文档内容
专题5.2 解方程及分式方程的应用（七大类型）
【题型1 解分式方程】
【题型2 分式方程有增根问题】
【题型3 分式方程应用-工程问题】
【题型4 分式方程应用-行程问题】
【题型5 分式方程应用-销售问题】
【题型6 分式方程应用-方案问题】
【题型7 分式方程应用-其他问题】
【题型1 解分式方程】
【典例1】解下列方程：
2 1 1 2 4
(1) = ； (2) + = ．
x−4 x+1 x+1 x−1 x2−1
【变式1-1】解方程：
3 1−x x 2
(1) +2= ； (2) + =1．
4−x x−4 x−1 x2−1
【变式1-2】解方程：
5 7 16 x+2
(1) = ； (2) +1= ．
x x−2 x2−4 x−2【变式1-3】解分式方程：
x 3 x−2 4
(1) −1= ； (2) + =1．
x−1 (x−1)(x+2) x+2 x2−4
【题型2 分式方程有增根问题】
3x m
【典例2】若关于x的方程 = +4无解，则m的取值为（ ）
x−1 1−x
A．−1 B．1 C．−2 D．−3
x 3a
【变式2-1】若关于x的分式方程 + =2a无解，则a的值为（ ）
x−3 3−x
1 1
A．1 B． C．1或 D．以上都不是
2 2
x−3 m
【变式2-2】若关于x的方程 = 产生增根，则m的值是（ ）
x−1 x−1
A．−3 B．−2 C．2 D．0
6−x 2m
【变式2-3】若关于x的方程 − ＝0有增根，则m的值是（ ）
x−3 x−3
3 2
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
2 3
2 mx 5
【变式2-4】若关于x的分式方程 + = 无解，则m的值为 ．
x−2 x2−4 x+2
3 k−1
【变式2-5】若关于x的方程 − =1无解，则k的值为 ．
x−2 x−2
【题型3 分式方程应用-工程问题】
【典例3】某村计划对总长为1800m的道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完
成的道路长度是乙队每天能完成的2倍，并且在独立完成长为400m的道路时，甲队比乙队少用4天．
(1)求甲、乙两工程队每天能完成道路的长度分别是多少m？
(2)若村委每天需付给甲队的道路改造费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的道路改造费用不超
过8万元，至少应安排甲队工作多少天？【变式3-1】甲、乙两个工程队铺设一条公路，已知甲工程队每天比乙工程队少铺设6km，甲工程队铺
设60km所用的时间与乙工程队铺设90km所用的时间相同，求甲、乙两个工程队每天各铺设多少km？
【变式3-2】我市经济技术开发区某电子工厂开展班组劳动技能比赛，测得甲组做40个零件与乙组做
30个零件所用的时间相等，又知甲、乙两组一小时共做21个零件，求甲、乙两组每小时各做多少个零
件？
【变式3-3】拥有便捷的交通是经济发展的前提，某地为了打造全新旅游体验，提高地域知名度，计划
修建一段音乐旅游公路．某施工队承揽了这段旅游公路的施工，原计划施工300米，施工队在施工了
60米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该阶段工程．问该工程队原计划每
天施工多少米？
【变式3-4】在创建全国文明城市中，我市需要在丁香花园外侧修建一条900米的亲水栈道将江滨公 园
与南岸公园的绿道连通，构建清远市“万里绿道”．由于工期缩短，工程队改进了施 工方式，实际每
天修建的长度是原计划的1.5倍，结果提前了3天完成这一工程，求实 际每天修建栈道多少米?
【变式3-5】新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍
有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，
每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．
(1)求原来生产防护服的工人有多少人？
(2)复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产
的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？【变式3-6】荷花文化节前夕，我市对观光路工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，甲、乙施
工一天的工程费用分别为1.5万元和1.1万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案：
①甲队单独做这项工程刚好如期完成．
②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天．
③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．求：
(1)甲乙单独完成这项工程各需多少天？
(2)在确保如期完成的情况下，你认为哪种方案最节省工程款，通过计算说明理由．
【题型4 分式方程应用-行程问题】
【典例4】小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结
果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍．
(1)①求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米/小时？
②小李恰好不迟到时，从A地到B地所用的时间为______小时；
(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．若小李立即跑步去上班，且恰好提前5
分钟到达，求跑步的速度为多少千米/小时？
【变式4-1】列方程解应用题
京源学校初一、初二年级同学乘坐大巴车去国家大剧院观看京剧演出，国家大剧院距离学校16千米．
初一年级的车队出发5分钟后，初二年级的车队才出发，结果两个年级同学同时到达，初二年级车队的
平均速度是初一年级车队的平均速度的1.2倍． 问初一年级车队平均每小时行驶多少千米？
【变式4-2】甲、乙两名学生到离校2.1km的“荣光社区”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自
行车，骑自行车速度是步行速度的3倍，甲出发14min后乙同学出发，两名同学同时到达，求甲同学步行的速度为多少千米每小时？
【变式4-3】2022年12月26日上午，常益长高铁正式开通运营， 自此，三湘大地形成高铁大环线，
串起湖南“金色”大通道．若从常德市到长沙市乘坐高速列车的路程为150千米，乘坐普通列车的路程
为168千米，高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的2.5倍，且高速列车的乘车时间比普通列车
的乘车时间缩短了1.8小时．问高速列车的平均速度是多少千米/时？
【变式4-4】甲、乙两船从相距300km的A,B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与
从B地逆流航行的乙船相遇，水流速度为6km/h,若甲、乙两船在静水中的速度相同，求两船在静水中
的速度．
【题型5 分式方程应用-销售问题】
【典例5】第22届国际世界杯足球赛于2022年11月20日至12月18日在卡塔尔境内8座球场举行．某体
育运动专卖店采购员预测某款型短袖T恤衫能畅销市场，就用6000元购进一批这种T恤衫，由于市场
供不应求，该店铺又用15000元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，由于供货
紧张，每件价格比第一次贵10元．
(1)该店铺购进第一批，第二批T恤衫每件的进价分别是多少元?
(2)如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后断码的50件T恤衫按五折优惠售出，要使两批T恤衫全部售
完后利润率为80%（除去450元的快递费用），那么每件T恤衫的标价是多少元？
【变式5-1】某中学在开学前去商场购进A，B 两款书包奖励班级表现优秀的学生，购买A 款书包共花
费 6000元，购买B款书包共花费3200元，且购买A 款书包数量是购买B款书包数量的3倍，已知购
买一个B 款书包比购买一个A 款书包多花30元． 求购买一个A 款书包、 一个B 款书包各需多少元？【变式5-2】某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑
动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑
动变阻器单价比乙种单价贵5元．
(1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元．
(2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少
个甲种滑动变阻器?
【变式5-3】“海上生明月，天涯共此时”．中秋节前夕，某超市购入甲、乙两种月饼礼盒共25盒，总
共花费4800元．超市购入甲、乙两种月饼礼盒的价格分别为180元/盒，200元/盒．
(1)甲、乙两种月饼礼盒各购入多少盒？
(2)该超市将这批月饼礼盒加价后进行出售．每盒甲月饼礼盒的售价比乙月饼礼盒的售价少40元，消费
5
者用2000元购入甲月饼礼盒的数量是用1920元购入乙月饼礼盒数量的 ．则这批月饼全部售出后，该
4
超市能获利多少元？
【变式5-4】春节期间，南坪万达永辉超市准备从厂家购进甲、乙糖果进行销售，若甲种糖果每千克进
价比乙种糖果每千克进价多5元，且用6000元购进甲种糖果的数量是用2500元购进乙种糖果数量的2
倍．
(1)求每千克甲种糖果的进价是多少元？
(2)该超市准备将每千克甲种糖果的售价定为45元，每千克乙种糖果的售价定为36元．根据市场需求，超市决定向厂家再购进一批糖果，且购进乙种糖果的数量比购进甲种糖果的数量的2倍还多100千克，
若本次购进的两种糖果全部售出后，总获利不少于19600元，求该超市本次购进甲种糖果至少是多少千
克？
【变式5-5】某超市用5000元购进一批新品种葡萄进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元
资金第二次购进该品种葡萄，但第二次的进货价比试销时每千克多了0.5元，第二次购进葡萄数量是试
销时的2倍．
(1)求试销时该品种葡萄的进货价是每千克多少元？
(2)求两次共购进葡萄多少千克？
【变式5-6】某服装店用4000元购进一批运动衫，很快售完，该店又用6300元购进第二批这种运动衫，
所购进的件数比第一批多40%，每件运动衫的进价比第一批多10元．
(1)求购进第一批运动衫的件数；
(2)若在这两批运动衫的销售中，售价保持一致，且售完这两批运动衫，服装店的总利润不少于4100元，
那么服装店销售这种运动衫每件的最低售价是多少元？
【题型6 分式方程应用-方案问题】
【典例6】2023年杭州第19届亚运会的吉祥物由琮琮、莲莲、宸宸三个可爱的机器人组成，他们的成
团出道的组合名叫“江南忆”，出自诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”．某校准备举行亚运
会知识竞赛活动，购买30套吉祥物作为竞赛奖品，某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每
套贵20元，若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同．(1)求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，并且总费用不得超过2400元，试求该校一共有哪几种
购买方案？
(3)在（2）的条件下，直接写出该校购买30套吉祥物的最低费用．
【变式6-1】学校举办以“诵读经典诗词，弘扬传统文化”为主题的诵读比赛，计划选购甲、乙两种图
书作为奖品，已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图
书要少10本．
(1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
(2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1020元，要使购买的甲种图书数量不少于
乙种图书的数量，则共有几种购买方案？
【变式6-2】学校准备为运动会的某项活动购买A,B两种奖品，A中奖品的单价比B种商品的单价多2
元，用600元购进A种奖品和用570元购进B种商品的数量相同．
(1)A种商品和B种商品的单价分别是多少？
(2)学校计划用不超过1555元的资金购进A、B两种奖品共40件，其中A种奖品的数量不低于B种奖品
数量的一半，学校去购买的时候商店正在做促销活动，每件A种商品的售价优惠3元，B种商品的售价
不变，请为学校设计出最省钱的购买方案．
【题型7 分式方程应用-其他问题】
【典例7】某茶具生产车间有25名工人生产茶壶和茶杯，1个茶壶和6个茶杯配成一套．已知一名工人
一天可以生产3个茶壶或7个茶杯．
(1)要使一天生产的茶壶和茶杯正好配套，应分别安排多少名工人生产茶壶和茶杯？
(2)10月一套茶具的成本比9月提高了20%，9月投入了10万元，10月投入的比9月多5000元，结果生
产的茶具比9月少50套，求10月每套茶具的成本是多少元？【变式7-1】某国产新能源汽车在国内国际市场销售屡创佳绩，体现了中国制造的“大国风范”．为进
一步提升市场占有率，决定增加产量600万台．自2020年初开始实施后，实际每年产量是原计划的1.2
倍，照此进度预计可提前2年完成任务．
(1)原计划每年产量为多少万台？
(2)为更快实现目标，该品牌决定加快生产速度，要求从2023年初后续不超过5年完成，那么实际平均
每年产量至少还要增加多少万台？
【变式7-2】随着农业科技的发展，市场对某型号的小型耕田机的需求越来越大，为满足市场需求，某
小型耕田机生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产24台小型耕田
机，现在生产600台小型耕田机所需的时间与更新技术前生产400台小型耕田机所需时间相同，更新技
术后每天生产多少台小型耕田机？
【变式7-3】2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等
方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，燃油汽车行驶1千
米所需的油费比电费多0.6元，若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的
4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．【变式7-4】经销商小李需要购进一批学生画图工具6000套，为此考察了甲、乙两个文具加工厂．已
知甲厂的加工能力是乙厂的1.5倍，且甲厂单独加工这批画图工具所需要的天数比乙厂单独加工这批画
图工具所需要的天数少10天，还了解到这种画图工具甲厂的出厂价格为6元/套，乙厂的出厂价格为
5.6元/套．
(1)求甲、乙两个加工厂每天能加工这种画图工具各多少套？
(2)小李计划从甲、乙两厂购买这种画图工具，且费用不超过35400元，他最多能向甲工厂购买多少套
这种画图工具？
【变式7-5】为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设
备进行更新换代，其中甲类生产线有10条，乙类生产线有20条．经测算，购买更新1条甲类生产线的
设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和
用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少
资金更新生产线的设备？
