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7.2 空间几何体积与表面积（精练）
1．（2023春·山西大同）（多选）下列命题中不正确的是（ ）
A．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
B．正四棱锥的侧面都是正三角形
C．用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D．平行六面体的每个面都是平行四边形
2．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）如图，一个水平放置的三角形 的斜二测直观图是等腰直角三角
形 ，若 ，那么原三角形 的周长是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·山东济南·一模）已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图
的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）（多选）下列命题正确的有（ ）
A．空间中两两相交的三条直线一定共面
B．已知不重合的两个平面 ，则存在直线 ，使得 为异面直线
C．有两个平面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱D．过平面 外一定点 ，有且只有一个平面 与 平行
5．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）（多选）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底
面半径分别为 ，母线 长为2，点 为 的中点，则（ ）
A．圆台的体积为 B．圆台的侧面积为
C．圆台母线 与底面所成角为 D．在圆台的侧面上，从点 到点 的最短路径长为5
6．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）仿钧玫瑰紫釉盘是收藏于北京故宫博物院的一件明代
宣德年间产的瓷器．该盘盘口微撇，弧腹，圈足．足底切削整齐．通体施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不
胜收．仿钧玫瑰紫釉盘的形状可近似看成是圆台和圆柱的组合体，其口径为15.5cm，足径为9.2cm，顶部
到底部的高为4.1cm，底部圆柱高为0.7cm，则该仿钧玫瑰紫釉盘圆台部分的侧面积约为（ ）（参考数
据：π的值取3， ）
A． B． C． D．
7．（2023·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为 和 ，
球的体积为 ，则该圆台的侧面积为（ ）A． B． C． D．
8．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）如图，在三棱锥 中， ，
，过点 作截面 ，则 周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·湖南郴州·统考三模）已知圆台的上､下底面圆半径分别为10和5，侧面积为 为圆台的
一条母线（点 在圆台的上底面圆周上）， 为 的中点，一只蚂蚁从点 出发，绕圆台侧面一周爬行
到点 ，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
10．（2023·湖南邵阳·统考三模）如图所示，正八面体的棱长为2，则此正八面体的表面积与体积之比为（
）A． B． C． D．
11．（2023·全国·高三专题练习）黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器.该龙
纹盘敞口，弧壁，广底，圈足.器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收.黄地绿彩云
龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm，足径14.4cm，高3.8cm，其中底部圆柱高
0.8cm，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（ ）（附：圆台的侧面积 ， ， 为两底面半径，
为母线长，其中 的值取3， ）
A． B． C． D．
12．（2023·西藏拉萨·统考一模）位于徐州园博园中心位置的国际馆（一云落雨），使用现代科技雾化
“造云”，打造温室客厅，如图，这个国际馆中3个展馆的顶部均采用正四棱锥这种经典几何形式，表达
了理性主义与浪漫主义的对立与统一.其中最大的是3号展馆，其顶部所对应的正四棱锥底面边长为
19.2m，高为9m，则该正四棱锥的侧面面积与底面面积之比约为（ ）（参考数据： ）A．2 B．1.71 C．1.37 D．1
13．（2023春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校
修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相
对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长的比为 ，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积
的比值为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023春·安徽·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）宿州市三角洲生态公园是多功能的综合性
公园，其标志性雕塑“生命之源”为水滴形状，寓意水是生命之源，此雕塑顶部可视为一个圆锥.已知此圆
锥的高为 ，其母线与底面所成的角为60°，则此圆锥的侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C． D．15．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）已知菱形 的边长为 ，则将菱形 以
其中一条边所在的直线为轴，旋转一周所形成的几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形
的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且 ，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·河南·校联考模拟预测）在直三棱柱 中， ， ，M为 的
中点， ，则该直三棱柱的体积为（ ）
A． B．4 C． D．
18．（2023·全国·高三对口高考）已知 为长方体，对角线 与平面 相交于点 ，
则 为 的（ ）
A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心19．（2023·全国·高三专题练习）已知点P在棱长为 的正方体 的外接球O的球面上，当
过A，C，P三点的平面截球O的截面面积最大时，此平面截正方体表面的截线长度之和L为（ ）
A． B．
C． D．
20．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知直四棱柱 的底面为正方形，
， 为 的中点，过 三点作平面 ，则该四棱柱的外接球被平面 截得的截面圆的
周长为（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知正方体 的棱长为2，点 为线
段 的中点，若点 平面 ，且 平面 ，则平面 截正方体 所得截面的周长为
（ ）
A． B． C． D．
22．（2023·河北·统考模拟预测）已知点 在棱长为 的正方体 的外接球 的球面上，当
的面积最大时，过 ， ， 三点的平面 截正方体各面所得截线的长度之和 的值为（ ）
A． B．
C． D．22．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、
官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可
近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是 厘米，中间
圆的直径是 厘米，上底面圆的直径是 厘米，高是 厘米，且上、下两圆台的高之比是 ，则该汝窑
双耳罐的侧面积是______平方厘米．
23．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）已知用斜二测画法画梯形OABC的直观图
如图所示， ， ， ， 轴， ， 为 的三等分
点，则四边形OABC绕y轴旋转一周形成的空间几何体的体积为______．
23．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， ， ，
过点 作截面 ，则 周长的最小值为______．
24．（2023·青海海东·统考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，P为 的中点，则三棱锥 的体积为______．
25．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，四边形ABCD为菱形， 平面ABCD， ，
.
(1)求证：平面 平面AFC；
(2)记三棱锥 的体积为 ，三棱锥 的体积为 ，求 的值.25．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，AC是圆柱的底面直
径，PC是圆柱的母线，E是AC与BD的交点， .
(1)证明 .
(2)记圆柱的体积为 ，四棱锥P-ABCD的体积为 ，求 ；
26．（2023·陕西西安·统考一模）在斜三棱柱 中， 是边长为2的正三角形，侧棱
，顶点 在平面 的射影为 边的中点 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.27．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是边长为2的菱形，
，AC与BD交于点O， 底面ABCD， ，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接
OE，OF，EF．
(1)求证：平面 平面PCD；
(2)求三棱锥 的体积．
28．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）如图，在四边形ABCP中， 为边长为
的正三角形， ，将 沿AC翻折，使点P到达 的位置，若平面 平面ABC，且
．(1)求线段 的长；
(2)设M在线段 上，且满足 ，求三棱锥 的体积．
29．（2023·四川成都·川大附中校考模拟预测）如图所示多面体 中，平面 平面 ，
平面 ， 是正三角形，四边形 是菱形， ， ，
(1)求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
30．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在几何体 中， ， ，点 ， 在棱上，且 ，三棱柱 是直三棱柱.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 ，求点 到平面 的距离.
1．（2023·全国·统考高考真题）（多选）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容
器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为 的球体
B．所有棱长均为 的四面体
C．底面直径为 ，高为 的圆柱体
D．底面直径为 ，高为 的圆柱体
2．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）（多选）已知正方体 的棱长为 分
别为 的中点， 为正方体的内切球 上任意一点，则（ ）
A．球 被 截得的弦长为B．球 被四面体 表面截得的截面面积为
C． 的范围为
D．设 为球 上任意一点，则 与 所成角的范围是
3．（2023·河北·统考模拟预测）（多选）如图，已知正方体 的棱长为1， 为底面
的中心， 交平面 于点 ，点 为棱 的中点，则（ ）
A． ， ， 三点共线 B．异面直线 与 所成的角为
C．点 到平面 的距离为 D．过点 ， ， 的平面截该正方体所得截面的面积为
4．（2023浙江省）已知四棱锥 中， 平面ABCD，四边形ABCD为正方形， ，平
面 过PB，BC，PD的中点，则下列关于平面 截四棱锥 所得的截面正确的为（ ）
A．所得截面是正五边形 B．截面过棱PA的三等分点
C．所得截面面积为 D．截面不经过CD中点
5．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考期中）已知四面体ABCD为正四面体，AB=4，E，F
分别是AD，BC中点.若用一个与EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
6．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）在正四棱台 中， ，
，M为棱 的中点，当正四棱台的体积最大时，平面 截该正四棱台的截面面积是（ ）．
A． B． C． D．
7．（2023春·北京顺义）如图，在正方体 中，点 分别是棱 ， 上的动点.给出
下面四个命题：
①若直线 与直线 共面，则直线AF与直线CE相交；
②若直线 与直线 相交，则交点一定在直线 上；
③若直线 与直线 相交，则直线 与平面ACE所成角的正切值最大为 ；
④直线 与直线 所成角的最大值是 .
其中，所有正确命题的序号是（ ）A．①④ B．②④
C．①②③ D．②③④
8．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱 中， ， ，
为 中点， 为正四棱柱表面上一点，且 ，则点 的轨迹的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）如图，已知正三棱台 的上、下底面边长分
别为4和6，侧棱长为2，点P在侧面 内运动（包含边界），且AP与平面 所成角的正切值为
，则所有满足条件的动点P形成的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．10．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）如图，二面角 的大小为 ，已知A、B是l上的两
个定点，且 ， ， ，AB与平面BCD所成的角为 ，若点A在平面BCD内的射影H在
的内部（包括边界），则点H的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）（多选）如图所示，四边形 是由斜二测画法得到的平
面四边形 水平放置的直观图，其中， ， ，点 在线段 上， 对应原图
中的点 ，则在原图中下列说法正确的是（ ）
A．四边形 的面积为14
B．与 同向的单位向量的坐标为
C． 在向量 上的投影向量的坐标为
D． 的最小值为17
12．（2023·重庆·统考模拟预测）（多选）如图，正方体 的棱长为4，M是侧面 上的一个动点（含边界），点P在棱 上，且 ，则下列结论正确的有（ ）
A．沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为
B．保持 与 垂直时，点M的运动轨迹长度为
C．若保持 ，则点M的运动轨迹长度为
D．平面 被正方体 截得截面为等腰梯形
13．（2023·辽宁辽阳·统考二模）如图，在正三棱柱 ，中， ， 在 上， 是
的中点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·河南·校联考三模）如图，在棱长为1的正方体 中，E为 的中点，M是截
面 上的一个动点（不包含边界）， ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
15．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知正三棱锥 的所有棱长均为2，点M，N分别为棱AD和BC
的中点，点E为棱AB上一个动点，则三角形 的周长的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
