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7.2 空间几何体积与表面积（精讲）一．空间几何体的结构特征
1.多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
2.常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系
3.旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
互相平行且相等，
母线 相交于一点 延长线交于一点
垂直于底面
轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
二．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S ＝2πrl S ＝πrl S ＝π(r＋r)l
圆柱侧 圆锥侧 圆台侧 1 2
三．柱、锥、台、球的表面积和体积名称
表面积 体积
几何体
柱体(棱柱和圆柱) S ＝S ＋2S V＝Sh
表面积 侧 底
锥体(棱锥和圆锥) S ＝S ＋S V＝Sh
表面积 侧 底
台体(棱台和圆台) S ＝S ＋S ＋S V＝(S ＋S ＋)h
表面积 侧 上 下 上 下
球 S＝4πR2 V＝πR3
四．直观图
1.画法：常用斜二测画法.
2.规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、
y′轴所在平面垂直.
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持
原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
五．平面有关的基本事实及推论
1.与平面有关的三个基本事实
基本事实 内容 图形 符号
基本 过不在一条直线上的三个点，有 A，B，C三点不共线⇒存在
事实1 且只有一个平面 唯一的α使A，B，C∈α
如果一条直线上的两个点在一个
基本 A∈l，B∈l，且A∈α，
平面内，那么这条直线在这个平
事实2 B∈α⇒l⊂α
面内
如果两个不重合的平面有一个公
基本 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝
共点，那么它们有且只有一条过
事实3 l，且P∈l
该点的公共直线
2.基本事实1的三个推论
推论 内容 图形 作用
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有
推论1
一个平面
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 确定平面的依据
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面3.基本事实4和等角定理
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
六．空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线 直线与平面 平面与平面
图形语言
平行
关系
符号语言 a∥b a∥α α∥β
相交 图形语言
关系
符号语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l
图形语言
独有
关系
符号语言 a，b是异面直线 a⊂α
一.空间几何体表面积的求法
1.旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中
边的关系.
2.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.
二.求空间几何体的体积的常用方法
(1)公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解；
(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体；
(3)等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积.
三．立体中的截面、截线
1.作截面应遵循的三个原则：
①在同一平面上的两点可引直线；
②凡是相交的直线都要画出它们的交点；
③凡是相交的平面都要画出它们的交线.
作出截面的关键是找到截线，作出截线的主要根据有：(1)确定平面的条件；(2)三线共点的条件；(3)面
面平行的性质定理．
2.作交线的方法有如下两种：
①利用基本事实3作交线；
②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.
四．证明点或线共面问题的2种方法
1.先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；2.直接证明这些点都在同一条特定直线上．
3．证明线共点问题的常用方法;先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
考法一 基本立体图形
【例1-1】（2023春·河北石家庄）（多选）下列说法中不正确的是（ ）
A．正四棱柱一定是正方体
B．圆柱的母线和它的轴不一定平行
C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
【例1-2】（2023浙江省台州市）已知圆柱体的底面半径为 ，高为 ，一只蜗牛从圆柱体底部开
始爬行，绕圆柱体4圈到达顶部，则蜗牛爬行的最短路径长为______．
【例1-3】（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）（多选）正三角形 的边长为 ，如图，
为其水平放置的直观图，则（ ）
A． 为锐角三角形 B． 的面积为
C． 的周长为 D． 的面积为
【一隅三反】
1．（2023春·福建南平）（多选）下列命题正确的（ ）
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
B．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．用平面截圆柱，得到的截面可以是等腰梯形
D．底面是正方形，两个侧面是矩形的四棱柱是正四棱柱
2．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，矩形 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中
， ，则原图形是（ ）
A．面积为 的矩形 B．面积为 的矩形
C．面积为 的菱形 D．面积为 的菱形
3（2023·全国·高三专题练习）如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长 ，一只蚂蚁从 点出发绕着
圆锥的侧面爬行一圈回到点 ，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C．6 D．
4（2023广东）如图，正三棱锥P﹣ABC的顶点P为圆柱OO 的上底面的中心，底面ABC为圆柱下底面的
1
内接等边三角形，四边形DEFG为圆柱的轴截面，BO DG， ， .现有一机器人从点A处
开始沿圆柱的表面到达E点，再到达点P处，再从P处沿正三棱锥P﹣ABC的表面返回A处，则其最短的路程约为___________.(参考数据： ，结果精确到 )
考法二 表面积
【例2-1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台
形水杯的母线长为6cm，上､下底面圆的半径分别为4cm和2cm.为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包
裹水杯 高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为（不考虑水杯材质和杯套的厚
度）（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】．（2023·山东烟台·统考三模）已知底面半径为 的圆锥 ，其轴截面为正三角形，若它的一个
内接圆柱的底面半径为 ，则此圆柱的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】（2023·河北·统考模拟预测）柷（zhù），是一种古代打击乐器，迄今已有四千多年的历史，柷
的上方形状犹如四方形木斗，上宽下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞击其内壁发声，表示乐曲将开始.
如图，某柷（含底座）高 ，上口正方形边长 ，下口正方形边长 ，底座可近似地看作是底面
边长比下口边长长 ，高为 的正四棱柱，则该柷（含底座）的侧面积约为（ ）（ ）A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知圆锥SO的母线长为2，AB是圆O的直径，点M是SA的中点．若
侧面展开图中， 为直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北·统考模拟预测）《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台
（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成
的正四棱台（如图所示），其中上底面与下底面的面积之比为 ，方亭的高为棱台上
底面边长的 倍.已知方亭的体积为 ，则该方亭的表面积约为（ ）（ ， ，
）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，将一个圆柱 等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体， 越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”．若新几何体的表面积比原圆柱
的表面积增加了10，则圆柱的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节
人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围 如图 ，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，
上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分 除去两个球冠 如图 ，球冠是由球面被一个
平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为 ，球冠的高为 ，
则球冠的面积 已知该灯笼的高为 ，圆柱的高为 ，圆柱的底面圆直径为 ，则围成
该灯笼所需布料的面积为（ ）
A． B．
C． D．
考法三 体积
【例3-1】（2023·山东潍坊·三模）我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．
欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：“有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高
为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的
高是多少？”按照上述方法，截得的该正四棱台的体积为（ ）（注：1丈 尺）
A．11676立方尺 B．3892立方尺C． 立方尺 D． 立方尺
【例3-2】．（2023·全国·高三对口高考）如图，四棱锥 中， 底面 ，
，E是 的中点．
(1)求证： ；
(2)求证： 面 ；
(3)若 ，求三棱锥 体积．【一隅三反】
1．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知圆台上下底面半径之比为1：2，母线与底面
所成的角为60°，其侧面面积为54π，则该圆台的体积为（ ）
A．56π B．63π C． D．
2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，四边形 与四边形 是全等的
矩形， ，若 是 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)如果 ，求三棱锥 与多面体 的体积比值.
3．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，已知底面为梯形， ， ， .
(1)证明： .
(2)若 平面 ， ，求点 到平面 的距离.
4．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）如图；在直三棱柱 中， ， ，
，点D为AB的中点．
(1)求证 ；
(2)求三棱锥 的体积．
5．（2023·贵州·校联考模拟预测）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几何体.如图，在羡除 中，底面 是边长为2的正方形，
.
(1)证明：平面 平面 .
(2)求四棱锥 的体积.
考法四 截面、截线
【例4-1】（2023春·河北邯郸）（多选）用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是（ ）
A．锐角三角形 B．直角梯形
C．正五边形 D．六边形
【例4-2】（2023·全国·高三对口高考）正四棱锥 的底面边长为2，高为2，E是边 的中点，动
点P在表面上运动，并且总保持 ，则动点P的轨迹的周长为（ ）
A． B． C．4 D．
【例4-3】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）直三棱柱 中， ，P
为BC中点， ，Q为 上一点， ，则经过A，P，Q三点的平面截此三棱柱所成截
面的面积是（ ）
A． B．4 C． D．5【一隅三反】
1．（2023·海南海口·校联考一模）如图，点 是棱长为2的正方体 表面上的一个动点，直
线 与平面 所成的角为45°，则点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
2（2023·河南洛阳·模拟预测）已知正四棱锥 的底面边长为2，侧棱长为 ，SC的中点为E，过
点E做与SC垂直的平面 ，则平面 截正四棱锥 所得的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河北衡水·模拟预测）已知正方体 的棱长为 分别为棱 的中点，
点 是棱 上靠近点 的三等分点，则平面 截该正方体所得截面的面积为（ ）
A． B． C．10 D．12
考法五 空间几何题中的最值
【例5-1】（2023·四川·校联考模拟预测）已知三棱锥 各顶点均在以 为直径的球面上， ，
是以 为斜边的直角三角形，则当 面积最大时，该三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】（2023·上海·统考模拟预测）若矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值为____．
【一隅三反】
1．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知长方体 的外接球的表面积为 ， ，
点P在四边形 内，且直线BP与平面 所成角为 ，则长方体的体积最大时，动点P的轨迹长
为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）已知正方形ABCD的边长是1，将 沿对角线AC折到
的位置，使（折叠后）A、 、C、D四点为顶点的三棱锥的体积最大，则此三棱锥的表面积为
______．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知球O的半径为 ，正三棱锥O－ABC的底面的各个顶点均在球O的
球面上，当正三棱锥O－ABC的体积取得最大值时，其侧面积为______
考法六 基本事实及应用
【例6-1】（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）（多选）已知 ， 是两个不同的平面，则下
列命题正确的是（ ）
A．若 ， 且 ，则
B．若A，B，C是平面 内不共线三点， ， ，则
C．若 且 ，则直线
D．若直线 ，直线 ，则a与b为异面直线【例6-2】（2023春·安徽合肥·高一校联考期中）在四面体 中， ， 分别是 ， 的中点， ，
分别是边 ， 上的点，且 ．求证：
(1) ， ， ， 四点共面；
(2)直线 ， ， 相交于一点．
【一隅三反】
1．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）在长方体 中，直线 与平面
的交点为 为线段 的中点，则下列结论错误的是（ ）A． 三点共线 B． 四点异不共面
C． 四点共面 D． 四点共面
2．（2023·全国·高三对口高考）如图，正方体中，E、F分别是 的中点，则与直线 、 、
都相交的直线（ ）
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有且仅有三条 D．无数条
3．（2023春·河南信阳）如图，在正方体 中，E，F分别是 上的点，且
.
(1)证明： 四点共面；
(2)设 ，证明：A，O，D三点共线.
