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第 06 讲 解分式方程
课程标准 学习目标
1. 掌握分式方程的概念并能够熟练的判断分式方程。
①分式方程的概念
2. 掌握解分式方程的方法过程，能够熟练的解分式方程以及熟
②解分式方程
练的进行其他应用。
知识点01 分式方程的概念
1. 分式方程的概念：
分母中含有 的方程叫做分式方程。
【即学即练1】
1．下列式子中，是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点02 解分式方程1. 解分式方程的基本思路：
去分母：分式方程的两边同时乘以分母的 。使分式方程转化为整式方程再进行求解。
2. 解分式方程的基本步骤：
①去分母：分式方程的左右两边乘以分母的 ，将分式方程转化为整式方程。
②解整式方程：
③检验：将解出的整式方程的解带入 中，若最简公分母不为0，则整式方程的解就是
分式方程的解。若最简公分母为0，则整式方程的解是分式方程的 ，原分式方程无解。
④写解：根据检验的情况写出分式方程的解。
注意解分式方程一定要检验。
【即学即练1】2．把分式方程 ＝ 化为整式方程，方程两边需同时乘以（ ）
A．2x B．2x﹣4 C．2x（x﹣2） D．2x（2x﹣4）
【即学即练2】
解分式方程：
（1） ； （2） ．
【即学即练3】
4．若关于x的分式方程 ＝0的解为x＝4，则常数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．10
【即学即练4】
5．若关于x的方程 的解为负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m＜2且m≠0 C．m＞2 D．m＞2且m≠4
【即学即练5】
6．如果关于x的方程 有增根，那么a的值是 ．
【即学即练6】
7．若关于x的方程 无解，则m的值是 ．题型01 判断分式方程
【典例1】下列是分式方程的是（ ）
A． + B． + ＝0
C． （x﹣2）＝ x D． +1＝0
【变式1】下列方程：①x2﹣2x＝ ；② ；③x4﹣2x2＝0；④ x2﹣1＝0．其中分式方
程是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④
【变式2】下列关于x的方程中（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
（5） ，其中是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型02 解分式方程
【典例1】解分式方程 时，去分母正确的是（ ）
A．x﹣2＝x﹣1 B．x﹣2（x﹣2）＝x﹣1
C．x﹣2（x﹣2）＝﹣x﹣1 D．x﹣2（x﹣2）＝﹣x+1
【变式1】解方程：
（1） ； （2） ．
【变式2】解方程：
（1） ； （2） ＝1．【变式3】解分式方程：
（1） ； （2） ．
题型03 根据分式方程的解求值或范围
【典例1】x＝2是分式方程 的解，则a＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【变式1】关于x的分式方程 ＝2+ 的解为负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣4 B．m＜﹣4
C．m＜﹣4且m≠﹣5 D．m＜0
【变式2】已知关于x的分式方程 的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤4 B．m≤4且m≠3 C．m≤0 D．m≤0且m≠﹣1
【变式3】如果关于x的方程 ＝1有正整数解，且关于y的不等式组 至少有两个偶
数解，则满足条件的整数a有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式4】若整数a使关于y的不等式组 至少有3个整数解，且使得关于x的分式方程
的解为正数，则所有符合条件的整数a的和为（ ）
A．﹣6 B．﹣9 C．﹣11 D．﹣14
题型04 根据分式方程的增根或无解求未知字母
【典例1】若分式方程 有增根，则增根是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
【变式1】若分式方程 有增根，则k的值为（ ）A．±1 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣2或﹣6
【变式2】已知关于x的分式方程 的增根是x＝2，则m的值为（ ）
A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4
【典例2】“若关于x的方程 无解，求a的值．”尖尖和丹丹的做法如下：
尖尖： 丹丹：
去分母，得ax＝12+3x﹣9， 去分母，得ax＝12+3x﹣9，
移项，得ax﹣3x＝12﹣9， 移项、合并同类项，得（a﹣3）x＝3，
合并同类项，得（a﹣3）x＝3，
解得 ，
∵原方程无解，
∵原方程无解，
∴a﹣3＝0，
∴x为增根，
∴a＝3．
∴3x﹣9＝0，解得x＝3，
∴ ，解得a＝4
下列说法正确的是（ ）
A．尖尖对，丹丹错
B．尖尖错，丹丹对
C．两人的答案合起来也不完整
D．两人的答案合起来才完整
【变式1】若关于x的方程 无解，则m的取值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．﹣3
【变式2】已知关于x的分式方程 无解，则所有满足条件的整数m的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1．下列关于x的方程中，属于分式方程的是（ ）A． B．
C． D．
2．在① ＝5；② （x﹣1）+ （x+1）＝4；③﹣ ＝1；④ + ＝﹣1；⑤ （3x﹣7）中，
分式方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．解分式方程 时，去分母正确的是（ ）
A．1﹣2（x﹣2）＝1+x B．1﹣2（x﹣2）＝﹣1+x
C．1﹣2（x﹣2）＝﹣1﹣x D．﹣1+2（2﹣x）＝1+x
4．已知关于x的方程 的解是0，则a的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．5 D．﹣5
5．嘉淇准备完成题目：解方程 + ＝0．发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是x＝
﹣1，请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是（ ）
A．x﹣1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x2﹣1
6．对于非零的有理数a，b规定 ，若（x﹣2）*3＝2，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于x的方程 ，下列说法错误的是（ ）
A．当m＝1时，x＝3
B．当m＝3时，原方程无解
C．x为正数时，m＜3
D．x为负整数时，m有4个整数值
8．关于x的分式方程 的解是负数，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣3 B．a＜3
C．a＜﹣3且a≠﹣7 D．a＜3且a≠1
9．若关于x的分式方程 有增根，则m的值为（ ）
A．1.5 B．﹣6 C．1或﹣2 D．1.5或﹣6
10．关于x的方程x+ ＝a+ 的两个解为x ＝a，x ＝ ，x+ ＝a+ 的两个解为x ＝a，x ＝ ；x+ ＝a+
1 2 1 2的两个解为x ＝a，x ＝ ，则关于x的方程x+ ＝a+ 的两个解为（ ）
1 2
A．x ＝a，x ＝ B．x ＝a，x ＝
1 2 1 2
C．x ＝a，x ＝ D．x ＝a，x ＝
1 2 1 2
11．方程 的解为x＝ ．
12．用换元法解方程 ，如果设 ，那么原方程可以化为关于y的整式方程为
．
13．若分式方程 的解为正整数，则整数m的值为 ．
14．分式方程 ＝ 有增根，则m的值为 ．
15．关于x的一元一次不等式组 至少有2个整数解，且关于y的分式方程
的解为非负整数，则符合条件的整数m的值之和为 ．
16．解分式方程：
（1） ； （2） ．
17．已知关于x的方程 ．
（1）已知m＝4，求方程的解；
（2）若该方程无解，试求m的值．
18．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚： ．
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
19．（1）若关于x的方程 有增根，求m的值．
（2）在（1）中的条件下，若 ，求4A﹣B的值．
20．阅读下列材料：
关于 x 的分式方程 的解是 x ＝c， ； ，即 的解是 x ＝c，
1 1
； 的解是x ＝c， ； 的解是x ＝c， ；
1 1（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于 x的方程 与它的关系，猜想它的解是
什么，并利用方程解的概念进行验证；
（2）由上述的观察，解关于x的方程： ．
