文档内容
15.3.1 分式方程及其解法（1） 教学设计
一、教学目标：
1.理解分式方程的概念，并会判断一个方程是否是分式方程.
2.掌握解分式方程的基本思路和解法.
二、教学重、难点：
重点：会解可化为-元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的解.
难点：会解可化为-元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的解.
三、教学过程：
复习回顾
1.什么叫一元一次方程？
只含有一个未知数(元)，并且未知数的最高次数为1(次)的整式方程叫做一元一次方程.
2.下列方程哪些是一元一次方程？
2x−1 x+2
(1) 3x-5=3；_____ (2) x+2y=5；_____ (3) x2-x=5；_____ (4) 3 = 4 -1. _____
3.请解上述方程(4).
2x−1 x+2
3 = 4 -1
解：去分母(方程两边乘12)，得 4(2x-1)=3(x+2)-12
去括号，得 8x-4=3x+6-12
移项，得 8x-3x=6-12+4
合并同类项，得 5x=-2
2
−
化系数为1，得 x= 5
知识精讲
章前引言
一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大船速沿江顺流航行90km所用时间，与以最
大航速逆流航行60km所用的时间相等，江水的流速是多少？
如果设江水的流速为vkm/h，则轮船顺流航行90km所用时间为_________h，逆流航行60km所用时间为_________h，由方程_________________可以解出v的值.
有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦
9000kg和15000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，分别求这两块试验
田每公顷的产量.
解：设第一块试验田每公顷的产量为 xkg，那么第二块试验田每公顷的产量是_________kg.
根据题意，可得方程：______________.
观察：
90 60 9000 15000
= =
30+v 30−v ， x x+3000 方程有什么共同特点？
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
注：(1)分式方程的主要特征：含分母且分母里含有未知数. (2)分式方程和整式方程的区别
就在于分母中是否含有未知数.
【针对练习】下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
【点睛】判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是未
知数)．
思考：
90 60
=
如何解分式方程：
30+v 30−v
上述分式方程中各分母的最简公分母是(30+v)(30-v)
解：方程两边乘(30+v)(30-v)，得 90(30-v)=60(30+v)
解得 v=6
5
检验：将v=6代入原方程中，左边=2=右边，因此v=6是原分式方程的解.
由此可知，江水的流速为6km/h.
将分式方程化成整式方程的关键步骤是什么？
归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程
两边乘最简公分母.9000 15000
=
x x+3000
解：方程两边乘x(x+3000)，得 9000(x+3000)=15000x
解得 x=4500
检验：将x=4500代入原方程中，左边=2=右边，因此x=4500是原分式方程的解.
两块试验田每公顷的产量分别是4500kg、7500kg.
下面我们再解一个分式方程：
解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得
x+5=10，
解得 x=5.
x=5是原分式方程的解吗？
检验:将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是
整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解.
思考：上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分
式方程的解，而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
我们再来观察去分母的过程:
真相揭秘:分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同.
真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
在这里，我们把x=5称它为方程②的增根.
分式方程解的检验----必不可少的步骤
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解
必须检验．
检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解
是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
典例解析
例1.解方程:
解：方程两边乘x(x-3),得
2x=3x-9
解得 x=9
检验:当x=9时，x(x-3) ≠0
所以,原分式方程的解为x=9.
解：方程两边乘(x+2) (5-x),得
(5-x)=3(x+2)
4
解得 x=
5
4
检验:当x= 时，(x+2) (5-x)≠0
5
4
所以,原分式方程的解为x= .
5
【针对练习】解方程：
解：(1)方程两边乘2x(x+3)，得
x+3=4x
解得 x=1
检验：当x=1时，2x(x+3)≠0
所以，原分式方程的解为x=1.解：(2)方程两边乘3(x+1)，得
3x=2x+3(x+1)
解得 x=-1.5
检验：当x=-1.5时，3(x+1)≠0
所以，原分式方程的解为x=-1.5.
例2.解方程:
解：方程两边乘(x-1)(x+2)，得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3
解得 x=1
检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0，因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
【针对练习】解方程：
解：(1)方程两边乘(x+1)(x-1)，得
2(x+1)=4
解得 x=1
检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0，
因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
解:(2)方程两边乘(x-2),得
1=-(1-x)-3(x-2)
解得x=2
检验:当x=2时, x-2=0，
因此x=2不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
“去分母法”解分式方程的步骤：
1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则原分式方程无解；
4.写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
x-4 1 x-1 x 1
1.下列方程① =x+ y，② =5，③ =x-3，④ = 中，是关于x的分式方程的有
y x π a b-1
（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
1 1-x
2.把分式方程 - =1的两边同时乘以x-2，约去分母，得（ ）
x-2 2-x
A．1-(1-x)=1 B．1+(1-x)=1 C．1-(1-x)=x-2 D．1+(1-x)=x-2
x+1 2-x
3.解方程 -1= 时：
3x-2 2-3x
小燕认为：方程两边都乘以3x-2，得x+1-(3x-2)=-(2-x)
小红认为：方程两边都乘以2-3x，得-(x+1)-(2-3x)=2-x
小杰认为：方程两边都乘以3x-2，得x+1-3x-2=-(2-x)
以上三位同学的理解，错误的是( )
A．小燕 B．小红 C．小杰 D．没有错误，三位同学都正确
2ax+3 3
4.关于x的方程 = 的解为x=1，则a的值为（ ）
a-x 4A．2 B．3 C．-1 D．-3
5x+1 2 x+1
5.下列说法：① = 是分式方程：②x=1或x=-1是分式方程 =0的解；③分式方程
3x x x2-1
3 2
= 转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘 x(x+4)；④解分式方程时一定会出现增
x+4 x
根，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1 2 2
6.如果方程 +n=1，m+ =1，那么x+ =（ ）
m x n
A．1 B．2 C．3 D．4
x-8 1
7.当x=________时，分式 与分式 互为相反数．
x-7 7-x
2 x
8.如图在解分式方程 + =1的过程中，步骤（2）的依据是________________，步骤
x2-4 x-2
（4）的依据是_______________．
1
9.对于实数a、b，定义一种新运算“Δ”为：aΔb= ，这里等式右边是实数运算例如：
a-b2
1 1 2
1Δ3= =- ．则方程xΔ(-3)= -1的解是________．
1-32 8 9-x
10.解下列分式方程：
2x x 1 2 12
(1) - =1； (2) - = ．
x+2 x-1 x+3 3-x x2-9
A B x+5
11．已知 - = （其中A，B为常数），求(A+B)-2022的值．
x+1 x-3 (x+1)(x-3)
【参考答案】
1. A2. D
3. C
4. D
5. B
6. B
7. 9
8.等式的基本性质2;等式的基本性质1
9.x=6
10.（1）解：方程两边同时乘以最简公分母(x+2)(x-1)得∶
2x(x-1)-x(x+2)=(x+2)(x-1)
2
解得 x=
5
2
检验：当x= 时，(x+2)(x-1)≠0，
5
2
∴x= 是原方程的的解．
5
（2）解：方程两边同时乘以最简公分母(x+3)(x-3)得
x-3+2(x+3)=12，
x-3+2x+6=12，
3x=9，
x=3．
检验：当x=3时，(x+3)(x-3)=0，
∴x=3是原方程的增根，
∴分式方程无解．
11.解：去分母得，A(x-3)-B(x+1)=x+5
整理得，(A-B)x-3A-B=x+5
{&A-B=1
∴
&-3A-B=5
{&A=-1
解得：
&B=-2
∴ .
(A+B) -2022=(-1-2) -2022=3-2022四、教学反思：
