的轴对称现象（共1小题）
58．（2020秋•南海区校级期末）如图，弹性小球从点 出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形
的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为 ，第2次碰到矩形
的边时的点为 ， ，第 次碰到矩形的边时的点为 ，点 的坐标是 ．【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每 6次反弹为一个循环组依次循环，用2020除以6，
根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【解答】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，
根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点 ，
，
当点 第2020次碰到矩形的边时为第337个循环组的第4次反弹，点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了矩形的性质、点的坐标的规律；作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环
是解题的关键．
五十九．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共1小题）
59．（2023秋•吉安县期末）点 关于 轴对称的点的坐标是 ．
【分析】根据关于 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【解答】解：与点 关于 轴对称的点的坐标是 ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了关于 轴对称点的坐标，熟知关于 轴对称的点的坐标特点是解题的关键．
六十．坐标与图形变化-对称（共1小题）
60．（2023秋•东昌府区期末）在直角坐标系中，直线 是经过点 ，且平行于 轴的直线，点与点 ，关于直线 成轴对称，则 6 ．
【分析】根据题意得 ， ，代入计算即可．
【解答】解：根据题意，得 ， ，
解得 ， ，
故 ，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是坐标与图形变化对称，能根据题意得出，的值是解题的关键．
