文档内容
专题4.28 《几何图形初步》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1．认识一些简单的几何体的平面展开图及三视图，初步培养空间观念和几何直观；
2．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法；
3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题；
4．逐步掌握学过的几何图形的表示方法，能根据语句画出相应的图形，会用语句描
述简单的图形．
【知识要点】
要点一、多姿多彩的图形
1． 几何图形的分类
立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.
几何图形
平面图形：三角形、四边形、圆
等.
特别说明：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果.
2．立体图形与平面图形的相互转化
（1）立体图形的平面展开图：
把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠
就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来．
特别说明：
①对一些常见立体图形的展开图要非常熟悉，例如正方体的 11种展开图，三棱柱，
圆柱等的展开图；
②不同的几何体展成不同的平面图形，同一几何体沿不同的棱剪开，可得到不同的平
面图形，那么排除障碍的方法就是：联系实物，展开想象，建立“模型”，整体构想，动
手实践.
（2）从不同方向看：
主（正）视图---------从正面看
几何体的三视图 左视图-----从左（右）边看
俯视图---------------从上面看
特别说明：
①会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.
②能根据三视图描述基本几何体或实物原型.
（3）几何体的构成元素及关系几何体是由点、线 、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交
成线；面动成体，体是由面组成.
要点二、直线、射线、线段
1. 直线，射线与线段的区别与联系
2. 基本性质
(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短．
特别说明：
①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉
子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.
②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离.
3.画一条线段等于已知线段
（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.
（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：
4．线段的比较与运算
（1）线段的比较：
比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是
度量法；一种是叠合法.
（2）线段的和与差：
如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。
a A a B b C
b
A D B（3）线段的中点：
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：
A M B
特别说明：
①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有 ，则点M为线段
AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，
点M,N,P均为线段AB的四等分点.
A M N P B
1
AM=MN=NP=PB= AB
4
要点三、角
1．角的度量
（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，
这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图
形.
(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角
的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：
特别说明：
①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；
②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.（3）角度制及角度的换算
1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量
制，叫做角度制.
特别说明：
①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时
用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一
成60.
（4）角的分类
∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角
范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360°
（5）画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
（3）用尺规作图法.
2．角的比较与运算
（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.
（2）角的平分线：
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例
如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2= ∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.
3．角的互余互补关系
余角补角
（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的
补角.
（3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.
特别说明：
①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补
角).
②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.
③只考虑数量关系，与位置无关．
④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角” .
4．方位角
以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
特别说明：
（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中
一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度
的大小.
（2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45
°通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
【典型例题】
类型一、概念或性质的理解
1.下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ）
A．如图1所示，延长线段 到点
B．如图2所示，射线 不经过点
C．如图3所示，直线 和直线 相交于点
D．如图4所示，射线 和线段 没有交点【答案】C
【分析】直接利用延长线段以及直线或射线相交和过一点画直线的作法分别分析得出
答案．
解：A、如图1所示，延长线段 到点C，几何图形与相应语言描述不相符；
B、如图2所示，应该为射线 不经过点A，几何图形与相应语言描述不相符；
C、如图3所示，直线a和直线b相交于点A，几何图形与相应语言描述相符；
D、如图4所示，因为射线 可以延伸，会有交点，几何图形与相应语言描述不
相符；
故选：C．
【点拨】此题主要考查了直线、射线、线段，正确把握相关图形画法是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，观察图形，下列说法正确的有（ ）个
①直线 和直线 是同一条直线，②射线 和射线 是同一条射线，③
，④三条直线两两相交时一定有三个交点
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据直线的表示方法对①进行判断；根据射线的表示方法对②进行判断；根
据线段的性质对③进行判断；通过分类讨论对④进行判断．
解：①直线 和直线 是同一条直线，直线没有端点，此说法正确；
②射线 和射线 是同一条射线，都是以A为端点，同一方向的射线，正确；
③ ，三角形两边之和大于第三边，所以此说法正确；
④三条直线两两相交时，一定有三个交点，错误，可能有1个交点的情况．
所以共有3个正确．
故选：C．
【点拨】本题考查了直线、射线、线段相关知识，掌握线段、射线、直线的表示方法
是解题的关键．
【变式2】下列说法中，正确的是（ ）
A．直线的一半是射线 B．画射线AB＝3cmC．线段AB的长度就是A，B两点间的距离 D．如果AB＝BC＝CD，那么AD＝3AB
【答案】C
【分析】根据直线与射线是不可测量长度的，可判断A，B，根据线段的长度定义可
判断C，根据线段的性质可以判断D选项，即可求解．
解：A. 射线、直线都是不可测量长度的，不能说射线是直线的一半，故该选项不正确，
不符合题意；
B. 画线段AB＝3cm才正确，射线不可测量，故该选项不正确，不符合题意；
C. 线段AB的长度就是A，B两点间的距离，故该选项正确，符合题意；
D. 如果 共线，且AB＝BC＝CD，那么AD＝3AB，故该选项不正确，不
符合题意．
故选C．
【点拨】本题考查了直线，射线，线段的定义，掌握直线，射线，线段的定义是解题
的关键．
类型二、立体图形与平面图形的相互转化
2．已知一个由几个小正方体搭成的几何体，从上面看这个几何体的形状如图所
示，小正方形中的数字表示在该位置上小正方体的个数，请画出从正面和左面看到的这个
几何体的形状图．
【答案】见分析
【分析】根据简单组合体的三视图画出相应的图形即可．
解：如图所示：【点拨】本题考查简单组合体的三视图，理解“长对正，宽相等，高平齐”画三视图
的关键．
举一反三：
【变式1】如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体，请在方格纸中
用实线画出这个几何体的从正面看，从左面看和从上面看的平面图形．
【答案】见分析
【分析】从正面看有3列，从左往右每列小正方数形数目分别为1，3，2，从左面看
有2列，从左往右每列小正方形数目分别为3，1．从上面看有3列，从左往右每列小正方
形的个数分别为1，2，1，据此可画出图形．
解：如图所示，【点拨】本题考查了从不同方向看几何体，以及学生的空间想象能力，具有良好的空
间想象能是解答本题的关键．
【变式2】（1）如图（1）所示的正方体表面分别标有字母A，B，C，D，E，F，从
三个不同方向看到的情形如图所示．则字母A，B，C对面的字母分别是______，______，
______．
（2）一个几何体由一些大小相同的小正方块儿搭建，如图（2）是从上面看到的这个
几何体的形状如图，小正方形的数字表示在该位置的小正方块儿的个数，请在下面的网格
中画出从正面和左面看到的几何体的形状图．
（3）如图（3）所示的是一个正方体的展开图，折成正方体后，字母x，y与其相对面
上的数字相等，求 的值．
【答案】（1）E，D，F；（2）见分析；（3）
【分析】（1）根据与E相邻的四个面上的数字确定即可；
（2）根据题意得：从正面看从左往右依次有2，3，4块小正方形；从左面看从左往右
依次有2，4块小正方形，即可求解；
（3）根据题意得：x与 相对，y与3相对，可得 ，即可求解．
解：（1）根据题意得：A相邻的字母有B，C，D，F，
所以A的对面的字母是E，
所以与B相邻的字母有C，E，A，所以B的对面的字母是D，
所以C的对面的字母是F；
故答案为：E，D，F
（2）如图，
（3）根据题意得：x与 相对，y与3相对，
∵字母x，y与其相对面上的数字相等，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了正方体相对两个面上的文字，简单几何体的三视图，仔细观察图
形从相邻面考虑求解是解题的关键．
3.如图所示，图1为一个棱长为6的正方体，图2为图1的表面展开图（数字和
字母写在外表面上，字母也可以表示数），请根据要求回答问题：
(1) 如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则x=___________，y=___________；
(2) 如果面“2”是左面，面“4”在后面，则上面是___________（填6或10或x或
y）；
(3) 图1中，点M为所在棱的中点，在图2中找到点M的位置，直接写出图2中
的面积___________.
【答案】(1)12，8(2)y(3)9或45
【分析】(1)根据两个面相隔一个面是对面，对面的和是14，列式可得答案；
(2)根据临面，对面的关系，可得答案；(3)根据展开图面与面的关系，可得M的位置，根据三角形的面积公式，可得答案．
（1）解：如果长方体相对面上的两个数字之和相等，则x+2=y+6=10+4，
解得：x=12，y=8；
故答案为：12，8；
（2）解：如果面“2”是左面，面“4”在后面，则上面是y．
故答案为：y；
（3）解：如图： ，
或 ，
故 的面积为9或45，
故答案为：9或45．
【点拨】本题主要考查了正方体展开图面与面之间的关系，熟悉并熟练掌握展开图面
与面之间的关系是解决问题的关键．
举一反三：
【变式1】如果将正方体的表面分别标上数字1，2，3，4，5，6，使它的任意两个相
对面的数字之和为7，将它沿某些棱剪开，能展开成下列的平面图形吗？【答案】（1）能；（2）不能；（3）不能
【分析】先判断各平面图形是不是正方体的展开图，再寻找正方体的相对面，确定相
对面上的数字之和是否等于7，从而可得答案.
解：如图，正方体的表面展开图1-4-1型有6种，
如图（1）是其中的一种，
且相对面上的数字和为7，
所以把正方体沿某些棱剪开，能展开成如图（1）平面图形，
正方体的展开图中没有4-1-1型，
所以把正方体沿某些棱剪开，不能展开成如图（2）平面图形，
如图，正方体的表面展开图1-3-2型有3种，如图（3）是正方体的展开图1-3-2型中的一种，
但是相对面上的数字和为：
不满足：它的任意两个相对面的数字之和为7，
所以把正方体沿某些棱剪开，不能展开成如图（3）平面图形，
【点拨】本题考查的是正方体的展开图，掌握正方体的展开图与展开图的相对面的特
点是解题的关键.
【变式2】如图是一颗骰子的三种不同的放置方法．
（1）根据图中三种放置方法，推出“？”处的点数．
（2）求这三个骰子下底面上点数和．
【答案】（1）2；（2）11
【分析】（1）由左侧两个图形可得，与2相邻的面为3，4，5，6，由第一个和第三
个图可得，与6相邻的面为2，4，5，据此可得结论；
（2）由第一个图可知，4的对面是5，即可得到第二个图和第三个图的下底面都为
5，进而得出这三个骰子下底面上点数和．
解：（1）由左侧两个图形可得，与2相邻的面为3，4，5，6，
故2的对面是1，即第一个图的下底面为1，
又由第一个和第三个图可得，与6相邻的面为2，4，5，故第一个图的左面是4，后面为3，
故结合第一个和第三个图可得“？”处的点数为2；
（2）由第一个图可知，4的对面是5，
故第二个图和第三个图的下底面都为5，
故这三个骰子下底面上点数和为5＋5＋1＝11．
【点拨】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，注意正方体的空间图形并从
相对面入手是解题的关键．
类型三、互余互补的有关计算
4.将一副三角板中的两块直角三角板按如图方式叠放在一起，直角顶点重合．
(1) 若 时，求 的度数；
(2) 当 平分 时，求 的度数；
(3) 猜想并写出 与 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1) ；(2) ；(3) ，理由见分析．
【分析】（1）根据同角的余角相等解答即可；
（2）根据角平分线的定义解答即可；
（3）根据∠ACE＝90°−∠DCE以及∠ACB＝∠ACE＋90°，进行计算即可得出结论．
（1）解：根据题意有： ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为：65°；
（2）∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，即答案为：135°；
（3）猜想： ．理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
即 ．
【点拨】本题题主要考查了互补、互余的定义等知识，解决本题的关键是理解重叠的
部分实质是两个角的重叠．
举一反三：
【变式1】如图，BD是∠ABC的平分线，∠ABE+∠BCF＝180°
(1) 若∠ABC＝80°，求∠BCF的度数：
(2) 若CB是∠ACF的平分线，∠ADB＝k∠ABD，求k的值．
【答案】(1)40°(2)k=2
【分析】（1）根据角平分线和互余的关系确定∠DBC=∠BCF即可．
（2）根据角平分线和互余的关系确定∠DBC=∠BCF，再通过互补的关系求角度等量
关系即可．
（1）解：∵∠ABE+∠BCF＝180°，∠ABE+∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝∠BCF，
∵BD是∠ABC的平分线，∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝∠CBD＝40°，
∴∠BCF＝40°．
（2）解：∵∠ABE+∠BCF＝180°，∠ABE+∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝∠BCF，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCF，
∵CB是∠ACF的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCF＝∠BCD，
∵∠ADB＝∠CBD+∠BCD，
∴∠ADB＝2∠ABD，∴k=2．
【点拨】本题主要考查角平分线的性质在求角度时的应用，熟练运用角平分线的性质
是解题关键．
【变式2】
(1) 如图1所示，已知∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，OD平分∠BOC，请判断∠AOD和
∠BOD之间的数量关系，并说明理由；
(2) 已知：如图2，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．求证：∠AOC与∠BOC
互补；
(3) 已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ．若∠EPQ
＝β（0°＜β＜90°），直接写出锐角∠MPN的度数是 ．
【答案】(1)∠AOD+∠BOD＝90°，理由见分析(2)见分析(3)45°或|β﹣45°|
【分析】（1）根据角的计算，可求解∠BOC的度数，结合角平分线的定义求解
∠BOD的度数，即可求解∠AOD的度数，进而可求解∠AOD+∠BOD的度数；
（2）由角平分线的定义可得∠BOC＝∠COD，利用补角的定义可证明结论；
（3）先根据题意画出图形，分两种情况，由考角平分线的定义可得∠MPN＝
∠EPF，利用∠EPQ和∠FPQ互余可求解．
解：（1）∠AOD+∠BOD＝90°，
理由如下：
∵∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣38°＝52°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝ ∠BOC＝26°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝38°+26°＝64°，
∴∠AOD+∠BOD＝64°+26°＝90°．（2）∵OC平分∠BOD，
∴∠BOC＝∠COD，
∵∠AOC+∠COD＝180°，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
即∠AOC与∠BOC互补；
（3）如图，
∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ，
∴∠MPQ＝ ∠EPQ，∠NPQ＝ ∠FPQ，
∵∠MPN＝∠MPQ+∠NPQ
＝ ∠EPQ+ ∠FPQ
＝ ∠EPF，
∵∠EPQ和∠FPQ互余，
∴∠EPQ+∠FPQ＝90°，
即∠EPF＝90°，
∴∠MPN＝45°；
如图：
∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ，
∴∠MPQ＝ ∠EPQ，∠NPQ＝ ∠FPQ，∵∠MPN＝|∠MPQ﹣∠NPQ|＝| ∠EPQ﹣ ∠FPQ|，
∵∠EPQ和∠FPQ互余，∠EPQ＝β，
∴∠FPQ＝90°﹣β，
∴∠MPN＝| β﹣ ∠（90°﹣β）|＝|β﹣45°|，
故答案为：45°或|β﹣45°|．
【点拨】本题主要考查角平分线的定义，余角和补角，灵活运用角平分线的定义求解
角度之间的关系是解题的关键．
类型四、方位角
5.某部队在大西北戈壁滩上进行军事演习，部队司令部把部队分为“蓝军”、
“红军”两方．蓝军的指挥所在A地，红军的指挥所地B地，A地在B地的正西边（如
图）．部队司令部在C地．C在A的北偏东 方向上、在B的北偏东 方向上．
(1) ______°；
(2) 演习前，司令部要蓝军、红军派人到C地汇报各自的准备情况．红军一辆吉普车
从 地出发、蓝军一部越野车在吉普车出发3分钟后从A地出发，它们同时到达C地．已
知吉普车行驶了18分钟．A到C的距离是B到C的距离的1.7倍．越野车速度比吉普车速
度的2倍多4千米．求越野车、吉普车的速度及B地到C地的距离（速度单位用：千
米/时）．
【答案】(1)30(2)越野车为204千米/时、吉普车的速度为100千米/时，B地到C地的
距离为30千米
【分析】（1） ；
（2）设吉普车的速度为x千米/时，越野车的速度为（2x+4）千米/时，B到C距离为
千米，A到C的距离为 千米，根据题意列出方程并计算即可．
（1）解： ，故答案为：30
（2）解：设吉普车的速度为x千米/时，则越野车的速度为（2x+4）千米/时，B到C
距离为 千米，A到C的距离为 千米，
由题意，得 ，
解得x=100，
则2x+4=204， ，
答：越野车为204千米/时、吉普车的速度为100千米/时，B地到C地的距离为30千
米．
【点拨】本题考查了方位角和一次方程的实际应用，设出合适未知数，找到等量关系
列出方程是解题关键．
举一反三：
【变式1】数形结合，数学运算
(1) 如图，在一条数轴上，点O为原点，点A、B、C表示的数分别是 ， ，
．求AC的长；（用含m的代数式表示）若 ，求BC的长；
(2) 如图所示，射线OA的方向是北偏东15.8°，射线OB的方向是北偏西 ，若
，则射线OC的方向是北偏东多少度？
【答案】(1)BC=2(2)北偏东62°6′
【分析】（1）先由两点间的距离公式表示AC，AB，根据AB=5列方程可得m的值，
代入求值可得BC的长．
（2）利用给出的位置关系，列出代数式，代入已知数量值进行求解，问题即可解决．（1）解：根据题意知：AC=（m+1） （9 4m）=m+1 9+4m=5m 8，
AB=（m+1） （2 m）=m+1 2+m=2m 1，
当AB=5时，即2m 1=5，
解得m=3，
∴BC=（2 m） （9 4m）=2 m 9+4m=3m 7=3×3 7=2，
即BC=2．
（2）解：∵∠BOD=40°30′，∠AOD=15.8°=15°48′，
∴∠AOB=∠BOD+AOD
=40°30′+15°48′
=45°78′
=46°18′，
∵∠AOC=∠AOB，
∴∠COD=∠AOC+∠AOD
=46°18′+15°48′
=61°66′
=62°6′．
则射线OC的方向是北偏东62°6′．
【点拨】本题主要考查了数轴上两点的距离和解一元一次方程，求代数式的值，角的
计算、度分秒的换算以及方向角，解题的关键是掌握两点间的距离公式，以及度分秒的换
算关系．
【变式2】如图， 处在 处南偏西 方向， 处在 处南偏东 方向， 处在
处的北偏东 方向，求 的度数．
【答案】82°
【分析】根据题意和图形，正确画出方向角，根据平行线的性质和三角形内角和定理
计算即可．解：由题意得，∠EAB=39°，∠EAC=20°，
则∠BAC=59°，
∵BD∥AE，
∴∠DBA=∠EAB=39°，
又∵∠DBC=78°，
∴∠ABC=39°，
∴∠ACB=180°-59°-39°=82°．
【点拨】此题考查方向角，正确画出方向角是解题的关键，画方位角时，以正南或正
北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
类型五、钟表上的角
6.（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数．
（2）每经过 ，时针转过多少度？每经过 ，分针转过多少度？
（3）当时钟指向上午 ，时针与分针的夹角是多少度？
（4）请你的同伴任意报一个时间（精确到分），你来确定时针与分针的夹角．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）答案不唯一，见分析．
【分析】（1）时针的12个小时把360°分解成12份，每份30°，按照这个度数关系对
每个时钟表进行计算即可．
（2）时针1小时走总度数的 ，分针60分钟把360°分解成60份，每份6°，分针一
分钟走一格，故是6°．
（3）先求出此时时针与10点整时时针的夹角，再用30°减去这个夹角，再加上3个30°即可．
（4）方法与（3）相同，任选一个时间进行计算即可．
解：（1）巴黎时间：12到1夹角为360°的 ，是30°
伦敦时间：夹角为0°
北京时间：4个30°，故为120°
东京时间：3个30°，故为90°
（2）时针每经过1小时，转过360°÷12=30°，分针每分钟转过360°÷60=6°
（3）此时分针走过了360°的 ，所以时针移动的角度占30°的 ，是5°，所以剩余
25°，
故夹角为：25°+30°+30°+30°=115°
（4）9:20时此时时针与分针夹角是多少？
解：此时分针走过了360°的 ，时针移动的角度占30°的 ，是10°，20°+30°+30°
+30+30°+30°+30°=200°
故夹角为：360°-200°=160°.
【点拨】本题考查时针分针在转动过程中的夹角的求解，熟练掌握时针每小时走
30°，分针每分钟走6°是本题关键．
举一反三：
【变式1】晚饭后，小明准备外出散步，出发时看了一下时钟，时间是18时多，时针
与分针成 角，散步完回家，小明又看了一下钟，还不到19时，而时针与分针又恰好成
角，小明外出了多少分钟？
【答案】小明外出时间为 分
【分析】方法1 ：以18时为标准状态，分针比时针落后30小格（30分钟）．设出发
的时间为6时x分，由于分针每分钟走1小格，时针每分钟走 小格，因此分针走了x 小
格，时针走了 小格．依题意，若时针与分针初次形成 角，则分针比时针落后15小
格．
方法2： 将该问题看作是钟面上分针追及时针的问题．时针每小时旋转 ，即每分
钟旋转 ；分针每小时旋转 ，即每分钟旋转 ．由于分针旋转速度比时针快，依题可得，前一个时针与分针的夹角 可看成分针滞后时针 ，后一个时针与分针的夹角
可看成分针超前时针 ．
解：【方法1】设出发的时间为6时x分．
根据题意，可列出方程：
解得 ．
即出发的时间为6时 分．
设回家的时间为6时y分，此时时针与分针再次成 角，分针比时针超前15小
格，即重叠后再加 角．根据题意，可列出方程： ．
解得
即回家的时间为6时 分．
所以小明外出的时间为 （分）．
答：小明外出时间为 分．
【方法2】设小明外出时间为x分钟，则在这一过程中，时针旋转 ，分针旋转
．根据题意，可列出方程：
解得
答：小明外出时间为 分．
【点拨】本题考查了表针成角度问题，可以先考虑前一个夹角成 的时刻（此时时
针超前于分针），再求出后一个成 夹角的时刻（此时时针滞后于分针）；也可以将这
一过程看作在圆面上分针追时针的过程，利用“速度差×追及时间＝追及路程”可列方程
求解．
【变式2】钟面上的角的问题．(1)3点45分时，时针与分针的夹角是多少度？
(2)在9点与10点之间，什么时间时针与分针成100°的角？
【答案】（1）157.5°；（2）9点 分或9点 分时，时针与分针成100°的角
【分析】（1）由图知，由3点到3点45分，分针转了 ，时针转了 ，
减去时针转的度数，即为夹角；
（2）设分针转的度数为 ，则时针转的度数为 ，可根据关系式，①
，② ，求得 值，根据分针走1分，其转动 ，
可得到时间.
解：如图， 由3点到3点45分，分针转了 ，时针转了 ，
时针与分针的夹角是： ；
（2）设分针转的度数为 ，则时针转的度数为 ，
得① ，
解得， ，
（分）；
② ，
解得， ，
（分）；9点 分或9点 分钟时，时针与分针成 的角.
【点拨】本题考查了钟表分针所转过的角度计算.在钟表问题中，常利用时针与分针转
动的度数关系：分针每转动 时针转动 ，并且利用起点时间时针和分针的位置关系
建立角的图形.
类型六、利用数学思想方法解决有关线段或角的计算
1.方程的思想方法
7. 如图， ，C是 的中点，D是线段 上一点，且 ．
(1) 求线段 的长度；
(2) 请用尺规在线段 上作点E，使 ，并求线段 的长度（保留痕迹，不
写作法）．
【答案】(1)12cm(2)图见分析，BE=4cm
【分析】(1)首先根据C是AB中点，可求得AC=BC=10，设CD＝x，则 AD＝4x，可得
4x＋x＝5x＝10，可求得x=2，据此即可求得；
(2) 以点D为圆心，以AD长为半径画弧，交BC于点E，点E即为所求的点；首先可
求得AD=DE=8，再由BE=BD-DE即可求得．
（1）解： AB＝20，C是AB中点，
AC＝BC＝ AB＝10，
设CD＝x，
AD：DC＝4：1，AD＝4x，
AC＝AD＋CD＝4x＋x＝5x＝10，
解得，x＝2．
BD＝BC＋CD＝10＋2＝12（cm）．
（2）解：以点D为圆心，以AD长为半径画弧，交BC于点E，点E即为所求的点，
如图．
AD＝4x＝4×2＝8，
DE＝AD＝8．
BE=BD-DE=12－8=4（cm）．
【点拨】本题考查了线段的和差，线段中点的性质，结合题意和图形求得相关线段的
和差是解决本题的关键．
举一反三：
【变式1】已知线段 上有两点C、D，使得 ，M是线段 的
中点，点N是线段 上的点，且满足 ， ，求 的长．
【答案】7或
【分析】设 ，则 ， ，根据题意得 ，计算得 ，
即可得 ， ， ， ，根据点M是线段 的中点得
，根据 ， 得 ，分以下两种情况：①当点N在线
段 上时， ②当点N在线段 上时，进行计算即可得．
解：设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ， ， ，∵点M是线段 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
分以下两种情况：
①当点N在线段 上时， ，
②当点N在线段 上时， ，
综上所述，线段 的长度为7或 ．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离的计算，线段的中点的性质，
解题的关键是掌握线段中点的性质，分类讨论．
【变式2】如图，将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分
．
(1) 当 时，求 的度数；
(2) 若 ，求 的度数．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据邻补角得出 ，再由角平分线得出 ，结合
图形求解即可；
（2）设 ，结合图形利用角平分线及一元一次方程求解即可．
（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）设 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
【点拨】题目主要考查角平分线的计算，邻补角的计算及一元一次方程的应用，理解
题意，找准各角之间的关系是解题关键．
2.分类的思想方法
8.如图，直线 相交于点O。已知 ，在 内部引一条射
线 ，且 ，请解答下列问题：
(1) 度数是___________； 度数是___________；
(2) 将射线 绕点O逆时针旋转 到
①如图2，当 平分 时，说明 平分 ；
②当 时，请求出α的度数
【答案】(1) ； (2)①见分析；②当 时，α的度数为 或者
【分析】（1）根据 ， ，即可得出答案；
（2）①求出 与 的度数，进行比较即可证得结论；
②考虑到有两种情况即可，即为 在如图所示位置与 在 上方位置．
（1）解：∵ ， ，∴ ；
∵ ，
∴ ；
故答案为： ； ；
（2）解：①当 平分 时，
∵ ，
又∵
∴ ，
∴ 平分 ．
∴当 平分 时 是平分 ．
②当 时，且OF在 下方时，
∵ ，
∴ ，
当 时，且 在 上方时， 相当于比在 下方时多旋转了 ，
∴ ．
综上所述：当 时，α的度数为 或者 ．
【点拨】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图， ， ， ， 分别是 ，
的平分线．
(1) 如图1，当 在 左侧，且 时， 的度数是_________；
(2) 当 的位置不确定时，请利用备用图，画出相关图形，探究 的大小与 的
数量关系；
(3) 当 的度数为 时，请直接写出 的度数．【答案】(1) (2) 或 或 (3)
或
【分析】（1）利用角平分线的定义和角的和差关系求解；
（2）分OC在OB左侧，OC在 内部，OC在OA下方三种情况，利用角的和差
关系分别计算即可求解；
（3）将 代入（2）中结论即可求解．
（1）解：由题意得， ， ，
∵ ， 分别是 ，
∴ ， ，
∴ ，
即 的度数是 ；
（2）解：分三种情况讨论，当OC在OB左侧时，如下图所示：
；
当OC在 内部时，如下图所示：
；
当OC在OA下方时，如下图所示：；
综上可知， 或 或 ．
（3）解：由（2）可知， 时，
，或 ，或
解得 ，或 ，或 （舍去），
即 的度数为 或 ．
【点拨】本题考查角平分线的定义和角的和差关系，需要注意OC的位置有多种可能，
掌握分类讨论思想是解题的关键．
【变式2】已知，点 在直线 上，点 、 分别是线段 、 的中点．
(1) 如图1，点 在线段 上一点， ，求 的长；
(2) 如图2，点 在线段 的延长线上， ，点 为直线 上一点，
，求 长．
【答案】(1) (2)3或10
【分析】（1）根据中点的定义可得 ， ，进而可得
；
（2）先计算出 ，再分点 在点 的右侧和点 在点 的左侧两种情况，利用线段
和差关系分别计算即可．
（1）解：∵ 是 中点， 是 中点，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：∵ 是 中点， 是 中点，
∴ ，
∴
∴
当点 在点 的右侧时，
，即 ，
解得 ；
当点 在点 的左侧时，
，即 ，
解得 ，
∴ ．
综上所述， 的长为3或10．
【点拨】本题考查中点的定义和线段的和差关系，解题的关键是熟练运用分类讨论思
想，避免漏解．
3.类比的思想方法
9.下列各小题中，都有OE平分 ，OF平分 ．
如图1，若点A、O、B在一条直线上，则 与 的数量关系是：
______ ．如图2，若点A、O、B不在一条直线上，则题 中的数量关系是否成立？请说明
理由．
如图3，若OA在 的内部，则题 中的数量关系是否仍成立？请说明理由．
【答案】（１）2；（２）成立，理由见分析；（３）成立，理由见分析．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，∠AOB＝2∠EOF；
（2）根据角平分线的定义求得∠AOB＝2∠EOC＋2∠COF＝2∠EOF；
（3）根据角平分线的定义求得∠EOF＝∠COF−∠EOC＝ ∠AOB．
解：（1）∵OE平分 ，
∴ ，
∵OF平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故填： ；
（2）成立，理由如下：
∵OE平分 ，
∴ ，
∵OF平分 ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ；
（3）成立，理由如下：
∵OE平分 ，
∴ ，
∵OF平分 ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ．
【点拨】本题考查角平分线的定义，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转
化求解．
举一反三：
【变式1】如图，点 在线段 上，点 分别是 的中点．
（1）若 ，求线段MN 的长；
（2）若 为线段 上任一点，满足 ，其它条件不变，你能求出
的长度吗？请说明理由．
（3）若 在线段 的延长线上，且满足 分别为 AC、BC的中
点，你能求出 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
【答案】（1）7.5；（2） a，理由见分析；（3）能，MN= b，画图和理由见分析
【分析】（1）据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再
利用MN=CM+CN即可求出MN的长度即可．
（2）据题意画出图形，利用MN=MC+CN即可得出答案．
（3）据题意画出图形，利用MN=MC-NC即可得出答案．
解：（1）点M、N分别是AC、BC的中点，∴CM= AC=4.5cm，
CN= BC=3cm，
∴MN=CM+CN=4.5+3=7.5cm．
所以线段MN的长为7.5cm．
（2）MN的长度等于 a，
根据图形和题意可得：MN=MC+CN= AC+ BC= （AC+BC）= a；
（3）MN的长度等于 b，
根据图形和题意可得：
MN=MC-NC= AC- BC= （AC-BC）= b．
【点拨】本题主要考查了两点间的距离，关键是掌握线段的中点把线段分成两条相等
的线段，注意根据题意画出图形也是关键．
【变式2】线段与角的计算
（1）如图，已知点 为 上一点， ， ，若 、 分别为 、
的中点．求 的长．
（2）已知：如图， 被分成 ， 平分 ，
平分 ，且 ，求 的度数．【答案】（1）5cm；（2）135°．
【分析】（1）根据中点所在线段的位置关系，先求中点所在线段的长度，再利用线段
差的一半即得；
（2）根据三角成比例设未知，将 作为等量关系列出方程，解方程即可将
有关角求出，最后利用角的和即可求出结果．
解：（1）∵ ， ．
∴ ， ．
又∵ 是 的中点， 是 的中点．
∴ ．
．
∴ ．
（2）设 ， ， ，则 ，
则∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查线段中点问题、角平分线问题，根据中点所在线段位置关系确定线
段和与差的运算是关键点也是难点，确定角平分线的位置关系为等量关系是解决角的和与
差问题的关键点也是难点．
