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15.3.1 分式方程及其解法（1）
夯实基础篇
一、单选题：
1．已知方程：① ；② ；③ ；④ ．这四个方程中，
分式方程的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义解答．
【详解】解：根据定义可知：①②③为分式方程，
故选：C．
【点睛】此题考查分式方程的定义，熟记定义是解题的关键．
2．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据已知的分式方程得到 ，代入化简即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】此题考查了解分式方程，求分式的值，正确掌握解分式方程的方法得到 是解题的关键．
3．下列关于分式方程 解的情况，正确的是（ ）
A．解为 B．解为 C．解为 D．无解
【答案】B
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：
去分母，得
，
经检验 是分式方程的根，
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式方程的解，熟练掌握计算法则是解题关键．
4．解分式方程 ，去分母正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分式变形后两边乘最简公分母 ， 去分母得到结果，即可作出判断
【详解】解：变形得：
去分母得： ．
故选：D．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解决本题的关键是正确去分母．
5．解分式方程 ，去分母正确的是（ ）
A．
B．C．
D．
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可做出判断．
【详解】解： ，
方程两边同乘以 ，
去分母得： ，
故选：D．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求
解．解分式方程一定注意要验根．
6．方程 的解是（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：x+1=2，
解得：x=1，
检验：将x=1代入 得： ，
∴原方程无解．
故选：D．
【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求
解．解分式方程一定注意要验根．
7．用换元法解分式方程 ，如果设 ，那么原方程化为关于 的整式方程是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】由 ，原方程可化为 ，去分母把分式方程化成整式方程，即可得出答案．
【详解】解：设 ，
分式方程 可化为 ，
化为整式方程： ，
故选：A．
【点睛】本题考查了换元法解分式方程，掌握换元法及正确把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．
二、填空题：
8．在下列方程：① 、② 、③ 、④ 、⑤ 中，分式方程的个数有
__________．
【答案】3
【分析】根据分式方程的概念：分母里含有字母的方程叫做分式方程一一判断，得出结果即可．
【详解】解：方程①②分母中不含未知数，故①②不是分式方程；
方程③④⑤分母中含表示未知数的字母，故是分式方程；
故答案为3．
【点睛】本题考查分式方程，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母
中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
9．方程 的最简公分母是_____________________．
【答案】
【分析】根据最简公分母的定义进行解答即可．
【详解】解： ，
，∴最简公分母是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查解分式方程，最简公分母，解题的关键是明确最简公分母的定义，最简公分母是各分母
所有因式的最高次幂的乘积．
10．当 ______时，分式 的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意得出关于 的方程，解分式方程可得．
【详解】解：根据题意知 ，
则 ，
解得： ，
检验： 时， ，
所以 时，分式 的值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤．
11．方程 的解昰___________．
【答案】
【分析】先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可.
【详解】解：
去分母得：
整理得：
解得：
经检验： 是原方程的根，
∴ 原方程的根为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是分式方程的解法,掌握“分式方程的解法与步骤”是解本题的关键.
12．分式方程 的解为_________．【答案】x=3
【分析】利用解分式方程的一般步骤解答即可．
【详解】解：去分母得：3x-（x+2）=4，
去括号得：3x-x-2=4，
移项，合并同类项得：2x=6，
∴x=3．
经检验：x=3是原方程的根，
故答案为：x=3．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，找到最简公分母将分式方程转化为整式方程是解题的关键．
13．若关于x的分式方程 的解为 ，则常数a的值________________．
【答案】10
【分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的方程，然后求解即可．
【详解】解：把x=4代入分式方程 ，得
，
解得：a=10，
经检验a=10是方程的解，
故答案为：10．
【点睛】此题考查了分式方程的解和解分式方程，解题的关键是注意分式方程分母不能为0．
14．当 ________时，分式 与分式 互为相反数．
【答案】
【分析】根据相反数的性质可得 ，解分式方程即可得出结果．
【详解】解：∵分式 与分式 互为相反数，
∴ ，
整理得： ，
去分母得： ，
解得： ，经检验 是 的解，
∴ 时，分式 与分式 互为相反数，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相反数的性质以及解分式方程，根据互为相反数的两个数相加得 列出分式方程是解
本题的关键，注意分式方程需要检验．
三、解答题：
15．解下列方程：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)原方程无解
【分析】（1）方程两边同时乘以 将分式方程变为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进
行检验即可；
（2）方程两边同时乘以 将分式方程变为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】（1）解： ，
方程两边同乘以 得： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
检验：把 代入 得： ，
∴ 是原方程的解．
（2）解： ，
方程两边同时乘以 得： ，
移项合并同类项得： ，
把 代入 得： ，∴ 是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，注意解分式方程要
进行检验．
16．解分式方程
(1) (2)
【答案】(1)无解
(2)
【分析】（1）两边都乘以 化为整式方程求解，然后验根即可．
（2）两边都乘以 化为整式方程求解，然后验根即可．
【详解】（1）解：去分母，得： ，
解之得： ，
检验：把 代入 ，得 ，
所以，原分式方程无解．
（2）解：整理得：
去分母，得： ，
解之得： ，
检验：把 代入 ，得： ，
所以， 是原分式方程的解.
【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式
方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．
17．当x取何值时，分式 与 互为相反数．
【答案】
【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：由题意，得 ，
方程两边同乘 ，得 ，解得 ．
经检验 是所列方程的解，
故原方程的解为 ．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18．下面是解分式方程的一般过程，阅读完后请填空：解分式方程： ，
解：方程两边同乘以 ，得 ；(第一步)
解得： ．
检验：当 时， ，因此 不是原方程的解．
所以，原分式方程无解．
(1)第一步计算中的 是____________，进行这一步运算的依据是__________________；
(2)解分式方程的基本方法是____________，即把____________转化为________________________求解．解
分式方程最后一定要_____________________．
(3)用类比的方法解分式方程 ．
【答案】(1)最简公分母，等式的性质
(2)去分母，分式方程，整式方程，检验
(3)
【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时乘以最简公分母．
（2）根据解分式方程的指导思想，化分式方程为整式方程，注意验根．
（3）按照解方程的基本步骤，规范求解即可
（1）
根据等式的性质，方程两边同时乘以最简公分母，
故答案为：最简公分母，等式的性质．
（2）
根据解分式方程的指导思想，化分式方程为整式方程，注意验根，
故答案为：去分母，分式方程，整式方程，检验．
（3）
方程两边同乘以 ，得
，解得
检验：当 ， ，
所以， 是原方程的解．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
能力提升篇
一、单选题：
1．定义运算“※”： ※ 若3※ ，则 的值为
A．1 B．5 C．1或5 D．5或7
【答案】C
【分析】先分类讨论，再求解分式方程．
【详解】解：当 ，3※ ．
．
当 ， ．
的解是 ．
当 ，3※ ．
当 ， ．
的解是 ．
综上： 或5．
故选：C．
【点睛】本题主要考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程．
2．如果方程 ，那么 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据 ，可得出 ，再代入 中，整理可得 ，最后等式两边同时除以n，即可得 ．
【详解】∵ ，
∴ ．
将 代入 ，得： ，
∴
整理，得： ，
等式两边同时除以n，得 ．
故选B．
【点睛】本题主要考查代数式求值，等式的性质．利用整体代入得思想是解题关键．
3．若关于x的方程 有非负整数解，且关于y的不等式组 的解集为 ，则所
有满足条件的整数a的值之和为（）
A．－1 B．4 C．5 D．7
【答案】B
【分析】先解分式方程，得 ，再根据题意可得 的取值范围，再解不等式组，根据题意可得
，进一步可得 的取值范围，即可求出满足条件的整数 的和．
【详解】解：方程 ，
去分母，得 ，
解得 ，
方程有非负整数解，且 为不等于2的整数，
解得 且 ，
解不等式 ，
得 ，
解不等式 ，
得 ，
不等式组的解集为 ，
，
解得 ，
且 ，
为整数，
可取值 ， ，3，5，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集等，解题的关键是熟练掌握解分式方程和不
等式组的方法．
二、填空题：
4．对于实数a、b，定义一种新运算“ ”为： ，这里等式右边是实数运算例如：
．则方程 的解是________．
【答案】
【分析】根据题中的新运算法则列出分式方程，再根据分式方程的解法解答即可．
【详解】解： ，
∴方程为： ，
去分母得： ，
解得： ，经检验， 是原方程的解，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，解本题的关键在理解题中给出的新运算
法则及分式方程的解法．
三、解答题：
5．观察下面的变化规律，解答下列问题：
=1- ， = - ， = - ， = - ．
(1)若n为正整数，猜想 = ；
(2)根据上面规律解方程： = ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意即可得出解答；
（2）根据题意拆解合并之后解分式方程即可．
（1）
根据题意得： ；
故答案为： ；
（2）
方程变形得： ，
整理得： ，即 ，
去分母得：-x=x+3，
解得：x= ，检验：把x= 代入得： ，
∴分式方程的解为x= ．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及拆项，理解题目中拆项的方法是解本题的关键
6．请阅读某同学解下面分式方程的具体过程：
解分式方程： ．
解： ，①
，②
，③
∴ ．④
∴ ．
把 代入原方程检验，得 是原方程的解．请回答：
(1)得到①式的做法是_________；得到②式的具体做法是_______；得到③式的具体做法是______________；
得到④式的根据是_________．
(2)上述解答正确吗？答：________．错误的原因是_______．（若第一格回答“正确”的，此空不填）．
(3)给出正确答案（不要求重新解答，只需把你认为应改正的进行修改或加上即可）．
【答案】(1)移项；通分；方程两边同除以（-2x+10）；分式值相等，分子相等，则分母相等．
(2)不正确；-2x+10有可能等于0，
(3)见解析
【分析】（1）根据解分式方程的步骤逐步分析判断即可求解；
（2）根据解分式方程的过程即可求解；
（3）根据分式方程特点进行整理，然后去分母将分式方程化为整式求解．
（1）
解：（1）根据题目可得出：得到①式的做法是移项；得到②式的具体做法是通分；得到③式的具体做法
是方程两边同除以（-2x+10）；得到④式的根据是分式值相等，分子相等，则分母相等．
故答案为：移项；通分；方程两边同除以（-2x+10）；分式值相等，分子相等，则分母相等．（2）
不正确，从第③步出现错误，
原因：-2x+10有可能等于0，
故答案为：不正确；-2x+10有可能等于0；
（3）
当-2x+10=0时，即：x=5，
经检验：x=5也是原方程的解，
故原方程的解为：x=5，x=
【点睛】本题考查解分式方程，关键在于要根据分式方程特点，选择合适的方法，考虑要全面，不能漏解，
不能出现增根情况．
