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专题15.3 分式方程及应用（9个考点）
【考点1:分式方程定义】
【考点2:分式方程的解】
【考点3:解分式方程】
【考点4:分式方程的增根】
【考点5: 分式方程应用-工程问题】
【考点6:分式方程应用-行程问题】
【考点7:分式方程应用-销售问题】
【考点8: 分式方程应用-方案问题】
【考点9: 分式方程应用-其他问题】
【考点1:分式方程定义】
1．下列各式中是关于x的分式方程的是（ ）
x 1
A．2x=4 B．x2+1= y C． +1=0 D． =2
2 x+1
1 2x+1 1−3x x x x 2x
2．下列关于x的方程：① =1；② =1+ ；③ + =1；④ −3=a+4；⑤ ，是分式方
x 3 4 b b a π
程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
3+x x x+1 3+x x 5−x
A． =1− B． =2+x C． + =1 D． =1
2 3 5+a π 2 2+x
2 m
4．关于x的分式方程 = （m>3，且m为整数）的解为整数，则m的可能取值的和为（ ）
x−3 x
A．15 B．17 C．22 D．28
【考点2:分式方程的解】a 3
5．关于x的分式方程 + =1的解为正数，则字母a的取值范围为（ ）
x−1 1−x
A．a>2 B．a<2 C．a>2且a≠3 D．a>3且a≠2
5 a+x
6．已知分式方程 +1= 的解为x=3，则a的值为 ．
x+2 x+2
y+a 2a
7．若关于y的分式方程 + =4的解是正数，求a的取值范围．
y−2 2−y
x−4 k
8．如果关于x的方程 = 的解为非负数，求k的取值范围
x−1 1−x
x−3 x+2
9．解分式方程： = ．
x+2 x+3
【考点3:解分式方程】
10．解下列分式方程：
1 5 1 1−x
(1) = ； (2) +3= ．
x−1 x x−2 2−x
11．解分式方程：
x−2 16 2x 1
(1) −1= ； (2) = +1．
x+2 x2−4 x+3 x+3
12．解分式方程：
(1)x+1 4 ； (2)2x+2 x+2 x2−2 ．
− =1 − =
x−1 x2−1 x x−2 x2−2xx−1 2
13．解分式方程： + =1．
x−3 3x−x2
14．解分式方程：
−1 3−x 2 x+2
(1) +3= ； (2) + =−1
x−2 2−x x2−1 1−x
【考点4:分式方程的增根】
x m
15．若关于x的分式方程 =2− 有增根，则m=（ ）
x−3 3−x
A．1 B．−1 C．3 D．−3
mx+1
16．若关于x的分式方程 =1有增根，则m的值是（ ）
x−2
1 1
A．− B．1 C．− 或0 D．0或1
2 2
4 a
17．若分式方程 − =1有增根，则它的增根是 ．
(x+1)(x−1) x−1
m 2x
18．如果关于x的分式方程 + =1有增根，那么m的值为 ．
x−2 2−x
x+1 a
19．若关于x的方程 +2= 有增根，则a的值是 ．
x−1 x−1
m x−4
20．若关于x的方程 = 有增根，则m= ．
5−x x−5
2 a
21．已知关于x的方程 − =5．
x−1 1−x
(1)当a=3时，解方程；
(2)若该方程有增根，求a的值．2 mx 1
22．已知关于x的分式方程 + =
x−2 (x−2)(x+3) x+3
(1)若该方程有增根，求m的值；
(2)若该方程无解，求m的值．
【考点5: 分式方程应用-工程问题】
23．维修某段公路，现计划由甲、乙两工程队来完成，已知甲、乙两工程队合作6个月，可完成工程的
7
；甲工程队先独做6个月，剩下的由乙工程队独做8个月才能完成．
8
(1)甲、乙两工程队单独完成此工程各需几个月？
(2)已知甲工程队每月费用为20万元，乙工程队每月费用为10万元．现要求15个月内完工，且施工总
费用最低，如果甲、乙两工程队单独施工，那么甲、乙两工程队各应施工多长时间？
24．某服装厂计划生产4500套男士西装，现安排甲、乙两个小组开始生产，两个小组生产的西装的总和等
于计划生产的总和．已知甲组负责生产的西装数量的5倍比乙组负责生产的西装数量多900套．
(1)请问甲、乙两个小组分别负责生产的西装是多少套？
(2)若乙组每天生产的套数是甲组每天生产套数的2倍，如果两个组同时开始生产，那么乙组比甲组多
用5天完工，问甲、乙两个小组每天各生产多少套西装？
25．科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，一条某型号的自动
分拣流水线每小时分拣的包裹量是1名工人每小时分拣包裹量的4倍，分拣6000件包裹，用一条自动
分拣流水线分拣比1名工人分拣少用7.5小时．
(1)一条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？
(2)五一劳动节将至，某转运中心预计每日需分拣的包裹量高达576000件，该中心原有该型号的自动
分拣流水线5条，进行24小时作业，还有36名工人，每天分拣8小时．现准备购买该型号的自动分拣流水线进行24小时作业以解决分拣需求，则至少应再购买多少条？
26．某小区为尽快排除内涝的积水，快速恢复正常生活，需铺设一段全长为300米的临时排水管道，为了
减少施工对小区内群众生活造成的影响，实际施工时每小时的工作效率比原计划增加25%，结果提前
1.5小时完成铺设任务．求原计划每小时铺设管道多少米？
27．某市为了治理污水，需铺设一段全长为4200米的污水排放管道，铺了1200米后，为了尽量减少施
工对城市交通所造成的影响，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原来提高了25%，共用60天
完成了全部任务．
(1)求原来每天铺设多少米管道？
(2)若承包商安排工人加班后每天支付给工人的工资增加了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工
资238000元，请问安排工人加班前每天需支付工人工资多少元？
【考点6:分式方程应用-行程问题】
28．甲、乙两地之间的高速公路全长100千米，比原来国道的长度减少了20千米，高速公路通车后，某长
途汽车的行驶速度提高了40千米/时，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半，求该长途汽车在高速公路上
行驶的速度．
29．甲、乙两船从相距300km的A,B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流速度为6km/h,若甲、乙两船在静水中的速度相同，求两船在静水中的速度．
30．为了提高道路的通行效率，阳泉市对大连街五渡口至保晋路口实行了灯控路口智能化改造，优化了交
通信号灯配时，驾驶员只要控制好车速，便能达到“一路绿灯”的效果．据了解，该路段总长约4.2公里，
改造后通过该路段的车辆的平均行驶速度提高了60%，平均行驶时间减少了3分钟，求改造前通过该路段
车辆的平均速度．
31．贵州有“桥梁博物馆”的美誉．世界第一高桥—北盘江大桥位于中国云南省和贵州省的交界处，桥面
到江面的垂直距离为565.4米，全长约为1341米．在大桥建成未营运之前，甲、乙两名工程师从桥的
一端走到另一端，甲工程师步行先走12分钟后，乙工程师骑自行车出发，结果他们同时到达．已知骑
自行车的速度是步行速度的3倍，求甲工程师步行的速度和乙工程师骑自行车的速度．
32．列方程解应用题：
八年级学生去距学校3200米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了3分钟后，其余学生乘汽
车出发，结果汽车比自行车提前1分钟到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的
速度．
【考点7:分式方程应用-销售问题】
33．“绿水青山就是金山银山”，为了绿色发展，某林场计划购买甲、乙两种树苗，已知购买一株甲种树苗的进价比一株乙种树苗的进价少3元，用3000元购进甲种树苗的数量是用3200元购进乙种树苗的数量
的1.5倍．
(1)求每株甲种树苗，每株乙种树苗的进价分别为多少元？
(2)相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为90%和95%．为保证绿化效果，林场决定再购买甲、
乙两种树苗共100株．若要使这批树苗的成活率不低于93%，且购买树苗的总费用最低，应如何选购
树苗？
34．某工厂有40名工人，生产甲、乙两种摩托车配套零件，每个工人每天能加工甲种零件30个，或乙种
零件20个．
(1)若1个甲零件和2个乙零件配套成一个完整的部件，应怎样安排工人才能使一天生产的零件正好配
套？
(2)该工厂将这种完整的部件销售给摩配公司，一月份的销售总额为30万元，受市场影响，二月份该
工厂将一个完整部件的销售单价在一月份的基础上提高了20%，销量比一月份少了500个，结果二月
份的销售总额比一月份多了3万元，求一月份每个完整部件的销售单价为多少元？
35．春晚吉祥物“龙辰辰”发布后，某超市及时订购了甲、乙两种型号的“龙辰辰”布偶．已知用440元
购进甲的数量是用180元购进乙的数量的2倍，每件甲的进价比乙多8元．
(1)求甲、乙两种型号每件进价分别是多少元？
(2)该超市共购进甲、乙两种布偶200个，然后将甲、乙的售价分别定价为60元和50元，全部销售完后
共获利3040元，求购进甲种型号布偶多少个？
36．为响应政府号召“推进生态文明，建设绿色城市”，某校组织师生开展了植树活动，在活动之前，学
校决定购买甲、乙两种树苗．已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，
乙种树苗比甲种树苗每棵少6元．求甲、乙两种树苗每棵分别多少元？37．全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，电器商社从厂家购进了A，B两种型
号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元
购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．
(1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？
(2)电器商社决定用不超过14000元从厂家购进A，B两种型号的空气净化器共10台，且B型空气净化
器的台数少于A型空气净化器的台数，问电器商社有几种进货方案？如果两种型号的空气净化器在进
价的基础上都加价50％销售，请你在上述方案中选一个方案使得电器商社在销售完10台空气净化器
能获得最多利润．
38．某商场预测某种衬衫能够畅销，用32000元购进了一批这种款式的衬衫，面市后很快脱销，该商场又
用68000元购进第二批这种款式的衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件进价多了10元．
(1)该商场两次一共购进这种款式的衬衫多少件？
(2)若这两批衬衫按相同的标价销售，最后的50件衬衫按标价的八折优惠售出，全部销售完两批衬衫
后获利不低于18000元（不考虑其它因素），求每件衬衫的标价至少是多少元？
39．倡导健康生活，推进全民健身，某社区计划整套购进A，B两种型号的健身器材，经了解，购买一套A
型号健身器材的单价是B型号健身器材的1.5倍．用13500元购买A型号健身器材比用6000元购买B
型号健身器材多3套，问每套A，B型号健身器材的单价各是多少？40．某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金
购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具
的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．
(1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
(2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过48万元，则甲种农
机具最多能购买多少件?
【考点8: 分式方程应用-方案问题】
41．某校每年的3月14日举行数学节“πDay”，为下学期的“πDay”做准备，小颖和小星到文具店去购买
A，B两种魔方，下面是小颖与小星的对话：
(1)求A、B两种魔方的单价．
(2)若购买A、B两种魔方共30件，其中B种魔方的数量不少于A种魔方的数量，且购买总费用不超过
582元，有几种购买方案，并写出购买方案．
42．北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震．“一方有难，八方支援”，我市某中学响应号召，积极捐款，共募集资金16500元．其中9000元用来购买矿泉水，余下的
钱购买了大米．已知购得的矿泉水数量是大米数量的2倍，且一袋大米比一箱矿泉水贵20元．
(1)求矿泉水和大米的数量各是多少？
(2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共5辆，一次性将这批矿泉水和大米全部运往灾区．已知每辆甲
型货车最多可装矿泉水80箱和大米30袋，每辆乙型货车最多可装矿泉水50箱和大米40袋．问：安
排甲、乙两种货车时共有哪几种方案？（备注：两种车型都要有）请你帮助设计出来．
43．第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州开幕．学校准备用1600元购买A，B两种亚运会纪念徽章
作为“魅力校园”的活动奖品，已知A种徽章比B种徽章每件多20元．
(1)若700元用于购买A种徽章，剩下资金全部购买B种徽章，且购买B种徽章的数量是A种徽章数量
的3倍．求A，B两种徽章每件的价格；
(2)购买当日恰逢国庆促销，两种徽章均打八折销售，学校临时调整购买方案，在不超过原资金的前提
下，准备购买A，B两种徽章共120件．问最多可以购买A种徽章多少件？
44．易通汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．去年3月份销售总
额为100万，今年A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，售出的A款汽车的数量与去年相同，
但是销售总额比去年同期减少10万．
问题：
(1)今年3月份A款汽车每辆售价多少万元？
(2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车．已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B
款汽车每辆进价为6万元，售价7万．公司总部预计用至多105万元购入两款汽车共15辆，且要求利
润不少于19万元，共有几种进货方案？
45．冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱，某商场准备购进“冰墩
墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具共200个．已知：每个“冰墩墩”的进价比“雪容融”的进价多20
元，用3000元购进“冰墩墩”的数量与用2400元购进“雪容融”的数量相同．(1)请求出“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具的进价；
(2)若该商场分别以240元、160元的单价出售“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，并将这两款
毛绒玩具的总利润拟定在不少于21700元，且不超过22300元之间．问该商场共有几种进货方案？
46．为缅怀革命烈士的丰功伟绩，寄托对革命烈士的哀思，铜仁市某校组织八年级全体学生到万山区烈士
陵园开展以“祭扫英烈”为主题的清明节扫墓活动．已知每辆60座客车的租金是45座客车租金的
1.25倍，花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆．
(1)问每辆45座客车租金和每辆60座客车租金分别是多少元？
(2)该校八年级师生共有400人，计划租赁45座客车和60座客车共8辆，总租金不超过3600元，问有
哪几种租车方案，哪种方案较省钱，租金多少？
47．夏季来临，饮料进入销售旺季．某超市购进了甲、乙两种饮料进行销售．已知每瓶甲种饮料的进价比
每瓶乙种饮料的进价少2元，且用80元购进甲种饮料的瓶数与用100元购进乙种饮料的瓶数相同．
(1)求甲、乙两种饮料每瓶的进价分别是多少元；
(2)若该超市购进甲种饮料的瓶数比乙种饮料的瓶数的3倍少5瓶，且购进两种饮料的总瓶数不超过87
瓶．如果甲、乙两种饮料的售价分别是12元/瓶和15元/瓶，且将购进的甲、乙两种饮料全部售出后，
可使销售两种饮料的总利润超过320元，那么该超市购进甲、乙两种饮料有哪几种方案？
【考点9: 分式方程应用-其他问题】
48．某生态示范村种植基地计划种植一批红山荞麦，原计划总产量要达到18000kg，为了满足市场需求，
企业与农业专家进行种源研究和品种改良，目前已经培育出具有抗旱、抗寒、生育期延长的第四代红
山荞麦品种，改良后平均每亩的产量是原计划的1.2倍，总产量比原计划增加2400kg，种植亩数减少
了20亩（1亩≈0.067公顷），求原计划平均每亩的产量．49．为了迎接龙年的到来，某纪念品公司决定生产一批龙年纪念品挂件，有A，B两种型号的机器可以生
产该纪念品挂件．已知A型号机器20分钟生产的挂件与B型号机器5分钟生产的挂件总量为325个，
若A型号机器平均每分钟生产挂件10个．
(1)求B型号机器平均每分钟生产挂件多少个？
(2)随着挂件的畅销，公司决定将A，B两种型号的机器进行智能升级，升级后的B型号机器平均每分
钟生产的挂件数量是升级后的A型号机器的3倍，生产1800个挂件，B型号机器比A型号机器少用1
小时20分钟，求升级后的A，B型号机器平均每分钟生产挂件各多少个？
50．2024年3月12日植树节，和平路中学组织七、八年级的学生开展植树活动．已知七年级植树180棵
与八年级植树240棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树70棵，求七年级平均每小时植树多
少棵?
51．为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新
换代，其中甲类生产线有10条，乙类生产线有20条．经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购
买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180
万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更
新生产线的设备？
